transformasi satu peubah acak - ipb university - teori... · transformasi peubah acak misalkan...
TRANSCRIPT
Transformasi Satu Peubah Acak
Dr. Kusman Sadik, M.Si
Departemen Statistika IPB, 2016
1
2
Transformasi Peubah Acak
Misalkan diketahui fkp bagi p.a. X adalah fX(x). Jika
didefinisikan p.a. lainnya yaitu Y = h(x), maka ingin diketahui
fkp bagi Y yaitu fY(y).
Ada 2 metode untuk mendapatkan fY(y) berdasarkan fX(x),
yaitu :
Metode fungsi sebaran
Metode penggantian peubah
3
A. Metode Fungsi Sebaran
Tentukan terlebih dahulu fungsi sebaran bagi Y yaitu FY(y),
kemudian tentukan turunan dari FY(y) untuk mendapatkan
fY(y).
Kasus 1
Misalkan p.a. kontinu X mempunyai fkp sebagai berikut:
fX(x) = 2x, 0 < x < 1
Jika didefinisikan p.a. Y = 8X3, ingin diketahui fkp bagi Y yaitu
fY(y).
4
Perhatikan bahwa dalam transformasi p.a. fungsinya harus
fungsi satu-satu (one-to-one). Pada transformasi di atas,
Y = X3, merupakan fungsi satu-satu (mengapa?).
Y = h(X) = 8X3 X = h-1(Y) = 3/1
8
Y
dan karena 0 < x < 1 maka 0 < y < 8.
FX(x) = P(X x) = x
dxx0
)2( = x2
5
FX(x) = P(X x) = x
dxx0
)2( = x2
FY(y) = P(Y y) = P(8X3 y) = P(X 3/1
8
Y) =
23/1
8
Y
=
23/1
2
Y=
4
3/2Y
3/1
3/13/2
6
1
12
2
4
)()()(
yy
dy
yd
dy
ydFyf Y
Y
6
3/1
3/13/2
6
1
12
2
4
)()()(
yy
dy
yd
dy
ydFyf Y
Y
Sehingga fkp bagi p.a. Y adalah
3/16
1)(
yyfY , 0 < y < 8
Coba cek bahwa fY(y) tersebut merupakan fkp, yaitu bahwa
8
0
1)( dyyfY
7
Kasus 2
Misalkan p.a. kontinu X U(, ). Jika kemudian
didefinisikan p.a. Y = eX, akan ditentukan fkp bagi Y yaitu
fY(y).
Perhatikan bahwa dalam transformasi p.a. fungsinya harus
fungsi satu-satu (one-to-one). Pada transformasi di atas,
Y = eX, merupakan fungsi satu-satu (mengapa?).
8
X U(, ) berarti
1
)(xfX
Karena X U(, ) maka < x < dan e < y < e
Y = h(X) = eX X = h-1(Y) = ln(Y)
FX(x) = P(X x) =
x
dx
1=
x
FY(y) = P(Y y) = P(eX y) = P(X ln(y)) =
)(yln
9
FY(y) = P(Y y) = P(eX y) = P(X ln(y)) =
)(yln
yy
yln
dy
d
dy
ydFyf Y
Y)(
111)()()(
Sehingga fkp bagi p.a. Y adalah
)(yfYy)(
1
, e < y < e
Coba cek bahwa fY(y) tersebut merupakan fkp !
10
Kasus 3
Misalkan p.a. kontinu X U(0, 1). Jika kemudian
didefinisikan p.a. Y = -2ln(X), akan ditentukan fkp bagi Y
yaitu fY(y).
Karena X U(0, 1) maka 0 < x < 1 dan y > 0
Y = h(X) = -2ln(X) X = h-1(Y) = e-y/2
FX(x) = P(X x) = x
dx0
= x
FY(y) = P(Y y) = P(-2ln(X) y)
11
FX(x) = P(X x) = x
dx0
= x
FY(y) = P(Y y) = P(-2ln(X) y)
= P(ln(X) -y/2) = P(X e-y/2) = 1 - P(X e-y/2)
= 1 - e-y/2
2/2/
2
1)1()()( y
y
YY e
dy
ed
dy
ydFyf
12
2/2/
2
1)1()()( y
y
YY e
dy
ed
dy
ydFyf
Sehingga fkp bagi p.a. Y adalah
2/
2
1)( y
Y eyf , y > 0
Coba cek bahwa fY(y) tersebut merupakan fkp. Catatan, fkp
ini merupakan sebaran 2 dengan derajat bebas 2.
13
Catatan : sebaran Khai-Kuadrat dengan derajat bebas r dapat
dinyatakan sebagai berikut:
0 ,2)2/(
1)( 2/1)2/(
2/
yey
ryf yr
r
untuk r = 1 maka (r/2) = , sehingga
14
Kasus 4
Misalkan p.a. kontinu X mempunyai fkp sebagai berikut:
fX(x) = )2/(12 2
2
1 xex
, - < x <
Jika didefinisikan p.a. Y = X
1, coba tunjukkan bahwa fkp bagi
Y adalah Normal(0, 1).
15
Tugas 1
(Dikumpulkan hari Rabu minggu depan di TU STK sebelum jam 13.00 )
1. Roussas : No. 1.4, hlm. 172
2. Roussas : No. 1.7, hlm. 172
3. Roussas : No. 1.8, hlm. 172
Soal-soal tersebut diselesaikan melalui metode fungsi sebaran!
16
1. Roussas, G. 2003. Introduction to Probability and Statistical Inference. Academic Press
2. Nasoetion, A. H. dan Rambe, A. 1984. Teori Statistika untuk Ilmu-Ilmu Kuantitatif. Bhratara Karya Aksara, Jakarta.
3. Hoog RV , McKean JW, Craig AT. 2005. Introduction to Mathematical Statistics 6th Edition. Pearson Prentice Hall.
4. Wackerly D, Mendenhall W, Scheaffer RL. 2007. Mathematical Statistics with Applications 7th Edition, Duxbury Thomson Learning
5. Pustaka lain yang relevan.
17
Bisa di-download di
http://www.stat.ipb.ac.id/en/index.php?page=dr-kusman-sadik
18