YUNITA WULAN SARI, S.SI, M.SC

Statistika

Materi Kuliah

PendahuluanData dan PengumpulannyaNotasi dan SimbolPeringkasan DataPenyajian DataAnalisis DataPeluang/ProbabilitasVariabel Random Distribusi PeluangStatistika Inferensi

Buku Penunjang

Soejoeti, Z. (1984). Buku Materi Pokok Metode Statistik I, Universitas Terbuka, Penerbit Karunika, Jakarta.

Gunardi, A. Rakhman (2004). Metode Statistika, FMIPA UGM, Yogyakarta.

Penilaian

No Unsur Penilaian Prosentase1. Ujian Akhir …..2. Sisipan …..3. Tugas/PR /Kuis …..4. Absensi …..

Pendahuluan

Definisi Statistika:

Data

Penghasilan mingguan 40 buruh bangunan di suatu kota

(dalam ribuan rupiah):

58 72 64 65 67 92 55 51 69 7364 59 65 55 75 56 89 60 84 6874 67 55 68 74 43 67 71 72 6662 63 83 64 51 63 49 78 65 75

Data ???

Jenis Data

Berdasarkan cara memperolehnya :Data PrimerData sekunder

Skala Pengukuran :

Data

Kualita

ti

f

Data

Kuantitat

if

Notasi dan Simbol

Notasi-notasi sigma

Peringkasan Data

Peringkasan Data

Tabel distribusi frekuensiCara membuat :

Jangkauan = j = data terbesar – data terkecil

Aturan sturges = jumlah interval = k = 1 + 3,3 log n

Panjang interval = c = j/kCross Tabulation

Penghasilan mingguan 40 buruh bangunan di suatu kota

(dalam ribuan rupiah):

58 72 64 65 67 92 55 51 69 7364 59 65 55 75 56 89 60 84 6874 67 55 68 74 43 67 71 72 6662 63 83 64 51 63 49 78 65 75

Tugas :

Buatlah tabel distribusi frekuensinya !!

Penyajian Data

Diagram Batang (bar chart)Representasi grafik dari distribusi frekuensi

data diskret atau kategori.

Diagram Lingkaran (Pie chart)Representasi grafik dari distribusi frekuensi

data diskret atau kategori.

Contoh diagram batang

Contoh diagram Lingkaran

Histogram, line chart, poligon, ogive, steam and leaf plotRepresentasi grafik dari distribusi frekuensi data kontinu.

Contoh Histogram

Contoh Poligon

Contoh Ogive

Steam and leaf plot

Tugas 2:

Berdasarkan data di samping buatlah penyajian datanya agar menarik dan mudah dimengerti oleh orang lain !!

Analisis Data

Ukuran tengah / pusat dataMeanmedianModus

Ukuran dispersi / sebaran dataRentangVariansistandard deviasi

Mean

Data tidak dikelompokkan

Data dikelompokkan

1

n

ii

xx

n

1

1

k

i iik

ii

f xx

f

Median

Data tidak dikelompokkanmerupakan nilai tengah data setelah diurutkan

Data dikelompokkan

2med

med

n Fmedian L c

f

11

41 KK

n FKuartil L c

f

33

3 43 KK

n FKuartil L c

f

Modus

Data tidak dikelompokkandata dengan frekuensi terbesar

Data dikelompokkan

modmodusa

L ca b

Variansi

Data tidak dikelompokkan

Data dikelompokkan

2

1

( )

1

n

ii

x xVar

n

2

1

1

( )

1

k

i ii

k

ii

f x xVar

f

Deviasi standar

std Var

Tugas 3

Berdasarkan jawaban dari tugas 2, cari ukuran tengah dan ukuran dispersi data !!

Peluang ??Kenapa sih harus belajar tentang peluang???

Peluang

Harga angka yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa akan terjadi.

0 1

Mungkin ya mungkin

tidak

Tidak mungkin

Pasti

Sangat tidak

mungkin

Sangat mungki

n

Terminologi

EksperimenRuang sampelKejadian

Contoh :

Eksperimen : pelemparan sebuah mata uang sebanyak dua kali.

Hasil : sisi mata uang yang tampak.Ruang sampel : S = {GA, AG, AA, GG}.Kejadian : A = munculnya sisi angka dua

kali = {AA}

Contoh :

Eksperimen : sebuah biji kedelai ditanam.Hasil : biji kedelai tumbuhRuang sampel : S = {0,1}Kejadian : A = biji kedelai tidak tumbuh

= {0}

Contoh :

Eksperimen : Pemilihan seorang mahasiswa secara random dan dicatat IPnya

Hasil : Bilangan antara 0 sampai dengan 4Ruang sampel : S = {0 ≤ X ≤ 4 | X ∈ R}Kejadian : A = IP di atas 2

= {2 ≤ X ≤ 4 | X ∈ R} B = IP di bawah 1 = {0 ≤ X ≤ 1 | X ∈ R}

Contoh :

Eksperimen : sebuah dadu dilemparHasil :Ruang sampel :

Pendekatan peluang

( )( )

( )

n AP A

n S ( )

( )( ) lim

( )n S

n AP A

n S

Contoh peluang berdasarkan definisi klasik

Sebuah dadu dilempar sekali. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan n(S) = 6. Misal didefinisikan A : muncul mata dadu 3 dan B : muncul mata dadu bilangan prima. A = {3} dan n(A) = 1 ; B = {2, 3, 5} dan n(B) = 3 maka

( ) 1( )

( ) 6

n AP A

n S

( ) 3 1( )

( ) 6 2

n BP B

n S

Contoh : Peluang suatu peristiwa ditentukan berdasarkan frekuensi kemunculannya

Seorang ahli tanaman ingin tahu berapa peluang tanaman yang dicangkoknya akan hidup setelah pencangkokan.Peluang hidup atau mati tanaman diperoleh dari pengalaman atau catatan pencangkokan tanaman yang sama sebelumnya dengan melihat frekuensi tanaman yang hidup atau mati.

Contoh : peluang subjektif

Peluang Mega – Pro menjadi presiden dan wakil presiden RI

Peluang Tim sepak bola Indonesia mengalahkan MU.

Kerjakan !!!

Suatu stoples berisi 3 kelereng dengan warna yang berbeda, 2 berwarna merah dan 1 berwarna kuning. Kemudian dua kelereng diambil satu persatu. Berapa peluang yang terambil adalah kelereng merah semua?

Peristiwa-peristiwa baru

Gabungan dua peristiwa A dan B

Irisan dua peristiwa A dan B

Komplemen suatu peristiwa A

{ , atau }A B x S x A x B

{ , dan }A B x S x A x B

{ , }cA x S x A

Contoh :

Dalam pelemparan satu buah dadu satu kali.Misal : A={1,2} , B={4,3,5}, dan C={2,6}Tentukan :

, , , , , ,c c cA B A B A C A C B C B C

Contoh :

Y menunjukkan IPK seorang mahasiswaMisal :

Tentukan :

1,45 2,00 , 1,50 2,01 , dan 1,90A Y B Y R Y

, , ,c cA B A B R B R

Kejadian saling asing apabila dua kejadian tidak mungkin terjadi secara bersamaan

Contoh : dalam pengambilan satu kartu. Kartu bergambar hati dan kartu bergambar diamond tidak mungkin diambil bersamaan.

A B

Kejadian saling independen apabila kejadian satu tidak dipengaruhi oleh kejadian lainnya

Contoh suatu mata uang dilempar sekali, kemunculan angka tidak dipengaruhi oleh kemunculan sebelumnya.

( ) ( )P A B P A P B

Beberapa ketentuan :

0 ≤ P(A) ≤ 1P(S) = 1 (peluang dari ruang sampel)P( ) = 0 (peluang dari peristiwa yang tidak akan ∅

pernahterjadi)P(A) = 1 − P(Ac) (aturan komplemen)P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B) (aturan penjumlahan)Bila A dan B adalah kejadian yang saling asing,A ∩ B

= , maka P(A ∪ B) = P(A) + P(B)∅P(B) = P(A ∩ B) + P(Ac ∩ B)

A ∩ B dan Ac ∩ B saling asing

Contoh :

Dalam pelemparan satu buah dadu satu kali.Misal : A={1,2} , B={4,3,5}, dan C={2,6}Tentukan :

, ,

, , ,c c c

P A B P A B P A C

P A C P B P C P B C

Peluang Bersyarat

Diketahui A dan B dua peristiwa dari ruang sampel S, dan P(B) > 0, maka peluang bersyarat terjadinya A jika diketahui B telah terjadi, ditulis P(A | B), didefinisikan sebagai

P A BP A B

P B

Contoh :

Sepasang dadu dilempar bersama jika diketahui jumlah keduamata dadu yang keluar adalah 6, hitunglah peluang bahwa satu diantara dua dadu tersebut adalah mata dadu 2.B = {jumlahan mata dadu adalah 6} = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)} danA = {mata dadu 2 muncul dari salah satu dadu} = {(2, 4), (4, 2)}

2

36

n A BP A B

n S

( ) 5

( ) 36

n BP B

n S

2

5P A B

Kerjakan !!!

Peluang suatu penerbangan yang telah terjadwal teratur berangkat tepat waktu adalah P(A) = 0,83; peluang sampai tepat waktu adalah P(B) = 0,82; peluang berangkat dan sampai tepat waktu adalah P(A ∩ B) = 0,78.

Peluang bahwa suatu pesawat sampai tepat waktu jika diketahui berangkat tepat waktu adalah

Peluang bahwa suatu pesawat berangkat tepat waktu jika diketahui sampai tempat waktu adalah

Variabel Random

Variabel random adalah suatu cara memberi harga angka kepada setiap elemen ruang sampel, atau suatu fungsi bernilai real yang harganya ditentukan oleh setiap elemen dalam ruang sampel

Contoh:Eksperimen melemparkan uang logam tiga kali,

S = {BBB, BBM, BMB, MBB, BMM, MBM, MMB, MMM}. Didefinisikan variabel random X : banyak M (muka) muncul dalam pelemparan uang logam tiga kali.

Jenis Variabel Random

Contoh variabel random diskrit :

Eksperimen : sebuah mata uang dilempar 3 kali

Ruang sampel diskrit : S = {AAA, AAG, …., GGG}

Variabel random diskrit : X menyatakan banyak G yang muncul dalam tiga kali pelemparan mata uang.

X = {0,1,2,3}X(0)=1, X(1)=3, X(2)=3, X(3)=1

Contoh Variabel Random Kontinu

Pencatatan IPK mahasiswaMisal : Variabel random kontinu X menyatakan

IPK lulusan FTP, maka

2,75 4X x R x

Distribusi Peluang

Model matematik yang menghubungkan semua nilai variabel random dengan peluang terjadinya nilai tersebut dalam ruang sampel. Distribusi peluangdapat direpresentasikan dalam bentuk fungsi, tabel, atau grafik. Distribusi peluang dapat dianggap sebagaifrekuensi relatif jangka panjang.

Distribusi Peluang Variabel Random Diskrit

Fungsi f(x) disebut sebagai fungsi peluang dari variabel random diskret X, jika untuk setiap harga x yang mungkin :

1. f(x) ≥ 02.

Peluang untuk nilai x tertentu:P(X = x) = f(x)

Distribusi kumulatif F(x)F(x) = P(X ≤ x) =

t x

f t

( ) 1x

f x

Contoh :

Distribusi banyaknya sisi muka yang muncul dalam pelemparan mata uang logam tiga kali.

Contoh :

Eksperimen : melemparkan mata uang 2 kali :Variabel random X = jumlah gambar yang

muncul

A

A

A

A

G

G

G G

Nilai X Peluang

0 1/4 = 0.25

1 2/4 = 0.50

2 1/4 = 0.25

Distribusi Peluang

Kerjakan !!!

Tentukan peluang banyaknya sisi muka yang muncul dalam pelemparan mata uang logam tiga kali adalah kurang dari 2 !

Distribusi Peluang Variabel random Kontinu

Fungsi f(x) disebut sebagai fungsi densitas peluang dari variabel random kontinu X, jika untuk setiap harga x yang mungkin :

1. f(x) ≥ 02.

Nilai peluang untuk interval tertentu

Distribusi kumulatif F(x)

( ) 1f x dx

( )b

a

P a X b f x dx

( ) ( )x

F x P X x f t dt

Contoh :

Fungsi densitas suatu variabel random X

Harga Harapan

Harga harapan (expected value, ekspektasi)

Sifat-sifat harga harapan :1. E(aX+b) = aE(X) + b , a dan b adalah konstan2. E(X+Y) = E(X) + E(Y) , X dan Y adalah variabel random

Variansi

Sifat-sifat variansi :1.Var(aX + b) = a2Var(X) , a dan b adalah

konstan2.Standard deviasi (X) =

2

22

( ) ( )Var X E X E X

E X E X

( )Var X

Contoh :

Pada contoh sebelumnya, harga harapan dan variansi pada pelemparan mata uang 2 kali adalah :

E(X) = (0 x 0.25) + (1 x 0.50) + (2 x 0.25) = 1

E(X2) = (02 x 0.25) + (12 x 0.50) + (22 x 0.25) = 1.50Var(X) = 1.50 – 12 = 0.50

Distribusi Peluang Variabel Random

Distribusi Binomial

Merupakan distribusi peluang variabel random diskrit

Syarat :1. percobaan/eksperimen terdiri dari n usaha yang berulang2. tiap usaha memberikan dua hasil yang mungkin, yakni sukses dan gagal3. x menyatakan banyaknya sukses dalam n usaha tersebut4. peluang sukses dalam tiap usaha dinyatakan dengan p, dan tidak berubah sampai usaha ke n. peluang gagal dinyatakan dengan q=1-p

Distribusi peluang binomial dinyatakan dengan

E(X) = npVar(X) = npq

( ) ( ; ; ) , 0,1,2,3,.....,

!

!( )!

x n x

x n x

nP x f x n p p q x n

x

np q

x n x

Contoh :

Suatu uang logam yang baik (seimbang) dilempar 4 kali. X adalah banyaknya muka muncul dalam 4 kali pelemparan tersebut. Pelemparan dipandang sebagai usaha, dan sukses adalah muka muncul. X merupakan variabel random binomial dengan n = 4 dan p = 1/2 dengan distribusi peluang:

44( ) ( ;4;0.5) 0.5 0.5 , 0,1,2,3,4x xP x f x x

x

Contoh (Lanjutan)

Hitung peluang muka muncul sebanyak 2 kaliHitung peluang muka muncul paling sedikit 2

kali

Contoh

Seorang petani jeruk mengeluh karena 60% dari panen jeruknya terserang sejenis virus. Cari peluangnya bahwa diantara 4 buah jeruk yang diperiksa dari hasil panen itu :a.Semua terserang virus tersebutb.Antara 1 sampai 3 yang terserang virus tersebut

Distribusi Poisson

Variabel random Poisson X adalah banyaknya sukses dalam suatu percobaan poisson.

Distribusi peluangnya :

Mean ,

Variansi,

, , 0,1,2,...!

xef x x

x

E X

Var X

Contoh

Suatu printer membuat kesalahan secara random pada kertas cetak, rata-rata 2 kesalahan per halaman. Hitunglah peluang bahwa dalam satu halaman yang dicetak, terdapat satu kesalahan cetak.

Berdasarkan contoh diatas, diketahui bahwa variabel random X adalah banyaknya kesalahan cetak pada suatu halaman.Rata-rata X terjadi dalam 1 halaman Peluang satu salah cetak dalam 1 halaman :

2

2 12

11!

eP x

Pendekatan distribusi poisson untuk dist.binomial

Misalkan X variabel random binomial dengan distribusi peluang . Bila nilai n besar dengan p kecil, maka distribusi binomial dapat didekati menggunakan distribusi poisson dengan .

; ;f x n p

np

Contoh

Peluang seseorang meninggal karena suatu infeksi saluran pernapasan adalah 0,002. Carilah peluang bila 2000 orang yang terserang infeksi tersebut, tepat 5 orang yang meninggal ?

Didefinisikan variabel random X merupakan banyaknya orang yang meninggal karena infeksi pernapasan, maka X berdistribusi binomial dengan n=2000 dan p=0,002. Namun disini karena n besar dan p sangat kecil, maka dapat digunakan pendekatan poisson untuk binomial dengan 2000*0,002 4

Distribusi Normal

Merupakan distribusi peluang variabel random kontinu

Distribusi Normal dengan mean E(X) = μ dan variansi Var(X) = σ2 mempunyai fungsi peluang,

dimana

Kurva Normal

Sifat-sifat : simetris terhadap sumbu vertikal μ memotong sumbu mendatar (sumbu x) secara asimtotis, harga modus (maksimum) dan median terletak pada x = μ, Luas dibawah kurva normal adalah 1

Luasan di bawah kurva normal

Untuk mempermudahnya dapat dihitung dengan menggunakan tabel Normal Standar dengan terlebih dahulu mentransformasikan skala

X ∼ N(μ, σ2) ke Z ∼ N(0, 1),

Distribusi normal standard adalah distribusi normal dengan nilai mean 0 dan variansi 1.

= z

Contoh

Distribusi Normal dengan mean μ = 60 dan deviasi standar σ = 12, hitunglah luas kurva Normal mulai ekor paling kiri (−∞) sampai 76

Contoh (Lanjutan)

Transformasi X ke Z76 60

1.3312

Z

Jadi, luas L atau P(X<73) = 0.5 + 0.4082 = 0.9082

Statistika Inferensi

Permasalahan dalam Peluang :

Dari populasi, berapa peluang terambil bola merah?

Statistika Inferensi

Permasalahan dalam Inferensi :

Dari sampel, bagaimana karakteristik populasi berdasarkan sampel?

Terminologi

Statistika Inferensi :Pengambilan kesimpulan tentang parameter-parameter populasi berdasarkan analisis pada sampel yang diperoleh.

Uji Hipotesis

Hipotesis nol (H0).Hipotesis yang akan diuji oleh suatu prosedur statistik, biasanya berupa suatu pernyataan tidak adanya perbedaan atau tidak adanya hubungan.

Hipotesis alternatif (H1). Hipotesis yang merupakan lawan dari H0,

biasanya berupa pernyataan tentang adanya perbedaan atau adanya hubungan.

Tipe Kesalahan dalam uji Hipotesis

α : peluang terjadinya kesalahan tipe Iβ : peluang terjadinya kesalahan tipe II

Tahap-tahap uji hipotesis

Mean 1 Populasi Normal

Estimasi :Estimasi titik :

Estimasi Interval :Dengan tingkat kepercayaan (1-α)% interval konfidensi untuk mean =

1

n

ii

XX

n

2 2X Z X Z

n n

Uji Hipotesis

Estimasi dan Uji Hipotesis proporsi 1 populasi

Contoh :

Suatu perusahaan alat listrik menghasilkan bola lampu yang umurnya berdistribusi hampir normal dengan rataan 800 jam dan simpangan baku 40 jam. Ujilah hipotesis bahwa μ = 800 jam bila sampel acak 30 bola lampu mempunyai rata-rata umur 788 jam. Gunakan tingkat signifikansi 0,04 .

Suatu sample acak 8 rokok merk tertentu mempunyai rata-rata kadar nikotin 4,2 mg dan simpangan baku 1,4 mg. Apakah ini sesuai dengan pernyataan pabriknya bahwa rata-rata kadar nikotin tidak melebihi 3,5 mg?

Diduga paling sedikit 60% rumah tangga di suatu daerah memiliki pesawat televisi. Kesimpulan apakah yang akan anda ambil bila hanya 110 dalam sampel 200 keluarga yang memiliki televisi? Gunakan tingkat signifikansi 0,04.

Inferensi Variansi 2 Populasi

Estimasi titik perbandingan variansi 2 populasi

Estimasi interval perbandingan variansi 2 populasiDengan tingkat kepercayaan (1-α)% interval konfidensi untuk perbandingan variansi 2 populasi =

2 21 12 22 2

s

s

2 2 2 21 2 1 1

2 2;( 2 1);( 1 1)

2 2 2;( 1 1);( 2 1)2

n nn n

s s sF

F s

Uji hipotesis perbandingan variansi 2 populasi:

Parameter Statistik

Hipotesis alternatif

Daerah kritik

Perbandingan variansi 2 populasi

2122

2122

sF

s

2 21 1 2:H

;( 1 1);( 2 1)2

;( 2 1);( 1 1)2

1n n

n n

F F atau FF

2 21 1 2:H

2 21 1 2:H ;( 1 1);( 2 1)n nF F

;( 2 1);( 1 1)

1

n n

FF

Contoh :

Suatu penelitian diadakan untuk membandingkan lamanya waktu yang diperlukan pria dan wanita merakit sejenis rakitan. Pengalaman lalu menunjukkan bahwa distribusi waktu untuk pria dan wanita hampir normal tapi variansi waktu untuk wanita lebih kecil daripada untuk pria. Suatu sampel acak waktu 11 pria dan 14 wanita menghasilakan data sebagai berikut :

Ujilah hipotesis bahwa ! Gunakan tingkat signifikansi 0,01

Pria wanita

n1 = 11S1 = 6,1

n2 = 14S2 = 5,3

2 21 2

Selisih Mean 2 Populasi

Lanjutan Selisih Mean 2 Populasi

Contoh :

Suatu penelitian diadakan untuk menaksir perbedaan gaji profesor universitas negeri dan swasta di negara bagian Virginia, USA. Sampel acak 100 profesor universitas swasta mempunyai gaji rata-rata $32.000 dalam 9 bulan dengan simpangan baku $1.300. Sampel acak 200 profesor universitas negeri menunjukkan rata-rata gaji $32.900 dengan simpangan baku $1.400. Ujilah hipotesis bahwa selisih rata-rata gaji profesor universitas negeri dan universitas swasta tidak lebih dari $500. Gunakan tingkat signifikansi 0,01

Mean 2 populasi berpasangan

1 2 3

1 2 3

, , ,....,

, , ,....,

, 1, 2,...,

i n

i n

i i i

X X X X X

Y Y Y Y Y

D X Y i n

Contoh :

Dari penelitian Comparison of Sorbid Acid in Country Ham Before and After Storage yang dilakukan di Virginia Polytechnic Institute and State University di tahun 1983, diperoleh data berikut yang menyangkut perbandingan sisa asam sorbat dinyatakan dalam bagian per sejuta, dalam daging Ham segera setelah dicelupkan dalam larutan sorbat dan setelah disimpan selama 60 hari dicatat disamping.Apakah terdapat kenyataan yang cukup pada tingkat signifikansi 0,05 untuk menyatakan bahwa lamanya penyimpanan mempengaruhi konsentrasi sisa asam sorbat?

Potongan

Sisa asam sorbat dalam ham

Sebelum disimpan

Setelah disimpan

12345678

2242704004445906601400680

11696239329437597689576