Meringkas Data NumerikMeringkas Data Numerik

Bahan Kuliah Bahan Kuliah

Tanggal 11 Mei 2010Tanggal 11 Mei 2010

Meringkas Data NumerikMeringkas Data Numerik

Ukuran Nilai Nilai tengah ( Central Ukuran Nilai Nilai tengah ( Central Tendency )Tendency )

Ukuran Sebaran Nilai terhadap Nilai Nilai Ukuran Sebaran Nilai terhadap Nilai Nilai tengah ( Dispersi )tengah ( Dispersi )

Shape ( bentuk ) dataShape ( bentuk ) data Lokasi dataLokasi data

Ukuran nilai nilai tengahUkuran nilai nilai tengah

Nilai tengah adalah suatu nilai yang dapat Nilai tengah adalah suatu nilai yang dapat mewakili sekelompok nilai hasil pengamatan dan mewakili sekelompok nilai hasil pengamatan dan mempunyai kecenderungan untuk berada di mempunyai kecenderungan untuk berada di tengah tengah suatu distribusi nilai.tengah tengah suatu distribusi nilai.

Dalam praktik, sering kita tidak puas dengan Dalam praktik, sering kita tidak puas dengan hanya nilai tengahnya , tetapi juga ingin hanya nilai tengahnya , tetapi juga ingin mengetahui apakah hasil yang kita peroleh lebih mengetahui apakah hasil yang kita peroleh lebih besar, sama atau lebih kecil dengan kelompok besar, sama atau lebih kecil dengan kelompok lain. Bagaimana caranya ? lain. Bagaimana caranya ?

Misal :Misal :

Bila anda akan membandingkan nilai Bila anda akan membandingkan nilai tekanan darah sistolis mahasiswa FK tekanan darah sistolis mahasiswa FK UNMUL Blok 13 dan Blok 12.UNMUL Blok 13 dan Blok 12.

Apa yang anda lakukan ?Apa yang anda lakukan ?

Nilai Nilai tengahNilai Nilai tengah Arithmatic Mean (rata rata hitung ) : jumlah Arithmatic Mean (rata rata hitung ) : jumlah

seluruh nilai pengamatan di bagi dengan seluruh nilai pengamatan di bagi dengan banyaknya pengamatan.banyaknya pengamatan.

Geometric Mean ( Rata rata ukur ) : Akar pangkat Geometric Mean ( Rata rata ukur ) : Akar pangkat n dari hasil perkalian setiap pengamatann dari hasil perkalian setiap pengamatan

Median : hanya menyatakan posisi tengah dari Median : hanya menyatakan posisi tengah dari sederetan nilai pengamatan yang membagi dua sederetan nilai pengamatan yang membagi dua sama banyak.sama banyak.

Modus : nilai yang paling banyak tampil dalam Modus : nilai yang paling banyak tampil dalam seluruh nilai pengamatan. ( puncak kurva )seluruh nilai pengamatan. ( puncak kurva )

Penghitungan rata rata dapat Penghitungan rata rata dapat dilakukan dengan cara dilakukan dengan cara

Dalam bentuk distribusi Dalam bentuk distribusi frekuensi tanpa frekuensi tanpa pengelompokanpengelompokan

Distribusi frekuensi yang dikelompokkan dg Distribusi frekuensi yang dikelompokkan dg kelas kelas interval yg samainterval yg sama

Distribusi frekuensi yang dikelompokkan dg kelas Distribusi frekuensi yang dikelompokkan dg kelas interval tidak samainterval tidak sama

Penghitungan rata rata dg menggunakan Penghitungan rata rata dg menggunakan kodekode.. Rata rata hitung dengan Rata rata hitung dengan pembebanan ( Weighted pembebanan ( Weighted

Mean )Mean )

Central tendencyCentral tendency

Ungroup data :Data pengukuran Tinggi Badan 10 orang Mahasiswa FK UNMUL 160 156 162 165 158 145 150 160 160 167

xi X = n

X = ( 160 + 156 + 162 ……..+ 167 ) / 10 = 158.3

ARITHMATIC MEAN ( MEAN, RATA-RATA )

Group data :

Berat badan 32 balita umur 4 bulan :

5 4 4 4 6 5 5 7 5 5 5 5 5 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 3 3 5 6 6 5 5 5

Class Interval = ( 8 – 3 ) / 3 = 1.5

Kelas interval x f %

3 - 4 3.5 5 15.625 - 6 5.5 26 81.257 - 8 7.5 1 3.13

32 100.0

X = 1/n ( fx )

x = mid class

X = ( 3.5 x 5 ) + ( 5.5 x 26 ) + ( 7.5 x 1 ) ] / 32 = 168/32 =5.25

Rumus Sturges : m = 1 + 3.3 log n Interval I = R/m R adalah rentang antara nilai terbesar dan nilai terkecil

•Mean tak dapat digunakan pada data berskala katagorikal ( nominal ) dan ordinal atau descreet*Sangat cocok untuk data berskala ratio, kontinyu

Contoh : 7 orang mahasiswa FK UNMUL : 5 orang laki – laki dan 2 orang wanita

Laki-laki diberi skore : 1 , wanita : 2

X = ( 5x1 ) + (2 x 2 ) / 7 = 11/7 = 1.7 …… tak punya arti

MedianMedian160 156 162 165 158 145 150 160 160 167

145 150 156 158 160 160 160 162 165 167

Setelah diurut :

Md = Nilai urutan ke ( n + 1 ) / 2 Urutan ke (10 + 1 )/2 = 5.5 antara ke 5 dan ke 6

( 160 + 160 ) / 2 = 160

•Median lebih sesuai untuk data skala ordinal• Dapat untuk data descret maupun kontinyu

Keuntungan menggunakan Keuntungan menggunakan MedianMedian

Merupakan nilai tengah yg plg sedikit dipengaruhi Merupakan nilai tengah yg plg sedikit dipengaruhi nilai ekstrim. Paling stabil dibanding Mean nilai ekstrim. Paling stabil dibanding Mean terutama untuk data yg tidak simetristerutama untuk data yg tidak simetris

Mudah dipahami dan perhitungan lebih mudah Mudah dipahami dan perhitungan lebih mudah dibanding Meandibanding Mean

Dapat digunakan utk menghitung data dlm bentuk Dapat digunakan utk menghitung data dlm bentuk distribusi frekuensi dengan kelas terbuka yg tdk distribusi frekuensi dengan kelas terbuka yg tdk dapat dilakukan dg perhitungan Meandapat dilakukan dg perhitungan Mean

Median dpt digunakan utk menghitung Median dpt digunakan utk menghitung nilai tengah nilai tengah data kualitatifdata kualitatif

Kelemahan/ Kerugian Median Kelemahan/ Kerugian Median sbgi Nilai Tengahsbgi Nilai Tengah

Perhitungan Median lbh rumit dibanding Perhitungan Median lbh rumit dibanding MeanMean ( data hrs di susun lbh dulu ) ( data hrs di susun lbh dulu )

Median tidak memperhitungkan setiap nilai Median tidak memperhitungkan setiap nilai hasil pengamatan seperti hasil pengamatan seperti MeanMean

Nilai Median gabungan dua kelompok tdk Nilai Median gabungan dua kelompok tdk sama dg jumlah nilai kelompok satu sama dg jumlah nilai kelompok satu ditambah nilai kelompok dua.ditambah nilai kelompok dua.

Mode ( Modus )Mode ( Modus )

145 150 156 158 160 160 160 162 165 167

Mo = 160

* Modus dapat digunakan untuk semua tipe data

Hubungan mean,median,modusHubungan mean,median,modus1.1. Pada kurva simetris mean,median dan modus terletak pada satu Pada kurva simetris mean,median dan modus terletak pada satu

titik.titik.2.2. Pada distribusi miring kanan, modus bergeser kekiri,sedang mean di Pada distribusi miring kanan, modus bergeser kekiri,sedang mean di

kanan Mo ( > Mo), sedang Median terletak antara Mean dan Modus.kanan Mo ( > Mo), sedang Median terletak antara Mean dan Modus.3.3. Bila distribusi miring kiri, modus bergeser kekanan sedang mean di Bila distribusi miring kiri, modus bergeser kekanan sedang mean di

kiri Mo( < Mo ), sedang Median terletak antara Mean dan Moduskiri Mo( < Mo ), sedang Median terletak antara Mean dan Modus4.4. Untuk data dengan kemencengan moderat berlaku rumus :Untuk data dengan kemencengan moderat berlaku rumus : Modus = Mean – 3(Mean-Median )Modus = Mean – 3(Mean-Median )5.5. Secara empiris dikatakan bhw jarak antara Modus dan Median Secara empiris dikatakan bhw jarak antara Modus dan Median

merupakan 2/3 jarak antara Modus dan Meanmerupakan 2/3 jarak antara Modus dan Mean6.6. Modus mengalami pergeseran terbesar diikuti Mean dan Median. Modus mengalami pergeseran terbesar diikuti Mean dan Median.

Dari sampel ke sampel Mean mempunyai fluktuasi terkecil.Dari sampel ke sampel Mean mempunyai fluktuasi terkecil.

Sifat (Shape ) Curve DistribusiSifat (Shape ) Curve DistribusiUnimodal Simetris

Bimodal

Skewed to right Skewed to left

Mo MoX X

X = Md = Mo

Frekwensi distribusi yang mempunyai Mean = Md = Mo Curve distribusinya Simetris.

Dua frekwensi distribusi yang mempunyai nilai Mean , Md dan Mo Yang sama apakah curve distribusinya …… sama ?

n1 = 50

Mean =Md=Mo60

n2 = 50

Mean = Md = Mo60

Sample A Sample B

* Tergantung ukuran dispersinya.

Pemilihan nilai tengahPemilihan nilai tengah

Modus dapat digunakan pada data berskala Modus dapat digunakan pada data berskala ukur nominal, ordinal, interval maupun rasio. ukur nominal, ordinal, interval maupun rasio.

Median paling baik digunakan pada Median paling baik digunakan pada distribusi yang tidak simetrisdistribusi yang tidak simetris

Mean lebih cocok untuk data berskala Mean lebih cocok untuk data berskala interval dan rasiointerval dan rasio

Median cocok untuk data berskala apa ?Median cocok untuk data berskala apa ?

Ukuran dispersiUkuran dispersi

Ukuran keragaman nilai pengamatan Ukuran keragaman nilai pengamatan Penyimpangan nilai pengamatan terhadap Penyimpangan nilai pengamatan terhadap

nilai rata-ratanyanilai rata-ratanya Apa kepentingannya ?Apa kepentingannya ?

– Menilai ketepatan nilai tengah dalam mewakili Menilai ketepatan nilai tengah dalam mewakili distribusinyadistribusinya. Bila ukuran dispersinya besar, . Bila ukuran dispersinya besar, maka nilai tengah kurang mewakili distribusinyamaka nilai tengah kurang mewakili distribusinya

Macam ukuran dispersiMacam ukuran dispersi

I. Dispersi AbsolutI. Dispersi Absolut

1.1. RangeRange

2.2. Standar deviasiStandar deviasi

3.3. VarianVarian

4.4. Deviasi rata rata ( mean deviation )Deviasi rata rata ( mean deviation )

5.5. Decile, Kuartil, PercentileDecile, Kuartil, Percentile

II. Dispersi relatif berupa Koefisien variasi II. Dispersi relatif berupa Koefisien variasi ( Coefficient of variation ) KV = (sd/( Coefficient of variation ) KV = (sd/ X )*100X )*100

Measures of DispersionMeasures of Dispersion

Range : The difference between its largest ( maximum ) and smallest ( minimum ) values.

145 150 156 158 160 160 160 162 165 167

Range = 167 – 145 = 22

Interquartile Range

25 % 25 %

25 %25 %

Q1 Q2 Q3

Interquartile Range = Q3 – Q1

Posisi Q1= ( n+1 ) / 4Posisi Q3 = [3(n+1)] / 4Posisi Q2 = Md= 2(n+1)/4 (n+1)/2

Dispersi Median.

atau

Varian ( s 2 ) dan Standar Deviasi ( sd , s )

* Variabilitas terhadap Mean.

24 25 29 29 30 31 A B C D E F X = 28

X28

24 25 29 30 31

A B C,DE F Rata – rata Kuadrat

penyebaran setiap nilai pengamatan terhadap Mean nya = Varian

s2 = ( x – x )2 / n-1 sd = varian

24 25 29 29 30 31 X = 28

(24-28)2+(25-28)2+…..(31-28)2 s2 = = 8 ( 6-1 )

sd = 8 = 2.83

Bila tanpa mengetahui Mean :

s2 = n xi 2 – (x1)2 / n(n-1)

Terima kasih atas perhatian andaTerima kasih atas perhatian anda