bab-2 momen inersia

8/15/2019 Bab-2 Momen Inersia

1/21

BAB II

MOMEN INERSIA BIDANG DATAR

1. Pendahuluan

Momen inersia dapat disebut juga Momen Kedua atau Momen Kelembaman. Datamomen inersia suatu penampang dari komponen struktur akan diperlukan pada

perhitungan-perhitungan tegangan lentur, tegangan geser, tegangan torsi, defleksi balok,

kekakuan balok/kolom dan sebagainya. Luasan A pada gambar 2.. merupakan bidangdatar yang menggambarkan penampang dari suatu komponen struktur, dengan dA

merupakan suatu luasan/elemen ke!il.

y

A

" dA

r

y

"

#

$ambar 2.. %otongan %enampang

&e!ara metematis momen inersia ditentukan dengan persamaan-persamaan berikut'

Momen (nersia terhadap sumbu "'

(" ) ∫ y2 dA *2.+

Momen (nersia terhadap sumbu y'

(y ) ∫ "2 dA *2.2+

Momen (nersia kutub'

( p ) ∫ r 2 dA *2.+

Momen (nersia %erkalian *%rodu!t of (nertia+'

("y ) ∫ "y dA *2.+

Momen inersia pada %ersamaan 2., %ersamaan 2.2, dan %ersamaan 2. selalu bertanda positip, sedangkan momen inersia perkalian pada %ersamaan 2. dapat bertanda negatip.


2/21

Momen inersia pada keempat persamaan diatas penggunaannya terbatas pada momen

inersia bidang tunggal, sedangkan se!ara umum banyak bidang/penampang merupakan

gabungan dari beberapa penampang tunggal. Misalnya penampang yang berbentuk Ladalah gabungan dari dua penampang segi empat. ntuk menyelesaikan momen inersia

pada penampang gabungan diperlukan pengembangan dari %ersamaan 2., 2.2, 2., dan

2.. yang disebut dengan 0eori &umbu &ejajar.

2. Teori Sumbu Sejajar

Y yo

dA "1 "

r y"o

A #

r1 # ) titik berat luasan A

y1

$ambar 2.2. %enampang dengan &umbu 0ransformasiMomen inersia terhadap sumbu "'

(" ) ( )∫ + dA y y 23

(" ) ∫ ∫ ∫ ++ dA ydA yydA y 22 332

(" ) ∫ ∫ ∫ ++ dA y ydA ydA y 22 332

&umbu "o melalui titik berat bidang A, maka ∫ = ydA , sehingga'

(" ) ("o 4 Ay12 *2.5+

Momen inersia terhadap sumbu y'

(y ) ( )∫ + dA x x 23

(y ) ∫ ∫ ∫ ++ dA xdA xxdA x 22 332

(y ) ∫ ∫ ∫ ++ dA x xdA xdA x 22

332

&umbu yo melalui titik berat bidang A, maka ∫ = xdA , sehingga'

(y ) (yo 4 A"12 *2.6+

Momen inersia polar'


3/21

( p ) ( ) ( )∫ +++ dA y y x x .33 22

( p ) [ ]∫ +++++ dA y yy y x xx x .332332 2222

( p ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫ +++++ ydA y xdA xdA y xdA y x 323233 2222

&umbu "o dan sumbu yo melalui titik berat luasan A, maka ∫ xdA ) dan ∫ ydA)

&ehingga'( p ) ( p

o 4 Ar12 *2.7+

Momen inersia perkalian'

("y ) ( )( )∫ ++ dA y y x x 33

("y ) ∫ ∫ ∫ ∫ +++ dA y x ydA x xdA y xydA 3333

&umbu "o dan sumbu yo melalui titik berat luasan A, maka ∫ xdA ) dan ∫ ydA ) &ehingga'

("y ) ("yo 4 A"1y1 *2.8+

. !on"oh#!on"oh

9ontoh 2.

:itunglah momen inersia *(", (y, ( p, ("y + penampang segi empat dengan lebar b dan tinggi

h terhadap sumbu " dan sumbu y yang melalui titik berat penampang

y

dyy

h "

b

2

%enyelesaian'

dA ) bdy


4/21

(" ) ∫ y2dA

("o ) ∫

−

h

h

2

2

y2 bdy

("o ) b [ ]

h

h y

2

2

,,

−

("o ) b

,

8

,

,

8

, .. hh +

("o )

2

bh

Dengan !ara yang sama dapat dihitung (yo, dengan dA ) h d", sehingga dapat diperoleh

(yo ) hb2

Momen (nersia polar, (po ) ∫ dAr 2

) ( )∫ +=+ x y I I dA y x 22 ) 2 *bh 4 bh+

Menghitung momen inersia perkalian ("y'

y

dy

h y

"

b

("y ) ∫ xydA

("y ) ∫ h

bybdy

2

("y ) ∫ h

ydyb

22

("y ) [ ] h

yb

22

22


5/21

("y ) ; b2h2

ntuk menghitung ("yo gunakan rumus 2.8.

("y ) ("yo 4 A"1y1

; b2h2 ) ("yo 4 bh.


6/21

("o ) ∫

−

−

h

h

yh

bby,

2

,

,2,

2 +* dy

("o ) [ ]

h

h yhb yb

,2

,

--

,,,2 ..

−−

("o )

-

8

-

,

27

,

,2

-

86

-

,

278

,

,2 ........ h

hbhbh

hbhb −−−−

("o ) ( ) ( ),,2-,2-,2,,2-6,2-,6 bhbhbhbh −−−−

("o ) ( ),,2-5,2-,8 bhbh −

("o

)

6

bh

Dengan !ara yang sama dapat dihitung (y, dengan dA ) h1 d", sehingga dapat diperoleh

(yo ) hb6

Momen (nersia polar, (po ) ∫ dAr 2

) ( )∫ +=+ x y I I dA y x 22 ) 6 *bh 4 bh+

y

dA

hh1

"

" d"

b

h1' h ) *b-"+ ' b

5

h1 )b

xbh +* −


7/21

("y ) ∫ xydA

("y ) ∫ −−b

dx xbb

h xbb

h x

2 +*+*

("y )

∫ −

b

dx xb

b

h x

2

2

2

2 +*

("y ) ∫ +−b

xbx xbb

h

22

2

2

+2*2

dx

("y ) ∫ +−b

dxb

xh

b

xh xh

2

2222

+22

*

("y )

b

xb

h xh

b xh

-

2

2222

-

8

+−

("y )22

822

,22

- hbhbhb +−

("y )22

2- hb

("y ) ("yo 4 A"1y1

222-

hb ) ("yo

4 hbbh ,,2 ..

("yo )

2272

hb−

Momen (nersia perkalian segitiga pada gambar diatas, ("yo )

2272

hb−

9ontoh 2.:itunglah momen inersia *(", (y, ( p, ("y + penampang lingkaran dengan jari-jari r terhadap

sumbu " dan sumbu y yang melalui titik berat penampang y

dρ dA

ρ

dθ

θ "

6%enyelesaian'

dA ) ρdθ dρ

(" ) ∫ dA y2


8/21


9/21

(" ) ∫ dA y2

(" ) θ ρ θρ ρ π

d d

r

..sin

22∫ ∫

(" ) θ ρ θ ρ π

d d

r

..sin

2

∫ ∫

(" ) ∫ π

θ θ ρ 6

2

--

.sin d

r

(" ) ∫ −π

θ θ

2

2-

- +2!os* d r

(" ) [ ]π

θ θ

-

2-

- 2sin−r

(" ) +*+* 2-

- −−−π r

(" )-

8 r π

&elanjutnya dengan %ersamaan 2.5. dapat dihitung ("o sebagai berikut'

(" ) ("o 4 Ay12

-8

r π ) ("o 42

22

-

π π

r r

("o )

-8

r π -2

22

-

π π

r r

("o ) -8 r π -

π =8

-

r

("o )

−

28-

=

8

π π r

Momen inersia terhadap sumbu y'

(y ) ∫ dA x2

8

(yo ) θ ρ ρ θ ρ π

d d

r

...!os2

2

∫ ∫

(yo ) θ ρ θ ρ

π

d d

r

..!os

2∫ ∫

(yo ) ∫

π

θ θ ρ 6

2

--

.!os d

r


10/21

(yo ) ∫ +

π

θ θ

2

2-

- +2!os* d r

(yo ) [ ]

π

θ θ

-

2-

- 2sin+r

(yo

) +>*+?* 2-

-

+−+π

r

(yo )

-8

r π

( po ) ("

o 4 (yo

( po )

−

28-

=

8

π π r 4 8

πr

( po )

−

2--

=

8

π π r

Karena sumbu y merupakan sumbu simetris, maka ("yo )

@angkuman momen inersia penampang sederhana *umum+ yang telah dibahas diatasdapat dilihat pada 0abel 2.. Momen inersia ini dapat dipakai untuk menyelesaikan

momen inersia penampang gabungan *komposit+.

=0abel 2.. Momen (nersia idang Datar %enampang mum

segiempat

B

h "

(" )

2 bh

(y ) hb

2


11/21

#

( p ) +*,,

2 hbbh +

("y )

segitiga

y

b/

h

h/ # "

b

(" )

6 bh

(y ) hb

6

( p ) +*,,

,6 hbbh +

("y )22

72 hb−

lingkaran

y

D ) 2r " #

(" )-

- r π

(y )-

- r π

( p )-

2 r π

("y )

setengah lingkaran

B

r/π # y

2 r

(" )

−

28-

=

8

π π r

(y )-

8 r π

( p )

−

2--

=

8

π π r

("y )

2

$. !on"oh %oal &enam&an' (om&o%i"

9ontoh 2.5.:itunglah momen inersia *(", (y, ( p, ("y + penampang baja siku terhadap sumbu " dansumbu y yang melalui titik berat penampang

2,7 mm


12/21

52 mm

2,7 mm

2 mm

%enyelesaian

. :itung posisi titik berat penampang, untuk ini sudah dihitung pada !ontoh ..2. $ambarkan salib sumbu " dan sumbu y pada titik berat penampang sebagai berikut'

y

2,7 mm

52 mm "

# 2,7 mm5,22 mm

2

2 mm

25,22 mm

. agi penampang menjadi bidang dan bidang 2 seperti pada gambar . :itung momem inersia terhadap sumbu " sebagai berikut'

(" ) ("o 4 Ay12

(" )2

22

2 +5,622,5.*7,2.,8=7,2.,8=.+22,576.*52.7,252.7,2. −++−+

2

(" ) 7666,67 4 282=6,55 4 52,8 4 28268,=8 ) 7=758,8 mm

5. :itung momen inersia terhadap sumbu y sebagai berikut'

(y ) (yo 4 A"12

(y )2

22

2 +22,255,57.*7,2.,8=7,2.,8=.+5,622,25.*52.7,252.7,2. −++−+(y ) 25=6,85 4 6877,88 4 75662, 4 778,62 ) 26776,= mm

6. :itung momen inersia polar sebagai berikut'( p ) (" 4 (y

( p ) 7=758,8 4 26776,= ) =85,=6 mm


13/21

7. :itung momen inersia perkalian sebagai berikut'

Menghitung momen inersia perkalian, perhatikan "anda jara( , jarak dapat bertanda

negatip sesuai dengan posisinya pada salib sumbu. :al ini berbeda dengan perhitungan(" dan (y yang mana jarak dipangkatduakan sehingga tetap bertanda positip.

("y ) ("yo 4 A"1y1

("y ) 4 2,7. 52. ?-*25,22- 6,5+.*76- 5,22+>4 4 8=,.2.7.*57,5-25,22+?-*5,22-6,5+>

) - ==78,=85 - 5=8576,=25

) - 257655,= mm

9ontoh 2.6.

:itunglah momen inersia *(", (y, ( p, ("y + penampang tergambar terhadap sumbu " dansumbu y yang melalui titik berat penampang

25 mm

225 mm

25 mm 5 mm 25 mm

%enyelesaian. :itung posisi titik berat penampang, untuk ini sudah dihitung pada !ontoh .5.

2. $ambarkan salib sumbu " dan sumbu y pada titik berat penampang sebagai berikut'

22

y

25 mm

==,

"2 2

225 mm

5,=6


14/21

25 mm 5 mm 25 mm

. agi penampang menjadi bagian yaitu bidang dan 2 bagian bidang 2 seperti pada

gambar

. :itung momem inersia terhadap sumbu " sebagai berikut'

(" ) ("o 4 Ay12

(" )2

2 5-,86.25.225.2. + ) 77627,67 mm

("2 )2

2 -6,8.225.25.2225.25..2 + ) 668, mm 4

(" ) 878=2,67 mm

5. :itung momen inersia terhadap sumbu y sebagai berikut'

(y ) (yo 4 A"12 (y ) 25.2.

2

+ ) 6666666,67 mm

(y2 )2

2 5,87.225.25.2225.25..2 + ) 867875, mm

(y ) 856,67 mm

6. :itung momen inersia polar sebagai berikut'( p ) (" 4 (y

( p ) 878=2,67 4 856,67 ) 25==, mm

7. :itung momen inersia perkalian sebagai berikut'

("y ) ("yo

4 A"1y1("y ) 4 )

("y2 ) 25.225.*- 87,5+*- 8,6+ 4 25.225.*87,5+*- 8,6+ ) ("y ) ("y 4 ("y2 )

Momen inersia perkalian akan bernilai apabila salah satu sumbu yang melalui titik berat penampang adalah sumbu simetri.

2

9ontoh 2.7.%enampang seperti tergambar dibaCah, # adalah titik berat penampang. :itung a supaya

(" ) (y

y

mm

" 2 mm

#


15/21

mm 2 a 2 mm

%enyelesaian

(" ) * 2 .2. 4 2. . 52 + 4 2. 2

.. 22

(" ) 52=6 4 776666,67 ) 776666,67 mm

(y ) ? 2 ..2 4 .2 *7 4 2

a+2> 4 2. 2 ..22 4 2..22 *54 2

a+2

(y ) ? 4 2 *= 4 7a 4 ,25 a2+> 4 6666,67 4 *25 45a 4 ,25 a2+

(y ) 576 4 252 4 6a 4 2 a2 4 6666,67 4 4 22a 4 a2

(y ) 2 a2 4 58a 4 2=26666,67

(" ) (y776666,67 ) 2 a2 4 58a 4 2=26666,67

2 a2 4 58a 28 )

a2 4 55,65 a 7=7,8 )

a2 )2

8,7=-7.-65,5565,55 2 +±−

a )2

86,=65,55 +− ) 77,5 mm

Maka nilai a ) 77,5 mm

2

&oal-soal'

. 0entukan (", (y, ("y bidang trapeEium berikut ini'

5 mm

2 mm


16/21

= mm

2. 0entukan (", (y, ("y bidang kombinasi segi empat dengan setengah lingkaran

berikut ini

6 mm

6 mm

2 mm

. 0entukan (", (y, ("y bidang berikut ini

mm 8 mm mm

2 mm

25

). Sumbu *"ama dan Momen Iner%ia *"ama

&umbu utama adalah sumbu yang saling tegak lurus dan akan memberikan momen

inersia, ( maksimum dan ( minimum pada suatu penampang. %ada komponen struktur yang mengalami gaya aksial/normal tekan maka ke!enderungannya batang akan tertekuk

terhadap sumbu dengan momen inersia yang paling lemah *minimum+. Dengan

demikian penentuan sumbu utama dan momen inersia utama menjadi penting.

y

y1

y sin θ

" dA

"1


17/21

y !os θ y1

y "1

θ " !os θ

" sin θ θ "

$ambar 2.. &umbu tama

&umbu " dan sumbu y diputar sehingga menjadi sumbu "1 dan dan sumbu y1 dengan

sudut putar sebesar θ. Dengan demikian dapat diperoleh hubungan sebagai berikut'

"1 ) " !os θ 4 y sin θ

y1 ) y !os θ - " sin θ

("1 ) ∫ dA y 23

("1 ) ∫ − dA x y 2

+sin!os* θ θ

("1 ) (" !os2θ 4 (y sin

2θ - 2 ("y sinθ !osθ

(y1 ) ∫ dA x 23

(y1 ) ∫ + dA y x 2+sin!os* θ θ (y1 ) (y !os

2θ 4 (" sin2θ 4 2 ("y sinθ !osθ

("1y1 ) ∫ dA y x 33

("1y1 ) ∫ *" !os θ 4 y sin θ+*y !os θ - " sin θ+ dA("1y1 ) *(" (y+ sin θ !os θ 4 ("y *!os

2θ - sin2θ+

26

9atatan'

sin 2θ ) 2 sinθ !osθ

!os 2θ ) !os2θ - sin2θ

!os2θ ) 2 4 2

!os 2θ

sin2θ ) 2 - 2

!os 2θ

("1 ) (" * 2

4 2

!os 2θ+ 4 (y * 2

- 2

!os 2θ+ - ("y sin2θ("1 ) 2

(" 4 2 (" !os 2θ 4 2

(y - 2 (y !os 2θ - ("y sin2θ

("1 ) θ θ 2sin2!os22

xy

y x y x I

I I I I −

−+

+*2.=+

Dengan !ara yang sama dapat ditentukan (y1 dan ("1y1 sebagai berikut'


18/21

(y1 ) θ θ 2sin2!os22

xy

y x y x I

I I I I +

−−

+*2.+

("1y1 ) θ θ 2!os2sin2

xy

y x I

I I +

−*2.+

Dari %ersamaan 2.=.

("1 - θ θ 2sin2!os22

xy

y x y x I

I I I I −

−=

−*2.2+

%ersamaan 2. dan %ersamaan 2.2 masing-masing dikuadratkan kemudia dijumlahkan

sehingga diperoleh'

2

2

2

33

2

322

xy

y x

y x

y x

x I I I

I I I

I +

−=+

+− *2.+

%ersamaan 2. adalah persamaan lingkaran dengan bentuk *"-a+2 4 y2 ) r 2

("1y1

r

("1

# F 9 M

a

$ambar 2.. Lingkaran dengan &alib &umbu ("1 dan &umbu ("y127

Dari $ambar 2.. diatas dapat ditentukan Momen inersia maksimum dan momen inersiaminimum

(maks ) #M ) #9 49M

(min ) #F ) #9 9M

&ehingga'

2

2

22 xy

y x y x

maks I I I I I

I +

−+

+=

2

2

min22 xy

y x y x I

I I I I I +

−−

+=


19/21

%ada saat terjadi (maks dan (min maka ("1y1 ) , sehingga dari %ersamaan 2. diperoleh'

2!os2sin2

=+−

θ θ xy y x

I I I

y x

xy

I I

I tg

−−=

22θ

9ontoh 2.8.

%enampang seperti tergambar,. 0entukan (", (y, ("y terhadap sumbu " dan sumbu y yang melalui titik berat

penampang

2. 0entukan sumbu utama dan momen inersia utama

y

mm

" mm

mm

6 mm mm 6 mm

28%enyelesaian'

(" ) 2 .6. 4 6..552 4 2

..2 4 2.. 2 4 2 .6. 4 6..*-55+2

(" ) 5,8.6 mm

(y ) 2 ..6 4 6..*-5+2 4 2

.2. 4 2..2 4 2 ..6 4 .6.52

(y ) ,8. 6 mm

("y ) 6..*55+*-5+ 4 2..*+*+ 4 6..*-55+*5+

("y ) -2,. 6 mm

Momen inersia utama'

2

2

22 xy

y x y x

maks I I I I I

I +

−+

+=


20/21

( ) 262

6666

.,22

.8-,.8,5

2

.8-,.8,5−+

−+

+=maks I

I maks ) 6,28. 6 mm

2

2

min22 xy

y x y x I

I I I I I +

−−

+=

( ) 262

6666

.,22

.8-,.8,5

2

.8-,.8,5−+

−−

+=maks I

I min ) ,6=. 6 mm

&umbu tama

y x

xy

I I

I tg

−

−=2

2θ

-25=,.8-,.8,5

+.,2*22

66

6

=−

−−=θ tg

θ ) 27,8° *berlaCanan jarum jam+

2=

sumbu min y

sumbu maks

27,8° "


21/21

bab-2 momen inersia

Documents