bab'2a -momen inersia

7/29/2019 Bab'2a -Momen Inersia

1/19

Bab 2.-Momen Inersia

AykdakyM22

Bagian atas balok tersebut mengalami tekanan dan bawahnya tertarik Momen M Sama

dengan : Jumlah semua dari gaya-gaya elemen ; Mx=y. F= K.y2 A .

Apabila kita integralkan terhadap seluruh penampang di peroleh:

Integral dAky2

di kenal sebagai momen ke dua atau momen inersia dari penampang balok

terhadap sumbu x di tulis dengan Ix, yang besarnya mengalikan tiap elemen dA dengan koordinat

Jaraknya dari sumbu x dan mengintegerasikan terhadap penampang balok. Karena hasil kali y2.dA

selalu positif maka, Ix juga selalu positif

Bila suatu balok di lenturkan secara murni, maka gaya-gayadalam tiap bagian merupakan gaya-gaya terbagi yang

besarnya F=ky. A

A.Naibaho/13


2/19

Definisi Momen Inersia :

Ix adalah momen Inersia suatu bidang A terhadapsumbu X :

Iy adalah momen inersia suatu bidang A terhadap

sumbu Y :

dAyIx .2

dan

dAxIy .2A.Naibaho/14


3/19

Cara Pendekatan

Momen inersia suatu bidang dapat di tentukan dengan cara pendekatan yaitu

dengan membagi-bagi ke dalam jumlah bidang yang lebih kecil(a), Kemudian

mengalikan bidang-bidang dengan jarak kuadratnya (y2).

Momen Inersia pendekatan : Ix=a.y2.contoh :

Ix=2 (a1,y12+a2y2

2+a3y32+a4y4

2+a5y52)

Karena ada 2 sisi (atas dan bawah x)

Luas a1=a2=a3=a4=a5

2.10=20 cm2

Ix=2 (20,92

+20.72

+20.52

+20.32

+20.12

)

Ix= 6600 cm4.

M. inersia sebenarnya suatu bidang

segi empat:

43367,6666)20).(10.(

12

1

12

1cmbhIx

A.Naibaho/15


4/19

Momen Inersia PolarMomen inersia polar adalah :momen inersia yang terjadi pada

penamp. silendris atau mengenai pemutaran suatu penampang.

dArIp .2Dapat di defisinisikan :

Dimana r = jarak elemen dA ke titik 0

M Inersia polar suatu bidang dapat dihitung dari m.inersiaIx dan Iy,

bila integral-integral ini telah di ketahui

Dengan memperhatikan P2=y2+x2 Di dapat :

dAxdAyyxdArIp 22222 )(.

Jadi : Ip=Ix+IyA.Naibaho/16


5/19

Rumus2 Ix dan Iy; diturunkanCara Integral

.

3

1

..

3

03

22

3

bhbIx

dyybdAyIx

hy

ho

Bagian kecil dA=b.dy sejajar

Sb x (lihat Gbr)

Bagian kecil dA=2Udu

4

04

0

3

0

22

2

22

)2(

4

rIp

duuIp

uduudAuIp

ru

r

r

1. Ix EMPAT PERSEGI

terhadap Alas-nya

2. Ix LINGKARAN

terhadap Pusat-nya

A.Naibaho/17


6/19

dybdAdAA yIx ...2

2/

2/

32/

2/

2

.

3

1...

h

h

h

h

x yyI

bdyb

88

.

3

1

22

..

3

13333

hhI b

hhb

x

hI bx3

..12

1Ix terhadap titik pusatnya


3. Ix EMPAT PERSEGI

thdp Ttk.Pusat-nya

A.Naibaho/18


7/19

A

h h

dyh

bybydyh

byhydAyIx0 0

3222 ).()(.

dyh

byhdA

h

byhphyhbp

.)(

).(:)(:

43

0

43

..43.4.3 hh

b

h

b

yh

b

y

b

Ix

h

333

12

1

12

3

12

4bh

bhbhIx

Ix terhadap alasnya !!


4. Ix SEGITIGA

thdp Alas-nya

Lihat skets :

A.Naibaho/19


8/19

dyh

byh

dA

hbyhphyhbp

.

.

3

2

.:)3

2(: 32

A

dAyIx 2

h

h

h

h

h

by dyybdyh

yhbyIx

32

31

32

31

32

3

232

2...


5. Ix SEGITIGA

thdp Ttk Pusat-nya

Lihat skets :

A.Naibaho/20


9/19

3

3

33

33

36

1

.78732

2187

78732

3645

78732

5832

324

15

243

18

bhIx

bhbhbh

bhbhIx

Ix Segitiga terhadap T.B-nya !!

h

hbhb

h

hbhb

h

bybyIx

h

h 4

)(

3

)(

4

)(

3

)(

43

4

313

31

324

323

32

3243

32

3

2

3

1

33

33

81

1.

4

1

27

1.

9

2324

16.

4

1

27

8..

9

2

hbhbhbhb

Ix

3333

324

1

324

2

324

16

243

16bhbhbhbhIx

A.Naibaho/21


10/19

Mencari Ix dan Iy dgn Teori Sumbu Sejajar:

Y

X

yo

xo

dA

A

y

x

y +y

x + x

x

y

Momen Inersia Sb Xo = Ixo

Momen Inersia Sb Yo = Iyo

dAxIydandAyIxA

o

A

o ..22

Maka : dAyyIxA

.2

dAyyyyIxA

..222

A AA

dAydAyydAyIx .)(..2. 22

J a d i :

2. yAIxIx o

2

. xAIyIy o Dan

Statis momen A thdp Xo = 0

A.Naibaho/22


11/19

Momen Inersia Bentuk Geomaetrik Umum

A.Naibaho/23


12/19

Sumbu-SUMBU UTAMA & M.Inersia UTAMAArtinya ; Sepasang sumbu yang memberikan nilai M.Inersia yg Utama.

Apabila M.Inersia dihitung thdp sb Utama, maka harganya merupakanharga yg Ekstrim (maks atau Minimum) dan disebut,MOMEN INERSIA UTAMA.

SifatsifatSumbu UTAMA :

Sb.Utama s aling tegak lurus satu sama lainnya.Setiap sb. Simetris merupakan sb. Utama.

Y=V

c

Y=V

X =U c

Y=V

X =U c

Y=V

X =U c

Gbr di atas ini : Sb.x-y dan Sb u-v Merupakan sb.Utama A.Naibaho/24


13/19

Bagaimana Kalau SIKU ?:

y

x

Untuk SIKU :

Sb.x-y bukan Sb. UtamaTetapi, Sb u-v adalah Sb.Utama

dlm hal ini , =450 pada penamp. Siku saja.

uv

PENURUNAN RUMUS....??

A.Naibaho/25


14/19

Penurunan Rumus

sinyxCosu

sinxyCosv

Sumbu Utama :Amati skets :

ydAxIxy

dAxIydandAyIx

.

22

Produk momen Inersia

Untuk mencari besaran-besaran terhadap sb U dan V

Maka dapat kita masukkan harga-harga u dan v ke

dalam rumus di samping :

Besaran-besaran terhadap sbx dan sumbu y

A.Naibaho/26


15/19

2sinsin..

.2sinsin

).sin.2sin(

)(

22

2222

2222

222

2

IxyIyCosIxIu

ydAxdAxdAyCosIu

dACosxyxCosyIu

dACosyIu

dAvIu

Dengan cara yang sama di dapat

222 ... SinIxySinIxCosIyIv

)22()(sin)(sin 2222 SinSinIxyCosIyCosIxIvIu

IyIxIvIu Kontrol :

2

21212

2

21122

22

22

CosSinSinCos

CosCosCosCos

Ingat Rumus:

A.Naibaho/27


16/19

Selanjutnya :

2222

22

2

22

2

2

2)2

21()

2

21(

IxySinCosIyIxIyIx

Iu

IxySin

IyCosIyIxCosIx

Iu

IxySinCos

IyCos

IxIu

Secara Analog di dapat juga :

2222

IxySinCosIyIxIyIx

Iv

A.Naibaho/28


17/19

Momen Inersia Iuv =..??

22sin2

2

2

2

2

2

2

2sin

2

2)(.

)..(

))((..

2222

2222

IxySinAIyIx

Iuv

Ix

Sin

Iy

Sin

IxyCos

dAydAxSin

dASinCosyx

dAYSinXCosSinyCosSinxyCosx

dAxSinyCosySinxCosdAvuIuv

Selanjutnya - Momen Inersia utama dicari dari :

2

2

022

0

IyIx

Ixytg

IxyCosSinIyIx

d

dIv

2

2

0222

0

IyIx

Ixytg

IxyCosSinIyIx

d

dIu

A.Naibaho/29


18/19

Jadi sudut yang memberikan

nilai/harga

Inersia utama adalah sudut dimana : )(

22

IyIx

Ixytg

p

IxySindan

pCos

IyIx

22 2

Maka didapat Rumus :

22

22

2

22

2

.2.22

2222

IxyIyIxIyIx

Iext

p

IxyIyIxIext

P

IxyIxy

p

IyIxIyIxIyIx

Iextrem

IxySinCosIyIxIyIxIu

IyIx

A.Naibaho/30


19/19

Dengan Catatan :1. Harga Ixy dapat bernilai = + atau

2. Jika salah satu sb atau keduanya sb simetris, maka Ixy=0

Produk Inersia :

ydAxIxy .

A.Naibaho/31

bab'2a -momen inersia

Documents