Ukuran Statistika

Ukuran Penyebaran

Julius Nursyamsi

Pendahuluan

Ukuran penyebaran Suatu ukuran baik parameter atau statistik

untuk mengetahui seberapa besar penyimpangan data dengan nilai rata – rata hitungnya

Ukuran penyebaran mencakup data Ungrouped data

Data yang belum dikelompokan Grouped data

Data yang telah dikelompokan ; Tabel distribusi frekuensi

Ukuran PenyebaranUkuran penyebaran: Range Deviasi Rata – rata Varian Deviasi standar Range inter-kuartil Deviasi kuartil

Ukuran kecondongan dan keruncingan

Ukuran Penyebaran Untuk Data Tidak Dikelompokan

Range – Jarak Merupakan perbedaan antara nilai

terbesar dan terkecil dalam suatu kelompok data baik data populasi atau sampel

Rumusan RangeRange = Nilai terbesar – nilai

terkecilPerusahaan Harga Saham

Sentul City 530

Tunas Baru 580

proteinprima 650

total 750

Mandiri 840

Range = 840 – 530= 310

Deviasi Rata – rata Populasi

Rata – rata hitung dari nilai mutlak deviasi antara nilai data pengamatan dengan rata-rata hitungnyaRumusan Deviasi rata –rata ( MD)

∑|x - x| MD =

N

X = Nilai data pengamatanX = Rata – rata hitungN = Jumlah data

Contoh Deviasi Rata - RataPerusahaan Indek x - X Nilai Mutlak

Sentul City 7.5 1.14 1.14

Tunas Baru 8.2 1.84 1.84

proteinprima 7.8 1.44 1.44

total 4.8 -1.56 1.56

Mandiri 3.5 -2.86 2.86

Total 31.8 8.84

Rata -rata (X) 6.36 MD 1.768

MD == ∑|x - X| / n= 8.84 / 5= 1.768

Varians dan Standar Deviasi Populasi

Varians Rata – rata hitung deviasi kuadrat

setiap data terhadap rata – rata hitungnya

Rumus varians populasi (X - µ )2

2= N

µ = (∑ X) / N

X = Nilai data pengamatanµ = Nilai rata – rata hitungN = Jumlah total data

Contoh Kasus Varians

Perusahaan Indek X - µ (X - µ)²

Sentul City 7.5 1.14 1.2996

Tunas Baru 8.2 1.84 3.3856

proteinprima 7.8 1.44 2.0736

total 4.8 -1.56 2.4336

Mandiri 3.5 -2.86 8.1796

Jumlah ( ∑X ) 31.8 ∑(X - µ)² 17.372

Rata - rata (µ) 6.36 ² 3.4744

(X - µ )2 17.372 2 = = = 3.4744 N 5

Standar deviasi Akar kuadrat dari varians dan

menunjukan standar penyimpangan data terhadap nilai rata-ratanya

Rumus standar deviasi

(X - µ )2

= N

Standar Deviasi

atau = ²

Contoh Kasus Standar Deviasi

(X - µ )2 17.372 2 = = = 3.4744 N 5

Nilai varians :

Nilai standar deviasi : = 3.4744 = 1.864

Nilai penyimpangan sebesar 1.864

Varians dan Standar Deviasi Sampel

Varians

Standar deviasi

(x - x )2

s 2= n -1

S = s²

Contoh Kasus Sampel

No PerusahaanHarga saham x - X (x - X)²

1 Jababeka 215 -358 128164

2 Indofarma 290 -283 80089

3 Budi Acid 310 -263 69169

4 Kimia farma 365 -208 43264

5 Sentul City 530 -43 1849

6 Tunas Baru 580 7 49

7 proteinprima 650 77 5929

8 total 750 177 31329

9 Mandiri 840 267 71289

10 Panin 1200 627 393129

Jumlah 5730   824260

Rata - Rata (X) 573 s² 91584.44

    S 302.63

Varians : ∑(x – X)²s² = n – 1s² = 824260 / 9s² = 91584.44

Standar deviasi :S = s²S = 91584.44S = 302.63

Ukuran Penyebaran Untuk Data dikelompokan

Range – Jarak Merupakan selisih antara batas

atas dari kelas tertinggi dengan batas bawah dari kelas terendah

Rumusan RangeRange = Batas atas kelas

tertinggi – nilai terkecil

Kelas1 215 21222 2123 40303 4031 59384 5939 78465 7847 9754

Interval

Contoh RangeBatas atasKelas terendah

Batas atas Kelas tertinggi

Range := 9754 – 215= 9539

Deviasi Rata - Rata

Rumus deviasi rata - rata

f. |x - x| MD = n

Rata – rata hitung data dikelompokanx = ( f.x ) / n

Contoh Kasus Kelas

Interval Kelas f

Titik tengah (x) f.x |x - X| f.|x - X|

1 16 24 10 20 200 13.68 136.8

2 25 33 18 29 522 4.68 84.24

3 34 42 14 38 532 4.32 60.48

4 43 51 4 47 188 13.32 53.28

5 52 60 2 56 112 22.32 44.64

6 61 69 2 65 130 31.32 62.64

Total   50 255 1684 89.64 442.08

Rata - rata (X)     33.68    

MD = (∑f.|x - X|) / n = 442.08 / 50 = 8.8416

Varians dan Standar Deviasi data di kelompokan

Varians

Standar deviasi

f. (x - x )2

s 2= n -1

S = s²

Contoh Kasus Kelas Interval Kelas f

Titik tengah (x) f.x |x - X| |x - X|² f.|x - X|²

1 16 24 10 20 200 13.68 187.1424 1871.424

2 25 33 18 29 522 4.68 21.9024 394.2432

3 34 42 14 38 532 4.32 18.6624 261.2736

4 43 51 4 47 188 13.32 177.4224 709.6896

5 52 60 2 56 112 22.32 498.1824 996.3648

6 61 69 2 65 130 31.32 980.9424 1961.885

Total   50 255 1684 89.64 1884.254 6194.88

Rata - rata (X)     33.68      

Varians :s²= (∑f.|x - X|²)/ n – 1 = 6194.88 / 49 = 126.4261

Standar deviasi :S = s² = 126.4261 = 11.2439

Ukuran Penyebaran Relatif

Mengubah ukuran penyebaran menjadi persentase atau ukuran relatifPenggunaan ukuran relatif memberikan manfaat : Data mempunyai satuan penguikuran

yang berbeda Data mempunyai satuan ukuran yang

sama

Ukuran Penyebaran Relatif

Koefisien rangeKoefisien deviasi rata-rataKoefisien deviasi standar

Koefisien Range

Pengukuran penyebaran dengan menggunakan range secara relatifRumusan :

KR = ( (la – Lb) / (La + Lb) ) x 100 %La : Batas atas data atau kelas tertinggiLb : Batas bawah data atau kelas terendah

Contoh Koefisien Range

KelasInterval Kelas f

1 16 24 102 25 33 183 34 42 144 43 51 45 52 60 26 61 69 2

La : Kelas tertinggi = 69Lb : Kelas terendah = 16

KR := (La – Lb) / (La + Lb)= (69 – 16 ) / (69 + 16)= 53 / 85= 0.6235 x 100 %= 62.35 %

Koefisien Deviasi Rata - Rata

Koefisien deviasi rata – rata Ukuran penyebaran dengan

menggunakan deviasi rata-rata relatif terhadap nilai rata-ratanya atau persentase dari deviasi rata-rata terhadap nilai rata-ratanya

Rumus : KMD = [ MD / x ] x 100%MD = Deviasi rata - rataX = Nilai rata – rata data

Contoh Kasus

Data dikelompokan : MD = 8.8416 X = 33.68

Koefisien deviasi rata – rata :KMD = [ 8.8416 / 33.68 ] x 100 % = 0.2625 x 100 %

= 26.25 %

Koefisien Standar Deviasi

Koefisien standar deviasi Ukuran penyebaran yang

menggunakan standar deviasi relatif terhadap nilai rata-rata yang dinyatakan sebagai persentase

Rumus KSD = [ s / x ] x 100 %

S = Standar deviasiX = Nilai rata – rata data

Contoh Kasus

Data dikelompokan Standar deviasi = 11.2439 Rata – Rata hitung (x) = 33.68

Nilai koefisien stnadar deviasi KSD = [ s / x ] x 100 % = [ 11.2439 / 33.68 ] x 100% = 0.3338 x 100 %

= 33.38 %

Ukuran Kecondongan - Skewness

Ukuran kecondongan – kemencengan Kurva tidak simetris

Pada kurva distribusi frekuensi diketahui dari posisi modus, rata-rata dan mediaPendekatan : Jika Rata-rata = median = modus : Simetris Rata-rata < median < modus : Menceng ke kiri Rata-rata > median > modus : Menceng ke kanan

Koefisien Skewness

Sk = [µ - Mo ] / atau = 3.[µ - Md] /

µ = Nilai rata – rata hitungMo = Nilai modusMd = Nilai median = Standar deviasi

Contoh kasus data dikelompokanµ = 33.68Mo = 18Md = 32 = 11.2439

Sk = [33.68- 18 ] / 11.2439Sk = 15.68 / 11.2439Sk = 1.394

Sk = {3. [ 33.68 – 32]} 11.2439Sk = 5.04 / 11.2439Sk = 0.4482

Ukuran Keruncingan - Kurtosis

Keruncingan disebut juga ketinggian kurvaPada distribusi frekuensi di bagi dalam tiga bagian : Leptokurtis = Sangat runcing Mesokurtis = Keruncingan sedang Platykurtis = Kurva datar

Koefisien Kurtosis

Bentuk kurva keruncingan – kurtosis Mesokurtik 4 = 3 Leptokurtik 4 > 3 Platikurtik 4 < 3

Koefisien kurtosis (data tidak dikelompokan)

4 =

1/n ∑(x - )4

4

Nilai data

Koefisien Kurtosis

Koefisien kurtosis (data dikelompokan)

4 =

1/n ∑ f. (X - )4

4

Nilai rata – rata hitungStandar deviasi

Nilai tengah kelas

Jumlah Frekuensi

Rata – Rata Geometrik

Digunakan untuk menghitung rata-rata laju pertumbuhan – Growth rateRumus :

G = n (x1 . x2 . x3 . … xn )

G = [log x1 + log x2 +… log xn]n

G = Antilog (log G)

ContohData pertumbuhan suku bunga selama 5 hari, yaitu 1.5, 2.3, 3.4, 1.2, 2.5 %Tingkat pertumbuhan :G = [log 1.5 + log 2.3 +log 3.4 +

log 1.2 + log 2.5 ] / 5G = [ 0.176 + 0.361 + 0.531 + 0.079

+ 0.397] / 5G = 1.5464 / 5 = 0.30928G = antilog 0.30928 = 2.03

Ukuran Penyebaran Lain

Range Inter-Kuartil Jarak inter-kuartil = K3 – K1

Jika : Inter-kuartil : Nilainya lebih kecil ;

Bahwa data dalam sampel dan populasi lebih mengelompok ke nilai rata-rata hitung (seragam)

Inter-kuartil : lebih besar ; Kurang seragam

Ukuran Penyebaran Lain

Deviasi Kuartil Setengah jarak antara kuartil ke 3

dan kuartil ke 1

Rumusan Deviasi kuartil – DKDK = [ K3 – K1 ] / 2

Jika DK lebih kecil ; Rata – rata data lebih

mewakili keseluruhan data

Ukuran Penyebaran Lain

Jarak persentil Selisih antara persentil ke 90 dengan

persentil ke 10

Rumusan jarak persentil - JPJP = P90 – P10

Jika JP lebih besar Bahwa nilai deviasi lebih besar