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Principios del anlisis numrico

Catalina Domnguez,

Universidad del Norte

Maestra en Ciencias Bsicas

Semestre II de 2015

Pgina 1 Semana 1 30 Agosto de 2015 Domnguez C.

Principios

Anlisis Numrico

Desarrollo e investigacin de mtodos constructivos para la solucin

numrica de problemas en matemticas, ingeniera y/o practicas

cientficas.

Principal objetivo: proveer mtodos numricos eficientes para el

computo de una solucin.

Conceptos fundamentales

1 Consistencia y estabilidad de un mtodo numrico

2 convergencia del mtodo numrico


Principios del anlisis numrico

Problema

Encontrar x tal queF (x, d) = 0

donde

d: conjunto de datos

F : funcional que relaciona x y d

Clasificacin

1 Directos: F y d son dados.

2 Inversos: F y x son dados.

3 Identificacin: x y d son dados.


Problema:

Encontrar x tal queF (x, d) = 0

Problema bien puesto

El problema anterior es bien puesto si admite una nica solucin x, y stadepende continuamente de los datos.

En caso contrario decimos que el problema esta mal puesto.

Ejemplo

El problema de encontrar las races de un polinomio, no depende

continuamente de los coeficientes:

Las races de p(x) = x2 + a desaparecen cuando a < 0.

p(x) = x4 (2a 1)x2 + a(a 1)

Dependencia continua de datos significa una pequea perturbacin en los

datos resulta en pequeas variaciones de la solucin.


Estabilidad Numrica

Sea D el conjunto de datos admisibles y d D, denotamos por d unaperturbacin admisible, es decir, d+ d D y sea x la correspondienteperturbacin de la solucin, es decir,

F (x+ x, d+ d) = 0

Numero de condicin relativo

K(d) = sup{x/xd/d

, d 6= 0, d+ d D}

Numero de condicin absoluto

Kabs(d) = sup{xd

, d 6= 0, d+ d D}

El problema es mal condicionado siK(d) es grande para cualquier datoadmisible d.


Si el problema admite una nica solucin, entonces existe una aplicacin G(resolvente) tal que

x = G(d), es decir F (G(d), d) = 0

Por tanto, x+ x = G(d+ x). Aplicando expansion de Taylor

G(d+ d) G(d) = G(d)d + o(d), d 0

entonces

K(d) = supd+dD

x/x

d/d

G(d + d) G(d)/G(d)

d/d=G(d)d

G(d)

d

d

=G(d)d

G(d)


Numero de condicin de una matriz

Considere el problema de resolver el sistema lineal

Ax = b

siendo A Mn,n no singular, entonces

K(b) A1b

A1b=A1Ax

x AA1 =: K(A)

Numero de condicin de una matriz A

K(A) := AA1


Definicin

La aplicacin

: Rmn R

define una norma matricial sii

1 A 0 para toda A Rmn y A = 0 A = 0

2 A = || A para toda R, A Rmn

3 A+B A+ B para toda A,B Rmn

Una norma matricial es compatible con una norma vectorial si

Ax A x

Ejercicio

La norma matricial F (de Frobenius) es compatible con la normavectorial euclidiana 2


Teorema [arteroni, Th. 1.1]

Sea una norma vectorial. La funcin

A := supx 6=0

Ax

x

es una norma matricial, la cual se dice norma matricial inducida o

norma matricial natural.


Sistema lineal de ecuaciones: Aplicaciones

{u = f(x, u(x)), x (0, 1)

u(0) = u(1) = 0

1 Problema de vibraciones

de una cuerda o una

barra

2 Problema de conduccin

de calor

Diferencias finitas

1 Escoger n nodos equidistantes del intervalo (0, 1)

0 1xjb bb b b

xj = jh j = 0, . . . , n+ 1

h = 1/(n + 1);

2 Usando diferencias centrales

u(xj) 1

h2

(u(xj+1) 2u(xj) + u(xj1)

)3

1 ( )Pgina 10 Semana 1 30 Agosto de 2015 Domnguez C.

Diferencias finitas

Usando la expansion de Taylor

f(a+ h) = f(a) + f (a)h+f (a)

2h2 + +

f (n)(a)

n!hn +Rn(x),

truncando la serie se puede aproximar f (a) mediante

f (a) =f(a+ h) f(a)

hDiferencias progresivas

f (a) =f(a) f(a h)

hDiferencias regresivas

f (a) =f(a+ h/2) f(a h/2)

hDiferencias centrales

Derivada de 2do orden: diferencias centrales

f (a) =f(a+ h) 2f(a) + f(a h)

h2


function Ej1DiferenciasFinitas1D(N,MiFuncion)

% Esta programa resuleve el problema de valores de frontera

% -u(x) = f(x,u)

% u(0) = u(1) = 0

% usando diferencias finitas centrales.

% Entrada:

% N : numero de nodos (no incluye 0,1)

% MiFuncion: funcion handle @(x) f(x)

% Salida

% u: vector - solucion aproximada

% longitud de los sub-intervalos

h = 1/(N+1);

% discretizacion dominio

Nodes = (0:h:1);

% numero de nodos (incluyendo frontera)

n = size(Nodes,2); % o n=N+2

%Nodos Dirichlet - depende del dominio

DirNodes =[1,n];

% Nodos libres

FreeNodes = setdiff(1:n,DirNodes);

% Condicon de frontera

u(DirNodes) = [0 0];

% matriz del sistema

A = -1/h^2*gallery(tridiag,n,1,-2,1);

%nOnes = ones(n, 1) ;

%A = diag(2 * nOnes, 0) - diag(nOnes(1:n-1), -1) - diag(nOnes(1:n-1), 1);

% lado derecho

B = MiFuncion(Nodes);

% solucion

u(FreeNodes) = A(FreeNodes,FreeNodes)\B(FreeNodes);

plot(Nodes,u)

end


Kress, Rainer

Numerical analysis,

Graduate Texts in Mathematics

181,

Springer-Verlag,

1998,

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Mtodos numricos con MATLAB 3ED

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2000


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