statistik maxwel 2

8/3/2019 STATISTIK MAXWEL 2

http://slidepdf.com/reader/full/statistik-maxwel-2 1/22

PANAS DAN DISTRIBUSI

MOLEKUL

DISTRIBUSI KECEPATAN

MOLEKUL GAS

121. JUMLAH MOLEKUL BERKECEPATAN KE SATU ARAH

Dengan adanya panas, molekul gas bergerak ke segala arah dan dari pergerakan ini, kita

mencari distribusi kecepatan molekul itu pada arah pergerakan tersebut. Besar kecepatanpergerakan molekul bermacam-macam,demikianjuga arahnya. Denganperantaraan sistem

koordinat, kita dapat menguraikan yektor kecepatan ini ke dalam komponen, ~an seting-kat demi setingkat kita memperhatikan pergerakan dari satu arah hingga seluruh arah.

Pada sistem koordinat kartesius, yektor kecepatan molekul v dapat diuraikan ke

dalam ketiga komponennya masing-masing yx' yy' dan yz' sehingga

y2 = y2 + y2 + y2 (291)y z

Bagi tiap kecepatan terdapat bermacam-macam jumlah molekul, demikian juga bagi

komponen kecepatan itu. Penentuan jumlah molekul bagi tiap kecepatan merupakaripersoalan distribusi kecepatan molekul.

Salah seorang yang mencoba menentukan distribusi kecepatan ini adalah James

Clerk Maxwell, dan hasil penentuannya dikenal sebagai distribusi Maxwell. Di samping

184



Maxwell, pada waktu dulu, terdapat juga distribusi lainnya, namun menurut Boltzmann

bahwa pada dasamya distribusi Maxwell adalah satu-satunya distribusi yang stabil ka-

rena bentuk distribusi lainnya itu selalu hampir pasti dapat berubah oleh tubrukan se-

hingga mendekati bentuk distribusi Maxwell. Belakangan setelah teori mengenai dis-tribusi berkembang, kita mengenal lagi distribusi melalui mekanika statistik atau statis-tik kuantum yang lebih baik lagi.

Gambar 64Daerah komponen kecepatan mo/eku/ antara v dan v + dv , v dan

x x x y

v + dv serta v dan v + dvy y z z z

Di sini kita akan melihat dulu distribusi (komponen) kecepatan pada satu arah, yakni

arah sumbu koordinat. Pandanglah suatu daerah kecepatan seperti pada gambar 64 dan

daerah kecepatan ini meliputi perubahan kecepatan dvx' dvy' dan dvz yang terdiri darimolekul yang mempunyai komponen kecepatan terletak di antara

v dan v + dvx x x

v dan v + dvy y y

v dan v + dvz z z

Misalkan dari seluruh jumlah molekul N, terdapat sejumlah dNyXmolekul dengan

komponen kecepatan antara vx dan vx + dvx itu. Demikian juga sejumlah dNyydan dNyz

mo1ekul yang mempunyai komponen kecepatan antara vy dan vy + dv y serta antara vz danv + dv.z z

Pada setiap arah kecepatan dengan kecepatan yang berbeda-beda, terdapat jumlahmolekul yang berbeda-beda pula, sehingga jumlah molekul dengan komponen kecepatan

ke tiap arah merupakan fungsi dari kecepatan bersangkutan, yakni

f(v ), f(v ), dan f(v )x y z

yang disebut fungsi distribusi atau fungsi probabilitas.

185



Jadi bagi N molekul, diperoleh

dNyx =N f(v) dvx

dNy =N f(v ) dvy y ydNyz = N fey) dvz

(292)

Hubungan ini menunjukkan jUffilah molekul pada tiap-tiap arah bagi komponen

kecepatan antara Vxdan Vx+ dvx' vy dan vy + dvy serta Vzdan Vz+ dvz'

122. JUMLAH MOLEKUL BERKECEPATANKE DUA ARAH

Telah kita lihat jumlah molekul untuk suatu daerah kecepatan bagi tiap arah. Namunmolekul dapat mempunyai komponen kecepatan sekaligus ke dua arah yang sesuai dengandaerah kecepatan pada arah bersangkutan.

Jumlah molekul yang mempunyai komponen kecepatan ke dua arah, misalkan arahX dan Y, Pada daerah kecepatan antara v dan v + dv serta v dan v + dv dapatx x x y y y

ditentukan dengan memandang molekul dv x yang sekaligus mempunyai komponen padadaerah kecepatan dv . Bagian ini merupakan fungsi dari kecepatan v , sehingga dariy y

(292), diperolehmolekuldengankomponenkecepatanpada daerahkecepatandvx yang

sekaligus mempunyai komponen kecepatan pada daerah kecepatan dv , sebagaid2N y Y

= dNy f(v) dv

xy x y y

demikian juga

d2NyyyZ= dNvy fey) dvz (293)

d2Nyzyx= dNvz f(v) dvx

Dan melalui substitusi dari (292), diperoleh

d2Ny Y =N f(v ) f(v ) dv dvxy x y x y

d2NyyyZ= N f(vy) f(v) dvy dvz (294)d2Nyzyx= N fey) fey) dvzdvx

Ini merupakan fungsi dari kedua daerah kecepatan yang bersangkutan.

123. JUMLAH MOLEKUL BERKECEPATAN KE TIGA ARAH

Seperti keadaan tersebut di muka, dari jumlah molekul yang mempunyai komponen

kecepatan pada daerah kecepatan dvx dan dvy dapat ditentukan bagian jumlah molekul

komponen kecepatan yang sekaligus pada ketiga daerah kecepatan dvx ' dvy' dan dvz'

Bagian ini yakni dar d2NyXYyekaligus mempunyai komponen pada daerah kecepatan

dvz' dari d2NyyyZsekaligus berkomponen kecepatna pada daerah kecepatan dvx dan dari

d2Nyzyxyang sekaligus mempunyai komponen kecepatan pada daerah kecepatan dvyadalah masing-masing

186



d3N = d2N f(v ) dvYxYyYz YxYy z z

d3NyXYYYZd2Nyyy, f(v) dvx

d3Ny Y Y= d2Ny Y f(v) dv

zxy zx y y

Substitusi dari (294), rnernberikan harga sarna bagi ketiga hasil ini, yakni

d3NyXYyyZN f(v) f(v) f(v) dvx dvy+ dvz (295)

Bila disubstitusikan

f = f(v ) f(v ) f(v )x y z

diperoleh dari (295), bentuk

d3NyXYyyZ = N fdv x dv y dv z

(297)

Temyata di sini bahwa f dv z dvy dv z rnerupakan bagian dari seluruh rnolekul yangrnernpunyai kornponen kecepatan sekaligus pada daerah kecepatan dv , dv , dan dv ,Y l

sehingga jika bagian ini diintegrasikan, akan diperoleh jurnlah keseluruhannya,

yakni

JfJ {d" dv dv = 1x y z

atau dari (297)

JfJ N f dv dv dv = N JfJ f dv dv dv =Nx y z x y z

(298)

Jadi jurnlah rnolekul pada seluruh kornponen bagi seluruh kecepatan rnernberikan

seluruh jurnlah rnolekul itu.

124. FUNGSI DISTRIBUSI ATAU FUNGSI ,PROBABILITAS

Distribusi rnolekul bagi tiap daerah kecepatan dapat ditentukan dari (297) apabila fungsidistribusi atau fungsi probabilitas telah diketahui bentuknya. Oleh karena itu, ingin kita

tentukan bentuk fungsi ini terlebih dahulu dan juga hubungannya dengan panas.

Sejalan dengan rapat rnolekul pada (231), kita dapat rnendefinisikan rapat kecepatan.

atau

11=dv dv dv

x y z

=Nf

11= N f (v ) f(v ) f(v )x y z(299)

Perubahan rapat kecepatan atau diferensial total dari rapat kecepatan selanjutnyaadalah

db d11 d11d11= - dv + -.dv + - dv

dV x dV y dV Zx y z

(300)

187



- -- -

Diferensial dari (299) rnenurut ketentuan pada (300) rnernberikan,

dll =N f(v ) f(v ) f(v) dvx y z x

+ N f (v ) f'(v ) f(v) dvx y z y

+ N f (v ) f(v ) f'(v ) dv (301)y z z

dengan tanda aksen rnasing-rnasing sebagai turunan terhadap v , v dan v.. x y z

Di sarnping diferensial atau perubahan pada rapat kecepatan kita dapat juga rnenen-tukan diferensial atau perubahan pada besaran kecepatan, dari (291), yakni

v dv = v dv + v dv + v dvx x y y z z (302)

Hubungan (301) dan (302) berlaku bagi tiap perubahan pada daerah kecepatan sertabesaran kecepatan itu yakni seperti penggeseran ternpat pada gambar 64.

Gambar 65

Daerah kecepatan molekul antara v dan v + dv.

Penggeseran daerah kecepatan ini berlaku urnurn dan bleh karenanya seperti padagambar 65, kita dapat rnenggeserkannya juga sepanjang daerah konsentris dari koordinat

kecepatan itu. Ini berarti kita berpindah sepanjang daerah kecepatan yang sarna harganyaatau perubahan harga besaran kecepatan dv = 0, dan dari (302) diperoleh

v dv + v dv + v dv = 0x x y y z z (303)

Kita tidak rnernpunyai pilihan arah kecepatan serta rapat kecepatan bagi arah

kecepatan, sehingga arah kecepatan adalah seragarn dan bagi arah kecepatan ini dengan

harga kecepatan yang sarna, rapat kecepatan juga sarna. Jadi perpindahan sepanjang

daerah kecepatan yang sarna, yakni daerah kecepatan yang konsentris, perubahan rapatkecepatan dll = 0, sehingga dari (301),

N f'(v ) f(v ) f(v ) dvx y z x

+ N f(v ) f'(v ) f(v ) dvx y z y

+ N f(v ) f(v ) f'(v) =< 0 (304)y z

188



atau setelah disusun rnernberikan

f' (v ) f'(v ) f'(v )x dv +~dv +~dv =0

f (v ) x f(v ) Y f(v ) zx Y z

(305)

Perpindahan pada daerah kecepatan dengan harga kecepatan serta rapat kecepatan

yang sarna adalah salah satu hal dalam penggeseran pada daerah kecepatan, sehingga

perpindahan ini juga dapat rnernberikan hasil bagi bentuk fungsi distribusi. Jadi bentukfungsi distribusi dapat ditentukan dari salah satu corak perpindahan dalarn kecepatan,

juga untuk harga dan rapat kecepatan yang sarna, yakni dari (303) dan (305).

Ketiga variabel dvx'dvydan dvzpada (303) dan (305) dapat bebas tak bergantungansatu sarna lainnya tetapi dapat juga bergantungan. Oleh sebab itu baik kita selesaikan

(303) dan (305) dengan metoda Lagrange, yakni rnengalikan suatu faktor A pada (303),sehingga

AV dv + AV dv + Av dv = 0x x y y z z

Penjurnlahan dengan (305) niernberikan

f'(v ) f'(v ){ ~ + Av } dv + { ---2... + AV

f(v ) x x f(v ) yx y

f'(v)+ { ~ + AV } dv = 0f(v ) z zz

} dvy

(306)

Harga A dapat dipilih sehingga dapat dicarikan suatu harga A, dengan ketentuan

f'(v )~+AV =0

f(VA) x

f'(v ) f'(v )

{ ~ + Av } dv + { :.. + Av } dv =0f(v ) x y f(v ) z zy z

(307)

dan sisanya

Dari tiga variabel, dua di antaranya selalu dapat diarnbil bebas, sehingga kita dapat

rnengambil dvy dan dv z yang bebas dan oleh karenanya, diperoleh

(308)

Bentuk (307) dan (308) setelah disusun, rnernberikan

d f(v )x = _ A v dvx x

f(v)

189

f'(v)+AV =0

f(v)y

y

f'(vz) +AV =0ertaf(v)

z



d f(v )y

f(v)y

d fey)

f(vz)

= - A. v dvy y

(309)

= - A. v dvz z

Apabila persarnaan petarna dari (309) diintegrasikan, kita peroleh

In f(v ) + In a = - 1/2A. v2x x

dengan In a sebagai konstanta integrasi. Dengan jalan sarna dapat diperoleh bentuk

fungsi lainnya dari (309) itu. Bentuk ini dapat ditulis dalarn bentuk eksponensial,_1/ h2

f(v ) = a e 2 x

-'/1..V2f(v ) = a e 2 y (310)y

_1/ 1..V2f(v ) = a e 2 zz

Dengan rnenggunakan substitusi

(32 = 1/2 A.

ke dalarn (310) diperoleh

-(32v2f(v ) =a e xx

_~2V2f(v ) = a e YY

_~2V2f(v ) = a e Z

(311 )

Jadi bentuk kornponen fungsi distribusi atau fungsi probabilitas adalah fungsieksponensial dari kecepatan.

Selanjutnya dari (296), diperoleh fungsi distribusi secara keseluruhan, yakni

_ f.U(2 + v2 + v2)f = f(v ) f(v ) f(v ) = a3 e I-' x Y Z

x Y Z

dan dari (291)

(312)

Fungsi distribusi ini rnerupakan fungsi distribusi Maxwell, dan dengan fungsi ini

dapat ditentukan distribusi kecepatan rnolekul rnenurut Maxwell. Dari (299) diperolehrapat kecepatan,

190



_~2V2

11=N ex3 e

dengan bentuk grafik seperti pada gambar 66.

Distribusi jumlah molekul untuk daerah kecepatan oleh karenanya menjadid3Ny Y Y = 11dv dv dv

xyz x y z

atau dengan substitusi dari (313),

_~2V2d3N = N ex3e dv dv dv

YxYyYz x Y z

(314 )

(315)

Dengan mengetahui harga parameter ex dan ~, distribusi kecepatan molekul untuk

daerah kecepatan yang ditentukan dapat dihitung. Parameter ini tentunya bergantungkepada keadaan molekul terutama temperaturnya.

Gambar 66

Rapat kecepatan molekul terhadap kecepatan pada daerah kecepatan dv dv dv.y z

125. DISTRIBUSI KECEPATAN MAXWELL DAN PARAMETER

FUNGSI DISTRIBUSI

Untuk memperoleh harga fungsi distribusi, perlu ditentukan bentuk dan sifat dari keduaparameter exdan ~.Guna penentuan ini, kita memandang suatu distribusi molekul yangmempunyai banyak macam kecepatan dengan memindahkan vektor kecepatan ke suatu

titik. Ujung vektor kecepatan ini berbentuk bola konsentris, dan kita pandang suatu

daerah kecepatan antara v dan v + dv seperti pada gambar 65. Jumlah molekul untuk

daerah kecepatan ini adalah sesuai dengan (314), untuk kulit bola,

dNy = 11. 41tv2dv

Dari (313) diperoleh_~2V2

dN = 41tNex3v2 e dvy

(316)

dan dikenal sebagai distribusi Maxwell.

Jadi rapat perubahan kecepatan oleh karenanya adalah-WV2

11y= 41tN ex3v2e (317)

191



denganbentukgrafiksepertipadagambar67. RapatperubahankecepatanantaravI danvI + dv aalah sarna dengan luas yang diarsir pada gambar 67 tersebut, dan jumlah

seluruh kecepatan, yakni juga jumlah seluruh molekul, adalah sarna dengan seluruh luasdi bawah lengkungan rapat kecepatan.

Gambar 67

Rapat perubahan kecepatan Maxwell pada daerah kecepagan dv.

Karena harga kecepatan itu terbentang dari harga yang sangat kecil sarnpai harga

yang sangat besar, maka sebagai limit kecepatan secara teoretis kita ambil dari 0 sampai

00, sehingga00

N=JdNo v

atau00 _~2V2

N =41tN a3 Jv2 e dvo

sehingga

00 -Wv241t a3 Jv2 e dv = 1

o

Menurut perhitungan integrasi diketahui bahwa00 -Wv2 1Jv2 e dv = ...J1t

o 4 ~3

sehingga substitusi ke dalam (318) memberikan

~a=

...J1t

Masukkan ke dalam (316) diperoleh

4N _~2V2dN = - A3v2 e dv

v ...J1t p

Menurut ketentuan kecepatan rata-rata pada (237), diperoleh

Jv dNv

v=

(318)

(319)

(320)

(321)

N

192



atau4 133 00 -J32V2

V = - f V3 e dv--J1t 0

Perhitungan integral definit memberikan

00 -J32v2 1f v3 e dv = -o 2134

sehingga kecepatan rata-rata menjadi

2v=

13 --J1t

dan selanjutnya harga parameter menjadi3 1

13=----J1tV

2 1dan a=--=-

1t v

(322)

(323)

(324)

merupakan fungsi kecepatan rata-rata dari molekul.

126. PENGARUH PANAS PADA DISTRIBUSI KECEPATAN

MOLEKUL

Pergerakan molekul. seperti telah dibicarakan di muka, disebabkan oleh panas, sehingga

dengan demikian parameter fungsi distribusi berhubungan pula dengan panas atautemperatur. Oleh sebab itu akan kita carikan di sini hubungan antara parameter itu

dengan temperatur serta juga hubungan antara kecepatan molekul dengan temperatur.

a. Hubungan parameter dengan vHubungan ini telah kita bicarakan yakni melalui perhitungan yang memberikan hasil

seperti pada (324)

b. Hubungan parameter dengan vel

Dengan definisi kecepatan efektif pada (238) kita peroleh dari (321),

V" : ~V' ~ ItV:dN.atau

193



v =ef

Dari perhitungan integrasi diketahui bahwa

00 -WV2 J..J1tf V4 e dv =-o 8 ~3

(325)

sehingga melalui substitusi diperoleh

1 3

v =-~-ef ~ 2 (326)

Jadi dari (326) dan (320) parameter fungsi distribusi dapat dinyatakan dengankecepatan efektif yakni,

dan

~=~~~vef 2

a=~~~vef 21t

(327)

c. Hubungan kecepatan efektif dengan tempeatur

Hubungan kecepatan efektif dengan temperatur telah kita bicarakan di muka yakniseperti pada (259),

_I 3 kTv =-v-ef

m

dengan m sebagai massa molekul.

d. Hubungan parameter dengan temperatur

Dari hubunganantara parameterdengankecepatanefektif, kita dapat menentukanhubunganparameterdengan temperaturmelaluisubstitusi(327), yangmemberikan

a=~ m21tkT

(328)

~=~ m2kT

Harga parameter berkurang pada kenaikan temperatur.

194



e. Hubungan kecepatan rata-ratadengan temperatur

Telah kita ketahuihubunganantaraparameterdengankecepatanrata-ratadan jugadengantemperatur,sehinggadari padanya,yaknidari (324) dan (328),diperoleh

v=" 8kT1tm

(329)

Ternyata juga bahwa harga kecepatan rata-rata berbeda dengan kecepatan efektif.

-or

Gambar 68

Distribusi kecepatan bagi kecepatan dengan probabilitas tersebar, kecepatan rata-

rata, dan kecepatan efektif.

f. Kecepatan dengan jumlah molekul maksimum

Bagi setiap kecepatan, terdapat sejumlah molekul tertentu, tetapi jumlah molekul ini

berlain-lainan untuk kecepatan yang berbeda-beda.Pada tempeatur tertentu, kita mempunyai kecepatan yang dilakukan oleh jumlah

molekul yang terbanyak atau jumlah molekul maksimum, vNm'seperti pada gambar 68.

vNmni berlain-lainan pada temperatur yang berlain-lainan dan oleh karenanya kita coba

menentukan di sini hubungan vNmdengan temperatur.Dari (321), vNmdapat ditentukan dengan syarat

d(d N )~=Odv

atau

(330)

Dari hubungan ini dapat juga kita tentukan hubungan parameter tersebut dengan

vNmini, yakni

~=~vNm

(331 )

195



g. Perbandinganjenis kecepatan

Bandingkanhasil dari ketiga jenis kecepatan ini, dari (331), (329), dan (259),

yakni

VNm= --J 2 kTm

v = --J8 kT1tm

v _ --J 3 kTer- -

mmaka dipero1eh perbandingan sebagai berikut :

_ 2_1

vNm: v : ver = 1 : ..J1t : ~3/2= 1

Hal ini dapat juga dilihat pada gambar 68.

Dari hasil dari a sampai g, telah kita lihat hubungan yang erat antara distribusimolekul dengan kecepatan serta temperatur, dan daripadanya kita mengetahui pengaruh

panas pada distribusi molekul gas.Melalui substitusi (328) ke dalam (317) kita peroleh secara langsung pengaruh tem-

peratur untuk rapat perubahan kecepatan molekul,

mv2

1,128 : 1,224 (332)

--

(333)

Makin tinggi temperatur makin kecil harga rapat kecepatan molekul terutama bagi

kecepatan yang kecil. Secara ilustratif, pada gambar 69, terlukis rapat perubahan kece-patan molekul terhadap kecepatan molekul itu bagi bermacam-macam temperatur.

Gambar 69

Rapat perubahan kecepatan Maxwell pada daerah kecepatan dv,

untuk bermacam-macam temperatur.

196



JALAN 'DEDAS MOLEKUL

127. JUMLAH TUDRUKAN RATA-RATA DAN JALAN DEDAS

RATA-RATA PADA MOLEKUL STATIS

Molekul atau atom bergerak dengan bermacam-macam kecepatan ke segala arah. Oleh

sebab itu dapat kita pahami bahwa molekul atau atom dalam pergerakannya akan saling

bertubrukan satu dan lainnya. Tubrukan ini makin sering apabila pergerakan molekul

makin hebat, yakni jika temperaturnya makin tinggi. Kita akan berusaha menentukanjumlah tubrukan rata-rata per satuan waktu.

Di antara dua tubrukan, molekul berjalan lurus dan jalan antara kedua tubrukan yang

berturut-turut ini disebut jalan bebas. Sesuai dengan tubrukan berturut-turut yang terjadisecara tak teratur, jalan bebas juga mempunyai panjang yang bermacam-macam. Panjang

rata-rata dari jalan bebas ini disebut jalan bebas rata-rata.

Untuk menentukan jumlah tubrukan rata-rata ini kita memandang pergerakan suatu

molekul, dan untuk memudahkan penentuannya akan kita anggap semua molekullainnya

kecuali molekul ini, adaltili diam dan tersebar merata dalam ruang. Anggapan molekulstatis tentunya tidak sesutaidengan kenyataan, sehingga hasilnya pun tidak akan cocok

dengan keadaan sesungguhnya, tetapi perhitungan teoretis ini telah memberikan dasar

perhitungan atau penentuan jumlah tubrukan serta jalan bebas rata-ratanya.

a bGambar 70

a. Jarak terdekat pusat ke pusat dari dua molekul.

b. Jarak yang sama tetapi dengan menganggap salah satu molekul sebagai

titik pada pusatnya.

Pandanglah suatu molekul A dengan daerah pengaruh berbentuk bola berdiameter cr

dan molekul lainnya hanya dapat mendekatinya sampai jarak pusat ke pusat sebesar cr.

Seperti pada penentuan kovolume b dari molekul gas sejati, kita dapat menganggap

molekul lain B, mengecil sehingga merupakan titik tetap pada pusatnya, dan untukkompensasi, molekul A dianggap membesar sehingga merupakan bola dengan jari-jari cr,seperti pada gambar 70a.

Molekul A ini bergerak di antara molekul B yang statis, sehingga dalam waktu 't,

jalan molekul A merupakan sHinder dengan panjang V'tjika kecepatan gerak molekul Aadalah V.

197



Volume sHinder ini adalah

V = 1tcr2v't

dan semua molekul B statis yang berada dalarn sHinder ini akan ditubruk, sehinggadalam waktu 't itu akan terjadi tubrukan sebanyak molekul B tersebut. Apabila rapat

molekul adalah p, maka jumlah tubrukan dalarn waktu 't adalah

pV = 1tpvcr2't

Jumlah tubrukan rata-rata per satuan waktu oleh karenanya adalah

z = 1tpcr2v (334)

Jalan bebas rata-rata adalah jalan rata-rata antara dua tubrukan yang berturut-turut.Dalarn satu satuan waktu molekul A menempuh jalan sepanjang v dan melakukan ztubrukan, sehingga panjang jalan rata-rata antara dua tubrukan berturut-turut adalah

v 1A=-=-

Z 1tpcr2(335)

Jalan bebas rata-rata berbanding terbalik dengan rapat molekul. Makin jarangmolekul makin besar jalan bebas rata-rata atau makin bebas molekul bergerak dan

sebaliknya.

128. JUMLAH TUDRUKAN RATA-RATA DAN JALAN DEDAS

RATA-RATA PADA MOLEKUL DERKECEPATAN TETAP.

Molekul sebenarnya semuanya bergerak, sehingga anggapan bahwa semua molekul B

adalah statis tidak sesuai dengan hasil sesungguhnya. Untuk mendekati keadaan

sesungguhnya, kita membuat pendekatan dengan menganggap bahwa semua molekulmempunyai kecepatan sarna dan tetap. Dengan anggapan ini pada tahun 1857, sebelumdistribusi Maxwell ada, Clausius menentukan jumlah tubrukan dan jalan bebas rata-rata.

Gambar 71

Kecepatan relatif antara dua mo/eku/ dengan

kecepatan sarna dan tetap.

198



Dengan semua molekul berkecepatan tetap dan sarna, maka dalarn penentuan jumlah

tubrukan dan jalan bebas rata-rata kita perlu menggantikan kecepatan molekul pada

(334) dan (335) dengan kecepatan relatif vr di antara molekul itu. Kecepatan relatif inibergantung kepada sudut antara kedua kecepatan bersangkutan, seperti pada gambar 71,

sehingga vrmempunyai bennacam-macam harga. Apabila sudut antara kedua kecepatanadalah e, maka

ev = ""v2 + v2 - 2v2 cos e = 2 v sin -r 2

(336)

Kecepatan relatif v rata-rata dapat ditentukan dengan menentukan harga rata-ratae r

dari faktorsin-. Harga rata-rata f(e, q» pada koordinat bola, dengan satu satuan jari-

2jari diperoleh melalui mengalikan fungsi ini dengan suatu elemen luas dA seperti pada

(234), mengintegrasikan untuk bola, dan membagikannya dengan seluruh luas bola, yakni

f(e,q»r= ~, TXf(e, q» sin e de dq>4x 0 0

eBagi sin - diperoleh oleh karenanya, harga rata-rata,

2

e Ij

~x e(sin-)r = - J sin - sin e de dq>

2 4x 0 0 2

dan setelah dihitung diperoleh selanjutnya,

e(sin_) =2/

2 r 3

atau kecepatan relatif rata-rata

V =4/ Vr 3 (337)

Jadi jumlah tubrukan rata-rata per satuan waktu pada molekul yang berkecepatan

sarna dan tetap, menurut Clausius, dapat ditentukan dengan memasukkan harga (337) kedalarn (334),

(338)

sedangkan jalan bebas rata-rata menurut Clausius, diperoleh dengan substitusi (337) ke

dalarn (335), yakni

199



(339)

Jumlah tubrukan rata-rata per satuan waktu oleh karenanya bertambah dengan faktor

4/3dan jalan bebas rata-rata berkurang dengan faktor 3/4,

129. JUMLAH TUBRUKAN RARA-RATA DAN JALAN BEBAS

RATA-RATA MENURUT MAXWELL

Telah kita ketahui di muka bahwa menurut Boltzmann distribusi kecepatan molekul yang

stabil adalah distribusi kecepatan menurut Maxwell. Oleh sebab itu kita dapat menen-

tukan jumlah tubrukan rata-rata per satuan waktu serta jalan bebas rata-rata molekulmenurut distribusi kecepatan Maxwell ini.

Perhitungan tidak kita l~ukan di sini, tetapi menurut perhitungan, diperoleh jumlahtubrukan antar-molekul per satuan waktu, sebesar

z =1tpcr2V " 2 (340)

sedikit lebih besar dari ketentuan Clausius.

Jalan bebas rata-ratanya dengan demikian menjadi sebesar1

A= (341)1tpcr2"2

sedikit lebih kecil dari hasil Clausius.

Dibandingkan dengan jalan bebas rata-rata Clausius, perbedaan jalan bebas rata-rataMaxwell adalah

lebih besar, bagi jalan bebas rata-rata Clausius.

Di samping penentuan jalan bebas rata-rata ini termasuk jalan bebas rata-rata menurut

Clausius dan Maxwell masih dikenal juga jalan bebas lainnya seperti menurut Tait dansebagainya lagi.

130. GAS KNUDSEN DAN GAS BIASA.

Apabila jalan bebas rata-rata antar-molekul ini ditinjau untuk gas, maka besar kecilnya

jalan bebas rata-rata bergantung kepada rapat molekul gas bersangkutan, sehingga den-gan jalan bebas rata-rata ini kita dapat menentukan kehampaan suatu ruang yang berisigas.

200



Bagi gas biasa dalam bejana dengan tekanan biasa yakni sekitar 1 atm. jalan bebas

rata-rata molekul adalah kecil dan akan lebih kecillagi jika dibandingkan terhadap ukuran

tabung bersangkutan. Jumlah tubrukan antara-molekul dengan sendirinya akan lebih besar

daripada jumlah tubrukan antaramolekul dan dinding ruang. Gas dalam keadaan demikiandisebut gas biasa.

Dengan memompa ke luar gas dari dalam bejana itu, rapat molekul gas itu akan

berkurang dan akibatnya jalan bebas rata-rata bertambah, kesemuanya bergantung jugakepada kehampaan ruang itu. Apabila bejana cukup hampanya, maka jalan bebas rata-

rata molekul akan bertambah bahkan akan jauh lebih besar daripada ukuran ruangnya.

Dengan sendirinya jumlah tubrukan antara molekul dengan dinding akan lebih besardaripada jumlah tubrukan antar-molekul. Gas dalam keadaan demikian disebut gasKnudsen.

Gas Knudsen akan berpengaruh pada sifat gas berhubung dengan letak molekul yangberjauhan itu. Perjalanan molekul dalam hal ini praktis tidak terganggu oleh molekul-

molekullain. lonisasi pun selanjutnya akan terjadi pada gas Knudsen seperti pada halnya

Tubular Lamp (T.L.), tabung hampa, dan lain-lainnya.

DISTRIBUSI JALAN BEBAS

131. DISTRIBUSI JALAN BEBAS MOLEKUL

Kita telah membicarakan jalan bebas rata-rata dari molekul, maka kini sejalan dengan

adanya kecepatan rata-rata dan distribusi kecepatan molekul, kita ingin pula mengetahui

distribusi jalan bebas ini. Pada distribusi jalan bebas ini kita ingin mengetahui frekuensi

terjadinya jalan bebas tertentu, baik secara simultan oleh banyak molekul pada suatu saat(momen) ataupun oleh suatu molekul dalam suatu jangka waktu tertentu. Keduanya ini

memberikan hasil yang sama, dan untuk penguaraian, kita menggunakan sejumlah molekul

pada suatu saat (momen).

Pandanglah dan ikutilah dari mula pergerakan suatu jumlah molekul s.ebanyakNodalam suatu kelompok. Karena tubrukan yang terjadi, molekul itu akan berangsur-angsurmeninggalkan kelompok. Makin besar jalan bebas suatu molekul makin jauh molekul

tersebut tetap berada di dalam kelompok.Anggaplah pada suatu saat setelah kelompok ini menempuh jalanx, jumlah molekul

yang masih tertinggal dalam kelompok adalah N. Pada jalan dx selanjutnya misalkanterdapat dN molekul yang mengalami tubrukan dan meninggalkan kelompok. Ini berarti

bahwa ada sejumlah dN molekul yang mempunyai jalan bebas yang panjangnya terletak

di antara x dan x + dx.Harga'dN ini bergantung kepada jumlah molekul N dandx serta kemungkinan atau

probabilitas tubrukan pada molekul itu, Pt. Karena dN merupakan pengurangan molekuldari kelompok, maka

dN = - Pt N dx (342)

201



dengan tanda negatif. Integrasi memberikan

In N = - PI x + konstanta

Karena untuk x =0 jumlah molekul adalah No'maka konstanta integrasi dapat diten-tukan, dan setelah disubstitusikan diperoleh

-PxN =N e I (343)

atau setelah dimasukkan ke dalam (342),

-PIXdN = - PN e dx

I 0(344)

Jumlah IdNladalah jumlah molekul yang mempunyai jalan bebas yang terletak antara

x dan x + dx atau juga banyaknya jalan bebas yang terletak antara x dan x + dx.

Jalan bebas rata-rata oleh karenanya, adalah

f XdNA=

No

dan karena jalan bebas mempunyai bermaeam-maeam harga dari keeil sampai besar

maka seearateoretiskita mengambillimit dari 0 sampai00, sehingga

r -Px

-PIN x e I dxo 0

A=No

yakni1

A=-

PI(345)

Jadi jalan bebas rata-rata berbanding terbalik dengan probabilitas tubrukan. Makinbesar jalan bebas makin keeil kesempatan bertubrukan dan sebaliknya.

Substitusi (345) ke dalam (343) memberikan

x

N =N eo (346)

sedangkan jumlah jalan bebas yang terletak antara x dan x + dx menurut (344) menjadi

xNo A

dx (347)N = --eA

Jumlah jalan bebas atau distribusi jalan bebas oleh karenanya bergantung kepada

daerah jalan bebas yang kita pandang.

202



132. BEBERAPA CONTOH DISTRIBUSI JALAN BEBAS

Sebagaigambaranakankita lihat di sini jumlah jalan bebasuntuk daerahjalan bebastertentudalamrangkadistribusijalan bebasini. Jumlahjalan bebasbergantungkepada

daerah jalan bebas, yang kita pandang. Jika (347) kita lukiskan sebagai fungsi jalanbebas akan kita peroleh hasil seperti pada gambar 72, yakni suatu bentuk eksponensial.

Bagi suatu daerah dx dari jalan bebas itu, jumlah bebas merupakan luas yang terarsir

pada gambar 72 tersebut.

814%

Gambar 72

Distribusi jalan bebas dan jumlah jalan

bebas bagi suatu daerah jalan bebas

antara Xl dan Xl + dx.

Misalkan kita ingin menentukan jumlah jalan bebas yang terletak di antara Xl dan

x2' maka menurut (347), jumlah tersebut

Demikian juga apabila kita' ingin mengetahui jumlah jalan bebas yang lebih besar

dari suatu haiga L, maka dengan (347) diperolehX

N= -~re A-dxA- L

203

XN0

A-

N= 1__j2e dxA- Xl

X2 Xl- --

A- A-

yakni N = N (e -e )

atau persentasenya adalah

X2 Xl- --

N A- A-

-=(e -e ) . 100%N

0

----



yakni sebanyakL

A

N =N eo

atau dalam persentase, diperoleh

L

A-=eNo

100%

Dan dengan jalan sarna kita dapat menentukan distribusi jalan bebas bagi daerahjalan bebas lainnya.

MEKANIKA STATISTIK

133. STATISTIKMAXWELL - BOLTZMANN

Cara lain untuk menentukan distribusi molekul adalah melalui statistik dan bidang inidisebut mekanika statistik. Temyata bahwa mekanika statistik memberikan keterangandan juga hasil yang lebih baik daripada metoda yang telah kita pergunakan.

Di antara statistik dikenal suatu statistik yang agak klasik yakni statistik Maxwell-

Boltzmann. Pada statistik ini, dipandang enam dimensi dari pergerakan molekul, yakni

tiga dimensi kedudukan dan tiga dimensi kecepatan. Ruang enam dimensi seperti yang

dimaksudkan ini disebut ruang fasa. Selanjutnya ruang fasa ini masih dibagi lagi kedalam volume kecil enam dimensi yang disebut sel.

Molekul terbagi ke dalam sel ini dan terjadilah distribusi molekul menurut sel.Distribusi jumlah molekul dalam sel tanpa memandang molekul secara individu disebut

status makro dari sistem sedangkan penentuan molekul tertentu (secara individu) dalam

tiap statusmakro disebut status mikro dari sistem. Kemudianjumlah statusmikro terhadapstatus makro tertentu dinamakan probabilitas termodinamik.

Dalam metoda statistik ini dilakukan penentuan probabilitas termodinamik dan

selanjutnya ditentukan pula hubungan dari probabilitas termodinamik dengan masalah

tenaga-dalam untuk selanjutnya memperoleh jumlah molekul dalam sel. Penggunaan

statistik Maxwell-Boltzmann dapat menerangkan antara lain soal panas jenis.

204



134. STATISTIK KUANTUM DENGAN STATISTIK BOSE-

EINSTEIN DAN .FERMI-DIRAC

Statistik Maxwell-Boltzmann masih juga memberikan hasil yang kurang sesuai denganhasil percobaan. Juga dalam hal adanya elektron atau aliran elektron, statistik inimemasukkan pengaruh yang besar dari pergerakan elektron bebas ke dalam penentuan

panas jenis konduktor, tetapi menurut eksperimen, pergerakan elektron tidak mempunyai

pengaruh demikian. Kesulitan pengaruh pergerakan elektron bebas dapat diatasi denganstatistik kuantum. Statistik kuantum mempegunakan teori kuantum yakni satuan tenaga

yang terkecil atau kelipatannya dan dalam teori kuantum, tenaga memang dianggapterdiri atas bagian yang disJcritdengan bagian terkecil disebut kuantum. Perbedaan statistik

ini dengan statistik Maxwell-Boltzmann terletak pada penentuan jumlah status mikro

bagi status makro tertentu.Statistik kuantum yang terkenal antara lain adalah statistik Bose-Einstein. Menyeru-

pai statistik Maxwell-Boltzmann, statistik ini juga mempergunakan enam dimensi ruangfasa, hanya di sini tidak dipergunakan kecepatan, melainkan dimensi momentum. Statis-tik Bose-Einstein juga belum dapat memecahkan peristiwa pergerakan elektron denganmemuaskan.

Selain statistik Bose-Einstein, berkenaan dengan elektron bebas dalam zat, kita

mengenal juga statistik Fermi-Dirac. Dari statistik ini, sedikit berbeda dengan kedua

statistik di muka, dapat ditentukan bagian panas jenis yang disebabkan oleh pergerakanelektron bebas. Temyata berbeda dengan hasil dari kedua jenis statistik di muka, padastatistik ini diketahui bahwa bagian panas jenis karena pergerakan elektron bebas adalah

sangat kecil, dan ini kira-kira sesuai dengan percobaan. Statistik Fermi-Dirac dapat

menerangkan hal mengenai tak berpengaruhnya pergerakan elektron pada panas jeniskonduktor sungguhpun konduktor mengandung banyak elektron bebas.

Di sini tidak dibicarakan 1ebihlanjut mengenai mekanika statistik, dan hal-hal terse-

but di muka, hanyalah sekedar gambaran saja.

SOAL-SAOL

1. Suatu ruang hampa dengan suatu lobang keSil seluas A dimasukkan ke dalam suatu

bejana berisi gas dengan tekanan p pada temperatur T. Jika berat molekul gas adalahM, tentukan jumlah molekul gas yang masuk ke dalam ruang itu satu jam kemudian.

Tentukan juga setelah itu tekanan dalam ruang jika volume ruang adalah V.

2. Tentukan persentase jalan bebas yang lebih besar dari 10.000 kali diameter molekulpada tekanan p dan temperatur T.

205

statistik maxwel 2

Documents