PELUANG &

PEUBAH ACAK

Ruang Contoh (Sample Space)

Definisi

Himpunan semua kemungkinan hasil suatu percobaan (S)

Contoh

RC Pelemparan mata uang : S = {A , G}

RC Pelemparan dadu : S = {1,2,3,4,5,6}

RC Berat badan :

S = {Berat,Sedang,Ringan}

Diagram PohonMata Uang dilempar 3 kaliLemparan I Lemparan II lemparan III Titik Contoh

A

G

AA

G

A

G

A

G

A

G

G

G

A

AAA

AAG

AGA

AGG

GAA

GAG

GGA

GGG

KejadianHimpunan bagian dari

ruang contoh

Kejadian sederhana Kejadian Majemuk

gabungan beberapakejadian sederhana

hanya terdiri dari satu titik contoh

Mencacah Titik Contoh

• Kaidah penggandaan

n1 n2 n3 … nk

• Permutasi

• Kombinasi

!)(

!

rn

nPrn

suatu susunan yang dibentuk oleh semua atau sebagian dari sekumpulan benda

pengambilan r benda dari n benda tanpa memperhatikan urutan

!)(!

!

rnr

n

r

nC n

r

Peluang suatu kejadian

Suatu percobaan mempunyai N hasil percobaan yang berbeda & masing-masing memiliki kemungkinan sama untuk muncul.

Jika tepat n di antara hasil tersebut menyusun kejadian A, maka peluang kejadian A adalah

N

nAP )(

Aksioma Peluang

• P(S) = 1• P(Ø) = 0

• 0 ≤ P(A) ≤ 1

• P(A) = 1 – P(A)

Peubah Acak

Suatu fungsi yang memiliki nilai real dan ditentukan oleh setiap elemen dalam

ruang contoh

Contoh• Percobaan : 2 bola

diambil secara berurutan dari 1 kantong berisi 4 bola merah dan 3 bola putih.

• Hasil-hasil percobaan yang mungkin merupakan elemen Ruang Contoh

• Peubah acak Y menyatakan banyaknya merah yang terambil

• Peubah acak X menyatakan banyaknya putih yang terambil

Ruang Contoh

y x

MM 2 0

MP 1 1

PM 1 1

PP 0 2

Ruang Contoh

RC. Diskret

Jumlah titik contoh berhingga Nilai dinyatakan dalam bilangan cacah

RC. Kontinyu

Banyak titik contoh tak berhingga Nilai dinyatakan dalam bilangan riil

Sebaran peluang

Misal, peluang suatu peubah acak dinyatakan sebagai fungsi nilai-nilai x yaitu :

P(X = x) = f(x)

maka himpunan semua pasangan berurutan

[x , f(x)]

disebut fungsi peluang atau sebaran peluang bagi peubah acak X.

Sebaran Peluang Diskret• Suatu table atau rumus yang mencantumkan semua

kemungkinan nilai suatu peubah acak diskret dan peluangnya

• Contoh :Menentukan sebaran peluang banyaknya sisi gambar bila sebuah uang logam dilemparkan 4 kali Ruang contoh mengandung 24 = 16 titik contoh x sisi gambar dan 4-x sisi angka dapat terjadi dalam

cara, dimana x = 0, 1, 2, 3, 4

Fungsi peluang

Histogram peluang

0 1 2 3 4

1/16

4/16

6/16

x

f (x)

SEBARAN PELUANG KONTINU

• Peubah acak kontinu berpeluang nol untuk mengambil tepat salah satu nilainya

• sebaran peluang tidak dapat diberikan dalam bentuk tabel

• peluang dinyatakan dari berbagai selang peubah acak kontinu, misal : P( a < X < b)

• Fungsi peluang digambarkan oleh kurva biasanya disebut fungsi kepekatan peluang.

Beberapa bentukfungsi kepekatan peluang

x

f(x)

x

f(x)

(a) (b)

(c) (d)

x

f(x)

x

f(x)

Contoh

Peubah acak kontinu X yang memiliki nilai antara x = 2 dan x = 4 mempunyai fungsi kepekatan peluang

a. Buktikan bahwa P(2 < X < 4) = 1

b. Tentukan P(X < 3,5)

c. Tentukan P(2,4 < X < 3,5)

8

1

xxf )(

Kurva Sebaran Peluang PA X

f(x) 5/8 4/8 3/8

2 4 x

2

2422)()()(

)(

ff

alasxsejajarsisijumlahluas

12

28

5

8

3

42

)(

)( XP

7002

518

54

8

3

53

,

),(,

),(

XP

Peluang (X < 3.5)

NILAI TENGAH PEUBAH ACAK

x x1 x2 … xn

P(X=x) f(x1) f(x2) … f(xn)

• misalkan X adalah peubah acak diskret dengan sebaran peluang pada tabel di atas

• Maka nilai tengah atau nilai harapan bagi X adalah

n

iii xfxXE

1

)()(

Ragam Peubah Acak

n

ii xfxXE

1

222

Suatu populasi yang pengamatannya terdiri atas nilai-nilai peubah acak X, bila percobaan diulang terus-menerus takhingga kali, tidak hanya memiliki nilai

tengah , tetapi juga ragam.

Ragam populasi ini disebut ragam peubah acak X atau ragam sebenarnya

Fakta/data/praktek

Conjecture/hypothesis/theory/model

Design experiment

Problem formulation

Testing

Data Metode analisis

• Pembedaan atas skala data – Kwalitatif– Kwantitatif

• Pembedaan atas kepastian perubahan– Probabilistik– Deterministik

• Pembedaan atas waktu kemunculan datanya– Diskrit– Kontinyu

• Tinjauan pengambilan keputusan– Valid– Reliable– Konsisten

Valid vs Reliable vs Konsisten

reliable

konsisten

Tidak valid

Data Kwalitatif

• Skala data– Nominal– Ordinal

• Berikan contoh data yang berskala seperti tersebut di atas!

Data Kwantitatif

• Skala data– Interval– Ratio

• Berikan contoh data yang berskala seperti tersebut di atas!

• Bagaimana dengan– Suhu– Ph– Kadar gula– Berat besi– korelasi

Perbandingan kwalitatif dan kwantitatif

• Data mana yang mempunyai bayangan metode analisis lebih mudah? kwantitatif

• Dapatkah data kwalitatif dikwantitatifkan?• Metode apa yang biasa digunakan dalam

menganalisis data:– Kwantitatif?– Kwalitatif?

• Bagaimana jika metode kwantitatif digunakan dalam kasus data kwalitatif?

Probabilistik vs deterministik

• Kasus dunia nyata (environmental problem) lebih banyak akan bersifat probabilistik, multidimensi, dan kompleks

probabilistik deterministik

Agriculture Age

Industrial Age

Information Age

Wealth definition

Food Food & Things

Knowledge

People work as

Slaves/serfs

Employees

Partners

People work in Hierarchi

es Bureaucracies

TeamnetsProduction system

One-piece Customization

Mass Production Paradigm

Mass customization Paradigm

Scarcity of resource

Abundance of information

Bio

1960 1970 1980 1990 2000

I T in

vestm

en

t

year

know

ledg

e

skill

experience

appl

icat

ion

Education and self development

Training and experimentation

Facilitation and on the job training

Coaching and mentoring

Learning Process

competence

Culture

Core Capabilities

Implementing and

Integrating

Experimenting

ImportingKnowledge

ProblemSolving

EXTERNAL

PRESENT

INTERNAL

FUTURE

Metode analisis data deskriptif

• Titik tengah– Mean– Median– Modus– Tream mean

• Penyimpangan– Variance– Range

Interval konfidensi

Skewness?

Interval (konvensional) vs HPD

Interval (Konvensional) HPD

(Highest Probability Distribution)

Interval Kepercayaan (1)

Interval kepercayaan (2)

HPD (Highest Probability Distribution)Peta Kendali

(1-) x

100%

Batas Kendali Bawah

Batas Kendali Atas

95,0

71,3953

109,4810

97,5

64,4857

110,9149

99,0

55,3356

112,7754

Analytical Models• Qualitative Approach (for qualitative data)

– Independence Analysis– Proportion Analysis– Analytical Hierarchical Process (AHP)

• Quantitative Approach (for quantitative data)– Forecasting (Smoothing, AR, MA, ARIMA)– Clustering Analysis– Regression Analysis– ANOVA– MRP (Material Requirement Planning)

• Simulation

MIS Versus DSS

MIS DSS Decision support

providedProvide informationabout the performanceof the organization

Provide informationand decision supporttechniques to analyzespecific problems oropportunities

Information form andfrequency

Periodic, exception,demand, and pushreports and responses

Interactive inquiriesand responses

Information format Prespecified, fixedformat

Ad hoc, flexible, andadaptable format

Informationprocessingmethodology

Information producedby extraction andmanipulation ofbusiness data

Information producedby analytical modelingof business data

Basic Challenges

Building information systems that can actually fulfill management (decision maker) information requirements.

• Internal versus external data.

• Structured versus unstructured data.

• Anticipated versus unanticipated information.

Challenges

Integrating DSS and ESS with existing systems:

• Consistency of data

• Availability of data

• Timeliness of data

Issues• Models validity

– Uncertainty– Time and space scales– Establishing a coherent dialogue between models

• Design of a policy assessment process– Define objectives and constraints– Identify the possible controls– Identify the system reaction to controls– Identify the cost/benefits for control policies– Find efficient solutions

IT practices

Information Management practices

Information behaviorAnd values

Information orientation :

A comprehensiveof high level ideaof how effectivea company is inusing information

BusinessPerformance

Types of Decisions

Structured: Repetitive; definite procedure; have a high level of certainty; could even be called routine.

Semi-structured: One or more factors are not structured; the more unstructured, the higher the risk.

Unstructured: Unique; non-routine; has definite uncertainty; requires experience and judgment.

Unstructured StructuredStructured

• Ad hoc

• Unscheduled

• Summarized

• Infrequent

• Forward looking

• External

• Wide Scope

• Prespecified

• Scheduled

• Detailed

• Frequent

• Historical

• Internal

• Narrow Focus

Ways to Solve Business Problems

Absolution: Ignore it and hope it will go away.

Dissolution: Redesign to eliminate the problem.

Ressolution: Do something that yields an outcome that is good enough emphasizing past experience.

Solution: Involves research and relies heavily on experimentation, quantitative analysis and both common and uncommon sense.

Speed

To marketTo market competitive, market competitive, market position, market leadership position, market leadership

To decision To decision consensus, commitment, consensus, commitment, responsive responsive

To task completion productivityTo task completion productivity

How Are Decisions Made?

Big Deal:

• Research and get as much data as possible.

• Evaluate as long as time permits.

• Consensus decision by key participants.

Little Deal:

• Routine based on past experience (habit).

• Quick decision since consequences are minimal.

• Individual versus consensus decision.

Depends on the significance of the decision.

Solution Selection Criteria1. Risk: including the odds.

2. Economy of effort: greatest results with least

effort or needed change with least disturbance.

3. Timing: based on urgency which is difficult to

systematize.

4. Limitation of Resources: relative to those

that must carry out the decision. No decision is

better than the people that must carry it out.

Konsep Variabel OBJEK

• Variabel: suatu peubah yang dibuat untuk dapat diisi dengan suatu nilai

• Nilai sebuah variabel merupakan identitas demensi pandang pada suatu objek

• Objek dapat diterangkan dengan jelas oleh suatu susunan variabel yang lebih banyak

• Atau semakin sedikit variabel dari obej yang diamati semakin tidak jealas objek yang dimaksudkan.

Univariate vs Multivariate

• Univariate merupakan istilah analisis data statistik yang hanya memandang permasalahan hanya dengan demensi terbatas, yaitu satu demensi.

• Multivariate mengandalkan cara pandang permasalahan statistik dengan multi demensi, dan setiap demensi diduga akan berkorelasi. (jika tiap dimensi tidak berkorelasi, maka akan hanya digolongkan sebagai permasalahan yang multivariabel saja).

• Jadi suatu permasalahan yang dipandang secara multivariabel belum tentu merupakan kasus multivariate, sedangkan kasus multivariate selalu mdipandang secara multivariabel.

Konsep Derajat bebas

• Derajat bebas (db) memberikan informasi tentang tingkat kebebasan suatu data akan dapat terambil secara random dari kelompoknya

• Semakin besar db maka akan semakin besar kepercayaan bahwa data yang dapat diambil adalah dapat mewakili populasinya

• Semakin besar db semakin besar tingkat kepercayaan dalam pengambilan keputusannya, karena keputusannya didasarkan pada prinsip STRONG LAW LARGE NUMBER THEOREM.

• Semakin besar db berarti semakin bervariasinya suatu sisi pandang demensi analisisnya.