ekspektasi dan momen. tujuan pembelajaran memahami transformasi dari suatu varibel acak ke variabel...
TRANSCRIPT
Ekspektasi dan Momen
Ekspektasi dan Momen
Tujuan Pembelajaran• Memahami transformasi dari suatu
varibel acak ke variabel acak yang lain
• Memahami dan menjelaskan konsep momen dan fungsi pembangkitan momen
• Memahami dan menggunakan transformasi variabel, momen dan fungsi pembangkitan momen
Ekspektasi dan Momen
Agenda• Transformasi variabel• Momen dan Fungsi Pembangkit
Momen
Ekspektasi dan Momen
1. Transformasi Variabel
Misal X merupakan variabel acak diskrit dengan fungsi kerapatan f(x), y = u(x)
mendefinisikan transformasi satu-satu antara nilai-nilai X dan Y sehingga y = u(x) dapat
diselesaikan secara unik untuk x di dalam besaran y, misal x = w(y). Maka fungsi probabilitas
dari Y diberikan oleh:
)]([)( ywfyg
Ekspektasi dan Momen
1. Transformasi Variabel
Misal X1 dan X2 adalah dua variabel acak diskrit dengan distribusi probabilitas
gabungan f(x1, x2). Untuk mendapatkan distribusi probabilitas gabungan g(y1, y2) dimana Y1
= u1(X1, X2) dan Y2 = u2(X1, X2) menentukan transformasi satu-sata antara titik-titik (x1, x2)
dan (y1, y2), sehingga persamaan ),( 2111 xxuy dan ),( 2122 xxuy Dapat diselesaikan
secara unik untuk 1x dan 2x dalam bentuk ),( 2111 xxwy dan ),( 2122 xxwy . Maka
distribusi probabilitas gabungan Y1 dan Y2 diberikan oleh:
)],(),,([),( 21221121 yywyywfyyg
Ekspektasi dan Momen
1. Transformasi Variabel
Misal X merupakan variabel acak kontinyu dengan fungsi kerapatan f(x), y = u(x)
mendefinisikan transformasi satu-satu antara nilai-nilai X dan Y sehingga y = u(x) dapat
diselesaikan secara unik untuk x di dalam besaran y, misal x = w(y). Maka fungsi probabilitas
dari Y diberikan oleh:
Jywfyg )]([)(
Dimana )(' ywJ adalah transformasi Jacobian.
Ekspektasi dan Momen
1. Transformasi Variabel
Misal X1 dan X2 adalah dua variabel acak kontinyu dengan distribusi probabilitas
gabungan f(x1, x2). Misal Y1 = u1(X1, X2) dan Y2 = u2(X1, X2) menentukan transformasi satu-
sata antara titik-titik (x1, x2) dan (y1, y2), sehingga persamaan ),( 2111 xxuy dan
),( 2122 xxuy merupakan solusi tunggal untuk 1x dan 2x dalam bentuk ),( 2111 xxwy dan
),( 2122 xxwy . Maka distribusi probabilitas gabungan Y1 dan Y2 diberikan oleh:
Jyywyywfyyg )],(),,([),( 21221121
Dengan J adalah transformasi J acobian yang dinyatakan oleh:
2
2
2
1
1
2
1
1
dy
dx
dy
dx
dy
dx
dy
dx
J
Ekspektasi dan Momen
1. Transformasi Variabel
Misal X adalah variabel acak kontinyu dengan distribusi probabilitas f(x). Y = u(X)
menentukan suatu transformasi di antara nilai X dan Y yang bukan satu-satu. Jika interval
pada X didefinisikan dapat dipartisi ke dalam k himpunan yang saling lepas sehingga masing-
masing fungsi invers
)( , ),( ),( 2211 ywxywxywx kk
Dari y = u(x) menentukan korespondensi satu-satu, maka distribusi probabilitas Y diberikan
oleh:
i
k
ii Jywfyg
1
)]([)(
Ekspektasi dan Momen
1. Transformasi Variabel
Contoh 1
Ambil X sebagai peubah acak geometri dengan sebaran probabilitas
13 1
( ) , 1,2,3,..4 4
x
f x x
Carilah sebaran probabilutas dari peubah acak Y =X2.
Penyelesaian
Karena nilai X semuanya positif,. transformasi tersebut menentukan korespondensi satu-satu
di antara nilai-nilai x dan y, y = x2 dan x = √y. Sehingga
13 1
, 1,4,9,..( ) 4 4
0,
y
yg y
di tempat lain
Ekspektasi dan Momen
1. Transformasi Variabel
Contoh 7.2
Ambil X1 dan X2 sebagai dua peubah acak bebas yang mempunyai sebaran Poisson
yang masing-masing dengan parameter 1 dan 2 . Carilah sebaran dari peubah acak Y1 =
X1 + X2!
Penyelesaian:
Karena X1 dan X2 bebas, bisa kita tulis
1 21 1 2 2 1 2
1 2 1 21 2 1 2
1 2 1 2
,! ! ! !
X X X Xe e ex x f x f x
x x x x
dimana y1 = 0,1,2,….. dan y2 = 0,1,2,……Perhatikanlah bahwa karena x1 >0, tranformasi x1 =y1 – y2 mengimplikasikan bahwa x2 dan oleh sebab itu y2 harus selalu kurang dari atau
Ekspektasi dan Momen
1. Transformasi Variabel
sama dengan y1. Akibatnya, sebaran propabilitas marginal Y1 menjadi
1 1 2 2
1 2
2 2
1 21 1 2
0 0 1 2 2
,!
ty y y y y
y y
h y g y y ey y y
1 2 1
1 2 2
2
11
01 2 1 2
!
! ! !
yy y y
y
ye
y y y y
1 2 1
1 2 2
2
11
0 21 !
yy y y
y
ye
yy
Dengan menyadari penjumlahan ini sebagai ekspansi binomial dari 1
1 2
y , kita
dapatkan
11 2
1 21 1
1
, 0,1,2,...!
ye
h y yy
dari situ kita menyimpulkan bahwa jumlah dari dua peubah acak bebas yang mempunyai
sebaran Poisson, dengan parameter-parameter 1 dan 2 , mempunyai sebaran Poisson
dengan parameter 1 + 2 .
Ekspektasi dan Momen
1. Transformasi Variabel
Contoh 3
Ambil X sebagai peubah acak kontinu dengan sebaran probabilitas
, 1 512
0,
xx
f xdi tempat lain
Carilah sebaran probabilitas peubah acak Y = 2x – 3!
penyelesaian:
Penyelesaian invers dari y = 2x -3 menghasilkan x = (y + 3)/2, yang dari sini kita
mendapatkan J = W’(y) = dx/dy = ½. Sehingga dengan menggunakan Teorema 7.3, kita
dapatkan fungsi kepekatan Y menjadi
3
1 32 , 1 712 2 48
0,
yy
yg y
di tempat lain
Ekspektasi dan Momen
1. Transformasi Variabel
Contoh 7.5
Perlihatkanlah bahwa 2
2X
Y
mempunayi sebaran chi-kuadrat dengan 1
derajat kebebasan apabila X mempunyai sebaran normal dengan nilai tengah dan variansi
2 !
Penyelesaian:
Ambil XZ
, dimana peubah acak Z mempunyai sebaran normal baku
2 21,
2Zf z e z
Sekarang kita akan menentukan sebaran peubah acak 2Y Z . Penyelesaian invers dari y =
z2 adalah z y . Bila kita memberikan 1z y dan 2z y , maka 1 1 2J y dan
2 1 2J y . sehingga, melalui Teorema 7.5 kita dapatkan
2 21 1 1 1
2 2 2 2y yg y e e
y y
Ekspektasi dan Momen
1. Transformasi Variabel
1 2 1 2
1 2
1, 0
2yy e y
Karena g(y) merupakan fungsi kepekatan, berlaku bahwa
1 2 1 2 1 2 1 21 21 2
0 0
1 21 11
2 1 22y yy e dy y e dy
integral tersebut menjadi luas di bawah kurva probabilitas gamma dengan parameter-
parameter =1/2 dan =2. Dengan demikian, 1 2 dan f ungsi probabilitas dari Y
diberikan oleh
1 2 1 2
1 2
1, 0
2 1 2
0,
yy e yg y
di tempat lain
yang kelihatan menjadi sebaran chi-kuadrat dengan 1 derajat kebebasan.
Ekspektasi dan Momen
2. Momen dan Fungsi Pembangkit Momen
Bila rXXg )( untuk r = 0, 1, 2, …., momen ke-r dari titik asal variabel acak X, r' ,
diberikan oleh:
kontinyuXdxxfx
diskritXxfx
XE
r
r
r
''
Karena momen pertama dan kedua diberikan oleh XE1' dan 22' XE , maka mean
dan variansi variabel acak X diberikan oleh:
1' dan 22
2 '
Ekspektasi dan Momen
2. Momen dan Fungsi Pembangkit Momen
Fungsi pembangkit momen variabel acak X, txeE dan dinyatakan sebagai tM x dan
diberikan oleh:
kontinyuXdxxfe
diskritXxfe
eEtM
tx
tx
txx
Fungsi pembangkit momen akan ada hanya bila jumlah integral tM x konvergen. X sebuah
variabel acak dengan fungsi pembangkit momen tM x , maka
r
t
rx
r
dt
tMd'
)(
0
Ekspektasi dan Momen
2. Momen dan Fungsi Pembangkit Momen
Sifat lain dari fungsi pembangkit momen adalah
a. tMetM Xat
aX
b. atMtM XaX
c. Bila nXXX ,,, 21 merupakan variabel acak bebas dengan fungsi pembangkit
momen tMtMtMnxxx ,,,
21 dan nXXXY 21 , maka,
tMtMtMtMnxxxY
21
Ekspektasi dan Momen
2. Momen dan Fungsi Pembangkit Momend. Bila nXXX ,,, 21 merupakan variabel acak normal bebas dengan yang memiliki
distribusi normal dengan mean n ,,, 21 dan variansi 222
21 ,,, n maka
variabel acak nn XaXaXaY 2211 mempunyai distribusi normal dengan
mean nnaaa 2211 dan variansi
2222
22
21
21
2nnaaa
e. Bila nXXX ,,, 21 merupakan variabel acak saling bebas dengan masing-masing
memiliki distribusi Chi-Kuadrat dengan derajat kebebasan n ,,, 21 , maka
variabel acak nXXXY 21 mempunyai distribusi Chi-Kuadrat dengan
n 21 derajat kebebasan
f. Bila nXXX ,,, 21 merupakan variabel acak bebas yang memiliki distribusi
normal yang identik dengan mean dan variansi 2 maka variabel acak
2
1
n
i
iXY
mempunyai sebuah distribusi Chi-Kuadrat dengan n derajat
kebebasan.
Ekspektasi dan Momen
2. Momen dan Fungsi Pembangkit Momen
Contoh 7.6
Carilah fungsi pembangkit-momen peubah acak binomial X kemudian gunakanlah
untuk membuktikan bahwa np dan 2 npq .
Penyelesaian:
dari definisi 7.2 kita mempunyai
0 0
n n xtx x n x t n xx
x x
n nM t e p q pe q
x x
Dengan mengenali jumlah terakhir sebagai ekspansi binomial dari ntpe q , kita dapatkan
ntxM t pe q
Sekarang
1nx t tdM tn pe q pe
dt
Ekspektasi dan Momen
2. Momen dan Fungsi Pembangkit Momen
dan
2
2 1
21
n nx t t t t td M tnp e n pe q pe pe q e
dt
Dengan membuat t = 0, kita dapatkan
1' np dan 2' 1 1np n p
Sehingga
1' np dan 2 22' 1np p npq
Ekspektasi dan Momen
2. Momen dan Fungsi Pembangkit Momen
Contoh 7.7
Perlihatkanlah bahwa fungsi pembangkit momen peubah acak X yang mempunyai
sebaran probabilitas normal dengan nilai tengah dan variansi 2 diberikan oleh
2 2
exp2X
t tM t
Penyelesaian:
Dari Definisi 7.2 fungsi pembangkit-momen dari peubah acak normal X adalah
21 1 1
exp22
txX
xM t e dx
2 2 2
2
21exp
22
x t xdx
Ekspektasi dan Momen
2. Momen dan Fungsi Pembangkit Momen
Dengan menyelesaikan kuadrat di dalam suku eksponen di atas kita bisa menulis
22 2 2 2 2 2 42 2x t x x t t t
kemudian
2
2 2 41
2
21
exp22
X
x t t tM t dx
22 2
2
1 21exp exp
2 2
x tt tdx
Ambil 2w x t ; maka dx = dw dan
22 2
21exp
2 2w
X
t tM t e dw
2 2
exp2
t t
karena integral terakhir menggmbarkan luas di bawah sebuah kurva kepekatan normal baku
dan oleh sebab itu sama dengan 1.
Ekspektasi dan Momen
2. Momen dan Fungsi Pembangkit Momen
Contoh 7.8
Perlihatkanlah bahwa fungsi pembangkit-momen dari peubah acak X yang
mempunyai suatu sebaran chi-kuadrat dengan x berajat kebebasan berupa
21 2
v
xM t t !
Penyelesaian:
Sebaran chi-kuadrat diperoleh sebagai hal khusus sebaran gamma dengan membuat 2v
dan 2 . Dengan subtitusi untuk f(x) di dalam Definisi 7.2, kita dapatkan
1 2 22 1
20 0
1
2 2x ttx v
X vM t e x e dx
v
1 2 22 1
20
1
2 2x tv
vx e dx
v
Ekspektasi dan Momen
2. Momen dan Fungsi Pembangkit Momen
Dengan menuliskan y = x(1 – 2t)/2 dan dx = [2/(1-2t)]dx, kita peroleh
2 1
2
20
1 21 2
2 2 1 2
vvy
X v
yM t e dy t
v t
22 1
20
11 2
2 1 2
vv yv y e t
v t
Karena integral terakhir sama dengan 2v .