sistem persamaan linier - relifline.files.wordpress.com · sistem persamaan linier by yudiari 2010...

Sistem persamaan linier by yudiari 2010

SISTEM PERSAMAAN LINIER

Persamaan linier adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat fungsi eksponensial, trigonometri, logaritma serta tidak melibatkan suatu hasil kali peubah atau akar peubah atau pembagian dengan peubah lain atau dirinya sendiri.

Bentuk :

,

dimana , , … , dan b adalah konstanta real.

Sistem persamaan linier adalah himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linier.

Bentuk :

Atau dalam bentuk :

Atau

.

dimana :

A disebut matriks koefisien

X disebut matriks peubah

B disebut matriks konstanta.

Contoh 1 :

FMIPA UAD membeli sebuah Laptop dan 2 PC seharga 5 jt. Jika yang dibeli 3 laptop dan 1 PC maka harganya 10 jt.

Dalam bentuk SPL masalah ini dapat dinyatakan sebagai berikut:

Missa

Atau d

Solusisuatu

Untuk

Maka

Untuk

- -

al x = laptop

x + 2y = 5

3x + y = 1

dapat ditulis

i SPL adalaSPL akan m

k SPL

x + 2y = 5

3x + y = 1

{ x = 30000

k suatu SPL t

SPL mempSPL memp

Solusi (tepaso

p dan y = PC

5000000

10000000.

dalam bentu

ah himpunanmemenuhi nil

5000000

10000000.

000, , y = 100

terdapat tiga

punyai tak hpunyai solus

MempunSolusi(Kons

Tunggal at satu lusi)

, maka

uk

n bilangan relai kebenaran

00000} adal

a kemungkin

hingga banyasi tunggal

SPL non Homogen

B≠ 0

nyai sisten)

Tak hingga banyak solusi

m

Sistem pe

.

eal yang jikn SPL terseb

lah solusi SP

nan terkait de

ak solusi

SPL AX=B

i

Tidak mempunyai

Solusi

Solux

ersamaan lin

a disubstitusbut.

PL tersebut.

engan solusi

SPL HomB = 0

Selalmempu

solus

usi trivial xi =0

nier by yudia

sikan pada p

i:

ogen 0

u nyai si

TAk hinggabanyak solus

ari 2010

peubah dalam

si

m


- SPL tidak mempunyai solusi

Ilustrasi solusi SPL (untuk SPL 2 x 2 , SPL dengan 2 persamaan dan 2 peubah)

Dalam grafik, solusi SPL adalahtitik potong dari kedua garis.

Pada gambar (a) terlihat kedua garis sejajar sehingga tidak mempunayi titik potong, jadi tidak ada solusi.

Pada gambar (b) kedua garis berpotongan tepat di satu titik, jadi SPL punyai solusi tunggal.

Pada gambar (c) kedua garis berhimpit, sehingga SPL punya banyak tak hingga solusi.

Contoh 2: (Silakan anda verfikasi)

a. SPL yang punya tepat satu solusi 2 5

3 10

b. SPL yang tidak punya solusi 2 0

2 4 4

c. SPL yang punya tak hingga banyak solusi 2 0

2 4 0

Mencari solusi SPL

Solusi SPL dengan Operasi Baris Elementer (OBE)

Operasi baris elementer (OBE)


Sebelum nya kita tinjau mengenai Operasi Baris Elementer (OBE).

Ada tiga jenis OBE, yaitu:

1. Menukarkan satu baris dengan baris lain

2. Mengalikan suatu baris dengan konstanta nonnegative

3. Menjumlahkan hasil perkalian suatu baris dengan knstanta nonnegative dengan

baris lain.

Contoh : Misalkan 3 1 26 0 23 7 8

OBE 1. ( baris pertama ditukar dengan baris kedua) diperoleh 6 0 23 1 23 7 8

OBE 2. ½ b1 ( baris pertama dikalikan ½ ) diperoleh 3 0 13 1 23 7 8

OBE 3. ½ b1 + b3 (setengah kali baris pertama ditambahkan ke baris ketiga)

diperoleh 3 0 16 1 33 7 8

.

Beberapa istilah dalam matriks yang perlu diketahui:

Misalkan diberikan matriks

1 0 20 3 30 0 0

.

- Baris tak nol adalah baris yang memuat unsur tak nol. Untuk matriks B diatas

baris pertama dan kedua adalah baris tak nol.

- Baris nol adalah baris yang semua unsurnya nol. Baris ketiga pada matriks B

adalah baris nol

- Bilangan 1 pada baris pertama dan bilangan 3 pada baris kedua matriks B adalah

unsur pertama tak nol pada masing-masing baris.

- Bilangan 1 pada baris pertama kolom pertama dinamakan satu utama.


Sifat matriks hasil OBE:

1. Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama adalah 1 ( satu utama)

2. Baris yang lebih rendah ( urutan dibawahnya) memuat satu utama yang lebih ke

kanan.

3. Jika ada baris nol, maka diletakkan pada baris terakhir.

4. Pada kolom yang memuat unsur satu utama, maka unsur yang lain adalah nol.

Jika suatu matriks memenuhi sifat 1,2,3 maka dinamakan bentuk eselon baris dan proses

utuk memperoleh matriks eselon baris ini dinamakan Eliminasi Gauss.

Jika suatu matriks memenuhi sifat 1,2,3, dan 4 maka dinamakan bentuk eselon baris

tereduksi dan proses utuk memperoleh matriks eselon baris tereduksi ini dinamakan

Eliminasi Gauss-Jordan.

Contoh 3 :

Bentuk eselon baris

Bentuk eselon baris terseduksi


Selanjutnya akan dicari solusi SPL dengan OBE.

Langkah:

- Tulis SPL dalam bentuk matriks yang diperbesar (Augmented Matrix) - Lakukan OBE sampai menjadi bentuk eselon baris /eselon baris tereduksi.

Contoh 4:

Selesaikan SPL

x + 2y = 5

3x + y = 10.

Jawab :

Dalam bentuk matriks yang diperbesar

1 2 53 1 10

Selanjutnya kita lakukan OBE

1 2 5

3 1 10

1 2 50 5 5

/

1 2 50 1 1

Persamaan yang besesuaian x + 2y = 5

3x + y = 10

x + 2y = 5 - 5y = -5

x + 2y = 5 y = 1

Sampai disini kita telah mendapatkan betuk eselon baris (proses eliminasi Gauss). Dengan substitusi mundur kita dapatkan:

y = 1

x + 2y = 5 2.1 5 5 2 3.

Jadi solusi SPL adalah 3, 1 .


Jika diinginkan bentuk eselon baris tereduksi (proses eliminasi Gauss-Jordan) maka dari langkah terakhir diatas perlu dilanjutkan sebagai berikut:

1 0 30 1 1 merupakan bentuk eselon baris tereduksi, yang menunjukkan

solusi

SPL, yaitu 3, 1 .

Contoh 5: (SPL dengan solusi tunggal)

Tentukan solusi SPL dengan eliminasi Gauss-Jordan

2 5

3 2 11

2 2.

Jawab:

Dalam bentuk matriks yang diperbesar SPL menjadi

1 2 13 1 22 1 1

5

112

Selanjutnya dengan OBE

1 2 10 7 52 1 1

5

262

1 2 10 7 50 3 3

5

2612

1 2 10 7 50 1 1

5

264

1 2 10 1 10 7 5

5426

1 2 10 1 10 0 2

542

/

1 2 10 1 10 0 1

541

1 2 10 1 00 0 1

531

1 2 00 1 00 0 1

431

1 0 00 1 00 0 1

231

.

Jadi diperoleh solusi SPL tersebut adalah 2, 3, 1 .


Contoh 6: (SPL punya banyak solusi)

Selesaikan SPL

4 8 12

3 6 9

2 4 6.

Jawab:

4 8 123 6 92 4 6

1 2 33 6 92 4 6

1 2 30 0 02 4 6

1 2 30 0 00 0 0

.

Dari sini terliha peubah bebas yang tidak memuat unsur kunci adalah .

Persamaan baru yang sesuai adalah

2 3.

Selanjutnya kia berikan nilai parameter tertentu pada peubah bebas tersebut, kemudian substitusikan pada persamaan baru.

Misalkan . Dengan t bilangan real (konstanta), maka

2 3 2 3 3 2 .

Degnan demikian solusi SPL adalah 3 2 , untuk sebarang bilangan real t.

Jika diambil t = 0, maka salah satu penyelesaiannya adalah 3, 0 . Pembaca dapat mencoba untuk t yang lain.

Contoh 7 : (SPL tidak konsisten/tidak punya solusi)

Selesaikan SPL

2 3 2

3 1

2 2 3 8 3.


Jawab:

Matriks yang diperbesar:

1 1 21 1 32 2 3

318

213

Dengan OBE

1 1 20 0 12 2 3

328

213

1 1 20 0 10 0 1

322

211

1 1 20 0 10 0 0

320

212

Dari hasil ini diperoleh persamaan 0 0 0 0 2, yang tidak ada nilai x yang memenuhi. Jadi SPL ini tidak punya solusi.

Solusi SPL dengan invers matriks

Perhatikan SPL

Atau

.

Jika kita kalikan kedua ruas SPL di atas dengan ,

diperoleh:

.

Sebelum menyelesaikan SPL ini dengan invers matriks, kita perlu ingat bahwa suatu

matriks A mempunyai invers jika det 0.

Contoh:

Selesaikan SPL


4 1 82 1 31 0 2

2275

Jawab:

Perhatikan bahwa

| |4 1 82 1 31 0 2

1 0.

Jadi A punya invers, yaitu

2 2 111 0 41 1 6

.

Dengan demikian diperoleh

2 2 111 0 41 1 6

2275

=321

Jadi solusi SPL di atas adalah 3, 2, 1 .

Solusi SPL dengan Aturan Crammer

Langkah dalam memyelesaikan SPL menggunakan Aturan Crammer adalah:

Langkah 1. Hitung determinan A

Langkah 2. Tentukan , yaitu matriks A dimana kolom ke-i diganti oleh B.

Langkah 3. Tentukan det .

Langkah 4. Solusi SPL adalah det det .

Contoh:

Selesaikan SPL


4 1 82 1 31 0 2

2275

Menggunakan aturan Carmmer.

Jawab:

Perhatikan det(A),

| |4 1 82 1 31 0 2

1.

Sehingga,

det det

22 1 87 1 35 0 2

131 3.

det det

4 22 82 7 31 5 2

121 2.

dan

det det

4 1 222 1 71 0 5

111 1.

Jadi solusi SPL di atas adalah 3, 2, 1 .

SPL Homogen

SPL homogen berbentuk AX = 0.

SPL homogen selalu punyai solusi, yaitu salah satu dari dua kemungkinan berikut:

1. Solusi trivial ( 0 , untuk semua i. 2. Tak hingga banyak solusi.

Suatu SPL homogen akan memiliki solusi tak hingga banyak (nontrivial) jika determinan matriks koefisiennya sama dengan nol, yaitu jika det 0.


Contoh : SPL homogen dengan solusi trivial

2 3 0

2 0

0.

Silakan anda coba sebagai latihan.

Contoh: SPL homogen dengan solusi tak hingga banyak.

3 0

5 0

Solusi dari SPL ini adalah , , , .

Silakan anda coba.

SOAL

Selesaikan SPL berikut dengan eliminasi Gauss-Jordan:

1. 2 2 4 10

3 2

4.

2. 2 3 2

3 1

2 2 3 8 5.

3. 2 4 1

3 7 2 2

12 11 16 5.

4. 3 5 0 4 7 3 0

3 2 7 8 0.

sistem persamaan linier - relifline.files.wordpress.com · sistem persamaan linier by yudiari 2010...

Documents