Transformasi Satu Peubah Acak

Dr. Kusman Sadik, M.Si

Departemen Statistika IPB, 2016

1

2

Transformasi Peubah Acak

Misalkan diketahui fkp bagi p.a. X adalah fX(x). Jika

didefinisikan p.a. lainnya yaitu Y = h(x), maka ingin diketahui

fkp bagi Y yaitu fY(y).

Ada 2 metode untuk mendapatkan fY(y) berdasarkan fX(x),

yaitu :

Metode fungsi sebaran

Metode penggantian peubah

3

A. Metode Fungsi Sebaran

Tentukan terlebih dahulu fungsi sebaran bagi Y yaitu FY(y),

kemudian tentukan turunan dari FY(y) untuk mendapatkan

fY(y).

Kasus 1

Misalkan p.a. kontinu X mempunyai fkp sebagai berikut:

fX(x) = 2x, 0 < x < 1

Jika didefinisikan p.a. Y = 8X3, ingin diketahui fkp bagi Y yaitu

fY(y).

4

Perhatikan bahwa dalam transformasi p.a. fungsinya harus

fungsi satu-satu (one-to-one). Pada transformasi di atas,

Y = X3, merupakan fungsi satu-satu (mengapa?).

Y = h(X) = 8X3 X = h-1(Y) = 3/1

8

Y

dan karena 0 < x < 1 maka 0 < y < 8.

FX(x) = P(X x) = x

dxx0

)2( = x2

5

FX(x) = P(X x) = x

dxx0

)2( = x2

FY(y) = P(Y y) = P(8X3 y) = P(X 3/1

8

Y) =

23/1

8

Y

=

23/1

2

Y=

4

3/2Y

3/1

3/13/2

6

1

12

2

4

)()()(

yy

dy

yd

dy

ydFyf Y

Y

6

3/1

3/13/2

6

1

12

2

4

)()()(

yy

dy

yd

dy

ydFyf Y

Y

Sehingga fkp bagi p.a. Y adalah

3/16

1)(

yyfY , 0 < y < 8

Coba cek bahwa fY(y) tersebut merupakan fkp, yaitu bahwa

8

0

1)( dyyfY

7

Kasus 2

Misalkan p.a. kontinu X U(, ). Jika kemudian

didefinisikan p.a. Y = eX, akan ditentukan fkp bagi Y yaitu

fY(y).

Perhatikan bahwa dalam transformasi p.a. fungsinya harus

fungsi satu-satu (one-to-one). Pada transformasi di atas,

Y = eX, merupakan fungsi satu-satu (mengapa?).

8

X U(, ) berarti

1

)(xfX

Karena X U(, ) maka < x < dan e < y < e

Y = h(X) = eX X = h-1(Y) = ln(Y)

FX(x) = P(X x) =

x

dx

1=

x

FY(y) = P(Y y) = P(eX y) = P(X ln(y)) =

)(yln

9

FY(y) = P(Y y) = P(eX y) = P(X ln(y)) =

)(yln

yy

yln

dy

d

dy

ydFyf Y

Y)(

111)()()(

Sehingga fkp bagi p.a. Y adalah

)(yfYy)(

1

, e < y < e

Coba cek bahwa fY(y) tersebut merupakan fkp !

10

Kasus 3

Misalkan p.a. kontinu X U(0, 1). Jika kemudian

didefinisikan p.a. Y = -2ln(X), akan ditentukan fkp bagi Y

yaitu fY(y).

Karena X U(0, 1) maka 0 < x < 1 dan y > 0

Y = h(X) = -2ln(X) X = h-1(Y) = e-y/2

FX(x) = P(X x) = x

dx0

= x

FY(y) = P(Y y) = P(-2ln(X) y)

11

FX(x) = P(X x) = x

dx0

= x

FY(y) = P(Y y) = P(-2ln(X) y)

= P(ln(X) -y/2) = P(X e-y/2) = 1 - P(X e-y/2)

= 1 - e-y/2

2/2/

2

1)1()()( y

y

YY e

dy

ed

dy

ydFyf

12

2/2/

2

1)1()()( y

y

YY e

dy

ed

dy

ydFyf

Sehingga fkp bagi p.a. Y adalah

2/

2

1)( y

Y eyf , y > 0

Coba cek bahwa fY(y) tersebut merupakan fkp. Catatan, fkp

ini merupakan sebaran 2 dengan derajat bebas 2.

13

Catatan : sebaran Khai-Kuadrat dengan derajat bebas r dapat

dinyatakan sebagai berikut:

0 ,2)2/(

1)( 2/1)2/(

2/

yey

ryf yr

r

untuk r = 1 maka (r/2) = , sehingga

14

Kasus 4

Misalkan p.a. kontinu X mempunyai fkp sebagai berikut:

fX(x) = )2/(12 2

2

1 xex

, - < x <

Jika didefinisikan p.a. Y = X

1, coba tunjukkan bahwa fkp bagi

Y adalah Normal(0, 1).

15

Tugas 1

(Dikumpulkan hari Rabu minggu depan di TU STK sebelum jam 13.00 )

1. Roussas : No. 1.4, hlm. 172

2. Roussas : No. 1.7, hlm. 172

3. Roussas : No. 1.8, hlm. 172

Soal-soal tersebut diselesaikan melalui metode fungsi sebaran!

16

1. Roussas, G. 2003. Introduction to Probability and Statistical Inference. Academic Press

2. Nasoetion, A. H. dan Rambe, A. 1984. Teori Statistika untuk Ilmu-Ilmu Kuantitatif. Bhratara Karya Aksara, Jakarta.

3. Hoog RV , McKean JW, Craig AT. 2005. Introduction to Mathematical Statistics 6th Edition. Pearson Prentice Hall.

4. Wackerly D, Mendenhall W, Scheaffer RL. 2007. Mathematical Statistics with Applications 7th Edition, Duxbury Thomson Learning

5. Pustaka lain yang relevan.

17

Bisa di-download di

http://www.stat.ipb.ac.id/en/index.php?page=dr-kusman-sadik

18