ristia apriana (aljabar linear)

| A l j a b a r L i n e a r

STKIP SINGKAWANG

2014

ALJABARLINEARRISTIA APRINA

J L . S T K I P , K E L . N A R A M , K E C . S I N G K AW A N G U T A R A , K A L ‐ B A R

A l j a b a r L i n e a r | i

DAFTAR ISI

BAB I: Sistem Persamaan Linear ……………………………………………… 1

Sistem Persamaan Linear …………………………………………………. 1

Latihan Soal 1 ……………………………………………………………………… 3

Matriks dan Operasi Matriks ……………………………………………… 4

Jenis-jenis Matriks ………..……………………………………………….. 5

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks ………..…………………………. 6

Perkalian Matriks …………..……………………………………………… 7

Bahan Diskusi 1…………...……………………………………………… 8

Latihan Soal 2……………………………………………………………………… 8

Nilai variabel pada Sistem Persamaan Linear 1 ………………………….. 9

Operasi Baris Elementer ………………………………………………….. 9

Sistem Persmaan Linear Homogen ………………………………………. 12

Latihan Soal 3 ……….……………………………………………………………. 14

BAB II: Transpose, Determinan, Invers ………………………………………. 15

Transpos ………………………………………………………………….. 15

Latihan Soal 4 ……… ……………………………………………………………. 17

Determinan ……………………………………………………………….. 18

Metode Sarrus ……………………………………………………………. 18

Reduksi Baris …………………………………………………………….. 20

Bahan Diskusi 2 ………………………………………………………….. 22

Ekspansi Kofaktor ………………………………………………………... 23

Latihan Soal 5 ……………………….…………………………………………….. 25

Invers ……………………………………………………………………… 26

Bahan Diskusi 3 ………………………………………………………….. 27

Invers dengan Determinan dan Adjoin …………………………………… 28

Bahan Diskusi …………………………………………………………….. 28

A l j a b a r L i n e a r | ii

Invers dengan Mereduksi Baris …………………………………………… 2

Bahan Diskusi 4 …………………………………………………………… 30

Nilai Variabel Pada Persamaan Linear 2 ………………………………….. 31

Menggunakan Invers ………………………………………………………. 31

Aturan Cramer …………………………………………………………….. 32

Tugas ………………………………………………………………………. 33

BAB III: Vektor di Ruang -2 dan Ruang-3 ………………………………………… 34

Penjumlahan Vektor ……………………………………………………….. 34

Pengurangan Vektor ……………………………………………………….. 35

Vektor R2 …………………………………………………………………… 36

Vektor R3 …………………………………………………………………… 37

Latihan Soal 6 ……… ………………………………………………………………. 40

Norma Suatu Vektor, Aritmatika Vektor …………………………………... 41

Latihan Soal 7 …….. ………………………………………………………………. 43

Perkalian Titik, Proyeksi …………………………………………………… 44

Perkalian Titik dari Vektor ……………………………………………….... 44

Rumus Komponen Untuk Perkalian Titik …………………………………. 44

Mencari Sudut Antar Vektor ………………………………………………. 45

Vektor-vektor Ortogonal ……………………………………………………. 45

Proyeksi Ortogonal ………………………………………………………….. 46

Latihan Soal 8 ………….…………………………………………………………….. 48

Perkalian Silang ……………………………………………………………… 49

Interpretasi Geometrik dari Perkalian Silang ………………………………… 51

Interpretasi Geometrik Determinan ………………………………………….. 53

Independensi Perkalian Silang dan Koordinat ………………………………. 54

Latihan Soal 9 …………….…………………………………………………………... 55

1 | A l j a b a r L i n e a r

BAB I

SISTEM PERSAMAAN LINIER

Tujuan umum:

Mahasiswa dapat memahami konsep sistem persamaan linear, grafik persamaan linear, sistem persamaan dalam matriks.

Tujuan khusus

1. Menuliskan konsep persamaan linear. 2. Dapat mengubah bentuk sistem persamaan linear ke dalam bentuk matriks. 3. Memahami operasi baris elementer dalam penyelesaian sistem persamaan linear.

MATERI Suatu persamaan linear yang mengandung n peubah x1, x2 ,…,xn dinyatakan dalam

bentuk ax1 + a2x2 + … + an xn = b dengan a1, a2, …, an , b adalah konstanta real. Dalam hal ini, peubah yang dimaksud bukan merupakan fungsi trigonometri, fungsi logaritma ataupun fungsi exponensial. Contoh x + 2y = 6 Persamaan linier 2 peubah

2x – 3y = 2z +1 persamaan linear dengan 3 peubah

y = x + 3z + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . .

x + 3y2 = 7 . . . . . . . . . . .. . . . . .

x1 – 2x2 – 3x3 + x4 = 7 . . . . . . . . . . . . . . . .

y – sin x = 0 Bukan persamaan linier

3x + 2y – z + xz = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sistem persamaan linear ( SPL )

Definisi Sistem persamaan linear adalah himpunan berhingga dari persamaan linear Contoh

a.) x + y = 2 b.) x – y + z = 4 2x + 2y = 6 x + y = 0

A l j a b a r L i n e a r | 2

Tidak semua sistem persamaaan linear memiliki penyelesaian ( solusi ) , sistem persamaan linear yang memiliki penyelesaian memiliki dua kemungkinan yaitu penyelesaian tunggal dan penyelesaian banyak. Secara lebih jelas dapat dilihat pada diagram berikut :

SPL

Pada sistem persamaaan linear dengan dua peubah, secara geometris SPL mempunyai

tiga kemungkinan penyelesaian sebagai berikut:

Grafiknya berupa dua garis yang saling sejajar, maka tidak ada perpotongan dan akibatnya tidak ada penyelesaian terhadap sistem tersebut.

Grafiknya memiliki sebuah titik hasil perpotongan dua garis, maka sistem tersebut tepat memiliki satu penyelesaian.

Grafiknya berupa dua buah garis lurus yang berimpit, maka terdapat tak hingga titik potong dan akibatnya ada banyak penyelesaian untuk sistem tersebut.

Secara lebih jelas dapat dilihat pada gambar berikut: l2

y y l1 l2 y

l1 dan l2 l1 x x x Contoh

a.) x + y = 2 Grafiknya : 3 2x + 2y = 6 2 2 3

Grafik tersebut menunjukkan bahwa kedua garis sejajar sehingga tidak ada penyelesaian yang memenuhi sehingga disimpulkan bahwa SPL tidak konsisten. b.) x – y = 2 Grafiknya : x + y = 2 2 2

-2

Tidak mempunyai

penyelesaian

Mempunyai satu

penyelesaian

Mempunyai tak

hingga penyelesaian


Grafik tersebut menunjukkan bahwa himpunan penyelesaian dari SPL adalah titik potong antara x – y = 2 dan x + y = 2 yaitu titik ( 2,0 ). Jadi penyelesaian dari SPL adalah tunggal yaitu x = 2 dan y = 0. c.) x + y = 2 Grafiknya : 2x + 2y = 4 2 2

Grafik diatas bahwa x + y = 2 dan 2x + 2y = 4 saling berhimpit sehingga hanya terlihat seperti satu garis saja. Himpunan penyelesaian dari SPL semua titik yang terletak disepanjang garis tersebut. Misalkan diambil x = 0 maka didapatkan y = 2 yang memenuhi persamaan, jika x = 1 maka nilai y = 1 adalah nilai yang memenuhi . Secara matematis dapat dituliskan sebagai: {(x,y) | x = 2 – y , xR ,yR} Untuk kasus sistem persamaan linear dengan menggunakan dua peubah, pembuatan grafik untuk menentukan himpunan penyeleaian seperti ini masih memungkinkan, hanya saja untuk jumlah peubah yang lebih banyak hal ini sulit dilakukan.

Latihan Soal 1! 1. Manakah dari persamaan berikut ini yang merupakan persamaan linear dalam x1, x2 dan

x3?

a. 125 321 xxx c. 23 3121 xxxx e. 321 37 xxx

b. 58 322

1 xxx d. 42 325

3

1 xxx f. 31

331 73

12 xxx

2. Carilah matriks yang diperbesar untuk setiap sistem persamaan linear berikut:

a.

17

25

12

43

532

5421

xx

xxx

xxxx b.

3

2

1

3

2

1

x

x

x

3. Cari suatu sistem persamaan linear yang berpadanan dengan matiks yang diperbesar di bawah ini.

a.

110

043

002

b.

1

5

04

31

21

27 c.

4

3

2

7

1000

0100

0010

0001


MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS

Tujuan umum:

Mahasiswa dapat memahami bagian-bagian dari matriks beserta jenis matriks, serta mahasiswa dapat melakukan operasi hitung yang digunakan pada matriks.

Tujuan khusus:

1. Mengenal entri dan ordo. 2. Dapat menyebutkan contoh dari setiap ordo. 3. Memahami jenis-jenis matriks. 4. Menyelesaikan penjumlahan matriks. 5. Menyelesaikan pengurangan matriks. 6. Menyelesaikan perkalian matriks.

Definisi. Sebuah matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan.

Bilangan- bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks.

A =

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

...

...

atau nmija

Sebuah matriks dengan m baris dan n kolom dinamakan matriks kuadrat berordo m x n,

dengan entri-entrinya a11, a22, ….., amn.

Contoh:

41

03

21 3012

53

12

314

211

316

Ordo … x … Ordo … x … Ordo … x … Ordo … x …


6000

5100

4010

3001

4

3

1

043

012

Ordo … x … Ordo … x … Ordo … x … Ordo … x …

Jenis-jenis Matriks

1. Jenis matriks ditinjau dari banyaknya baris dan kolom

Matriks baris

Contoh:

Matriks kolom

Contoh:

Matriks persegi

Contoh:

2. Jenis matriks persegi ditinjau dari elemen-elemen penyusunannya

Matriks diagonal

Contoh:

Matriks segitiga bawah dan segitiga atas

Contoh:


Matriks identitas

Contoh:

Matriks simetris

Contoh:

Operasi Matriks

1. Penjumlahan & Pengurangan Matriks

Definisi. Jika A dan B adalah matriks-matriks dengan ukuran yang sama, maka jumlah A +

B adalah matriks yang diproleh dengan menjumlahkan entri-entri pada B dengan

entri-entri yang bersesuain pada A dan selisih A – B adalah matriks yang diperoleh

dengan mengurangkan entri-entri pada A dengan entri-entri yang bersesuaian pada

B. Matriks dengan ukuran yang berbeda tidak dapat dijumlahkan atau

dikurangkan.

Penulisan notasi matriks, jika A = ija dan B = ijb memiliki ukuran yang sama, maka (A +

B)ij = (A)ij + (B)ij = aij + bij

(A – B)ij = (A)ij – (B)ij = aij - bij

Contoh:

875

352

324

A

543

231

420

B

2502

3753

0142

C

.........

.........

........

BA

.........

.........

.........

BA

Apakah A + C, B + C, A – C dan B – C terdefinisi?

Jelaskan........................................................................


2. Perkalian matriks

Definisi. Jika A adalah matriks m x r dan B adalah matriks r x n maka hasil kalinya AB

adalah matriks m x n yang entri-entrinya ditentukan sebgai berikut. Untuk mencari

entri pada baris i dan kolom j dari Ab, pisahkanlah baris i dari matriks A dan

kolom j dari matriks B. Kalikan entri-entri matriks bersesuain dari baris dan kolom

tersebut dan kemudian jumlahkan hasil yang diperleh.

Penulisan notasi matriks, jika A = rmija

dan B= nrijb

maka AB=C dengan C = rmijc

Contoh:

875

352

324

A

543

231

420

B

25

41

32

C

...)(......)(......)(......)(......)(......)(......)(......)(......)(...

...)(......)(......)(......)(......)(......)(......)(......)(......)(...

...)(......)(......)(......)(......)(......)(......)(......)(......)(...

543

231

420

875

352

324

BA

25

41

32

543

231

420

CB

Bagaimana C x B dan C x A terdefinisi?

Jelaskan...........................................................


Bahan Diskusi 1

Tunjukkan dengan contoh apabila terdapat bentuk matriks berikut:

mmnmnmm

n

n

b

b

b

a

x

x

aaa

aaa

aaa

2

1

2

1

21

22221

11211

Apakah bentuk AX = B dan XA = B hasil matriksnya akan sama?

Latihan Soal 2!

1. Misalkan A dan B adalah matriks-matriks 4x5 dan misalkan C, D dan E berturut-turut

adalah matriks-matriks 5x2, 4x2, dan 5x4. Tentukanlah yang mana di antara pernyataan

matriks berikut yang didefiniskan. Untuk matriks-matriks yang didefinisikan, berikanlah

ukuran matriks yang dihasilkan.

a. BA c. AC + D e. AE + B

b. E(A + B) d. E(AC) f. AB + B

2. Tinjaulah matriks-matriks berikut

423

101

251

20

14

314

211

316

5

2

13

41

11

21

03

DB

ECA

Hitunglah

a. AB c. D – E e. ED

b. D + E d. DE f. -7B

3. Buatlah contoh soal dengan membuat dua buah matriks masing-masing ordo 3x3 dan

lakukan penjumlahan dan perkaliannya.


Nilai Variabel pada Sistem Persamaan Linear 1

Tujuan umum:

Mahasiswa dapat memahami menentukan nilai suatu variabel pada sistem persamaan linear, dan memahami konsep bentuk dari sistem linear homogen.

Tujuan khusus

1. Menyelesaikan SPL dengan menggunakan Eliminasi Gauss Jordan. 2. Menyelesaikan SPL dengan menggunakan Eliminasi Gauss. 3. Menyelesaikan SPL dengan menggunakan Substitusi Balik. 4. Memahami bentuk sistem dari sistem linear homogeny. 5. Memahami bentuk penyelesaian dari sistem linear homogen

1. Operasi Baris Elementer

Ketika dihadapi masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear terutama yang menggunakan banyak peubah, maka hal pertama yang dapat digunakan untuk menyederhanakan permasalahan adalah dengan mengubah sistem persamaan linear yang ada ke dalam bentuk matriks. Suatu persamaan linear biasanya juga tidak didapatkan secara langsung tetapi melalui penyederhanaan dari permasalahan yang terjadi dalam kehidupan sehari – hari. Setelah diubah ke bentuk matriks, maka matriks tersebut diubah ke bentuk matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi untuk mendapatkan penyelesaian dari SPL. Prosedur untuk mendapatkan matriks eselon baris tereduksi biasa disebut sebagai eliminasi Gauss– Jordan . Pada proses eliminasi tersebut operasi – operasi yang digunakan disebut operasi baris elementer.

Dalam operasi baris elementer ini ada beberapa operasi yang dapat digunakan , yaitu : a. Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol b. Mempertukarkan dua buah baris c. Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lainnya.

Dengan menggunakan operasi baris elementer , maka matriks eselon baris tereduksi yang didapatkan akan ekuivalen dengan matriks awalnya sehingga penyelesaian untuk matriks eselon baris tereduksi juga merupakan penyelesaian untuk matriks awalnya. Matriks awal yang dimaksud adalah matriks diperbesar (augmented matrix). Untuk melihat secara lebih mudah definisi dari matriks diperbesar akan ditunjukkan berikut ini :


Diketahui SPL dengan m buah persamaan linear dan n peubah dapat ditulis sebagai berikut:

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

...

...

2211

22222121

11212111

Dari bentuk SPL di atas dapat di ubah dalam bentuk matriks yang diperbesar, sebagai berikut:

mmnmm

n

n

b

b

b

aaa

aaa

aaa

2

1

21

22221

11211

...

...

...

Setelah membuat matriks yang diperbesar, maka selanjutnya kita akan melakukan

operasi baris elementer dengan ketiga ketentuan sebelumnya, sehingga bentuk dari matriksnya menjadi sebagai berikut:

l

n

m

ccc

bbb

aaa

321

321

321

l

n

m

100

010

001

Contoh

a. 68

6352

132

zx

zyx

zyx

b.

0563

1342

92

321

321

321

xxx

xxx

xxx

Matriks diperbesar

6

6

1

801

352

321

Matriks diperbesar

...

...

...

.........

.........

.........

Operasi baris elementer pada contoh di atas sebagai berikut: Contoh a:

31

212

BB

BB

7

4

1

520

310

321

32

21

2

2

BB

BB

1

4

7

100

310

901

1

4

7

100

310

901

32

31

3

9

BB

BB

1

1

2

100

010

001

‐B3


Dari bentuk eselon baris tereduksi maka di proleh nilai x = 2, y = 1 dan z = -1

Untuk melihat apakah jawaban tersebut benar ataukah tidak, kita dapat memasukkan nilai-nilai tersebut pada persamaan awalnya.

Contoh b: Pemahaman konsep, lakukan dengan Eliminasi Gauss-Jordan.

Jadi nilai x1 = . . . . ., x2 = . . . . . dan x3 = . . . . .

Contoh: Selesaikan sistem persamaan berikut dengan menggunakan Eliminasi Gauss.

68

6352

132

zx

zyx

zyx

Penyeleasian Setelah melakukan operasi baris elementer diperoleh bentuk matriksnya:

1

4

7

100

310

901

Sehingga diperoleh sistem yang berpadanan adalah x1 + 9x3 = -7 x2 – 3x3 = 4 x3 = 1


selain proses diatas dapat dilakukan juga dengan penyelesaian Substitusi Balik, sebagai berikut:

substitusi x3 = 1 ke persamaan kedua, diperoleh: x2 – 3x3 = 4 x2 – 3(…) = 4

x2 = …

substitusi x3 = 1 ke persamaan pertama, diperoleh: x1 + 9x3 = -7 x1 + 9(1) = -7 x1 = ….

Dengan substitusi balik dapat ditentukan jawab dari SPL, yaitu x1 = …., x2 = …., dan x3 = … Contoh: Selesaikan contoh berikut dengan menggunakan Eliminasi Gauss.

0563

1342

92

zyx

zyx

zyx

Penyelesaian

2. Sistem Persamaan Linear Homogen

Suatu sistem persamaan linear dikatakan Homogen jika semua konstantanya adalah nol; yaitu, jika sistem tersebut mempunyai bentuk.


0...

0...

0...

2211

2222121

1212111

nmnmm

nn

nn

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

Setiap sistem persamaan linear homogen mempunyai sifat konsisten, sehingga memiliki

penyelesaian:

Penyelesaian Trivial; suatu pemecahan dari suatu persamaan linear yang hasilnya 0.

Penyelesaian Tak Trivial; jika ada pemecahan lain. Contoh Penyelesaian Trivial:

0

02

032

32

21

321

xx

xx

xxx

0

0

0

110

021

312

Penyelesaian:

B1 tukar B2

...

...

...

.........

.........

.........

B2 tukar B3

...

...

...

.........

.........

.........

-2B1+B3

...

...

...

.........

.........

.........

-3B2+B3

...

...

...

.........

.........

.........

36

1B

...

...

...

.........

.........

.........

0

)0(2

2

02

0

...

...

1

1

11

21

2

32

32

3

x

x

xx

xx

x

xx

xx

x

Jadi x1= x2= dan x3=

Contoh Penyelesaian Tak Trivial:


0

02

032

022

543

5321

54321

5321

xxx

xxxx

xxxxx

xxxx

....

....

....

....

....

....

....

....

................

................

................

................

Penyelesaian: Dengan menggunakan matriks ini menjadi bentuk eselon baris tereduksi, dieroleh

....

....

....

....

....

....

....

....

................

................

................

................

Sistem persamaan yang berpadanan adalah Menyelesaikan untuk peubah utama menghasilkan Jadi, penyelesaian umunya adalah

Latihan Soal 3: 1. Apa perbedaan eliminasi Gauss dan eliminasi Gauss-Jordan? 2. Selesaikan sistem berikut ini dengan eliminasi Gauss.

5366

2363

032

cba

cba

cb

3. Selesaikan soal diatas dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan. 4. Selesaikan sistem persamaan linear homogen berikut ini dengan sembarang metode, dan

tentukan bentuk penyelesaiannya.


a. 05

03

4321

4321

xxxx

xxxx b.

0232

032

03

0422

zyxw

zyxw

zyw

zyx

15 | A l j a b a r L i n e a r

BAB II

TRANSPOSE, DETERMINAN, INVERS

Tujuan Umum:

Mahasiswa dapat memahami konsep transpose, menentukan nilai suatu determinan, serta menentukan invers suatu matriks.

Tujuan khusus

1. Memahami konsep transpose. 2. Dapat mengubah bentuk suatu matriks menjadi transpose matriksnya. 3. Memahami pengertian determinan. 4. Memahami jenis-jenis determinan. 5. Dapat menentukan nilai suatu determinan dengan menggunakan metode sarrus. 6. Dapat menentukan nilai suatu determinan dengan menggunakan metode reduksi

baris. 7. Dapat menentukan nilai suatu determinan dengan menggunakan minor dan kofaktor. 8. Dapat menentukan nilai suatu adjoin dari matriks. 9. Dapat menentukan nilai suatu invers dengan menggunakan determinan dan adjoin . 10. Dapat menentukan nilai suatu invers dengan mereduksi baris.

Transpos

Definisi. Jika A adalah sebarang matriks m x n, maka transpos A dinyatakan oleh At dan didefinisikan dengan matriks n x m yang kolom pertamanya adalah baris pertama dari A, kolom keduanya adalah baris kedua dari A, demikian juga dengan kolom ketiga adalah baris ketiga dari A, dan seterusnya.

Contoh:

342414

332313

322212

312111

34

24

14

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

aaa

A

a

a

a

aaa

aaa

aaa

A t

tBB

65

41

32


tCC 531

DDt

712

145

253

Teorema. Jika ukuran matriks seperti operasi yang diberikan dapat dilakukan, maka

a. (At)t = A b. (A + B)t = At + Bt c. (kA)t = kAt, dimana k adalah sebarang scalar d. (AB)t = Bt At

Contoh:

2364

10

51

04

31

23

baCBA

Dengan menggunakan matriks diatas tunjukkan keempat teorema diatas.

Catatan:Sebuah transpos sebuah hasil kali matriks sama dengan hasil kali transposnya dalam urutan kebalikannya.


Latihan Soal 4!

1.

67

18

423 dacd

cbbaTentukan nilai a, b, c dan d.

2. Buktikan bahwa det(A) = det(At) untuk

a.

52

31A b.

823

601

721

A

3. Apakah matriks berikut dapat dibalik

a.

663

127

127

b.

230

110

570

4. Selesaikan bentuk matriks di bawah ini dengan menggunakan keempat teorema transpos

di atas.

a.

412

540

312

A b.

953

471

320

B


Determinan

a. Metode Sarrus

Definisi. Misalkan A adalah matriks kuadrat. Fungsi determinan dinyatakan oleh det, dan kita definisikan det(A) sebagai jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari A, jumlah det(A) kita namakan determinan A.

Pemahaman konsep:

(i) 21122211

2221

1211det aaaaaa

aa

(ii)

3231

2221

1211

333231

232221

131211

det

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

=

Contoh:

Hitunglah determinan-determinan dari

24

13A dan

987

654

321

B

Penyelesaian:

det(A) =

det(B) =

Menghitung Determinan Dengan Reduksi Baris

Sifat-sifat Determinan

1. Jika Amxn maka det(A) = det(At) Contoh:

)det(

)det(24

21

tt AA

AA

Catatan: Untuk pengerjaan determinan diatas tidak berlaku dilakukan untuk matriks 4 x 4 atau matriks yang lebih tinggi.


2. Jika Anxn dan k konstanta sehingga det(kA) = kndet(A), dengan n adalah banyak baris. Contoh:

Diketahui sebuah matriks dengan k = 3 dan

24

21A seingga diperoleh;

24

213kA

det(kA) = Atau det(kA) = kndet(A) =

3. det(A'') = det(A') + det(A) Contoh: Baris

32

31

22

31AA

det(A") = det(A') + det(A)

detdet............

31det

..... = ..... + .....

Contoh: Kolom

53

32

23

32BB

det(B") = det(B') + det(B')

detdet......3

......2det

..... = ..... + ..... 4. det(AB) = det(A)det(B)

Contoh:

ABBA

85

31

12

13

det(A) = det(B) = det(AB) =

det(AB) = det(A)det(B)

5. Suatu matriks tidak dapat dibalik jika determinanya sama dengan nol.


Contoh: Karena baris pertama dan baris ketiga dari

642

101

321

A

Sebanding maka det(A) = 0. Jadi, A tidak dapat dibalik.

b. Reduksi Baris

Contoh:

a.)

532

000

321

atau

203

302

501

b.)

987

654

321

A

TA

Pemahaman Konsep:

Catatan: Jika A dapat dibalik, maka )det(

1)det( 1

AA

Teorema: Misalkan A adalah matriks bujursangkar jika A memiliki suatu baris nol atau kolom nol, maka a. det (A) = 0 b. det (A) = det (AT)

Teorema:

Jika A adalah matriks segitiga n x n (segitiga atas, segitiga bawah atau diagonal), maka det(A) adalah perkalian entri-entri pada diagonal utamanya det (A) = a11a22 … ann


332211

33

2322

131211

333231

232221

131211

)det(

00

0 aaaA

a

aa

aaa

aaa

aaa

aaa

A

atau

232211

333231

2221

11

333231

232221

131211

)det(0

00

aaaA

aaa

aa

a

aaa

aaa

aaa

A

Contoh:

987

654

321

A

det(A) =

162

963

510

B

det(B) =

151239

4185

2526

5413

C

det(C) =

8411

5193

8462

4231

D

det(D) =


Contoh:

Kita akan mereduksi A menjadi bentuk eselon baris (yaitu segitiga atas) dan menerapkan teorema di atas.

.....................................

2

17)2(

2

2

225

142

031

)det(

A

Bahan Diskusi 2

Hitunglah determinan matriks A pada contoh di atas dengan mereduksi A menjadi bentuk eselon baris (yaitu segitiga bawah) dengan menerapkan teorema di atas.

c. Ekspansi Kofaktor

Teorema: Misalkan A adalah matriks n x n, maka: a. Jika B adalah matriks yang diperoleh ketika satu baris atau satu

kolom dari dari A dikalikan dengan suatu scalar k, maka det(B) = k det(A).

b. Jika B adalah matriks yang diperoleh ketika dua baris atau dua kolom dari A di pertukarkan, maka det(B) = -det(A).

c. Jika B adalah matriks yang diperoleh ketika kelipatan dari satu basris A ditambah ke baris lainnya atau ketika kelipatan dari satu kolom ditambahkan ke kolom yang lain, maka det(B) = det(A).


Definisi: Jika A matriks bujursangkar, maka minor dari entri aij, dinyatakan sebagai Mij dan di definisikan sebagai determinan dari submatriks yang tersisa setelah baris ke-I dan kolom ke-j dihilangkan dari A. Bilangan (-1)i+jMij dinyatakan sebagai Cij dan disebut seabgai kofaktor dari entri aij.

Contoh:

841

652

413

A

.......)1(

......84

65

841

652

413

1111

11

11

MC

M

Tentukan:

M12 =

C12 =

M13 =

C13 =

M21 =

C21 =

M22 =

C22 =

M23 =

C23 =

M31 =

C31 =


M32 =

C32 =

M33 =

C33 =

Setelah mencari minor dan kofaktor diatas maka untuk mencari determinan dilanjutkan dengan ekspansi kofaktor.

........

.))(........4((........)1(.......)3

)4(13

841

652

413

A

Contoh: Hitunglah det(A) menggunakan OBE dan eskpansi kofaktor dimana

3573

5142

1121

6253

A

Penyelesaian:

)det( A

Teorema:

Determinan dari matriks Anxn dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri pada sebarang baris (kolom) dengan kofaktor-kofaktor dan menjumlahkan hasilkali-hasilkali yang diperoleh, dimana untuk setiap 1 ≤ I ≤ n dan 1≤ j ≤ n

det(A) = a1jC1j + a2jC2j + . . . +anjCnj (ekspansi kofaktor kolom ke-j)

det(A) = ai1Ci2 + ai2Ci2 + . . . + ainCin (ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-j)


.........

)1(

Latihan Soal 5! Tentukan determinan dari matriks berikut dengan menggunakan metode sarrus, reduksi baris, dan ekspansi kofaktor.

a.

82

41 b.

321

673

321

c.

3210

0120

1101

1312


Invers

Definisi. Jika A adalah matriks kuadrat, dan jika kita dapat mencari matriks B sehingga AB = BA = I, maka A dikatakan dapat dibalik (ivertible) dan B dinamakan invers (inverse) dari A.

Contoh:

Matriks

21

53B adalah invers dari

31

52A

Karena IAB

21

53

31

52

Dan IBA

31

52

21

53

Suatu matriks A dapat dibalik, maka inversnya akan dinyatakan dengan simbol A-1.

AA-1 = I dan A-1A = I

Pemahaman Konsep:

dc

baA

Jika ad – bc ≠ 0, maka

bcad

a

bcad

cbcad

b

bcad

d

ac

bd

bcadA

11

Teorema. Jika A dan B adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dan yang ukurannya sama, maka:

a. AB dapat dibalik b. (AB)-1 = B-1A-1


Pemahaman Konsep:

ABBA

22

23

31

21

111 )(ABBA

11 AB

Maka, (AB)-1= B-1A-1

Adjoin

Bentuk suatu adjoin matriks apabila berordo 2x2, yaitu Contoh:

12

43)(

32

41AadjA

Bentuk suatu adjoin matriks apabila berordo lebih dari 2x2 yaitu hubungan antara

kofaktor dari suatu matriks dengan transpos maka akan menghasilkan suatu adjoin matriks. Contoh:

841

652

413

A

Matriks kofaktor =

)(Aadj

Bahan diskusi 3

Carilah nilai adjoin dari B =

3573

5142

6253

1121


a. Invers dengan determinan dan adjoin

Contoh 1:

Carilah nilai invers matriks dari D =

83

12

Penyelesaian: det(D) = adj(D) =

maka ................................

1 11

AA

Contoh 2:

Carilah nilai invers matriks dari G =

801

352

321

Penyelesaian: det(G) = adj(G) =

maka ................................

1 11

AA

Bahan Diskusi 4:

Carilah nilai invers dari E =

3573

5142

6253

1121

Teorema: Invers matriks dengan menggunakan adjoinnya

Jika A adalah matriks invertable, maka

)()det(

11 AadjA

A


b. Invers dengan mereduksi baris

Untuk mencari invers dari matriks A yang dapat dibalik, kita harus mencari suatu urutan

opersi baris elementer yang mereduksi A menajdi identitas dan melakukan urutan

operasi yang sama terhadap In untuk memperoleh A-1.

Untuk melakukannya, sandingkan matriks identitas ke sisi kanan A, sehingga

menghasilkan matriks berbentuk [A|I].

Terapkan OBE pada matriks A sampai ruas kiri tereduksi menjadi I, OBE ini akan

membalikkan ruas kanan dari I menjdi A-1, sehingga matriks akhir berbentuk [I|A-1].

Contoh 1:

Cari invers matriks A =

83

12

Penyelesaian: [A|I]

10

01

83

12

Contoh 2:

Carilah invers matriks B =

801

352

321

Penyelesaian: [A|I]

2132

31

323

13

12

233

2

2

100

010

001

801

352

321

bbbbbb

bbb

bbbb


Jadi inversnya adalah A-1 =

Bahan Diskusi 5:

Carilah invers matriks berikut dengan mereduksi baris H =

3573

5142

6253

1121


NILAI VARIABEL PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR 2

Setelah sebelumnya kita mempelajari mengenai Eliminasi Gauss maupun Eliminasi

Gauss Jordan untuk mendapatkan nilai suatu variabel dalam Sistem Persamaan Linear.

Maka selanjutnya kita akan mencari nilai suatu variabel pada SPL dengan menggunakan

cara lainnya, yaitu:

1. Menggunakan Invers

BAX

BAX1

2

11

b

bA

y

x

Contoh

1537

1925

yx

yx

Penyelesaian

...

......

15...)19...(

...

......

15...)19...(

...

...

......

......

...

...

......

......

......

1

1

.....

.....

......

......

1

y

y

y

x

x

x

y

x

y

x

Bac

bd

bcadX

BAX

BA

Jadi x = … dan y = …


2. Aturan Cramer

2222

1211

aa

aa

y

x=

2

1

b

b

)det(

)det(

A

AX x

)det(

)det(

A

AY y

222

121

ab

abAx

221

111

ba

baAy

Contoh

1537

1925

yx

yx

Penyelesian

...

...

......

......

y

x

.........)7...()15...(

......

......

.........)2...()3...(

......

......

.........)2...()3...(

......

......

y

y

x

x

A

A

A

A

A

A

.............

......

)det(

)det(

x

x

A

Ax x

.............

.......

)det(

)det(

y

y

A

Ay y

Jadi x = … dan y = …


TUGAS!!! 1. Tania membeli dua buah buku dan tiga buah pensil di koperasi sekolah dengan total

harga belanjanya Rp 7.000,00. Sedangkan Rani membeli 4 buku dan 4 pensil dengan total harga yang harus di bayar Rp 12.000,00. Berapakah harga satu buah buku dan satu buah pensil yang di jual oleh koperasi sekolah. (carilah penyelesainnya persoalan tersebut dengan matriks)

2. Jika diketahui SPL berikut:

0563

1342

92

321

321

321

xxx

xxx

xxx

Carilah penyelesaian dari: c. a. Buatlah matriks diperbesarnya. b. Tentukan transpose dari matriks koefisien. c. Tentukan nilai determin dari matriks koefisien. d. Tentukan adjoin dari matriks koefisien. e. Tentukan invers dari matriks koefisien. f. Tentukan nilai variabelnya dengan menggunakan Eliminasi Gauss, Eliminasi Gauss

Jordan, Menggunakan Invers, dan Aturan Cramer.

3. Buatlah satu contoh soal SPL yang memuat bentuk 4 variabel dan 4 persamaan, kemudian carilah nilai variabelnya dengan menggunakan aturan cramer dan invers matriks.

Catatan:

Untuk no 3, setiap mahasiswa TIDAK boleh memiliki soal yang dibuat dalam bentuk SPL yang sama, jika ada terdapat mahasiswa yang sama maka tugas ini akan di kembalikan dan di perbaiki kembali.


BAB III Vektor-vektor di Ruang – 2 dan Ruang – 3

Vektor bisa disajikan secara geometris sebagai ruas garis berarah atau panah dalam ruang berdimensi 2 dan ruang berdimensi 3. Arah panah menentukan arah vektor. Panjang panah menentukan besar vektor. A B Definisi. Jika v dan w adalah skalar sebarang dua vektor, maka jumlah v + w adalah vektor

yang ditentukan sebagai berikut. Tempatkanlah vektor w sehingga titik awalnya berimpit dengan titik terminal v. Vektor v + w dinyatakan oleh panah dari titik awal v terhadap titik terminal w.

Operasi Vektor 1. Penjumlahan Vektor

Contoh 1: Jadi, Jadi,

Definisi. Jika v dan w adalah sebarang dua vektor, pengurangan w dan v disedinisikan

oleh v – w = v + (-w)

Vektor: ..........................................................................................................................................

Besaran Vektor: ............................................................................................................................

Skalar:............................................................................................................................................

A : titik pangkal vektor

B : titik ujung vektor


2. Pengurangan Vektor Contoh 2:

sehingga diperoleh Maka diperoleh Amati gambar berikut dan berikan keterangannya

Definisi. Jika v adalah vektor taknol dan k bilangan real tak nol (skalar), maka hasil kali kv

didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya | | kali panjang v dan arahnya sama seperti arah v jika k > 0 dan berlawanan dengan arah v jika k < 0. Kita drfinidiksn kv = 0 jiks k = 0 atau v = 0.

Contoh 3:

2 3


Vektor R2

Ruang dimensi-2 atau ruang-2 ( 2) adalah himpunan pasangan bilangan berurutan ( , ), di mana x dan y adalah bilangan-bilangan real. Pasangan bilangan ( , ) dinamakan titik (point) dalam 2, misal suatu titik P dapat ditulis ( , ). Bilangan x dan y disebut koordinat dari titik P.

Untuk menggambarkan titik-titik di 2 secara geometris, koordinat x dan y dianggap berada pada dua garis bilangan yang berbeda yang membentuk suatu sistem koordinat. Garis bilangan tersebut dinamakan sumbu koordinat. Sumbu koordinat tersebut digambarkan saling tegak lurus dan membentuk suatu sistem yang disebut sistem koordinat siku-siku. Pada 2 sistem ini dinamakan sistem koordinat-xy atau sistem koordinat kartesius (Cartesian system) yang dibangun oleh :

Sumbu x (x-axis) yaitu garis tempat semua titik yang mempunyai koordinat (x, 0).

Sumbu y (y-axis) yaitu garis tempat semua titik yang mempunyai koordinat (0, y). Suatu titik yang berada tepat di kedua sumbu dinamakan titik asal (origin point)

ditulis O(0, 0). Titik ini adalah titik di mana sumbu x dan y saling berpotongan. v = (v1, v2) dan w = (w1, w2) maka v + w = (v1 + w1, v2 + w2) Contoh 4: Gambarlah vektor dari titik berikut ini:

a. C (3, 4) b. B (-2, 3) c. A (2, 3) dan B (1,6) d. P (3, -1) dan Q (3, 4)

Penyelesaian:

y

x


Setelah membahas contoh soal diatas pada vektor ruang – 2, maka kadang-kadang vektor ditempatkan sedemikian rupa sehingga titik awalnya tidak mempunyai titik asal. Jika

vektor mempunyai titik awal P1(x1, y1, z1) dan titik terminal P2(x2, y2) maka

),,( 12121221 zzyyxxPP

Yakni, komponen-komponen kita dapatkan dengan mengurangkan koordinat

titik awal dari koordinat titik terminal. Vektor adalah selisih vektor dan vektor

sehingga

),(),(),( 12121122 yyxxyxyx

Contoh 5:

Jika titik asal P1(4, 1) dan P2(2,0) maka koordinat adalah ..... Penyelesaian: Vektor R3

Ruang dimensi-3 atau ruang-3 ( 3 adalah himpunan tripel bilangan berurutan , , , di mana x, y, dan z adalah bilangan-bilangan real. Tripel bilangan , , dinamakan titik (point) dalam 3, misal suatu titik P dapat ditulis , , . Bilanganx, y, dan z, disebut koordinat dari titik P.

Seperti halnya 2, 3 memiliki sistem koordinat siku-siku yaitu sistem koordinat-xyz, dengan titik asal (0,0,0 , yang dibangun oleh :

Sumbu x (x-axis) yaitu garis tempat semua titik yang mempunyai koordinat ,0,0 .

Sumbu y (y-axis) yaitu garis tempat semua titik yang mempunyai koordinat 0, ,0 .

Sumbu z (z-axis) yaitu garis tempat semua titik yang mempunyai koordinat 0,0, .


Contoh 6: Gambarlah vektor dari titik berikut ini:

a. Titik (2, 4, 5) b. Titik (3, -4, -2) c. Titik (-3, 2, 4)

Penyelesaian:


Jika v = (v1, v2, v3) dan w = (w1, w2, w3) adalah dua vektor di ruang – 3, maka argumen yang serupa dengan argumen yang digunakan untuk vektor-vektor di sebuah bidang dapat digunakan untuk menghasilkan hasil-hasil berikut: v dan w ekuivalen jika dan hanya jika v1 = w1, dan v2 = w2 dan v3 = w3 v + w = (v1 + w2, v2 + w2, v3 + w3) kv = (kv1, kv2, kv3) dimana k adalah sebarang skalar Contoh 7: Jika v = (1, -3, 2) dan w = (4, 2, 1) Maka v + w = (5, -1, 3) 2v = (2, -6, 4) -w = (-4, -2, -1) v – w = v + (-w) = (-3, -5, 1) kadang-kadang vektor ditempatkan sedemikian rupa titik awalnya tidak mempunyai

titik asal. Jika vektor mempunyai titik awal P1 (x1, y1, z1) dan titik terminal P2 (x2, y2, z2), maka

, ,

Yakni, komponen-komponen kita dapatkan dengan mengurangkan koordinat titik awal dari koordinat titik terminal. Hal ini dapat dilihat dengan menggunakan Gambar

dibawah, vektor adalah selisih vektor dan vektor , sehingga

),,(),,(),,( 121212111222 zzyyxxzyxzyx

z

21PP P2(x2, y2, z2)

P1(x1,y1,z1)

1OP 2OP

y x Contoh 8: Komponen-komponen vektor v = P1P2 dengan titik awal P1(2, -1, 4) dan titik terminal P2(7, 5, -8) adalah Penyelesaian: v = (.....– ....., ..... – ....., ..... – .....) = (....., ....., .....)


Latihan Soal 6! 1. Carilah komponen-komponen vektor yang mempunyai titik awal P1 dan titik terminal P2.

a. P1(3, 5), P2(2, 8) b. P1(7, -2), P2(0,0) c. P1(6, 5, 8), P2(8, -7, -3) d. P1(0, 0, 0), P2(-8, 7, 4)

2. Carilah vektor dengan titik awal P(2, -1, 4) yang mempunyai arah sama seperti v = (7, 6, -3)

3. Carilah vektor yang diarahkan berlawanan terhadap v = (-2, 4, -1) yang mempunyai titik terminal Q(2, 0, -7)

4. Misalkan u = (1, 2, 3), v = (2, -3, 1) dan w = (3, 2, -1). Carilah komponen-komponen dari a. u –w d. -3v – 8w b. 3(u – 7v) e. –w + v c. 7v + 3w f. 2v – (u + w)

5. Misalkan u, v, dan w adalah vektor-vektor dalam soal 4. Carilah komponen-komponen vektor x yang memenuhi 2u – v + x = 7x + w.

6. Misalkan u, v, dan w adalah vektor-vektor dalam soal 4. Carilah skalar c1, c2, dan c3 sehingga c1u + c2v + c3w = (6, 14, -2).


3.1 Norma Suatu Vektor, Aritmatika Vektor Norma Suatu Vektor

Panjang suatu vektor u sering disebut sebagai norma u dan nyatakan sebagai u .

Dari teorema Phythagoras kita dapatkan bahwa norma suatu vektor u = (u1, u2) dalam ruang dimensi 2 adalah

22

21 uuu

Anggap u = (u1, u2, u3) adalah vector dalam ruang dimensi 3. Dengan gambar

dibawah dan dua penerapan teorema phythagoras, maka diperoleh.

23

22

21

222

222

)()()(

)()(

uuu

RPOSOQ

RPORu

Jadi 23

22

21 uuuu

Suatu vektor bernorma 1 disebut suatu vektor satuan. Jika P1(x1, y1, z1) dan P2(x2, y2, z2) adalah dua titik dalam ruang dimensi 3, maka jarak d antara kedua titik tersebut adalah

norma vektor 21PP karena ),,( 12121221 zzyyxxPP , maka diperoleh

Teorema 3.1.1. Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor dalam ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3 dan k dan l adalah skalar, maka hubungan berikut ini berlaku.

a. u + v = v + u e. k(lu) = (kl)u b. (u + v) + w = u + (v + w) f. k(u + v) = ku + kv c. u + 0 = 0 + u = u g. (k + l)u = ku + lu d. u + (-u) = 0 f. lu = u

y

(u1, u2)

u u2

U1

Z

P(u1, u2, u3)

u

x


212

212

212 )()()( zzyyxxd

Demikian juga, jika P1(x1, x1) dan P2(x2, y2) adalah titik-titik dalam ruang dimensi 2, maka jarak antara kedua titik tersebut diberikan oleh.

212

212 )()( yyxxd

Contoh 1:

1. Norma vektor u = (-3, 2, 1) adalah

Penyelesaian:

....................... u

2. Jarak d antara titik P1(2, -1, -5) dan P2(4, -3, 1) adalah

Penyelesaian:

..................................... d


Latihan Soal 7!

1. Cari norma v

a. v = (4, -3) c. v = (-7, 2, -1)

b. v = (-5, 0) d. v = (0, 6, 0)

2. Cari jarak antara P1 dan P2.

a. P1(-3, 6), P2(-1, -4)

b. P1(7, -5, 1), P2(-7, -2, -1)

c. P1(3, 3, 3), P2(6, 0, 3) 3. Anggap u = (2, -2, 3), v = (1, -3, 4), w = (3, 6, -4). Pada masing-masing bagian

hitunglah ekspresi yang ditunjukkan.

a. vu c. uu 22 e. ww

1

b. vu d. wvu 53 f. ww

1

4. Anggap v = (-1, 2, 5). Cari semua scalar k sedemikian sehingga 4kv


3.2 Perkalian Titik, Proyeksi Perkalian Titik dari Vektor

Anggap u dan v adalah dua vektor tak nol dalam ruang dimensi 2 atau ruang dimensi 3, dan anggap vektor-vektor ini telah diposisikan sehingga titik-titik pangkalnya berimpitan. S sedngkan yang dimaksudkan sudut antara u dan v adalah sudut θ yang ditentukan oleh u dan v yang memenuhi 0 ≤ θ ≤ π.

Contoh 2: Sudut antara vektor u = (0, 0, 1) dan v = (0, 2, 2) adalah 450. Penyelesaian:

cosvuvu = ................................................................................................................

Rumus Komponen Untuk Perkalian Titik

Anggap u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3) adalah dua vektor tak nol. θ adalah sudut antara u dan v, maka hukum cosinus mengahsilkan

cos2222

vuvuPQ

222

2

1cos uvvuvu

atau

222

2

1uvvuvu

Dengan mensubstitusikan 23

22

21

2uuuu 2

322

21

2vvvv

Dan 233

222

211

2)()()( uvuvuvuv

Setelah menyederhanakannya, kita mendapatkan

332211 vuvuvuvu

Definisi. Jika u dan v adalah vektor-vektor dalam ruang dimensi 2 atau dimensi 3 dan θ adalah sudut antara u dan v, maka perkalian titik atau perkalian dalam Euclidies u·v didefinisikan sebagai

u·v =

0

cosvu Jika u ≠ 0 dan v ≠ 0

Jika u = 0 dan v = 0


Jika u = (u1, u2) dan v = (v1, v2) adalah dua vektor dalam ruang dimensi 2, maka

rumus yang perpadanan adalah u·v = u1v1 + u2v2

Mencari Sudut Antar Vektor

Jika u dan v adalah vektor-vektor tak nol, maka rumus sebelumnya dapat ditulis sebagai berikut.

vu

vu cos

Contoh 3: Tinjaulah vektor-vektor u = (2, -1, 1) dan v = (1, 1, 2). Carilah u·v dan tentukan sudut θ di antara u dan v. Penyelesaian: u·v = ……………………………………………………………………………………….. cos θ = ……………………………………………………………………………………... Contoh 4: Jika u = (1, -2, 3), v = (-3, 4, 2) dan w = (3, 6, 3) maka.... Penyelesaian: u·v =....................................................................................................................................... v·w = ..................................................................................................................................... u·w = ..................................................................................................................................... Vektor-vektor Ortogonal

Vektor-vektor yang tegak lurus disebut juga vektor-vektor ortogonal. Berdasarkan Teorema 3.2.1b, dua vektor tak nol ortogonal jika dan hanya jika perkalian titiknya bernilai nol. Jika kita sepakat untk menggap u dan v tegak lurus ketika salah satu atau kedua vektor ini adalah 0, maka kita dapat menyatakan tanpa perkecualian bahwa dua vektor u dan v

Teorema 3.2.1. Anggap u dan v adalah vektor-vektor dalam ruang dimensi 2 atau dimensi 3.

a. v·v = 2v ; yaitu v = (v·v)1/2

b. jika u dan v adalah vektor-vektor tak nol dan adalah sudut antara kedua vektor tersebut, maka: θ lancip jika dan hanya jika u·v > 0 θ tumpul jika dan hanya jika u·v < 0 θ = π/2 jika dan hanya jika u·v = 0


ortogonal (tegak lurus) jika dan hanya jika u·v = 0. Untuk menunjukkan bahwa u dan v adalah vektor-vektor yang ortogonal kita tuliskan u v. Contoh 5: Tunjukkan bahwa dalam riang dimensi 2 vektor tak nol n = (a, b) tegak lurus dengan garis ax + by + c= 0 Penyelesaian: Anggap P1(x1, y1) dan P2(x2, y2) adalah titik-tititk yang berbeda pada garis tersebut, sedemikian sehingga ax1 +by1 + c = 0 ax2 + by2 + c = 0

karena vektor ),( 121211 yyxxPP ada pada garis tersebut, kita hanya perlu menunjukkan

bahwa n dan 21PP tegak lurus. Akan tetapi, dengan mengurangkan persamaan-persamaan di

atas, maka diperoleh a (x2 – x1) + b(y2 –y1) = 0 yang dapat dinyatakan dalam bentuk

(a, b)·(x2 – x1, y2 – y1) = 0 atau n· 21PP = 0

Jadi, n dan 21PP adalah tegak lurus

ax +by+ c = 0 P1(x1, y1)

21PP P2(x2, y2)

Teorema 3.2.2. jika u, v dan w adalah vektor-vektor dalam ruang dimensi 2 atau 3 dan k adalah suatu skalar, maka:

a. u·v = v·u b. u·(v+w) = u·v + u·w c. k(u·v) = (ku)·v = u·(kv) d. v·v > 0 jika v ≠ 0, dan v·v = 0 jika v = 0


Proyeksi Ortogonal Contoh 6: Anggap u = (2, -1, 3) dan a = (4, -1, 2). Carilah komponen vektor dari u sepanjang a dan komponen vektor u yang ortogonal terhadap a. Penyelesaian:

u·a =............................................................................................................................ 2

a = ...........................................................................................................................

Jadi, komponen vektor u sepanjang a adalah proy au = ....................................................................................................................

dan komponen vektor u yang ortogonal terhadap a adalah u – proy au = ..............................................................................................................

Suatu rumus untuk panjang komponen vektor u sepanjang a dapat diperoleh dengan menuliskan

aa

au

aa

au

aa

auuproya

2

2

2

Yang menghasilkan a

auuproy a

Teorema 3.2.3. jika u dan a adalah vektor-vektor dalam ruang dimensi 2 atau ruang dimensi 3 dan jika a ≠ 0, maka

proy au = aa

au2

(komponen vektor u sepanjang dengan a)

u – proy au = u - aa

au2

(komponen vektor u yang ortogonal terhadap a)


Jika θ menyatakan sudut antara u dan a, maka u·a = au cosθ, sehingga dapat juga ditulis

sebagai cosuuproya

Contoh 7: Cari suatu rumus untuk jarak D antara titik P0(x0, y0) dan garis ax + by + c = 0 Penyelesaian: Anggap Q(x1, y1) adalah sembarang titik pada garis tersebut dan letaknya vektor

n = (a, b) sedemikian sehingga titik pangkalnya berada di Q.

Dari contoh 5, vektor n tegak lurus terhadap garis, sebagaimana yang ditunjukkan

dalam gambar tersebut, jarak D sama dengan panjang proyeksi orthogonal dari 0QP terhadap

n; jadi diperoleh

n

nQPQPproyD n

0

0

Tetapi ),( 10100 yyxxQP

)()( 10100 yybxxanQP

22 ban

Sedemikian sehingga

22

1010 )()(

ba

yybxxaD

Karena titik Q(x1, y1) terletak pada garis tersebut, maka koordinatnya memenuhi persamaan garis tersebut sehingga ax1 + by1+ c = 0


atau c = -ax1 – by1

dengan mensubstitusikan bentuk diatas maka akan mendapatkan rumus

22

00

ba

cbyaxD

Contoh 8: Tentukan jarak D dari titik (1, -2) ke garis 3x + 4y -6 = 0 adalah Penyelesaian:

.......

.......

...............

.................

.....................

..........................................................................D

Latihan Soal 8! 1. Cari u·v.

a. u = (2, 3), v = (5, -7) b. u = (-2, 2, 3), v = (1, 7, -4)

2. pada soal no.1 cari cosinus sudut θ antara u dan v. 3. tentukan u dan v membentuk suatu sudut lancip, tumpul, atau orthogonal

a. u = (6, 1, 4), v = (2, 0, -3) c. u = (3, 1, -7), a = (1, 0, 5) b. u = (-1, -2), a = (-2, 3) d. u = (1, 0, 0), a = (4, 3, 8)

4. cari proyeksi ortogonal dari u terhadap a. a. u = (6, 2), a = (3, -9) c. u = (3, 1, -7), a = (1, 0, 5) b. u = (-1, -2), a = (-2, 3) d. u = (1, 0, 0), A = (4, 3, 8)

5. Dari soal no.4 cari komponen vektor dari u yang orthogonal terhadap a.

6. Pada setiap bagian cari uproya

a. u = (1, -2), a = (-4, -3) c. u = (5, 6), a = (2, -1) b. u = (3, 0, 4), a = (2, 3, 3) d. u = (3, -2, 6), a = (1, 2, -7)

7. anggap u = (5, -2, 1), v = (1, 6, 3) dan k = -4. Periksa Teorema 3.2.2 untuk nilai-nilai tersebut.

8. (a) tunjukkan bahwa v = (a, b) dan w = (-b, a) adalah vektor-vektor ortogonal. (b) gunakan hasil pada bagian (a) untuk mencari dua vektor yang orthogonal terhadap v =

(2, -3). (c) cari dua vektor satuan yang orthogonal terhadap (-3, 4)

9. Anggap u = (3, 4), v = (5, -1) dan w = (7, 1). Hitunglah ekspresi-ekspresi berikut ini.

a. u·(7v+w) b. wwu )( c. )( wvu d. wvu )(

10. Hitunglah jarak antara titik dan agar garis berikut ini. a. 4x + 3y + 4 = 0; (-3, 1) b. y = -4x + 2; (2, -5) c. 3x + y = 5; (1, 8)


3.3 Perkalian Silang Perkalian silang vektor-vektor Contoh 1: Cari u × v, dengan u = (1, 2, -2) dan v = (3, 0, 1) Penyelesaian:

.....

.....

............

...........

u × v =

..........

..........,

..........

..........,

...........

..........

= ( ......, ......, ......) □

Contoh 2: Tinjau vektor-vektor u = (1, 2, -2) dan v = (3, 0, 1) Penyelesaian: Dengan menggunakan cara seperti contoh 1, maka diperoleh

u × v = ( ......., ......, ......) karena u·(u×v) = ................................................................................................................... dan v·(u×v) = ....................................................................................................................

Definisi. Jika u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3) adalah vekto-vektor dalam ruang dimensi 3, maka perkalian silang u × v adalah vektor-vektor yang didefinisikan sebagai

u × v = (u2v3 – u3v2, u3 v1 – u1v3, u1v2 – u2v3)

atau dalam notasi determinan

u × v =

21

21

31

31

32

32 ,,vv

uu

vv

uu

vv

uu

Teorema 3.3.1. Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor dalam ruang dimensi 3, maka: a. u·(u × v) = 0 (u × v ortogonal terhadap u) b. v·(u × v) = 0 (u × v ortogonal terhadap v)

c. 2222vuvuvu (identitas Lagrange *)

d. wvuvwuwvu )()()( (hubungan antara perkalian silang dan

perkalian titik) e. uwvvwuwvu )()()( (hubungan antara perkalian silang dan

perkalian titik)


Sehingga dapat dilihat bahwa u × v ortogonal terhadap u dan v sebgaimana yang dikatakan pada Teorema 3.3.1 □ Contoh 3: Cari suatu vektor yang ortogonal terhadap u dan v. u = (-6, 4, 2) dan v = (3, 1, 5) Penyelesaian: Sifat-sifat aritmatika utama dari perkalian silang ditampilkan pada teorema berikut ini. Interpretasi Geometrik dari Perkalian Silang Berdasarkan teorema 3.3.1, menyatakan bahwa

2222vuvuvu

Jika θ menyatakan sudut antara u dan v, maka u·v = cosθvu sedemikian sehingga bentuk

rumusa diatas dapat ditulis ulang sebagai berikut.

Teorema 3.3.2. Jika u, v, dan w adalah sembarang vektor dalam ruang dimensi 3 dan k adalah sembarang skalar, maka:

a. u × v = -(v × u) b. u × (v + w) = (u × v) + (u × w) c. (u + v) × w = (u × w) = (v × w) d. k(u × v) = k(u) × v = u × (ku) e. u × 0 = 0 × u = 0 f. u × u = 0


θsinvu

θ)cos(1vu

θcosvuvuvu

222

222

222222

Karena 0 ≤ θ ≤ π, maka sin θ ≥ 0 sehingga ini dapat ditulis ulang sebagai,

sinθvuvu

Akan tetapi, sinθv adalah ketinggian jajaran genjang yang ditentukan oleh u dan v.

Sehingga Luas jajarangenjang di atas, jika dihubungkan dengan rumus diatas yaitu:

LA = (alas)(tinggi) = vusinθvu

Contoh 4: Cari luas jajaran genjang yang dibentuk oleh u dan v. u = (1, -1, 2) dan v = (0, 3, 1) Penyelesaian:

Hasil ini benar bahkan jika u dan v koliner karena jajaran genjang yang di tentukan oleh u dan v mempunyai luas nol dan dari rumus di atas kita dapatkan u × v = 0 karena θ = 0 dalam kasus ini. Jika, kita mendapatkan teorema berikut ini. Contoh 5: Cari luas segitiga yang dibentuk oleh titik-titik P1(2, 2, 0), P2(-1, 0, 2) dan P3(0, 4, 3).

Teorema 3.3.3. Jika u dan v adalah vektor-vektor dalam ruang dimensi 3, maka vu

sama dengan luas jajaran genjang yang ditentukan oleh u dan v.


Penyelesaian:

Luas A segitiga = 2

1 × luas jajaran genjang

yang dibentuk oleh vektor 21PP dan 31PP , Dengan menggunakan metode yang didiskusikan

sebelumnya. Sehingga diperoleh;

21PP ..........................................................................................................................

31PP ..........................................................................................................................

3121 PPPP .................................................................................................................

Oleh karena itu,

Luas segitiga = .......................2

1

2

13121 PPPP

Perkalian Skalar Ganda Tiga Contoh 6: Hitunglah perkalian skalar ganda tiga u·(v × w) dari vektor-vektor u = 3i – 2j – 5k v = i + 4j – 4k w = 3j + 2k Penyelesaian: u·(v × w) =

Interpretasi Geometrik Determinan

Definisi. Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor dalam ruang dimensi 3, maka u·(v × w) disebut perkalian skalar ganda tiga dari u, v, dan w

Teorema 3.3.4

a. Nilai mutlak determinan

21

21detvv

uu

Sama dengan luas jajaran genjang dalam ruang dimensi 2 yang di bentuk oleh vektor u = (u1, u2) dan v = (v1, v2).

b. Nilai mutlak determinan

321

321

321

det

www

vvv

uuu

Sama dengan volume paralelepidum dalam ruang dimensi 3 yang dibentuk oleh vektor u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) dan w = (w1, w2, w3).


Sehingga untuk menghitung volume paralelepidum yaitu:

V = (luas alas)·(tinggi) = w)(vuwv

w)(vuwv

Sehingga untuk volume paralelepidum

V =

321

321

321

www

vvv

uuu

det

Contoh 7: Cari volume paralelepidum dengan sisi-sisi u, v, dan w. u = (2, -6, 2), v = (0, 4, -2) dan w = (2, 2, -4) Penyelesaian:

Independensi Perkalian Silang dan Koordinat Contoh 8: Apakah vektor di bawah ini memiliki titik pangkal yang berimpitan. u = (-1, -2, 1), v = (3, 0, -2), w = (5, -4,0) Penyelesaian:

Teorema 3.3.5. Jika vektor-vektor u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3), dan w = (w1, w2, w3) mempunyai titik pangkal yang sama, maka ketiganya terletak pada bidang yang sama jika dan hanya jika

0)(

321

221

321

www

vvv

uuu

wvu


Latihan soal 9! 1. Anggap u = (3, 2, -1), v = (0, 2, -3) dan w = (2, 6, 7). Hitunglah

a. v × w c. u × (v×w) e. (u × v) × w b. (u × v) × (v ×w) d. u × (v – 2w) f. (uv) – 2w

2. Cari suatu vektor yang ortogonal terhadap u dan v u = (-2, 1, 5) dan v = (3, 0, -3)

3. Cari luas jajaran genjang yang dibentuk oleh u dan v. a. u = (3, -1, 4) dan v = (6, -2, 8) b. u = (2, 3, 0) dan v = (-1, 2, -2)

4. Cari luas segitiga yang mempunyai titik-titik sudut P, Q, dan R a. P(2, 6, -1), Q(1, 1, 1) dan R(4, 6, 2) b. P(1, -1, 2), Q(0, 3, 4) dan R(6, 1, 8)

5. Buktikan Teorema 3.3.1 untuk vektor-vektor u = (4, 2, 1) dan v = (-3, 2, 7). 6. Buktikan Teorema 3.3.2. untuk u = (5, -1, 2), v = (6, 0, -2) dan w = (1, 2, -1) dan k =

-5. 7. Cari perkalian skalar ganda tiga u·(v × w).

a. u = (-1, 2, 4), v = (3, 4, -2), w = (-1, 2, 5) b. u = (3, -1, 6), v = (2, 4, 3), w = (5, -1, 2)

8. Anggap u·(v × w) = 3. Cari a. u·(w × v) b. (v × w)·u c. w·(u×v)

9. Cari volume paralelium dengan sisi-sisi u, v, dan w. u = (3, 1, 2), v = (4, 5, 1), w = (1, 2, 4)

10. Tetukan apakah u, v, dan w terletak pada bidang yang sama jika diposisikan sedmikian sehingga titik-titik pangkalnya berimpitan. a. u = (5, -2, 1), v = (4, -1, 1), w = (1, -1, 0) b. u = (4, -8, 1), v = (2, 1, -2), w = (3, -4, 12)

ristia apriana (aljabar linear)

Documents