1

Transformasi Peubah Acak dan Bebas Statistik

Kuliah 7

2

Transformasi Peubah Acak

Teorema 1:Misalkan X suatu peubah acak diskrit dengan distribusi peluang f(X). Misalkanlah Y=u(X) suatu transformasi satu-satu antara nilai X dan Y sehingga persamaan y=(x) mempunyai jawaban tunggal untuk x dinyatakan y, misalkan x=w(y). Maka distribusi peluang Y adalah g(y)=f[w(y)]

3

Contoh

• Misalkanlah x suatu peubah acak diskrit geometrik dengan distribusi peluang

untuk x=1,2,3,…dan f(x) = untuk x yang lain. Carilah distribusi peubah acak y=x2

JawabKarena nilai x semuanya positif, transformasi antara nilai x dan nilai y tersebut adalah satu-satu, y=x2

dan Jadi untuk y=1,4,9,…

dan g(y)=0 untuk nilai y yang lainnya.

1

4

1

4

3

x

xf

yx

1

4

1

4

3)(

y

yfyg

4

Transformasi Peubah Acak

Teorema 2:

Misalkanlah X suatu peubah acak kontinu dengan distribusi peluang f(X). Misalkanlah Y=u(X) suatu transformasi satu-satu antara nilai X dan Y sehingga persamaan y=u(x) mempunyai jawaban tunggal untuk x dinyatakan dalam y, misalkan x=w(y). Maka distribusi peluang Y adalah

dengan J=w’(y) disebut transformsi Jacobi

Jywfyg .)()(

5

Contoh• Misalkanlah X suatu peubah acak kontinu dengan

distribusi peluang untuk 1<x<5

dan f(x)=0 untuk nilai x yang lain.Carilah distribusi peubah acak Y=2X-3

JawabFungsi balikan dari y=2x-3 adalah x=(y+3)/2 sehingga

dengan menggunakan Teorema 2, maka fungsi padatan Y

untuk -1<y<7dan g(y)=0 untuk nilai y yang lainnya.

12

xxf

2

1)(' dy

dxywJ

48

3

2

1

12

2/)3()(

yy

yg

6

Contoh• Misalkan suatu voltage V adalah peubah acak yang diberikan oleh

V=i(R+r0) dimana i=0,01 dan r0=1000Ω. Bila t, yakni tahanan R adalah peubah acak kontinu dengan distribusi peluang seragam diantara 900 Ω dan 1100 Ω, yakni

f(r)= 1/200 untuk 900<r<1100

dan f(r)=0 untuk nilai r yang lain. Carilah distribusi peubah acak V.

JawabFungsi balikan dari v=0,01(r+1000) adalah r=100v-1000 sehingga

dengan menggunakan Teorema 2, maka fungsi padatan V untuk 19<v<21

dan g(v)=0 untuk nilai v yang lainnya.

100)(' dv

drvwJ

2

1100

200

1)( vg

7

Bebas Statistik

Definisi 1:

Fungsi f(x,y) adalah distribusi peluang gabungan peubah acak diskrit X dan Y bila

1.

2.

3.

0),( YXf

x y

yxf 1),(

),(, yxfyYxXP

8

Bebas Statistik

Peubah acak kontin

Definisi 2:Fungsi f(x,y) adalah fungsi padat gabungan peubah acak kontinu X dan Y bila

1.

2.

3.

0),( YXf

dydxyxfAAyxP ..),(,

1.),(

dydxyxf

9

Bebas Statistik

Definisi 3:Misalkan X dan Y dua peubah acak, diskrit maupun kontinu dengan fungsi peluang gabungan f(x,y) dan distribusi peluang untuk X dan Y masing-masing adalah g(x) dan h(y). Maka peubah acak X dan Y disebut bebas statistik jika dan hanya jika,

f(X,Y)=g(X)h(Y)dan semua (X,Y) dalam daerah definisinya

10

Contoh• Misalkan lamanya daya tahan (dalam tahun) sejenis

makanan kemasan dalam kotak sebelum rusak merupakan peubah acak yang fungsi padat peluangnya berbentuk

f(x)=e-x, untuk x>0

dan bernilai 0 untuk x yang lain. Misalkan X1 dan X2

menyatakan lamanya daya tahan dua kotak dari makanan kemasan ini yang dipilih secara acak. Hitunglah P(X1<2, 1<X2<3)

11

Jawab

Karena kotak dipilih secara acak (bebas), maka dapat dianggap bahwa peubah acak X1, dan X2 bebas statistik dengan fungsi padat peluang gabungan

untuk x1> 0 dan x2 >0

dan bernilai 0 untuk nilai yang lain. Jadi

21

21

2121 ,

xx

xx

e

ee

xfxfxxf

275,0

.1

31,2

312

3

1

2

0

212121

eee

dxdxeXXP xx