ristia apriana (metode numerik)
DESCRIPTION
matematika numerikTRANSCRIPT
7/17/2019 Ristia Apriana (Metode Numerik)
http://slidepdf.com/reader/full/ristia-apriana-metode-numerik 1/46
METODE NUMERIK 1
7/17/2019 Ristia Apriana (Metode Numerik)
http://slidepdf.com/reader/full/ristia-apriana-metode-numerik 2/46
METODE NUMERIK i
DAFTAR ISI
Pengantar Metode Numerik ....................................................... 1
Kekeliruan dalam Perhitungan Numerik ................................... 5
Bilangan dan Ketelitian ............................................................... 5
Pembulatan ................................................................................ 6
Latihan ....................................................................................... 9
Teori Galat ................................................................................. 10
Latihan ........................................................................................ 13
Operasi Hitung pada Teori Galat ............................................... 14
Latihan ....................................................................................... 18
Akar Persamaan ......................................................................... 19
Metode Biseksi .......................................................................... 21
Metode Iterasi ............................................................................ 24
Metode Newton Raphson .......................................................... 26
Metode Birge-Vieta ................................................................... 28
Interpolasi ................................................................................... 30
Interpolasi Linear ....................................................................... 30
Latihan ........................................................................................ 32
7/17/2019 Ristia Apriana (Metode Numerik)
http://slidepdf.com/reader/full/ristia-apriana-metode-numerik 3/46
METODE NUMERIK ii
Interpolasi Kuadrat ..................................................................... 33
Interpolasi Langrange ............................................................... 36
Interpolasi Newton .................................................................... 41
Latihan ....................................................................................... 43
7/17/2019 Ristia Apriana (Metode Numerik)
http://slidepdf.com/reader/full/ristia-apriana-metode-numerik 4/46
METODE NUMERIK 1
PENGANTAR METODE NUMERIK
Ketika kita menyelesaikan persamaan-persamaan matematika di mana teorema-
teoremanya masih dapat diterapkan, solusi analitik atau solusi eksak dapat kita peroleh.
Sebagai contoh, perhatikan soal-soal berikut.
(1) Cari akar-akar persamaan: x2 – 4 x + 3 = 0!
(2) Tentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan berikut.
2 x + 3 y = 8
5 x – 2 y = 1
(3) Hitung integral berikut:
dx x1
0
2
(4) Tentukan solusi umum persamaan diferensial berikut
0 kydx
dy
Tujuan Umum
Memahami kebermaknaan dari belajar metode numerik serta mengetahui
kekeliruan dalam perhitungan numerik.
Tujuan Khusus
1.
Mahasiswa dapat menyebutkan pengertian dari metode numerik.
2. Mahasiswa dapat mengetahui kegunaan dari metode numerik.
3. Mahasiswa dapat mengetahui cakupan materi yang terdapat dalam metode
numerik.
7/17/2019 Ristia Apriana (Metode Numerik)
http://slidepdf.com/reader/full/ristia-apriana-metode-numerik 5/46
METODE NUMERIK 2
Persoalan di atas dengan mudah dapat dipecahkan secara analitik. Dengan
menggunakan metode pemfaktoran atau rumus abc, akar-akar persamaan pada soal (1)
adalah x = 1 dan x = 3. Dengan metode substitusi atau metode Cramer, solusi soal (2)
adalah x = 1 dan y = 2. Teorema dasar kalkulus akan membawa pada jawaban eksak
soal (3), yakni3
11
0
2 dx x . Sementara itu, kx A y sin merupakan salah satu solusi
umum persamaan diferensial pada soal (4).
Permasalahan muncul ketika metode analitik tidak lagi mampu memecahkan
persoalan matematis yang lebih rumit. Sebagai contoh, perhatikan soal-soal berikut.
(1) Cari akar-akar persamaan: 0 x xe x
(2) Tentukan solusi dari sistem persamaan linier berikut:
2 p + 3q – r + 4s + 2t = 2
4 p – 2q + 3r – 2s – t = 5
3 p + q – 2r – 3s + 7t = 6
p + 2q + 3r – 6s + 4t = 8
5 p +3 q – 10r – s + t = 6
(3) Hitung integral berikut: dxe x
1
0
2
(4) Tentukan solusi persamaan diferensial berikut: xe xy y y y 2
7/17/2019 Ristia Apriana (Metode Numerik)
http://slidepdf.com/reader/full/ristia-apriana-metode-numerik 6/46
METODE NUMERIK 3
Persoalan-persoalan diatas sulit untuk dipecahkan secara analitik karena tidak
ada teorema-teorema matematis yang mendukung. Akan tetapi, persoalan-persoalan itu
bukan berarti tidak dapat dipecahkan. Persoalan-persoalan di atas dapat dipecahkan
dengan metode numerik.
Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk merumuskan persoalan-
persoalan matematis sehingga dapat dipecahkan dengan operasi aritmetika biasa
(tambah, kurang, kali, dan bagi). Secara harfiah, metode artinya cara, sedangkan
numerik artinya angka. Jadi, metode numerik secara harfiah adalah cara berhitung
menggunakan angka-angka.
Berbeda dengan metode analitik yang selalu menghasilkan solusi eksak dan
dapat dinyatakan dengan persamaan matematis, metode numerik menghasilkan solusi
berupa angka yang merupakan hampiran atau pendekatan. Solusi hampiran ini jelas
tidak sama dengan solusi eksak. Akan tetapi, kita dapat mencari solusi hampiran sedekat
mungkin dengan solusi eksaknya. Dengan kata lain, selisih antara solusi hampiran
dengan solusi eksak dibuat sekecil mungkin. Selisih antara solusi hampiran dan solusi
sejati disebut galat atau kesalahan.
Beberapa persoalan yang dapat dipecahkan menggunakan metode numerik
adalah menentukan solusi persamaan nonlinier, sistem persamaan linier multivariabel,
diferensial, integral, interpolasi, regresi, dan persamaan diferensial.
Dalam penerpan matematis untuk menyelesaikan persoalan-persoalan
perhitungan dan analisis, ada beberapa keadaaan dan metode yang digunakan untuk
menghasilkan penyelesaian yang baik yaitu:
1.
Bila persoalan merupakan persoalan yang sederhana atau ada theorema analisamatematika yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan tersebut, maka
penyelesaian matematis (metode analitik) adalah penyelesaian exact yang harus
digunakan. Penyelesaian ini menjadi acuan bagi pemakaian metode pendekatan.
2. Jika persoalan sudah sangat sulit atau tidak mungkin diselesikan secara matematis
(anaitik) karena tidak ada theorema analisa matematik yang dapat digunakan, maka
dapat digunakan metode numerik.
7/17/2019 Ristia Apriana (Metode Numerik)
http://slidepdf.com/reader/full/ristia-apriana-metode-numerik 7/46
METODE NUMERIK 4
3. Jika persoalan sudah merupakan persoalan yang mempunyai kompleksitas tinggi,
sehingga metode numerikpun tidak dapat menyajikan penyelesaian dengan baik,
maka dapat digunakan metode-metode simulasi.
Persoalan-persoalan uang biasa diangkat dalam metode numerik adalah
persosalan-persoalan matematis yang penyelesaiannya sulit didapatkan dengan
menggunakan metode analitik, anatara lain:
1. Menyelesaikan persamaan non linear
2. Menyelesaikan persmaan simulasi atau multivariabel.
3. Menyelesaikan differensial dan integral.
4.
Interpolasi dan regresi.
5. Menyelesaikan persamaan differensial.
6. Masalah multi variabel untuk menentukan nilai optimal yang tak bersyarat.
7/17/2019 Ristia Apriana (Metode Numerik)
http://slidepdf.com/reader/full/ristia-apriana-metode-numerik 8/46
METODE NUMERIK 5
KEKELIRUAAN DALAM PERHITUNGAN NUMERIK
Untuk menyelesaikan suatu masalah biasanya dimulai dengan sebarang data
awal kemudian dihitung, kemudian dengan langkah-langkah (pengolahan) tertentu, dan
akhirnya diperoleh suatu penyelesian.
Data numerik adalah suatu Aproksimasi (pendekatan) yang benar sampai dua,
tiga atau lebih bilangan. Terkadang metode yang digunakan merupakan suatu
aproksiamasi, dan oleh sebab itu kekeliruan dalam hasil perhitungan mungkin
disebabkan oleh kekeliruan data, atau kekeliruan di dalam metode, atau kedua-duanya.
Bilangan dan Ketelitian
Ada dua macam bilangan yaitu:
1. Bilangan Eksak (Tepat)
Contoh:
1; 2; 3;2
3; 0,5; 2
Buatlah contoh lain dari bilangan eksak: ....................................................................
Tujuan Umum:
Memahami kebermaknaan dari belajar metode numerik serta mengetahui
kekeliruan dalam perhitungan numerik.
Tujuan Khusus:
1. Mahasiswa dapat mengetahui kekeliruan yang terjadi dalam perhitungan
numerik.
2. Mahasiswa dapat melakukan pembulatan ke satuan terdekat.
3. Mahasiswa dapat melakukan pembulatan angka desimal.
4. Mahasiswa dapat melakukan pembulatan ke banyak angka signifikan (penting).
7/17/2019 Ristia Apriana (Metode Numerik)
http://slidepdf.com/reader/full/ristia-apriana-metode-numerik 9/46
METODE NUMERIK 6
2. Bilangan Aproksimasi (Pendekatan)
Contoh:
Nilai aproksimasi dari π adalah 3,1416 atau pendekatan yang lebih baik dari π
adalah 3,14159265.
Buatlah contoh lain dari bilangan aproksimasi ...........................................................
Angka-angka yang menyatakan suatu bilangan disebut angka-angka
signifikan. Jadi bilangan-bilangan 3,1416; 0,66667 dan 4,0687 masing-masing memuat
lima angka signifikan. Bilangan 0,0023 hanya mempunyai dua angka signifikan yaitu 2
dan 3, karena nol hanya menentukan tempat dari titik desimal. Sering kali kita
menginginkan menyingkat penulisan bilangan-bilangan yang besar, dan hal tersebut
dapat dilakukan dengan memotong sampai seberapa angka dari bilangan itu yang kita
inginkan. Proses pemotongan bilangan seperti itu disebut pembulatan.
Untuk membulatkan bilangan sampai ke n angka signifikan, hilangkan setiap
bilangan yang ada disebelah kanan angka ke n, dan bila bilangan yang dihilangkan
tersebut:
1.
Kurang dari 5 (setengah satuan), maka angka ke n tidak berubah (tetap).2. Lebih besar dari 5 (setengah satuan),maka angka ke n bertambah satu (satu satuan).
3. Tepat 5 (setengah unit), maka angka ke n bertambah satu (satuan) jika angka ke n
ganjil, dan yang lain tetap.
Pembulatan
Apakah anda tahu ada
berapa cara
pembulatan hasil
pengukuran???
7/17/2019 Ristia Apriana (Metode Numerik)
http://slidepdf.com/reader/full/ristia-apriana-metode-numerik 10/46
METODE NUMERIK 7
Berikut adalah cara pembulatan hasil pengukuran:
1. ...................................................................................................................................
2. ..................................................................................................................................
3.
..................................................................................................................................
Pembulatan ke satuan terdekat
Aturan pembulatan suatu bilangan ke satuan terdekat yaitu :
a. Jika angka berikutnya lebih dari atau sama dengan 5, maka angka ini hilang dan
angka di depannya ditambah satu.
b.
Jika angka berikutnya kurang dari 5, angka ini dihilangkan dan angka didepannya tetap.
Contoh:
a. 74,5 cm = 75 cm (dibulatkan ke cm terdekat)
b. 45,49 lt = 45 lt (dibulatkan ke lt terdekat)
Pembulatan ke banyaknya tempat desimal
Cara pembulatannya ke banyaknya angka-angka desimal yang dikehendaki,
yaitu berapa angka yang berada di belakang koma.
Contoh:
a. 47,25369 = 47,2537 (dibulatkan ke-4 tempat desimal)
b. 47,25369 = 47,254 (dibulatkan ke-3 tempat desimal)
c. 47,25369 = 47,25 (dibulatkan ke-2 tempat desimal)
d. 47,25369 = 47,3 (dibulatkan ke-1 tempat desimal)
7/17/2019 Ristia Apriana (Metode Numerik)
http://slidepdf.com/reader/full/ristia-apriana-metode-numerik 11/46
METODE NUMERIK 8
Pembulatan ke banyaknya angka signifikan (penting)
Ketentuan untuk menyatakan angka signifikan atau angka yang berarti (penting)
sebagai berikut :
a. Semua angka selain nol adalah signifikan.
Contoh: 25,91 mempunyai 4 angka signifikan
5,4 mempunyai 2 angka signifikan
b. Semua angka nol di antara angka selain nol adalah signifikan.
Contoh: 1,025 mempunyai 4 angka signifikan
203 mempunyai 3 angka signifikan
c. Semua angka nol di belakang angka bukan nol pada bilangan bulat bukan signifikan.
Contoh: 33.000 mempunyai 2 angka signifikan
42.300 mempunyai 3 angka signifikan
d. Semua angka nol di depan angka bukan nol pada desimal bukan signifikan.
Contoh: 0,00251 mempunyai 3 angka signifikan
2,5 x 10-3 mempunyai 2 angka signifikan
e. Semua angka nol di belakang angka bukan nol pada desimal adalah signifikan.
Contoh: 20,080 mempunyai 4 angka signifikan
0,510 mempunyai 2 angka signifikan
f. Semua angka nol pada bilangan yang diberi tanda khusus (strip atau bar) adalah
signifikan.
Contoh: 5.000 mempunyai 3 angka signifikan
12.000 mempunyai 3 angka signifikan
7/17/2019 Ristia Apriana (Metode Numerik)
http://slidepdf.com/reader/full/ristia-apriana-metode-numerik 12/46
METODE NUMERIK 9
Contoh Soal
Bilangan-bilangan berikut dibulatkan sampai empat angka signifikan:
1,6583 ke 1,658
30,0567 ke 30,…..
0,859378 ke 0,85….
3,14159 ke 3,1……
Latihan!
1. Bulatkanlah bilangan-bilangan berikut kedua tempat desimal:
48,21416 ke ………………..
2,375 ke ………………..
2,3742 ke ………………..
2,385 ke ………………..
52,275 ke ………………..
81,225 ke ………………..
2.
Bulatkanlah bilangan-bilangan berikut ke 4 signifikan.
38, 46235 ke ……………….
0,70029 ke ……………….
0,0022218 ke ……………….
19,255101 ke ……………….
2,36425 ke ……………….
0,0314052 ke ……………….
7/17/2019 Ristia Apriana (Metode Numerik)
http://slidepdf.com/reader/full/ristia-apriana-metode-numerik 13/46
METODE NUMERIK 10
TEORI GALAT
Teori galat atau disebut juga teori kesalahan yang terbagi ke dalam dua
kesalahan, yaitu:
1.
Kesalahan mutlak ( Absolut Error )
Merupakan selisih antara nilai sebenarnya dengan nilai aproksimasinya, yang dapat
dirumuskan sebagai berikut:
Atau
2. Kesalahan relatif ( Relatif Error )
Merupakan hasil bagi dari kesalahan mutlak dengan nilai aproksimasinya, yang
dapat dirumskan sebagai berikut:
Atau x
E E A
R x
E E A
R
Tujuan Umum:
Mampu membedakan kesalahan mutlak (EA) dan kesalahan relatif (Er ) baik itu
dalam perasi hitung penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian.
Tujuan Khusus:
1. Mahasiswa dapat membedakan kesalahan mutlah (absolut) dan kesalahan relatif.
2. Mahasiswa dapat mengetahui cara mencari persentase kesalahan.
3.
Mahasiswa dapat mengetahui cara mencari persentase ketelitian.
4. Mahasiswa dapat mengetahui cara mencari batas penghampiran.
7/17/2019 Ristia Apriana (Metode Numerik)
http://slidepdf.com/reader/full/ristia-apriana-metode-numerik 14/46
METODE NUMERIK 11
Kedua bentuk teori galat atau teori kesalahan di atas merupakan bagian utama
yang harus di kuasi, guna dapat melanjutkan penyelesaian masalah lain yang
berhubungan dengan kedua teori tersebut. Berikut beberapa hal yang merupakan
lanjutan dari permasalahan teori galat.
1. Persentase Kesalahan
Untuk mencari persentase kesalahan di peroleh dengan mengalikan kesalahan relatif
dengan persen, bentuk tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:
2. Persentase Ketelitian
Setelah mengetahui persentase kesalahan, maka kita dapat mencari persentase
ketelitiannya dengan mengurangkan total suatu ketelitian dengan kesalahan.
3. Batas Penghampiran
Bilangan x disebut mendekati x sampai pada d digit- digit yang signifikan yang
memenuhi:
Contoh:
Misal p adalah pendekatan untuk p, dengan p = 3,141592, p = 3,14, tentukan:
1. Kesalahan absolut
2. Kesalahan relatif
3.
Persentase kesalahan
4. Persentase ketelitian
5. Batas penghampiran
Penyelesaian:
1.)
EA (p) = ............................. - ............................... = .........................
%100 RP E E
P E Ketelitian %100(%)
2
10 d
R x
x x E
7/17/2019 Ristia Apriana (Metode Numerik)
http://slidepdf.com/reader/full/ristia-apriana-metode-numerik 15/46
METODE NUMERIK 12
2.) ER (p) = ..................................................
..................................
3.) EP = ...................... X 100% ≈ ......................
4.)
Ketelitian (%) = 100% - ............................... ≈ .............................
5.) R E = .................. <............
............
Jadi, .............................................................................................................................................
Contoh:
Jika a adalah bilangan yang dibulatkan ke N tempat desimal, maka N x 1021 . Jika x =
0,51 maka x teliti sampai 2 tempat desimal, sehingga N x 10
2
1 = ..................... dan
ketelitian relatifnya adalah ....%........................
...............
x
x
7/17/2019 Ristia Apriana (Metode Numerik)
http://slidepdf.com/reader/full/ristia-apriana-metode-numerik 16/46
METODE NUMERIK 13
Latihan!
Carla kesalahan absolut, relatif, persentase kesalahan, tingkat ketelitian dari
data di bawah ini. Tentukan juga banyaknya digit-digit yang signifikan dalam
pendekatan masing-masing.
999996
1000000.1
a
a
000009,0
000012,0.2
b
b
7182,271828182,2.3
x
x
98000
98350.4
y
y
00006,0
00068,0.5
z
z
6. Diketahui π = 3,141592653, bila π dinyatakan dalam 6 desimal, hitunglah error
relatifnya jika:
a. Dilakukan pemotongan tanpa pembulatan.
b. Dilakukan pemotongan dengan pembulatan.
c. Manakah yang memiliki tingkat ketelitian yang tinggi.
7/17/2019 Ristia Apriana (Metode Numerik)
http://slidepdf.com/reader/full/ristia-apriana-metode-numerik 17/46
METODE NUMERIK 14
OPERASI HITUNG PADA TEORI GALAT
Misal x adalah pendekatan untuk x, maka diperoleh:
Tujuan Umum:
Mampu membedakan kesalahan mutlak (EA) dan kesalahan relatif (Er ) baik
itu dalam perasi hitung penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian.
Tujuan Khusus:
1. Mahasiswa dapat mengetahui proses medapatkan rumus penjumlahan,
pengurangan, perkalian dan pembagian pada EA dan ER .
2.
Mahsiswa dapat menggunakan rumus penjumlahan, pengurangan, perkalian dan
pembagian untuk menyelesaikan permaslahan dalam metode numerik mengenai
EA dan ER .
3. Mahsiswa dapat menggunakan rumus penjumlahan, pengurangan, perkalian dan
pembagian untuk menyelesaikan permaslahan dalam metode numerik mengenai
EA dan ER dengan mengguakan exel.
Masih ingat kah
mengenai kesalahan
absolut dan
kesalahan relatif
)( x E x x
x x E
A
A
x x E x x
x E x x x
x
x x x E
R
R
R
)(
)(
)(
)()(
)()(
x E x x E
x
x E x E A
R
7/17/2019 Ristia Apriana (Metode Numerik)
http://slidepdf.com/reader/full/ristia-apriana-metode-numerik 18/46
METODE NUMERIK 15
1. Penjumlahan
Kesalahan Absolut
x + y = .........................................................................................................................
= ..........................................................................................................................
= ..........................................................................................................................
= .........................................................................................................................
= .........................................................................................................................
= ........................................................................................................................
= .........................................................................................................................
Kesalahan Relatif
ER (x + y) = ...........................................................................................................
= ...........................................................................................................
= ...........................................................................................................
= ...........................................................................................................
= ...........................................................................................................
= ...........................................................................................................
= ...........................................................................................................
2. Pengurangan
Kesalahan Absolut
x - y = .........................................................................................................................
= ..........................................................................................................................
= ..........................................................................................................................
= .........................................................................................................................
7/17/2019 Ristia Apriana (Metode Numerik)
http://slidepdf.com/reader/full/ristia-apriana-metode-numerik 19/46
METODE NUMERIK 16
= .........................................................................................................................
= ........................................................................................................................
= .........................................................................................................................
Kesalahan Relatif
ER (x - y) = ...........................................................................................................
= ...........................................................................................................
= ...........................................................................................................
= ...........................................................................................................
= ...........................................................................................................
= ...........................................................................................................
= ...........................................................................................................
= ...........................................................................................................
3. Perkalian
Kesalahan Absolut
x . y = .........................................................................................................................
= ..........................................................................................................................
= ..........................................................................................................................
Diasumsikan EA (x) . EA (y) ≈ 0, maka:
= .........................................................................................................................
= .........................................................................................................................
= .........................................................................................................................
= .........................................................................................................................
7/17/2019 Ristia Apriana (Metode Numerik)
http://slidepdf.com/reader/full/ristia-apriana-metode-numerik 20/46
METODE NUMERIK 17
= .........................................................................................................................
Kesalahan Relatif
ER (x . y) = ...........................................................................................................
= ...........................................................................................................
= ...........................................................................................................
= ...........................................................................................................
= ...........................................................................................................
= ...........................................................................................................
= ...........................................................................................................
4. Pembagian
Kesalahan Absolut
y
x = ............................................................................................................................
= ..........................................................................................................................
= ..........................................................................................................................
= .........................................................................................................................
= .........................................................................................................................
= ........................................................................................................................
= .........................................................................................................................
Kesalahan Relatif
ER
y
x= ...........................................................................................................
= ...........................................................................................................
= ...........................................................................................................
7/17/2019 Ristia Apriana (Metode Numerik)
http://slidepdf.com/reader/full/ristia-apriana-metode-numerik 21/46
METODE NUMERIK 18
= ...........................................................................................................
= ...........................................................................................................
Contoh:
Diberikan data x = 2,718282, x= 2,7182, y = 3,141593 dan y = 3,1416, maka carilah:
1. EA(x + y) dan ER (x + y)
2. EA (x – y) dan ER (x – y)
3. EA (x . y) dan ER (x . y)
4. EA (x/y) dan ER (x/y)
Setelah mengetahui penyelesaian operasi hitung pada teori galat, maka untuk
menyelesaikan permasalahan tersebut dapat menggunakan bantuan program komputer
yang sangat sederhana yaitu exel.
Latihan!
Diberikan data x = 3/4 , x= pembulatan 4 desimal, y = 4/7 dan y = pembulatan 4
desimal, maka carilah:
1.
EA(x + y) dan ER (x + y)
2. EA (x – y) dan ER (x – y)
3. EA (x . y) dan ER (x . y)
4. EA (x/y) dan ER (x/y)
Selesaikan permasalahan di atas dengan menggunakan manual dan bantuan program
exel, kemudian buatlah kesimpulan dari kedua pengerjaan yang berbeda tersebut.
7/17/2019 Ristia Apriana (Metode Numerik)
http://slidepdf.com/reader/full/ristia-apriana-metode-numerik 22/46
METODE NUMERIK 19
AKAR PERSAMAAN
Di dalam kerja ilmiah dan teknik, sering dijumpai suatu masalah untuk mencari
akar-akar persamaan yang berbentuk f(x). Jika f(x) berbentuk kuadrat, pangkat tiga,
atau pangkat empat maka ada rumus-rumus aljabar untuk menghitung akar-akarnya.
Sebaiknya, jika f(x) suatu polinom berderajat tinggi atau berbentuk fungsi transenden
seperti, 1 + cos x – 5x, x tan x – cos x, e-x – sin x, dan seterusnya, tidak tersedia metode
aljabar untuk solusinya, dan harus dipelajari kembali tentang cara mencari akar-akarnya
dengan metode (cara) aproksimasi.
Tujuan Umum:
Mampu mencari nilai akar persamaan dengan menggunakan metode numerik
yaitu dengan cara iseksi, iterasi, newton raphson dan bierge vietta.
Tujuan Khusus:
1. Mahsiswa dapat mencari akar persamaan dengan menggunakan cara biseksi,
iterasi, newton raphson, dan bierge vietta.
2.
Mampu menarik kesimpulan dari keempat cara dalam metode numerik untuk
mencari akar persamaan.
3. Dapat menyelesaikan permaslahan sehari-hari yang berhubungan akar
persamaan.
Definisi:
Diberikan suatu fungsi f dari R ke R yang kontinu. Suatu bilangan x0 ϵ R
yang memenuhi f(x0) = 0 disebut akar persamaan f (x) = 0 atau nilai nol dari
fungsi f.
7/17/2019 Ristia Apriana (Metode Numerik)
http://slidepdf.com/reader/full/ristia-apriana-metode-numerik 23/46
METODE NUMERIK 20
Contoh:
1. Berapakah nilai x pada F(x) = 2x2 + 5x – 3 dari Ɍ ke Ɍ adalah fungsi kontinyu.
Penyelesian:
Jadi, ......................................................................................................................
2. Carilah akar Real dari persamaan H(x) = x3 – x – 1 = 0
Untuk mencari akar-akar dari pesamaan H(x) = 0 adalah sukar dilakukan dengan cara
eksak. Pada kenyataannya kita cukup mencari pendekatan dari akar-akar yang eksak.
Dalam bagian ini, akan dibicarakan metode-metode numerik untuk solusi
persamaan, dengan f(x) adalah fungsi aljabar atau transenden atau keduanya.
Masih ingatkah untuk
menyelesaikan soal
seperti berikut????
F(x) = 2x2 + 5x ‐3
7/17/2019 Ristia Apriana (Metode Numerik)
http://slidepdf.com/reader/full/ristia-apriana-metode-numerik 24/46
METODE NUMERIK 21
METODE BISEKSI (Belah Dua)
Teorema yang digunakan dalam metode biseksi “Bila f(x) kontinu di dalam a ≤
x ≤ b dan fungsi f(a) dengan f(b) berlawanan tanda, maka f( α ) = 0 untuk suatu
bilangan α sedemikian sehingga a < α < b”.
Berdasarkan teorema di atas menyatakan bahwa bila fungsi f(x) kontinu di antara
a dan b, maka f(a) dan f(b) berlawanan tanda, maka ada paling sedikit satu akar di antara
a dan b. maka akar-akarnya terletak di antar a dan b, dan nilai aproksimasinya.
20
ba x
Jika f(x0) = 0, maka x0 adalah akar-akar dari f(x) = 0.
Contoh:
Selesaikan persamaan x2 – 3 = 0 dalam interval [1 ,2] menggunakan metode bagi dua
sampai 5 iterasi (langkah).
Penyelesaian:
.....)(1 a f a
......)(2 b f b
Oleh karena itu akar persamaan teretak antara 1 dan 2
Iterasi 1:
75,03)5,1()(
5,12
21
2
1
1
x f
x
Oleh karena itu akar persamaan terletak antara 1,5 dan 2
Iterasi 2:
.........................)(.........)(
..................
........................
2
2
2
x f
x
Toleransi keauratan (%) = %1002
12
x
x x
= %100........
........................
7/17/2019 Ristia Apriana (Metode Numerik)
http://slidepdf.com/reader/full/ristia-apriana-metode-numerik 25/46
METODE NUMERIK 22
= ................%
Oleh karena itu akar terletak antara ............. dan ..........
Iterasi 3:
.........................)(.........)(
..................
........................
2
3
3
x f
x
Toleransi keauratan (%) = %1003
23
x
x x
= %100........
........................
= ................%Oleh karena itu akar terletak antara ............ dan .............
Iterasi 4:
.........................)(.........)(
..................
........................
2
4
4
x f
x
Toleransi keauratan (%) = %100
4
34
x
x x
= %100........
........................
= ................%
Oleh karena itu akar terletak antara ............ dan ...............
Iterasi 5:
.........................)(.........)(
...........
.......
........................
2
5
5
x f
x
Toleransi keauratan (%) = %1005
45
x
x x
= %100........
........................
= ................%
Jadi pada iterasi ke-5 diperoleh akar hampir x = ....................
7/17/2019 Ristia Apriana (Metode Numerik)
http://slidepdf.com/reader/full/ristia-apriana-metode-numerik 26/46
METODE NUMERIK 23
Contoh:
Carilah akar real dari persamaan f(x) = x3 – x – 1 = 0 dengan interval [1, 2] dengan 3
iterasi.
Penyelesaian:
Jadi pada iterasi ke-3 diperoleh akar hampir x = ..................
7/17/2019 Ristia Apriana (Metode Numerik)
http://slidepdf.com/reader/full/ristia-apriana-metode-numerik 27/46
METODE NUMERIK 24
METODE ITERASI
Iterasi adalah suatu proses yang diulangi sampai jawaban yang diinginkan
diperoleh. Teknik-teknik iterasi digunakan untuk mencari akar-akar pendekatan
persamaan, solusi dari sistem persamaan linear maupun non linear, dam solusi dari
persamaan diferensial.
Dalam proses iterasi kita mulai dengan mengopersasikan x0 untuk suatu akar α
dan akar hasil tersebut kita aproksimasi x1 sebelum aproksimasi x2 dan setersunya.
Dengan proses efektif nilai-nilai yang diperoleh x1, x2, x3, ... makin lama makin
mendekati akar α.
Proses tersebut diteruskan sehingga aproksimasinya dengan ketelitian yang
diinginkan diperoleh. Jadi ntuk suatu proses iteratif kita perlukan kedua hal ini:
1. Aproksimasi x0
2. Metode aau formula untuk memperoleh apoksimasi xn+1 dalam suku-suku dari
aproksimasi xn.
Jika persamaan yang akar-akarnya akan dicari adalah f(x) = 0, maka untuk
aproksimasi x0 dapat diperoleh dari sketsa gambar dari grafik f(X). Jika persamaan f(x)
= 0 ditulis dalam bentuk x = F(x), kita peroleh berturut-turut iterasi x1, x2, x3, .... seperti
berikut:
x1 = F(x0)
x2 = F(x1)
x3 = F(x2)
... ...
... ...
xn+1 = F(xn)
7/17/2019 Ristia Apriana (Metode Numerik)
http://slidepdf.com/reader/full/ristia-apriana-metode-numerik 28/46
METODE NUMERIK 25
Contoh:
Carilah akar dari persamaan x3 – x – 1 = 0
Penyelesaian:
Persamaan x3
– x – 1 = 0 dapat ditulis sebagai x = x3
– 1 yaitu dalam bentuk x = F(x)
dengan F(x) = x3 – 1.
Sekarang akan kita coba untuk menentukan akar diantara 1 dan 2 merumuskan proses
yang didefiniskan oleh aproksimasi awal.
xn+1 = x3-1
7/17/2019 Ristia Apriana (Metode Numerik)
http://slidepdf.com/reader/full/ristia-apriana-metode-numerik 29/46
METODE NUMERIK 26
METODE NEWTON RAPSON
Metode ini merupakan penggunaan umum untuk memperoleh hasil yang lebih
baik dari metode-metode sebelumya. Misal x0 adalah aproksimasi akar dari f(x) = 0 dan
misalnya h adalah kekeliruan dari aproksimasi tersebut sedemikian x1 = x0 + h dan f(x1)
= 0. Ekspansi f(x1) oleh deret Taylor, kita peroleh:
0...)(!2
)()( 0
2
00 x f h
x f h x f
Karena aproksimasi yang lebih baik adalah yang kekeliruannya terkecil, dalam hal ini
h snagat kecil, maka turunan kedua atau lebih dapat diabaikan, sehingga kita peroleh
)(
)(
0)()(
0
0
00
x f
x f h
x f h x f
Aproksimasi yang baik dari x0 diberikan oleh x1, dengan)(
)(
0
001
x f
x f x x
Aproksimasi-aproksimasi yang lain adalah x2, x3, x4, ........, xn+1 dengan
yang disebut formula Newton Rapshon
Contoh:
Gunakan metode Newton Raphson untuk menentukan aproksimasi akar real dari persamaan x3 – x – 1 dengan x0 = 1.
Penyelesaian:
Jika kita misalkan f(x) = x3 – x – 1 dengan x0 = 1, maka 13)( 2 x x f
13
)1(2
3
1
x
x x x x nn
)(
)(1
n
n
nn x f
x f x x
7/17/2019 Ristia Apriana (Metode Numerik)
http://slidepdf.com/reader/full/ristia-apriana-metode-numerik 30/46
METODE NUMERIK 27
...........................1..........
...........1
)(
)(
0
001
x f
x f x x
..........................
...........
.........................
)(
)(
1
112
x f
x f x x
........................................................................................3 x
Jadi, ..................................................................................................................................
Contoh:
Gunakan metode Newton Raphson untuk menentukan aproksimasi akar real dari
persamaan x2 – 1 dengan x0 = 1. (Buatlah sebanyak 4 iterasi)
Penyelesian:
7/17/2019 Ristia Apriana (Metode Numerik)
http://slidepdf.com/reader/full/ristia-apriana-metode-numerik 31/46
METODE NUMERIK 28
METODE BIRGE-VIETA
Diberikan persamaan P(x) dengan P(x) suatu polinomial. Akan dicari
pendekatan dari akar persamaan P(x) = 0 dengan nilai awal x0 dengan metode Bierge-
Vieta yang langkah-langkahnya dijelaskan pada contoh ini.
Langkah-langkah untuk mencari akar persamaan dengan menggunakan metode
ini yaitu:
Contoh:
Carilah akar pendakatan dari P(x) = x3 – x – 1 dengan x0 = 1, sebanyak 3 iterasi.
Penyelesaian:
P(x) = a3.x3 + a2.x2 + a1.x + a0
P(x) = x3 – x – 1
Sehingga a3 = ........., a2 = .........., a1 = .........., a0 = ........... maka a3 = b3 = c3 = 1
.....................................
........1
....................)1()(
......................
..........................................
1110
1
001
10000
2011
2011
3022
3022
c
b x x
b xa f x f b
c xbc
b xab
c xbc
b xab
1
001
0000
10
10
.)(
.
1,2
.
c
b x x
b xa x pb
c xbc
i
b xab
i
iii
iii
7/17/2019 Ristia Apriana (Metode Numerik)
http://slidepdf.com/reader/full/ristia-apriana-metode-numerik 32/46
METODE NUMERIK 29
.....................................
........1
....................)1()(
......................
.....................
.....................
1110
1
012
11000
2111
2111
3122
3122
c
b x x
b xa f x f b
c xbc
b xab
c xbc
b xab
.....................................
........1
....................)1()(
......................
.....................
.....................
1110
1
021
12000
2211
2211
3222
3222
c
b x x
b xa f x f b
c xbc
b xab
c xbc
b xab
Contoh:
Carilah akar pendakatan dari P(x) = x2 – 3 dengan x0 = 1, sebanyak 5 iterasi.
Penyelesaian:
7/17/2019 Ristia Apriana (Metode Numerik)
http://slidepdf.com/reader/full/ristia-apriana-metode-numerik 33/46
METODE NUMERIK 30
INTERPOLASI
Inetrpolasi berarti mengestimasi nilai fungsi yang tidak diketahui dengan
menggunakan nilai-nilai fungsi di titik sekitarnya. Interpolasi ialah menghubungkan
titik-titik data diskrit dalam suatu cara yang masuk akal sehingga dapat diperoleh
taksiran layak dari titik-titik data diantara titik-titik yang diketahui. Sehingga dapat
dikatakan bahwa interpolasi merupakan suatu cara untuk mencari suatu bentuk fungsi,
dengan diketahui titik-titik dari suatu fungsi tersebut.
Akan dibicarakan bermacam-macam interpolasi, yaitu Interpolasi Linear,
Interpolasi Kuadrat, Interpolasi Lagrange, Interpolasi Newton
INTERPOLASI LINEAR
Interpolasi linear menggunakan suatu penggal garis lurus yang melalui 2 titik.
Slope/gardien tunggal penggal garis lurus yang melalui titik (x0, y0) dan titik (x1, y1)
adalah:
Tujuan Umum:
Mampu menyelesaikan permasalahan dari titik-titik koordinat yang
membentuk garis lurus dengan interpolasi linear, kuadrat, lagrange dan newton
Tujuan Khusus:
1. Mahsiswa dapat mengetahui definisi dari interpolasi.
2. Mahasiwa dapat memahami jenis dari interpolasi.
3.
Mahasiswa dapat menyelesaikan permasalahan dari titik-titik koordinat yang
membentuk garis lurus dengan interpolasi linear interpolasi kuadrat, interpolasi
lagrange dan interpolasi newton.
4. Mahasiswa dapat membedakan ketiga jenis interpolasi
7/17/2019 Ristia Apriana (Metode Numerik)
http://slidepdf.com/reader/full/ristia-apriana-metode-numerik 34/46
METODE NUMERIK 31
Persamaan garis lurusnya:
atau dapat ditulis
Dapat digambarkan
Contoh:
1. Jika diketahui bahwa nilai fungsi di x0 = 2 adalah y0 = 7 di x1 = 10 adalah y1 =
15,carilah nilai fungsi di x2 = 6 dan di x3 = 8, gunakan interpolasi linear.
Penyelesaian:
18
8
210
715
01
01
x x
y ym
Persamaan garis lurusnya: y = P(x) = y0 + (x – x0) = ....... + (x - ......)
Jadi y2 = 7 + (x2 - .....) = 7 + ( .... - .....) = .......+....... = ........
y3 = 7 + (x3 - .....) = 7 + ( .... - .....) = .......+....... = ........
Dengan gambar sebagai berikut.
01
01
x x
y ym
)()( 0
01
010 x x
x x
y y y xP y
)()( 00 x xm y x p y
X0 X1 X2
y0
y1
y = P(x), x0 ≤ x ≤x1
y1 = P(x1) = ...???
7/17/2019 Ristia Apriana (Metode Numerik)
http://slidepdf.com/reader/full/ristia-apriana-metode-numerik 35/46
METODE NUMERIK 32
2. Di suatu tempat pada jam 6 pagi suhu udara 230C dan jam 12 siang suhu udara naik
menjadi 320C. Menggunakan inetrpolasi linear, carilah suhu udara ditempat tersebut
pada jam 11 siang.
Penyelesaian:
Latihan!
1. Bila diketahui bahwa nilai fungsi x0 = 2 adalah y0 = 7 di x1 = 10 adalah y1 = 15,
carilah nilai fungsi di x2 = 6 dan di x3 = 8. gunakan interpolasi linear.
2.
Hitunglah taksiran y untuk x = 2 dengan menggunakan interpolasi linear untuk data(1,0) dan (4, 1.386294).
3. Diketahui nilai fungsi di xA = -5 adalah yA = 12 dan xB = 3 adalah yB = -20. carilah
nilai fungsi di xC = -1 dan di xD = = 2 dengan interpolasi linear.
4. Diketahui xA = 2, yA = 3 dan xB = 15, yB = 8. menggunakan interpolasi linear, bila
diberikan x1 = 8 dan x2 = 11 berapakah y1 dan y2?. Gunakan aritmatika 4 angka
desimal (dibelakang koma) dengan pembulatan ke 0,0001 yang terdekat.
5. Tinggi badan seseorang waktu berumur 10 tahun adalah 140 cm dan waktu berumur
20 tahun adalah 165 cm. menggunakan interpolasi linear, carilah tinggi badan orang
tersebut. Waktu umurnya 17 tahun. Bila kenyataannya menunjukkan bahwa tinggi
badan orang tersebut waktu berumur 17 tahun adalah 162 cm, hitunglah kesalahan
absolut dan kesalahan relatif dari tinggi badan yang sebenarnya.
7/17/2019 Ristia Apriana (Metode Numerik)
http://slidepdf.com/reader/full/ristia-apriana-metode-numerik 36/46
METODE NUMERIK 33
INTERPOLASI KUADRAT
Banyaknya kasus di mana penggunaan interpolasi linear kurang memuaskan,
karena fungsi yang diinterpolasi nilai-nilainya berlaku cukup besar (dalam nilai mutlak)
dengan nilai-nilai fungsi linear.
Untuk mengatasi hal tersebut, digunakan polinom derajat dua atau lebih. Di sini
dibahas interpolasi kuadrat yang menggunakan polinom derajat dua.
Cara I:
Misalkan diberikan data yang dinyatakan dengan titik-titik (xk-1, yk-1), (xk , yk )
dan (xk+1, yk+1). Akan dicari polinom derajat dua (fungsi kuadrat) P(x) = A2 x2
+ A1 x +A0 yang kurvanya (parabola) melalui 3 titik tersebut. Jadi akan dicari A2, A1, dan A0,
A2 ≠ 0 dari sistem persamaan linear:
021
2
222
011
2
121
001
2
020
A x A x A y
A x A x A y
A x A x A y
Setelah A2, A1, dan A0 diperoleh dari sistem persamaan linear tersebut, nilai-nilai
disubstitusikan ke P(x) = A2x2 + A1x + A0
Contoh:
Carilah interpolasi kuadrat menggunakan titik-titik (0,1), (2,5) dan (4,17).
Penyelesaian:
Dalam hal ini akan dicari persaman parabola y= P(x)= A2x2
+ A1x + A0 yang melalui 3titik tersebut. Diperoleh sistem persamaan linear:
012
012
0
41617
245
1
A A A
A A A
A
Jadi, 4A2 + 2A1 = 4
16A2 + 4A1 = 16
7/17/2019 Ristia Apriana (Metode Numerik)
http://slidepdf.com/reader/full/ristia-apriana-metode-numerik 37/46
METODE NUMERIK 34
2A2 + A1 = 2
4A2 + A1 = 4
Dengan mengurangkan persamaan. Pertama ke persamaan ke dua di dapat,
2A2 = 1 sehingga A2 = 1 dan A1 = 0.
Gambar dari persamaan di atas.
Cara II:
Untuk mencari polinomial derajat dua (fungsi kuadrat) P(x) yang kurvanya
(parabola) melalui titik-titik(x0, y0), (x1, y1) dan (x2, y2) dilakukan langkah-langkah
sebagai berikut:
1. Bentuk fungsi-fungsi kuadrat:
))(()(
))(()(
))(()(
102
201
210
x x x x xC
x x x x xC
x x x x xC
2. Bentuk koefisien-koefisien:
7/17/2019 Ristia Apriana (Metode Numerik)
http://slidepdf.com/reader/full/ristia-apriana-metode-numerik 38/46
METODE NUMERIK 35
2
22
1
11
0
00
C
y B
C
y B
C
y B
3. P(x) = B0C0(x) + B1C1(x) + B2C2(x)
Contoh:
Carilah interpolasi kuadrat menggunakan titik-titik (0,1), (2,5) dan (4,17).
Penyelesaian:
1. Bentuk fungsi-fungsi kuadrat:
....)(......).......)(())(()(
....)(......).......)(())(()(
......).......)(())(()(
102
201
210
x x x x x x x x xC
x x x x x x x x xC
x x x x x x xC
2. Bentuk koefisien-koefisien:
...................................
....................................
...................................
2
22
1
11
0
00
C
y B
C
y B
C
y B
2. P(x) = B0C0(x) + B1C1(x) + B2C2(x)
= ............................................. + ........................................ + .............................
= ............................................ + ........................................ + .........................
7/17/2019 Ristia Apriana (Metode Numerik)
http://slidepdf.com/reader/full/ristia-apriana-metode-numerik 39/46
METODE NUMERIK 36
= ..........................
Dengan gambar sebagai berikut:
Contoh:
Carilah interpolasi kudrat menggunakan titik-titik (0, 3), (1, 2) dan (-2, 11)
Penyelesaian:
Akan di cari persamaan parabola y = A2 x2 + A1 x + A0
INTERPOLASI LAGRANGE
Disini akan dibahas interpolasi polinomial berderajat N-1 yang menggunakan N
titik (x1,y1), (x2,y2), …, (x N,y N). Jadi bila N=2 terjadi interpolasi linear dan bila N=3
terjadi interpolasi kuadrat. Akan dicari polonomial berderajat N-1:
y = P(x) = A N-1x N-1 + A N-2x N-2 + …+ A1x + An
CaraI menggunakan sistem N persamaan linear untuk mencari N buat koefisien
A N-1,A N-2, …,A1,A0. Cara II menggunakan formula lagrange dan interpolasinya disebut
interpolasi Lagrange.
7/17/2019 Ristia Apriana (Metode Numerik)
http://slidepdf.com/reader/full/ristia-apriana-metode-numerik 40/46
METODE NUMERIK 37
Cara I:
Akan dicari A N-1, A N-2, …, A1, A0 dari sistem N persaman linear:
01
2
2
1
1
021
2
22
1
212
011
2
12
1
111
...
......
A x A x A x A y
A x A x A x A y A x A x A x A y
N
N
N N
N
N N n
N
N
N
N
N
N
N
N
Setelah A , A , …, A , A diperoleh dari sistem persamaan linear tersebut, nilai-
nilai ini disubstitusikan y = P(x)= A N-1x N-1 + A N-2x N-2 + … + A1x + A0.
Contoh:
Carilah interpolasi polinomial derajat tiga menggunakan titik-titik (0, 1), (1, 1), (2, 2)
dan (4, 5).
Penyelesaian:
Karena A0 = 1, maka diperoleh sistem persamaan:
7/17/2019 Ristia Apriana (Metode Numerik)
http://slidepdf.com/reader/full/ristia-apriana-metode-numerik 41/46
METODE NUMERIK 38
Jadi, y = P(x) = ..................................................................................................
Cara II:
Untuk mencari interpolasi polinomial berderajat N-1 yang kurvanya melalui N
titik(x1,y1), (x2,y2), …, (x N,y N), dilakukan langkah-langkah sebagai berikut.
1. Bentuk N polinomial derajat N-1:
N
j j
ji N i x x x
11
...,3,2,1),()(
2.
Bentuk N koefisien:
N i x
y B
ii
ii ,...,2,1,
)(
3. Diambil
)()(1
xC B xP N
i
ii
Dari definisi di atas, terlihat bahwa Ci(xk ) = 0 jika i = k. Jadi untuk setiap k, k =
1, 2, …, N, didapat.
k
N
i
N
i ii
ik iik y
xC
y xC B xP
1 1 )()()(
Jadi y = P(xk ), k = 1, 2, …, N, sehingga kurva y = P(x) melalui N titik-titik
(x1,y1),(x2,y2, …,(x N,y N).
7/17/2019 Ristia Apriana (Metode Numerik)
http://slidepdf.com/reader/full/ristia-apriana-metode-numerik 42/46
METODE NUMERIK 39
Contoh:
Carilah interpolasi polinomial derajat tiga menggunakan titik-titik (0, 1), (1, 1), (2, 2)
dan (4, 5).
Penyelesaian:
Bentuk 4 polinomial derajat 3:
C1 =
C2 =
C3 =
C4 =
Bentuk 4 koefisien)( xC
y B
i
i
i
B1 =
B2 =
B3 =
7/17/2019 Ristia Apriana (Metode Numerik)
http://slidepdf.com/reader/full/ristia-apriana-metode-numerik 43/46
METODE NUMERIK 40
B4 =
Jadi, Ambil y = P(x) =
4
2)(
i
ii xC B =
Latihan!
Carilah interpolasi polinomial derajat tiga menggunakan titik-titik:
1. (0,1),(1,1),(2,2) dan (4,5)
2. (-1,2),(0,3),(2,5) dan (3,-4)
3. (-2,3),(-1,4),(0,5) dan (3,6)
7/17/2019 Ristia Apriana (Metode Numerik)
http://slidepdf.com/reader/full/ristia-apriana-metode-numerik 44/46
METODE NUMERIK 41
INETRPOLASI NEWTON
Disini akan dicari interpolasi berderajat n yang menggunakan titik-titik (x0,y0),(x1,y1, …, (xn,yn) yang banyaknya n + 1. bentuk polinomial interpolasi newton: y = y(x)
= P(x).
],,...,,[))...()((
...],,,[))()((
],,[))((],[)()()(
011110
0123210
012100100
x x x xP x x x x x x
x x x xP x x x x x x
x x xP x x x x x xP x x xP xP
nnn
Dimana…
01
0101
)()(],[
x x
xP xP x xP
02
0112012
],[),(],,[
x x
x xP x xP x x xP
03
0121230123
],,[],,[],,,[ x x
x x xP x x xP x x x xP
0
0211101
],...,,[],...,[],...,,[
x x
x x xP x x xP x x xP
n
nnnnnn
Disebut beda terbagi hingga ke n, dan
nn y xP y xP y xP )(,...,)(,)( 1100
disebut beda terbagi hingga
disebut beda terbagi hingga pertamadisebut
beda terbagi hingga kedua
Dst...
7/17/2019 Ristia Apriana (Metode Numerik)
http://slidepdf.com/reader/full/ristia-apriana-metode-numerik 45/46
METODE NUMERIK 42
Contoh:
Carilah interpolasi polinomial derajat tiga menggunakan titik (0,1) (1,1), (2,2) dan (4,5)
berturut-turut sebagai (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2) dan (x3, y3).
Penyelesaian:
.......01
11),(
01
0101
x x
y y x xP
P(x2, x1) = .................................................................................................................
P(x3, x2) = .................................................................................................................
P(x2, x1, x0) = ............................................................................................................
P(x3, x2, x1) = ............................................................................................................
Jadi, P(x) =.................................................................................................................
7/17/2019 Ristia Apriana (Metode Numerik)
http://slidepdf.com/reader/full/ristia-apriana-metode-numerik 46/46
Latihan Soal!
1. Nilai-nilai eksak dari ln 1 dan ln 4 berturut-turut adalah 0 dan 1,3862944. gunakan
polinomial interpolasi lagrange derajat satu untuk menghitung ln 2. nilai eksak dari
ln 2 adalah 0,6931472. carilah Eabs(0,6931472) dan Erel(0,6931472) dari hasil
pendekatan tersebut.
2. Seperti pada soal no.1 gunakan polinomial interpolasi newton derajat satu.
3. nilai-nilai eksak dari ln 1, ln 4 dan ln 6 berturut-turut adalah 0, 1,3862944 dan
1,7917595. gunakan polinomial interpolasi Lagrange derajat dua untuk menghitung
ln 5. nilai eksak dari ln 5 adalah 1,6094379. carilah Eabs(1,6094379) dan
Erel(1,6094379) dari hasil pendekatan tersebut. 4. Seperti pada soal no.4 gunakan polinomial interposlasi Newton derajat dua.
5. nilai-nilai eksak dari cos 0 dan cos 1 berturut-turut adalah 1 dan 0,540302. gunakan
polinomial interpolasi Lagrange derajat satu untuk menghitung cos 0,4. nilai eksak
dari cos 0,4 adalah 0,921061. carilah Eabs(0,921061) dan Erel(0,921061) dari hasil
pendekatan tersebut.
6. Seperti pada soal no.5 gunakan polinomial interpolasi Newton derajat satu.
7.
nilai-nilai eksak dari cos 0, cos 1 dan cos (-1) berturut-turut adalah 1 dan 0,540302
serta 0,540302. gunakan polinomial interpolasi Lagrange derajat dua untuk
menghitung cos 0,6. nilai eksak dari cos 0,6 adalah 0,825336. carilah Eabs(0,825336)
dan Erel(0,825336)dari hasil pendekatan tersebut.
8. Seperti pada oal no.7 gunakan polinomial interpolasi Newton derajat dua.