momen inersia aalengkap1
DESCRIPTION
aaaasdasTRANSCRIPT
II. MOMEN INERSIA BIDANG DATAR
1. Pendahuluan
Momen inersia dapat disebut juga Momen Kedua atau Momen Kelembaman. Data
momen inersia suatu penampang dari komponen struktur akan diperlukan pada
perhitungan-perhitungan tegangan lentur, tegangan geser, tegangan torsi, defleksi balok,
kekakuan balok/kolom dan sebagainya. Luasan A pada gambar 2.1. merupakan bidang
datar yang menggambarkan penampang dari suatu komponen struktur, dengan dA
merupakan suatu luasan/elemen kecil.
y
A
x dA
r
y
x
O
Gambar 2.1. Potongan Penampang
Secara metematis momen inersia ditentukan dengan persamaan-persamaan berikut:
Momen Inersia terhadap sumbu x:
Ix = y2 dA (2.1)
Momen Inersia terhadap sumbu y:
Iy = x2 dA (2.2)
Momen Inersia kutub:
Ip = r2 dA (2.3)
Momen Inersia Perkalian (Product of Inertia):
Ixy = xy dA (2.4)
Momen inersia pada Persamaan 2.1, Persamaan 2.2, dan Persamaan 2.3 selalu bertanda
positip, sedangkan momen inersia perkalian pada Persamaan 2.4 dapat bertanda negatip.
10
Momen inersia pada keempat persamaan diatas penggunaannya terbatas pada momen
inersia bidang tunggal, sedangkan secara umum banyak bidang/penampang merupakan
gabungan dari beberapa penampang tunggal. Misalnya penampang yang berbentuk L
adalah gabungan dari dua penampang segi empat. Untuk menyelesaikan momen inersia
pada penampang gabungan diperlukan pengembangan dari Persamaan 2.1, 2.2, 2.3, dan
2.4. yang disebut dengan Teori Sumbu Sejajar.
2. Teori Sumbu Sejajar
x yo
dA
x’ x
r y
xo
A O
r’ O = titik berat luasan A
y’
y
Gambar 2.2. Penampang dengan Sumbu Transformasi
Momen inersia terhadap sumbu x:
Ix = dAyy2
'
Ix = dAydAyydAy 22 ''2
Ix = dAyydAydAy 22 ''2
Sumbu xo melalui titik berat bidang A, maka 0ydA , sehingga:
Ix = Ixo + Ay’
2 (2.5)
Momen inersia terhadap sumbu y:
Iy = dAxx2
'
Iy = dAxdAxxdAx 22 ''2
Iy = dAxxdAxdAx 22 ''2
Sumbu yo melalui titik berat bidang A, maka 0xdA , sehingga:
Iy = Iyo + Ax’
2 (2.6)
11
Momen inersia polar:
Ip = dAyyxx .''22
Ip = dAyyyyxxxx .''2''2 2222
Ip = ydAyxdAxdAyxdAyx '2'2'' 2222
Sumbu xo dan sumbu y
o melalui titik berat luasan A, maka xdA = 0 dan ydA = 0
Sehingga:
Ip = Ipo + Ar’
2 (2.7)
Momen inersia perkalian:
Ixy = dAyyxx ''
Ixy = dAyxydAxxdAyxydA ''''
Sumbu xo dan sumbu y
o melalui titik berat luasan A, maka xdA = 0 dan ydA = 0
Sehingga:
Ixy = Ixyo + Ax’y’ (2.8)
3. Contoh-Contoh
Contoh 2.1
Hitunglah momen inersia (Ix, Iy, Ip, Ixy ) penampang segi empat dengan lebar b dan
tinggi h terhadap sumbu x dan sumbu y yang melalui titik berat penampang
y
dy
y
h x
b
12
Penyelesaian:
dA = bdy
Ix = y2dA
Ixo =
h
h
2
1
2
1
y2bdy
Ixo = b h
hy2
1
21
33
1
Ixo = b 3
81
313
81
31 .. hh
Ixo = 3
121 bh
Dengan cara yang sama dapat dihitung Iyo, dengan dA = h dx, sehingga dapat diperoleh
Iyo = hb3
121
Momen Inersia polar, Ipo = dAr 2 = xy IIdAyx 22 = 12
1 (bh3 + b
3h)
Menghitung momen inersia perkalian Ixy:
y
dy
h y
x
b
Ixy = xydA
Ixy = h
bybdy0
21
13
Ixy = h
ydyb0
22
1
Ixy = h
yb0
22
122
1
Ixy = ¼ b2h
2
Untuk menghitung Ixyo gunakan rumus 2.8.
Ixy = Ixyo + Ax’y’
¼ b2h
2 = Ixy
o + bh.½b.½h
Ixyo = 0
Maka Momen Inersia perkalian segi empat Ixyo = 0
Contoh 2.2
Hitunglah momen inersia (Ix, Iy, Ip, Ixy ) penampang segi tiga dengan alas b dan tinggi h
terhadap sumbu x dan sumbu y yang melalui titik berat penampang
y
dA
dy
y
h
x
b’
b
Penyelesaian:
dA = b’dy
32 b: b’ = 3
2 h: ( 32 h-y)
b’ = )( 32 yh
hb
dA = )( 32 yh
hb dy
14
Ix = y2dA
Ixo =
h
h
y3
2
31
2 )( 32 yh
hb dy
Ixo =
h
h
yh
bby3
2
31
323
2 )( dy
Ixo =
h
h
yh
byb3
2
31
44
133
13
2 ..
Ixo = 4
811
413
271
31
324
8116
413
278
31
32 ........ h
hbhbh
hbhb
Ixo = 3
32413
24323
324163
24316 bhbhbhbh
Ixo = 3
324153
24318 bhbh
Ixo = 3
361 bh
Dengan cara yang sama dapat dihitung Iy, dengan dA = h’ dx, sehingga dapat diperoleh
Iyo = hb3
361
Momen Inersia polar, Ipo = dAr 2 = xy IIdAyx 22 = 36
1 (bh3 + b
3h)
y
dA
h
h’
x
x dx
b
h’: h = (b-x) : b
15
h’ = b
xbh )(
Ixy = xydA
Ixy =
b
dxxbb
hxbb
hx0
21 )()(
Ixy =
b
dxxbb
hx
0
2
2
2
21 )(
Ixy =
b
xbxxbb
h
0
322
2
2
)2(2
dx
Ixy =
b
dxb
xh
b
xhxh
0
2
32222
)22
(
Ixy =
b
xb
hxh
bxh
0
4
2
23222
41
83
1
Ixy = 228
1223
1224
1 hbhbhb
Ixy = 2224
1 hb
Ixy = Ixyo + Ax’y’
2224
1 hb = Ixyo + hbbh 3
13
12
1 ..
Ixyo = 22
721 hb
Momen Inersia perkalian segitiga pada gambar diatas, Ixyo = 22
721 hb
Contoh 2.3
Hitunglah momen inersia (Ix, Iy, Ip, Ixy ) penampang lingkaran dengan jari-jari r terhadap
sumbu x dan sumbu y yang melalui titik berat penampang
y
d dA
d
x
16
Penyelesaian:
dA = d d
Ix = dAy 2
Ixo =
dd
r
..sin0
2
0
22
Ixo =
dd
r
..sin0
2
0
23
Ixo =
2
6
2
0
44
1 .sin d
r
Ixo =
2
0
21
214
41 )2cos( dr
Ixo =
2
0
41
214
41 2sinr
Ixo = )00()0(4
41 r
Ixo = ¼ r
4
Momen inersia penampang lingkaran terhadap sumbu yang melalui pusat lingkaran akan
bernilai sama yaitu ¼ r4.
Sehingga Iyo = ¼ r
4
Ipo = Ix
o + Iy
o
Ipo = ¼ r
4 + ¼ r
4
Ipo = ½ r
4
Apabila sumbu x atau sumbu y merupakan sumbu simetri penampang maka Ixy = 0
Dengan demikian untuk penampang lingkaran Ixyo = 0
Contoh 2.4
Hitunglah momen inersia (Ix, Iy, Ip, Ixy ) penampang setengah lingkaran dengan jari-jari
r terhadap sumbu x dan sumbu y yang melalui titik berat penampang
y
d dA
d
x
17
Penyelesaian:
Momen inersia penampang setengah lingkaran terhadap sumbu x, prinsipnya sama
dengan momen inersia lingkaran penuh terhadap sumbu x. Kalau pada lingkaran penuh
batas-batas sudutnya dari = 0 sampai = 2, namun pada penampang setengah
lingkaran batas-batas sudutnya dari = 0 sampai = .
Ix = dAy 2
Ix =
dd
r
..sin0 0
22
Ix =
dd
r
..sin0 0
23
Ix =
6
2
0
44
1 .sin d
r
Ix =
0
21
214
41 )2cos( dr
Ix =
0
41
214
41 2sinr
Ix = )00()0( 214
41 r
Ix = 48
1 r
Selanjutnya dengan Persamaan 2.5. dapat dihitung Ixo sebagai berikut:
Ix = Ixo + Ay’
2
48
1 r = Ixo +
2
22
1
3
4
rr
Ixo = 4
81 r -
2
22
1
3
4
rr
Ixo = 4
81 r -
9
8 4r
Ixo =
2814
9
8
r
Momen inersia terhadap sumbu y:
Iy = dAx2
18
Iyo =
dd
r
...cos 2
0 0
2
Iyo =
dd
r
..cos0 0
23
Iyo =
6
2
0
44
1 .cos d
r
Iyo =
0
21
214
41 )2cos( dr
Iyo =
0
41
214
41 2sinr
Iyo = )]00()0[( 2
144
1 r
Iyo = 4
81 r
Ipo = Ix
o + Iy
o
Ipo =
2814
9
8
r + 8
1 r4
Ipo =
2414
9
8
r
Karena sumbu y merupakan sumbu simetris, maka Ixyo = 0
Rangkuman momen inersia penampang sederhana (umum) yang telah dibahas diatas
dapat dilihat pada Tabel 2.1. Momen inersia ini dapat dipakai untuk menyelesaikan
momen inersia penampang gabungan (komposit).
19
Tabel 2.1. Momen Inersia Bidang Datar Penampang Umum
segiempat
Y
h x
O
B
Ix = 312
1 bh
Iy = hb312
1
Ip = )( 3312
1 hbbh
Ixy = 0
segitiga
y
b/3
h
h/3
O x
b
Ix = 336
1 bh
Iy = hb336
1
Ip = )( 3336
1 hbbh
Ixy = 2272
1 hb
lingkaran
y
D = 2r x
O
Ix = 44
1 r
Iy = 44
1 r
Ip = 42
1 r
Ixy = 0
setengah lingkaran
Y
4r/3
O y
2 r
Ix =
2814
9
8
r
Iy = 48
1 r
Ip =
2414
9
8
r
Ixy = 0
20
4. Contoh soal penampang komposit
Contoh 2.5.
Hitunglah momen inersia (Ix, Iy, Ip, Ixy ) penampang baja siku terhadap sumbu x dan
sumbu y yang melalui titik berat penampang
12,7 mm
152 mm
12,7 mm
102 mm
Penyelesaian
1. Hitung posisi titik berat penampang, untuk ini sudah dihitung pada contoh 1.4.
2. Gambarkan salib sumbu x dan sumbu y pada titik berat penampang sebagai berikut:
y
12,7 mm
1
152 mm x
O 12,7 mm
50,22 mm
2
102 mm
25,22 mm
3. Bagi penampang menjadi bidang 1 dan bidang 2 seperti pada gambar
4. Hitung momem inersia terhadap sumbu x sebagai berikut:
Ix = Ixo + Ay’
2
Ix = 2312
12312
1 )35,622,50.(7,12.3,897,12.3,89.)22,5076.(152.7,12152.7,12.
21
Ix = 3716663,467 + 1282960,055 + 15243,383 + 2182681,908 = 7197548,813 mm4
5. Hitung momen inersia terhadap sumbu y sebagai berikut:
Iy = Iyo + Ax’
2
Iy = 2312
12312
1 )22,2535,57.(7,12.3,897,12.3,89.)35,622,25.(152.7,12152.7,12.
Iy = 25946,185 + 687370,848 + 753662,404 + 1170783,602 = 2637763,093 mm4
6. Hitung momen inersia polar sebagai berikut:
Ip = Ix + Iy
Ip = 7197548,813 + 2637763,093 = 9835311,906 mm4
7. Hitung momen inersia perkalian sebagai berikut:
Menghitung momen inersia perkalian, perhatikan tanda jarak, jarak dapat bertanda
negatip sesuai dengan posisinya pada salib sumbu. Hal ini berbeda dengan perhitungan
Ix dan Iy yang mana jarak dipangkatduakan sehingga tetap bertanda positip.
Ixy = Ixyo + Ax’y’
Ixy = 0 + 12,7. 152. [-(25,22- 6,35).(76- 50,22)]
+ 0 + 89,3.12.7.(57,35-25,22)[-(50,22-6,35)]
= - 939078,985 - 1598576,925
= - 2537655,91 mm4
Contoh 2.6.
Hitunglah momen inersia (Ix, Iy, Ip, Ixy ) penampang tergambar terhadap sumbu x dan
sumbu y yang melalui titik berat penampang
25 mm
225 mm
25 mm 150 mm 25 mm
Penyelesaian
1. Hitung posisi titik berat penampang, untuk ini sudah dihitung pada contoh 1.5.
2. Gambarkan salib sumbu x dan sumbu y pada titik berat penampang sebagai berikut:
22
y
1 25 mm
99,04
x
2 2
225 mm
150,96
25 mm 150 mm 25 mm
3. Bagi penampang menjadi 3 bagian yaitu bidang1 dan 2 bagian bidang 2 seperti pada
gambar
4. Hitung momem inersia terhadap sumbu x sebagai berikut:
Ix = Ixo + Ay’
2
Ix1 = 2312
1 54,86.25.20025.200. = 37706274,67 mm4
Ix2 = 2312
1 46,38.225.25.2225.25..2 = 64101618,00 mm4 +
Ix = 101807892,67 mm4
5. Hitung momen inersia terhadap sumbu y sebagai berikut:
Iy = Iyo + Ax’
2
Iy1 = 025.200. 312
1 = 16666666,67 mm4
Iy2 = 2312
1 5,87.225.25.2225.25..2 = 86718750,00 mm4
Iy = 103385416,67 mm4
6. Hitung momen inersia polar sebagai berikut:
Ip = Ix + Iy
Ip = 101807892,67 + 103385416,67 = 205193309,34 mm4
7. Hitung momen inersia perkalian sebagai berikut:
Ixy = Ixyo + Ax’y’
Ixy1 = 0 + 0 = 0
Ixy2 = 25.225.(- 87,5)(- 38,46) + 25.225.(87,5)(- 38,46) = 0
Ixy = Ixy1 + Ixy2 = 0
Momen inersia perkalian akan bernilai 0 apabila salah satu sumbu yang melalui titik
berat penampang adalah sumbu simetri.
23
Contoh 2.7.
Penampang seperti tergambar dibawah, O adalah titik berat penampang. Hitung a supaya
Ix = Iy
y
10 mm
x 200 mm
O
10 mm
120 10 a 10 120 mm
Penyelesaian
Ix = 4( 121 .120.10
3 + 120. 10. 105
2 ) + 2. 12
1 .10. 2203
Ix = 52960000 + 17746666,67 = 70706666,67 mm4
Iy = 4[ 121 .10.120
3 + 10.120 (70 + 2
1 a)2] + 2. 12
1 .103.220 + 2.10.220 (5+ 2
1 a)2
Iy = 4[1440000 + 1200 (4900 + 70a + 0,25 a2)] + 36666,67 + 4400 (25 +5a + 0,25 a
2)
Iy = 5760000 + 23520000 + 336000a + 1200 a2 + 36666,67 + 110000 + 22000a + 1100a
2
Iy = 2300 a2 + 358000a + 29426666,67
Ix = Iy
70706666,67 = 2300 a2 + 358000a + 29426666,67
2300 a2 + 358000a – 41280000 = 0
a2 + 155,65 a – 17947,83 = 0
a12 = 2
83,17947.465,15565,155 2
a1 = 2
86,30965,155 = 77,105 mm
Maka nilai a = 77,105 mm
24
Soal-soal:
1. Tentukan Ix, Iy, Ixy bidang trapezium berikut ini:
50 mm
120 mm
90 mm
2. Tentukan Ix, Iy, Ixy bidang kombinasi segi empat dengan setengah lingkaran
berikut ini
60 mm
60 mm
120 mm
3. Tentukan Ix, Iy, Ixy bidang berikut ini
10 mm 80 mm 10 mm
120 mm
25
5. Sumbu Utama dan Momen Inersia Utama
Sumbu utama adalah sumbu yang saling tegak lurus dan akan memberikan momen
inersia, I maksimum dan I minimum pada suatu penampang. Pada komponen struktur
yang mengalami gaya aksial/normal tekan maka kecenderungannya batang akan tertekuk
terhadap sumbu dengan momen inersia yang paling lemah (minimum). Dengan
demikian penentuan sumbu utama dan momen inersia utama menjadi penting.
y
y’
y sin
x dA
x’
y cos y’
y x’
x cos
x sin
x
Gambar 2.3. Sumbu Utama
Sumbu x dan sumbu y diputar sehingga menjadi sumbu x’ dan dan sumbu y’ dengan
sudut putar sebesar . Dengan demikian dapat diperoleh hubungan sebagai berikut:
x’ = x cos + y sin
y’ = y cos - x sin
Ix’ = dAy 2'
Ix’ = dAxy 2)sincos(
Ix’ = Ix cos2 + Iy sin
2 - 2 Ixy sin cos
Iy’ = dAx 2'
Iy’ = dAyx 2)sincos(
Iy’ = Iy cos2 + Ix sin
2 + 2 Ixy sin cos
Ix’y’ = dAyx ''
Ix’y’ = (x cos + y sin )(y cos - x sin ) dA
Ix’y’ = (Ix –Iy) sin cos + Ixy (cos2 - sin
2)
26
Catatan:
sin 2 = 2 sin cos
cos 2 = cos2 - sin
2
cos2 = 2
1 + 21 cos 2
sin2 = 2
1 - 21 cos 2
Ix’ = Ix ( 21 + 2
1 cos 2) + Iy ( 21 - 2
1 cos 2) - Ixy sin2
Ix’ = 21 Ix + 2
1 Ix cos 2 + 21 Iy - 2
1 Iy cos 2 - Ixy sin2
Ix’ = 2sin2cos22
xy
yxyxI
IIII
(2.9)
Dengan cara yang sama dapat ditentukan Iy’ dan Ix’y’ sebagai berikut:
Iy’ = 2sin2cos22
xy
yxyxI
IIII
(2.10)
Ix’y’ = 2cos2sin2
xy
yxI
II
(2.11)
Dari Persamaan 2.9.
Ix’ - 2sin2cos22
xy
yxyxI
IIII
(2.12)
Persamaan 2.11 dan Persamaan 2.12 masing-masing dikuadratkan kemudia dijumlahkan
sehingga diperoleh:
2
2
2
''
2
'22
xy
yx
yx
yx
x III
III
I
(2.13)
Persamaan 2.13 adalah persamaan lingkaran dengan bentuk (x-a)2 + y
2 = r
2
Ix’y’
r
Ix’
O N C M
a
Gambar 2.4. Lingkaran dengan Salib Sumbu Ix’ dan Sumbu Ixy’
27
Dari Gambar 2.4. diatas dapat ditentukan Momen inersia maksimum dan momen inersia
minimum
Imaks = OM = OC +CM
Imin = ON = OC – CM
Sehingga:
2
2
22xy
yxyx
maks IIIII
I
2
2
min22
xy
yxyxI
IIIII
Pada saat terjadi Imaks dan Imin maka Ix’y’ = 0, sehingga dari Persamaan 2.11 diperoleh:
02cos2sin2
xy
yxI
II
yx
xy
II
Itg
22
Contoh 2.8.
Penampang seperti tergambar,
1. Tentukan Ix, Iy, Ixy terhadap sumbu x dan sumbu y yang melalui titik berat
penampang
2. Tentukan sumbu utama dan momen inersia utama
y
10 mm
x 100 mm
10 mm
60 mm 10 mm 60 mm
28
Penyelesaian:
Ix = 121 .60.10
3 + 60.10.55
2 + 12
1 .10.1203 + 120.10. 0
2 + 12
1 .60.103 + 60.10.(-55)
2
Ix = 5,08.106 mm
4
Iy = 121 .10.60
3 + 60.10.(-35)
2 + 12
1 .120.103 + 120.10.0
2 + 12
1 .10.603 + 10.60.35
2
Iy = 1,84. 106 mm
4
Ixy = 60.10.(55)(-35) + 120.10.(0)(0) + 60.10.(-55)(35)
Ixy = -2,31. 106 mm
4
Momen inersia utama:
2
2
22xy
yxyx
maks IIIII
I
26
26666
10.31,22
10.84,110.08,5
2
10.84,110.08,5
maksI
Imaks = 6,281. 106 mm
4
2
2
min22
xy
yxyxI
IIIII
26
26666
10.31,22
10.84,110.08,5
2
10.84,110.08,5
maksI
Imin = 0,639. 106 mm
4
Sumbu Utama
yx
xy
II
Itg
22
4259,110.84,110.08,5
)10.31,2(22
66
6
tg
= 27,48 (berlawanan jarum jam)
29
sumbu min y
sumbu maks
27,48 x
