5/16/2018 STATISTIK 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/statistik-2-55ab529252446 1/11

 

STATISTIK 2

1.  Distribusi Normal

Salah satu distribusi frekuensi yang paling penting dalam statistika adalah distribusinormal. Distribusi normal berupa kurva berbentuk lonceng setangkup yang melebar tak 

berhingga pada kedua arah positif dan negatifnya. Penggunaanya sama dengan penggunaankurva distribusi lainnya. Frekuensi relatif suatu variabel yang mengambil nilai antara dua titik 

pada sumbu datar. Tidak semua distribusi berbentuk lonceng setangkup merupakan distribusi

normal.Pada tahun 1733  DeMoivre menemukan persamaan matematika kurva normal yang

menjadi dasar banyak teori statistika induktif. Distribusi normal sering pula disebut  Distribusi

Gauss untuk menghormati Gauss (1777  –  1855), yang juga menemukan persamaannya waktu

meneliti galat dalam pengukuran yang berulang-ulang mengenai bahan yang sama.Sifat dari variabel kontinu berbeda dengan variabel diskrit. Variabel kontinu mencakup

semua bilangan, baik utuh maupun pecahan. Oleh karenanya tidak bisa dipisahkan satu nilai

dengan nilai yang lain. Itulah sebabnya fungsi variabel random kontinu sering disebut fungsikepadatan, karena tidak ada ruang kosong diantara dua nilai tertentu. Dengan kata lainsesungguhnya keberadaan satu buah angka dalam variabel kontinu jika ditinjau dari seluruh nilai

adalah sangat kecil, bahkan mendekati nol. Karena itu tidak bisa dicari probabilitas satu buah

nilai dalam variabel kontinu, tetapi yang dapat dilakukan adalah mencari probabilitas diantaradua buah nilai. Distribusi kontinu mempunyai fungsi matematis tertentu. Jika fungsi matematis

tersebut digambar, maka akan terbentuk kurva kepadatan dengan sifat sebagai berikut:

1. Probabilitas nilai x dalam variabel tersebut terletak dalam rentang antara 0 dan 1

2. Probabilitas total dari semua nilai x adalah sama dengan satu (sama dengan luasdaerah

di bawah kurva)

Fungsi kepadatan merupakan dasar untuk mencari nilai probabilitas di antara dua nilaivariabel. Probabilitas di antara dua nilai adalah luas daerah di bawah kurva di antara dua nilai

dibandingkan dengan luas daerah total di bawah kurva. Dapat dicari luas daerah tersebut dengan

menggunakan integral tertentu (definit integral).Persamaan matematika distribusi peluang peubah normal kontinu bergantung pada dua

 parameter μ dan σ yaitu rataan dan simpangan baku. Jadi fungsi padat x akan dinyatakan dengann (x; μ, σ).Begitu μ dan σ diketahui maka seluruh kurva normal diketahui. Sebagai contoh, bila μ = 50 danσ = 5, maka ordinat n(x ; 50, 5) dapat dengan mudah dihitung untuk berbagai harga x dankurvanya dapat digambarkan. Kedua kurva bentuknya persis sama tapi titik tengahnya terletak di

tempat yang berbeda di sepanjang sumbu datar.

Dengan memeriksa turunan pertama dan kedua dari n(x ; μ, σ) dapat diperoleh lima sifatkurva normal berikut :

1. Modus, titik pada sumbu datar yang memberikan maksimum kurva, terdapat pada

x=μ2. Kurva setangkup terhadap garis tegak yang melalui rataan μ3. Kurva mempunyai titik belok pada x = μ σ, cekung dari bawah bila μ –  σ < x < μ + σ,

dan cekung dari atas untuk harga x lainnya4. Kedua ujung kurva normal mendekati asimtot sumbu datar bila harga x bergerak 

5/16/2018 STATISTIK 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/statistik-2-55ab529252446 2/11

 

  menjauhi μ baik ke kiri maupun ke kanan5. Seluruh luas di bawah kurva diatas sumbu datar sama dengan 1

Bila x menyatakan peubah acak distribusi maka P(x1 < x < x2) diberikan oleh daerah yang

diarsir dengan garis yang turun dari kiri ke kanan. Jelas bahwa kedua daerah yang diarsir

berlainan luasnya. Jadi, peluang yang berpadanan dengan masing-masing distribusi akanberlainan pula.

Contoh soal : Contoh Soal : Mawar adalah seorang peragawati yang akan diseleksi dengan tinggi badan 173

cm. Standar tinggi badan rata-rata peragawati adalah 171,8 dan standar deviasinya adalah 12.

Berapakah standar normalnya (Z) ?Penyelesaian :

Dik : x = 173, µ = 171,8, σ = 12 

Dit : Z ?

Jawab : Z = x - µ 

σ = 173 – 171.8 = 0.112

2. ANALYSIS OF VARIANCE (ANOVA) 

  ANOVA dapat digunakan untuk menguji kesaman 3 (tiga) atau lebih rata-rata populasi

menggunakan data yang diperoleh dari pengamatan maupun percobaan.  Menggunakan hasil sampel untuk menguji hipotesis berikut:

H0: 1 = 2 = … = k  

Ha: minimal ada i   j 

  Jika H0 ditolak berarti minimal ada 2 rata-rata populasi yang memiliki nilai berbeda.

ASUMSI-ASUMSI PADA ANOVA   Untuk setiap populasi, variabel respons-nya terdistribusi normal.

  Varian dari variabel respons, dinotasikan s 2, adalah sama untuk semua populasi.  Unit observasi harus saling bebas (independent ).

ANOVA: PENGUJIAN RATA-RATA POPULASI ESTIMASI VARIAN POPULASI ANTAR SAMPEL

  Estimasi 2

antar-sampel (between-samples) disebut mean square

between (MSB).

  Pembilang dari MSB merupakan sum of squares between (SSB).

  Penyebut dari MSB menyatakan derajat bebas (degrees of freedom) yang terkait dengan SSB.  ANOVA: PENGUJIAN RATA-RATA POPULASI 

ESTIMASI VARIAN POPULASI DALAM SAMPEL

  Estimasi 2 yang didasarkan pada variasi observasi dalam masing-masing

sampel disebut mean square within (MSW).

5/16/2018 STATISTIK 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/statistik-2-55ab529252446 3/11

 

 

  Pembilang dari MSW disebut sum of squares within (SSW).

  Penyebut dari MSW menunjukkan derajat bebas (degrees of freedom) yang bersesuaian dengan

SSW.

  ANOVA: PENGUJIAN RATA-RATA POPULASI PERBANDINGAN ESTIMASI VARIAN: UJI F

  Jika H0 benar dan asumsi pada ANOVA terpenuhi, maka distribusi

  Jika rata-rata k populasi tidak sama, nilai MSB/MSW akan meningkat karena MSB

overestimate.

  Oleh karena itu, kita akan menolak H0.

  PROSEDUR PENGUJIAN RATA-RATA POPULASI Hipotesis

H0: 1 = 2 = … = k  

Ha: minimal ada i   j 

  Uji Statistik F = MSB/MSW

  Aturan Penolakan

Tolak H0 jika F > F a

dimana nilai F didasarkan pada distribusi F dg derajat bebas k - 1 dan nT - 1.

CONTOH SOAL:

REED MANUFACTURING

  Analysis of Variance (ANOVA)J. R. Reed ingin mengetahui apakah rata-rata jumlah jam kerja per minggu para manajer

sama pada tiga perusahaan yang ada (Buffalo, Pittsburgh, and Detroit).Sampel acak sederhana yang terdiri dari 5 orang manajer pada masing-masing

perusahaan diambil dan jumlah jam kerja minggu yang lalu masing-masing manajer tersebut

dicatat. Hasilnya seperti pada slide berikut.

  Analysis of Variance (ANOVA)

Prshn 1 Prshn 2 Prshn 3Observasi Buffalo Pittsburgh Detroit

1 48 73 51

2 54 63 63

3 57 66 614 54 64 54

5 62 74 56Rata-rata Sampel 55 68 57Varian Sampel 26,0 26,5 24,5

  Analysis of Variance (ANOVA) Hipotesis

H0: 1 = 2 = 3 

Ha: minimal ada i   j ; i, j = 1,2,3dimana:

5/16/2018 STATISTIK 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/statistik-2-55ab529252446 4/11

 

  1 = rata-rata jumlah jam kerja perminggu manajer pada perusahaan 1

2 = rata-rata jumlah jam kerja perminggu manajer pada perusahaan 2

3 = rata-rata jumlah jam kerja perminggu manajer pada perusahaan 3

  Analysis of Variance (ANOVA) Mean Square Between (MSB)

Karena ukuran sampelnya sama, makax = (55 + 68 + 57)/3 = 60SSB = 5(55 - 60)2 + 5(68 - 60)2 + 5(57 - 60)2 = 490

MSB = 490/(3 - 1) = 245

Mean Square Within (MSW)SSW = 4(26,0) + 4(26,5) + 4(24,5) = 308

MSW = 308/(15 - 3) = 25,667

  Analysis of Variance (ANOVA)

Uji

Statistik 

F= MSB/MSW =

245/25,667 =

9,55

  Analysis of 

Variance (ANOVA) Aturan Penolakan

Misalkan a = 0,05, maka F0,05;2;12 = 3,89Tolak H0 jika F > 3,89

Kesimpulan : Karena F = 9,55 > F0,05;2;12 = 3,89, maka H0 ditolak. Rata-rata jumlah jam kerja

para manajer perminggu pada tiga perusahaan (Buffalo, Pittsburgh, and Detroit) tidak sama.2.  DISTRIBUSI T 

Adalah pengujian hipotesis yang menggunakan distribusi T sebagai uji statsistik, table

pengujiannya disebut table T student. Distribusi T pertama kali diterbitkan tahu 1908 dalam

suatu makalah oleh W.S. Gosset. Hasil uji statistiknya kemudian dibandingkan dengan nilai yangada pada tabel kemudian menerima atau menolak hipotesis nol (Ho) yang dikemukakan. Cirinya

: sample yang di uji berukuran kurang dari 30

Tabel Nilai t

df  α 

0.05 0.025 0.01 0.005

1 6.314 12.706 31.821 63.657

2 2.920 4.303 6.965 9.925

3 2.353 3.182 4.541 5.841

4 2.132 2.776 3.747 4.604

5 2.015 2.571 3.365 4.032

Source of 

Variation

Degrees of 

Freedom

Sum of 

Squares

Mean

Squares

F

Treatment 2 490 245 9,55

Error 12 308 25,667

Total 14 798

5/16/2018 STATISTIK 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/statistik-2-55ab529252446 5/11

 

6 1.943 2.447 3.143 3.707

7 1.895 2.365 2.998 3.499

8 1.860 2.306 2.896 3.355

91.833 2.262 2.821 3.250

10 1.812 2.228 2.764 3.169

11 1.796 2.201 2.718 3.106

12 1.782 2.179 2.681 3.055

13 1.771 2.160 2.650 3.012

14 1.761 2.145 2.624 2.977

15 1.753 2.131 2.602 2.947

16 1.746 2.120 2.583 2.921

17 1.740 2.110 2.567 2.898

18 1.734 2.101 2.552 2.878

19 1.729 2.093 2.539 2.861

20 1.725 2.086 2.528 2.845

21 1.721 2.080 2.518 2.831

22 1.717 2.074 2.508 2.819

23 1.714 2.069 2.500 2.807

24 1.711 2.064 2.492 2.797

25 1.708 2.060 2.485 2.787

26 1.706 2.056 2.479 2.779

27 1.703 2.052 2.473 2.771

28 1.701 2.048 2.467 2.763

29 1.699 2.045 2.462 2.756

30 1.697 2.042 2.457 2.750

40 1.684 2.021 2.423 2.704

50 1.676 2.009 2.403 2.678

100 1.660 1.984 2.364 2.626

10000 1.645 1.960 2.327 2.576

Uji t Tidak Berpasangan 

Uji t dikembangkan oleh William Sealy Gosset. Dalam artikel publikasinya, ia

menggunakan nama samaran Student, sehingga kemudian metode pengujiannya dikenal dengan

5/16/2018 STATISTIK 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/statistik-2-55ab529252446 6/11

 

uji t-student. William Sealy Gosset menganggap bahwa untuk sampel kecil, nilai Z dari distribusi

normal tidak begitu cocok. Oleh karenanya, ia kemudian mengembangkan distribusi lain yangmirip dengan distribusi normal, yang dikenal dengan distribusi t-student. Distribusi student ini

 berlaku baik untuk sampel kecil maupun sampel besar. Pada n ≥ 30, distribusi t ini mendekatidistribusi normal dan pada n yang sangat besar, misalnya n=10000, nilai distribusi t sama persis

dengan nilai distribusi normal (lihat tabel t pada df 10000 dan bandingkan dengan nilai Z).Pemakaian uji t ini bervariasi. Uji ini bisa digunakan untuk objek studi yang berpasangan

dan juga bisa untuk objek studi yang tidak berpasangan. Berikut contoh penggunaan uji t.

Uji t tidak berpasangan

Contoh kasus :

Kita ingin menguji dua jenis pupuk nitrogen terhadap hasil padi

1. Hipotesis

Ho :  1 = 2 

HA : 1 ≠  2 

2. Hasil penelitian tertera pada Tabel 1.

Tabel 1. Data hasil penelitian dua jenis pupuk nitrogen terhadap hasil padi (t/h)

Plot Pupuk A

Y1 

Pupuk B

Y2 

1 7 8

2 6 6

3 5 7

4 6 8

5 5 6

6 4 6

7 4 7

8 6 7

9 6 8

10 7 7

11 6 6

12 5 7

3. Data analisis adalah sebagai berikut

Hitunglah

1 = 5.58

Y 2 = 6.92

5/16/2018 STATISTIK 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/statistik-2-55ab529252446 7/11

 

S1 = 0.996

S2 = 0.793

thit =(  1  –   2)/√(S12 /n1) +(S2

2 /n2)

=( 5.58 –  6.92)/√(0.9962 /12)+(0.793

2 /12)

= -1.34/0.367522 = -3.67

Setelah itu, kita lihat nilai t table, sebagai nilai pembanding. Cara melihatnya adalah sebagai

 berikut. Pertama kita lihat kolom α = 0.025 pada Tabel 2. Nilai α ini berasal dari α 0.05 dibagi 2,karena hipotesis HA kita adalah hipotesis 2 arah (lihat hipotesis). Kemudian, kita lihat baris ke

22. Nilai 22 ini adalah nilai df, yaitu n1+n2-2. Nilai n adalah jumlah ulangan, yaitu masing 12

ulangan. Akhirnya, kita peroleh nilai t table = 2.074.

t table = t α/2 (df) = t0.05/2 (n1+n2-2)=t0.025(12+12-2) = t0.025(22) = 2.074

4. Kriteria Pengambilan Kesimpulan

Terima H0, jika thit| < t table, sebaliknya

Tolak H0, alias terima HA, jika thit| > t table 

5. Kesimpulan

Karena nila thit|= 3.67 (tanda minus diabaikan) dan nilai t table=2.074, maka kita tolak H0, alias

kita terima HA. Dengan demikian,  1 ≠  2, yaitu hasil padi yang dipupuk dengan pupuk A tidak 

sama dengan hasil padi yang dipupuk dengan pupuk B. Lebih lanjut, kita lihat bahwa rata-ratahasil padi yang dipupuk dengan pupuk B lebih tinggi daripada yang dipupuk dengan pupuk A.

Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa pupuk B nyata lebih baik daripada pupuk A

untuk meningkatkan hasil pa

3.  UJI CHI KUADRAT (χ ²)1. PendahuluanUji Chi Kuadrat adalah pengujian hipotesis mengenai perbandingan antara :

frekuensi observasi/yg benar-benar terjadi/aktual dengan

frekuensi harapan/ekspektasi

1.1. Pengertian Frekuensi Observasi dan Frekuensi Harapanfrekuensi observasi → nilainya didapat dari hasil percobaan (o)frekuensi harapan → nilainya dapat dihitung secara teoritis (e)

1.2. Bentuk Distribusi Chi Kuadrat ( χ ²) Nilai χ² adalah nilai kuadrat karena itu nilai χ² selalu positif.

Bentuk distribusi χ² tergantung dari derajat bebas(db)/degree of freedom.Perhatikan Tabel hal 178 dan 179 (Buku Statistika-2, Gunadarma).Anda bisa membacanya?

Contoh : Berapa nilai χ² untuk db = 5 dengan α = 0.010? (15.0863)Berapa nilai χ² untuk db = 17 dengan α = 0.005? (35.7185)

Pengertian α pada Uji χ² sama dengan pengujian hipotesis yang lain, yaitu luas daerah penolakan

 H 0 atau taraf nyata pengujian

Perhatikan gambar berikut :

5/16/2018 STATISTIK 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/statistik-2-55ab529252446 8/11

 

α : luas daerah penolakan H 0 = taraf nyata pengujian

0 + ∞

1.3. Pengunaan Uji χ ² Uji χ² dapat digunakan untuk :

a. Uji Kecocokan = Uji kebaikan-suai = Goodness of fit test b. Uji Kebebasan

c. Uji beberapa proporsiPrinsip pengerjaan (b) dan (c) sama saja

2. Uji Kecocokan (Goodness of fit test)

 2.1 Penetapan Hipotesis Awal dan Hipotesis Alternatif  H 0: frekuensi setiap kategori memenuhi suatu nilai/perbandingan. H 1 : Ada kategori yang tidak memenuhi nilai/perbandingan tersebut.

k : banyaknya kategori/sel, 1,2 ... k 

o : frekuensi observasi untuk kategori ke-i i

e : frekuensi ekspektasi untuk kategori ke-i i

kaitkan dengan frekuensi ekspektasi dengan nilai/perbandingan dalam H 0

Derajat Bebas (db) = k - 1

 2.3 Perhitungan χ ² Contoh 3 :

Pelemparan dadu sebanyak 120 kali menghasilkan data sebagai berikut :

kategori : sisi-1 sisi-2 sisi-3 sisi-4 sisi-5 sisi-6

frekuensi observasi 20

20

20

22

20

17

20

18

20

19

20

24

*) Nilai dalam kotak kecil adalah frekuensi ekspektasiApakah dadu itu dapat dikatakan setimbang?

Lakukan pengujian dengan taraf nyata = 5 %

Solusi :

1. H 0 : Dadu setimbang → semua sisi akan muncul = 20 kali. H 1 : Dadu tidak setimbang → ada sisi yang muncul ≠20 kali.

2. Statistik Uji χ²3. Nilai α = 5 % = 0.05k = 6 ; db = k - 1 = 6-1 = 54. Nilai Tabel χ²k = 6 ; db = k - 1 = 6-1 = 5

db = 5;α = 0.05 → χ² tabel = 11.07055. Wilayah Kritis = Penolakan H 0 jika χ² hitung > χ² tabel (db; α) χ² hitung > 11.0705(catatan : Gunakan tabel seperti ini agar pengerjaan lebih sistematik)

5/16/2018 STATISTIK 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/statistik-2-55ab529252446 9/11

 

 

kategori : oi ei (o-e) ii (o-e)² ii (o-e)²/ e iii 

sisi-1 20 20 0 0 0

sisi-2 22 20 2 4 0.20

sisi-3 17 20 -3 9 0.45

sisi-4 18 20 -2 4 0.20

sisi-5 19 20 -1 1 0.05

sisi-6 24 20 4 16 0.80

Σ 120 120 --------- -------------- 1.70

χ² hitung = 1.707. Kesimpulan :

χ² hitung = 1.70 < χ² tabel

 Nilai χ² hitung ada di daerah penerimaan H 0

 H 0 diterima; pernyataan dadu setimbang dapat diterima.

4.  Regresi linierUntuk mengukur besarnya pengaruh variabel bebas terhadap variabel tergantung dan

memprediksi variabel tergantung dengan menggunakan variabel bebas. Gujarati (2006)

mendefinisikan analisis regresi sebagai kajian terhadap hubungan satu variabel yang disebut

sebagai variabel yang diterangkan (the explained variabel) dengan satu atau dua variabel yangmenerangkan (the explanatory). Variabel pertama disebut juga sebagai variabel tergantung dan

variabel kedua disebut juga sebagai variabel bebas. Jika variabel bebas lebih dari satu, maka

analisis regresi disebut regresi linear berganda. Disebut berganda karena pengaruh beberapa

variabel bebas akan dikenakan kepada variabel tergantung.

Diposkan oleh Chechi di 06:37 Kirimkan Ini lewat EmailBlogThis!Berbagi ke TwitterBerbagi ke Facebook  

1 komentar:

1. 

5/16/2018 STATISTIK 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/statistik-2-55ab529252446 10/11

 

wayansuartawaJul 11, 2011 07:24 PM 

JENG TOLONG MINTA INFORMASIKAN KAPAN MENGGUNAKAN KURVA

NORMAL DISTRIBUSI T DUA SISI DAN KAPAN UNTUK SATU SISI DAN

BAGAIMANA PENGHITUNGANNYA...TRIMS (KALAU BISA DI INFOKAN KE

FB SAYA wayansuartawa atau email wayan_suartawa@yahoo.com)

Balas 

Muat yang lain... Posting Lebih Baru Posting Lama Beranda 

Langganan: Poskan Komentar (Atom) 

Pengikut

Logo Universitas

Gunadarma

Mengenai Saya

ChechiI'm not perfect

Lihat profil lengkapku 

Tugas Metode Riset  Beranda 

Arsip Blog

  ▼ 2011 (42)

o  ► Desember (1)

o  ► November (3)

o  ► Oktober (3)

o  ► September (2)

o  ▼ April (19)  Doraemon 

  Sejarah Proklamasi dan Naskah Proklamasi

Kemerdeka... 

  MAKAM SUNYI DI TANAH TORAJA 

  TUJUH KEAJAIBAN BUMI 

  SIFAT FISIS ATMOSFER 

  MUSEUM GEOLOGI DAN TAMAN HUTANH.DJUANDA 

  STATISTIK 2 

  COKLAT 

  Legenda Kisah Cinta Sam Pek dan Eng Tay   Harry Potter dan Relikui Kematian 

  BIOGRAFI Ir. SOEKARNO 

  Peristiwa Pemberontakan PKI Madiun 1948 

  Biografi Presiden Susilo Bambang Yudhoyono 

  TUMOR PAYUDARA 

  KISAH NABI YUSUF as 

  Sukhoi 30 MKK TNI AU 

5/16/2018 STATISTIK 2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/statistik-2-55ab529252446 11/11

 

  Sinopsis Film Twilight 

  Galaksi Bimasakti Terancam Ditabrak AwanRaksasa 

  KISAH DUA EKOR CICAK.. 

o  ► Maret (5)

o ► Februari (2)

o  ► Januari (7)

  ► 2010 (7)

Template Picture Window. Gambar template oleh sx70. Diberdayakan oleh Blogger.