sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “bismillah”
DESCRIPTION
Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”. PERKENALAN. PRESENTASI. PENILAIAN. MATERI PERS DIFERENSIAL. Oleh: Drs. Nandang, MPd. (Dosen Prodi Pend. Matematika FKIP Unwir). NANDANG JL.GUNUNG CIREMAI BLOK 16, NO. 10 TLP. (0234)275530 - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”
PRESENTASI
PENILAIANPENILAIAN
MATERI PERS DIFERENSIALMATERI PERS DIFERENSIAL
Oleh: Drs. Nandang, MPd. (Dosen Prodi Pend. Matematika FKIP Unwir)
PERKENALANPERKENALAN
NANDANGNANDANGJL.GUNUNG CIREMAIJL.GUNUNG CIREMAI
BLOK 16, NO. 10BLOK 16, NO. 10TLP. (0234)275530TLP. (0234)275530HP. 08122170975HP. 08122170975
e-mail: [email protected]
www.fkipunwir.com
KEHADIRAN (KHD)KEHADIRAN (KHD) TUGAS (TGS)TUGAS (TGS) UJIAN TENGAH SEMESTER (UTS)UJIAN TENGAH SEMESTER (UTS) UJIAN AKHIR SEMESTER (UAS)UJIAN AKHIR SEMESTER (UAS)
NA = [10(KHD)+20(TGS)+30(UTS)NA = [10(KHD)+20(TGS)+30(UTS)+40(UAS)]/100+40(UAS)]/100
85 <= NA <=100 (A)85 <= NA <=100 (A)NA = NILAI AKHIRNA = NILAI AKHIR
KOMPONEN PENILAIANKOMPONEN PENILAIAN
MATERI PERS DIFERENSIALMATERI PERS DIFERENSIAL
DEFINISI PERSAMAAN DIFERENSIAL DEFINISI PERSAMAAN DIFERENSIAL
PERS DIFERENSIAL KOEFISIEN LINIERPERS DIFERENSIAL KOEFISIEN LINIER
PERS DIFERENSIAL EKSAKPERS DIFERENSIAL EKSAK
FAKTOR INTEGRASIFAKTOR INTEGRASI
PERS DIFERENSIAL LINIERPERS DIFERENSIAL LINIER
PERS DIFERENSIAL HOMOGENPERS DIFERENSIAL HOMOGEN
PERS DIFERENSIAL TIDAK HOMOGENPERS DIFERENSIAL TIDAK HOMOGEN
Definisi Persamaan Diferensial
Suatu persamaan yang mengandung satu atau beberapa turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui dinamakan persamaan diferensial.
ORDE DAN DEGREE PDORDE DAN DEGREE PD
1. Orde (tingkat) PD adalah tingkat 1. Orde (tingkat) PD adalah tingkat tertinggi turunan yang muncul tertinggi turunan yang muncul pada PD tersebut.pada PD tersebut.
2. Degree (derajat) PD yang dapat 2. Degree (derajat) PD yang dapat ditulis sebagai polinomial dalam ditulis sebagai polinomial dalam turunan adalah derajat turunan turunan adalah derajat turunan tingkat tertinggi yang muncul tingkat tertinggi yang muncul pada PD tersebut. pada PD tersebut.
Beberapa Contoh PD
5xdx
dy
0232
2
ydx
dy
dx
yd
xyyy cos')''(2 ''' 2
232 3)'()''( xyyy
SOLUSI INTEGRASI LANGSUNG
5xdx
dy
Cxxy 52
1 2
Selesaikan PD berikut!
Penyelesaian:
(fungsi kuadrat)
homehome
PERSAMAAN DIFERENSIAL PERSAMAAN DIFERENSIAL DENGAN KOEFISIEN LINIERDENGAN KOEFISIEN LINIER
PD dgn Koefisien LinierPD dgn Koefisien Linier Bentuk umum:Bentuk umum:
(ax + by + c)dx + (px +qy + r)dy = 0 …(*)
Jika c = r = 0, maka (*) menjadi:
(ax + by)dx + (px + qy)dy = 0, (PDH)
Jika px + qy = k(ax + by), maka (*) menjadi:
(ax + by + c)dx + (k(ax + by) + r)dy =0, PDVT
Jika a/p ≠ b/q, c ≠ 0, r ≠ 0, maka (*) dapat Jika a/p ≠ b/q, c ≠ 0, r ≠ 0, maka (*) dapat mengambil bentuk:mengambil bentuk:
ax + by + c = 0
px + qy + r = 0
adalah persamaan dua garis yang berpotongan, misal TP(x1, y1)
maka lakukan substitusi:
X = x – x1 atau x = X + x1, dx = dX
Y = y – y1 atau y = Y + y1, dy = dY
terhadap persamaan (*)
maka diperoleh:
(aX + bY)dX + (pX + qY)dY=0, PDH
selanjutnya lakukan substitusi Y = vX,
atau dY = vdX + Xdv.
Contoh soalContoh soalSelesaikan persamaan di bawah ini!
0)72()12( dyyxdxyx 1.
homehome
PERSAMAAN DIFERENSIAL PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAKEKSAK
Pers Diferensial EksakPers Diferensial EksakBentuk umum:
*).........( 0),(),( dyyxQdyyxP
adalah PD eksak bila ruas kiri adalah
diferensial dari f(x,y) =0.
0),(
dyy
fdxx
fyxdf
y
fQ
x
fP
Maka :
yx
f
x
Q
yx
f
y
P
22
Jika persamaan (*) merupakan PD Eksak,
maka berlaku
x
Q
y
P
Jika
x
Q
y
P
maka persamaan (*) merupakan PD Eksak.
Soal latihanSoal latihanSelesaikan persamaan di bawah ini!
0)43()32( dyyxdxyx 1.
Penyelesaian:
yxQyxP 4332
33
xy
P Q (PDE)
yxy
fQyx
x
fP 4332
,
)(3
)()32(),(
2 yCxyx
yCdxyxyxf
yxyCxy
f43)('3
1224)(
4)('
CydyyyC
yyC
Cyxyxyxf 22 23),(
Cyxyx 22 23homehome
FAKTOR FAKTOR INTEGRASIINTEGRASI
FAKTOR INTEGRASIFAKTOR INTEGRASI
Dik: P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 ……(*)
Jika pers (*) tidak eksak, maka dapat dijadikan PDE. Caranya yaitu kalikan pers (*) dengan suatu fungsi tertentu, misal u(x, y) yang dinamakan faktor integrasi.
Sehingga persamaan (*) menjadi: uP(x, y)dx + uQ(x, y)dy = 0 ……(**). Persamaan (**) sudah menjadi PDE, selajutnya selesaikan persamaan tersebut sesuai dengan prosedur yang berlaku.
Bila diberikan suatu persamaan diferensial yang tidak eksak, maka faktor integrasi dapat dicari dengan beberapa kemungkinan berikut. Faktor integrasi hanya tergantung dari fungsi x, maka fungsi x dapat dicari dengan cara:
Maka faktor integrasi dapat ditentukan dengan cara:
)(xfQ
x
Q
y
P
dxxfe
)(
Faktor integrasi hanya tergantung dari fungsi y, maka fungsi y dapat dicari dengan cara:
Maka faktor integrasi dapat ditentukan dengan cara:
dyyge
)(
Bila faktor integrasi sudah diperoleh Bila faktor integrasi sudah diperoleh kalikan terhadap pers (*) untuk kalikan terhadap pers (*) untuk mengasilkan pers (**) sehingga mengasilkan pers (**) sehingga terbentuk PDE.terbentuk PDE.
)(ygP
x
Q
y
P
Contoh soalContoh soalSelesaikan persamaan di bawah ini!
0)2( xdydxyx 1.
Penyelesaian:
12
x
Q
y
PKarena maka bukan PDE.
)(1
xfxQ
x
Q
y
P
Selanjutnya
xee xdxx ln1
Sehingga faktor integrasi yang dicari adalah:
Kemudian kalikan faktor tersebut terhadap persamaan semula, maka diperoleh persamaan baru (PDE), yaitu:
0)2( 22 dyxdxxyx
Setelah menjadi PDE, selesaikan sesuai Setelah menjadi PDE, selesaikan sesuai dengan prosedur yang benar, untuk dengan prosedur yang benar, untuk memperoleh:memperoleh:
Cyxx 23 3
Kemungkinan lain untuk mencari faktor integrasi adalah:
Jika pers (*) merupakan PDH dan 0QyPx
maka faktor integrasi adalah QyPx
1
Jika pers (*) dapat ditulis dalam bentuk yf(xy)dx+xg(xy)dy=0 dan f(xy) ≠ g(xy), maka faktor integrasi adalah:
QyPx 1
Soal latihanSoal latihan
2. 0)( 22 xydydxxyx
0)3(
)22(2242
34
dyxyxeyx
dxyxyexyy
y
3.
0)222(
)2242(23
42223
dyxyxy
dxyxyxyyxyx
4.
0)( 344 dyxydxyx 5.
2. 0)( 22 xydydxxyx
A
B
C
D
01243 2234 yxxx
01234 2243 yxxx
0643 2234 yxxx
0634 2243 yxxx
Coba lagi Coba lagi ya!ya!
Terima kasih, Anda berhasil
homehome
PERSAMAAN PERSAMAAN DIFERENSIAL DIFERENSIAL LINIER (PDL)LINIER (PDL)
Pers Diferensial LinierPers Diferensial Linier
Bentuk umum:
QPyy '
P dan Q adalah fungsi-fungsi dari x.
………(i)
Salah satu cara untuk menyelesaikan persamaan (i) di atas adalah dengan memisalkan y = uv, dimana u dan v masing-masing fungsi dari x.
Karena y = uv, maka y’ = u’v + uv’ ……….(ii)
Dari pers (i) dan (ii) diperoleh:
u’v +uv’ + Puv = Q atau v(u’ + Pu) + uv’ = Q, dalam hal ini ambil syarat (u’ + Pu)=0 atau uv’ = Q ……(iii)
Karena (u’ + Pu)=0, maka
.......(*) atau
atau maka
atau
PdxPdx
eueu
PdxuPdxu
du
Pudx
du
Pu
u
lnln
ln
,'
Karena
.....(**) maka
atau maka
CQdxeveQv
QveQuvPdxPdx
Pdx
..
.
'
''
Berdasarkan pemisalan y = uv, maka dari persamaan (*) dan (**) diperoleh:
].[ CQdxeey
uvyPdxPdx
Soal latihanSoal latihan
Selesaikanlah persamaan di bawah ini!
xydx
dy2cos2 1.
xydx
dysin 2.
x
yx
dx
dy
tan
sin 2 3.
homehome
PERSAMAAN PERSAMAAN DIFERENSIAL DIFERENSIAL HOMOGEN HOMOGEN
Pers Diferensial HomogenPers Diferensial Homogen
Bentuk umum PD orde 2:
)()()( 2'
1'' xkyxayxay
PDH Orde 2:
02'
1'' yayay
Subtitusi:rxey
……(*)
Karena rxey rxrey '
rxery 2''
maka……(**)
Dari (*) dan (**) diperoleh:Dari (*) dan (**) diperoleh:
0
0)(
0)()(
212
212
212
arar
arare
eareaerrx
rxrxrx
………(#)
Pers (#) dinamakan persamaan bantu.Pers (#) dinamakan persamaan bantu.
Jika r1 dan r2 adalah akar-akar real berlainan dari persamaan bantu, maka penyelesaian umum dari:
02'
1'' yayay
xrxr eCeCy 2121
adalah:
Contoh:
1.Tentukanlah penyelesaian umum dari persamaan:
0127 ''' yyy
Penyelesaian:
-
4,3
0)4)(3(
0127
21
2
rr
rr
rr
xx eCeCy 42
31
Jika r1 dan r2 adalah akar-akar kembar dari persamaan bantu, maka penyelesaian umum dari:
02'
1'' yayay
adalah:
rxrx xeCeCy 21
Contoh:
1.Tentukanlah penyelesaian umum dari persamaan:
Penyelesaian:
096 ''' yyy
3
0)3(
0)3)(3(
096
21
2
2
rr
r
rr
rr
xx xeCeCy 32
31
Jika persamaan bantu memiliki akar-akar bilangan kompleks, a + bi dan a – bi, maka penyelesaian umum dari:
02'
1'' yayay
adalah:
)( 21
)(2
)(1
bixbixax
xbiaxbia
eCeCe
eCeCy
)sincos(
sin)(cos)(
)sincos
sincos(
2121
22
11
bxBbxAey
bxiCCbxCCey
bxiCbxC
bxiCbxCey
ax
ax
ax
Contoh:
1.Tentukanlah penyelesaian umum dari persamaan:
Penyelesaian:
0134 ''' yyy
irir
rr
32,32
0134
21
2
xBexAey xx 3sin3cos 22
Soal latihanSoal latihan
042
2
ydx
yd 1.
0542
2
ydx
dy
dx
yd 2.
0332
2
3
3
ydx
dy
dx
yd
dx
yd 3.
013932
2
3
3
ydx
dy
dx
yd
dx
yd 4.
04
4
dx
yd 5.
01683
3
5
5
dx
dy
dx
yd
dx
yd 6.
homehome
PERSAMAAN PERSAMAAN DIFERENSIAL DIFERENSIAL
TIDAK TIDAK HOMOGENHOMOGEN
Pers Dif Tidak HomogenPers Dif Tidak Homogen
Bentuk umum PD orde 2:
)()()( 2'
1'' xkyxayxay
PDTH Orde 2 dengan koefisien konstan:
PenyelesaiaPenyelesaian?n?
……(*)0)(2'
1'' xkyayay
Penyelesaian PDTH dapat Penyelesaian PDTH dapat direduksi atas tiga tahapandireduksi atas tiga tahapan
1.1.Tentukan penyelesaian umum dari Tentukan penyelesaian umum dari persamaan homogen ypersamaan homogen y’’’’ + a + a11y’ + ay’ + a22y = 0, y = 0, ditulis yditulis yhh..
2.2.Tentukan suatu penyelesaian khusus Tentukan suatu penyelesaian khusus terhadap persamaan tak homogen (*), terhadap persamaan tak homogen (*), ditulis yditulis ykk..
3.Tambahkan kedua penyelesaian di atas, yh + yk = y (dinamakan penyelesaian umum dari (*)).
MetodeMetode
Metode Metode ??
Metode Koefisien Tak Tentu
Metode Variasi
Parameter
Metode Koefisien Tak TentuMetode Koefisien Tak Tentu
Perhatikan persamaan:
)(2'
1'' xkyayay
Dalam hal ini fungsi k(x) yang paling Dalam hal ini fungsi k(x) yang paling mungkin adalah berupa polinom, mungkin adalah berupa polinom, eksponen, sinus dan kosinus.eksponen, sinus dan kosinus.
Untuk menentukan yk didasarkan pada penyelesaian coba-coba.
Fungsi coba2
Penyelesaian Coba-cobaPenyelesaian Coba-coba
k(x) k(x) ??
Coba Coba yykk ? ?
11
22 3311 2233
01...)( bxbxbxk mm
01... BxBxBy mmk
rxbexk )(
rxk Bey
xcxbxk sincos)(
xCxByk sincos
Catatan:Catatan:
Jika salah satu fungsi dari Jika salah satu fungsi dari k(x) adalah suatu k(x) adalah suatu penyelesaian terhadap penyelesaian terhadap penyelesaian homogen, penyelesaian homogen, maka kalikan maka kalikan penyelesaian coba-coba penyelesaian coba-coba dengan x (atau mungkin dengan x (atau mungkin dengan suatu pangkat dengan suatu pangkat dari x yang lebih tinggi).dari x yang lebih tinggi).
Metode Variasi ParameterMetode Variasi Parameter
Jika u1(x) dan u2(x) adalah penyelesaian yang saling bebas terhadap persamaan homogen, maka terdapat suatu penyelesaian khusus terhadap persamaan tak homogen yang berbentuk:
)()()()()(
0)()()()(
)()()()(
'2
'2
'1
'1
2'
21'
1
2211
xkxuxvxuxv
xuxvxuxv
xuxvxuxvyk
dengan
Contoh soalContoh soal
Tentukan penyelesaian umum dari persamaan berikut dengan menggunakan metode variasi paramater!
xyy sec'' Penyelesaian:
Untuk menentukan penyelesaian homogen, cari dulu persamaan bantu sehingga diperoleh:
xCxCyh sincos 21
Untuk menentukan penyelesaian khusus, maka tulis yk sebagai berikut:
xxxvxxv
xxvxxv
xxvxxvyk
seccos)(sin)(
0sin)(cos)(
sin)(cos)(
'2
'1
'2
'1
21
dengan
…(*)
Dengan menyelesaikan sistem (*), Dengan menyelesaikan sistem (*), maka diperoleh:maka diperoleh:
1)(tan)( '2
'1 xvxxv dan
Sehingga:
xdxxv
xxdxxv
)(
coslntan)(
2
1
xxxxyk sincos)cos(ln
Berdasarkan uraian di atas, maka Berdasarkan uraian di atas, maka penyelesaian umum yang harus penyelesaian umum yang harus dicari adalah:dicari adalah:
xCxC
xxxxy
sincos
sincos)cos(ln
21
Soal latihanSoal latihan
xyy 9'' 1.
xxyyy 2''' 2 2.
xeyyy 65 3. '''
xeyyy 3''' 34 4.
xyyy sin22''' 5.
xexyy 2'' sin9 6.homehome
Untuk mengakhiri pembelajaran ini, marilah kita bersama-sama membaca “ALHAMDULILLAH”