LOGO

ALJABAR ABSTRAK

Dosen Pembimbing

Gisoesilo Abudi

Materi Pokok

OPERASI BINER

G R U P

SIFAT-SIFAT SEDERHANA DARI GRUP

SUB GRUP

GRUP SIKLIK

ALJABAR ABSTRAK

Tujuan Instruksional Umum

Setelah mempelajari materi ini, Anda dapat memahami tentang operasi

biner, grup dan sifat-sifat sederhana dari grup, subgrup

serta tentang grup siklik

Pertemuan Kedua

G r u pG r u p

Ke Materi KetigaKe Materi Ketiga

1. Definisi 2. Teorema3. Contoh Soal

4. Latihan / Tugas

Grup Siklik

Pada sub pokok bahasan ini akan dijelaskan suatu orde dari suatu grup yang setiap unsurnya dapat ditulis sebagai perpangkatan (positif atau negetif) atau perkalian dari suatu unsur tetap dari Grup tersebut. Grup yang seperti ini dinamakan Grup Siklik.

Definisi (Terhadap perkalian)

Grup (G, .) disebut siklik, bila ada elemen a G ∈sedemikian hingga G ={an | n Z}. Elemen a ∈disebut generator dari grup siklik tersebut.

(Terhadap penjumlahan)

Grup (G,+) disebut siklik, bila ada elemen a G ∈sedemikian hingga G ={na | n ∈ Z}.

Definisi Misalkan (G,*) adalah suatu Grup dan a G, ∈

maka generator a yang membangun suatu Subgrup [a] dinamakan Subgrup Siklik dari (G,*).

Jadi yang dimaksud dengan Subgrup Siklik yaitu suatu Subgrup yang dibangkitkan oleh satu unsur.

Misalkan (G,*) adalah suatu Grup dan a G, ∈maka generator a yang membangun suatu Subgrup [a] dimana [a] = G, maka Subgrup tersebut dinamakan Grup Siklik.

Dengan kata lain, Grup Siklik adalah Subgrup yang unsur-unsurnya merupakan unsur-unsur dari Grup itu sendiri. Suatu Grup Siklik bisa beranggotakan terhingga banyaknya unsur, bisa juga beranggotakan tak hingga unsur-unsur.

Grup Siklik yang beranggotakan banyaknya unsur terhingga dinamakan Grup Siklik berhingga dan Grup Siklik yang beranggotakan banyaknya unsur tak terhingga dinamakan Grup Siklik tak hingga.

Contoh

Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu Grup terhadap operasi perkalian (G, .). Tentukan Grup Siklik dari Grup tersebut.

Penyelesaian :

Generator dari G = {-1, 1} adalah -1 dan 1

[-1] = {(-1)n | n Z}∈= {(-1)0, (-1)1, (-1)2, …}

= {-1, 1}

[1] = {(1)n | n Z}∈= {(1)0, (1)1, (1)2, …}

= {1}

generator -1 adalah membangun suatu Grup Siklik, sehingga : [-1] = {-1, 1}

generator 1 adalah membangun Subgrup Siklik, sehingga : [1] = {1}.

Contoh

Misalkan G = {0, 1, 2, 3} adalah suatu Grup terhadap penjumlahan (G,+). Tentukan Grup Siklik dari Grup tersebut.

Penyelesaian

Generator dari G = {0, 1, 2, 3} adalah 0, 1, 2 dan 3

[0] = {n(0) | n ∈ Z}

= {0}

[1] = {n(1) | n ∈ Z}

= {0.1, 1.1, 2.1, 3.1, …}

= {0, 1, 2, 3}

Penyelesaian

[2] = {n(2) | n ∈ Z}

= {0.2, 1.2, 2.2, 3.2, …}

= {0, 2}

[3] = {n(3) | n ∈ Z}

= {0.3, 1.3, 2.3, 3.3, …}

= {0, 3, 2, 1}

generator 1 dan 3 adalah membangun suatu Grup Siklik, sehingga : [1] = [3] = {0, 1, 2, 3}

generator 0 dan 2 adalah membangun Subgrup Siklik, sehingga : [0] = {0} dan [2] = {0, 2}

Contoh

Grup (Z,+) merupakan Grup Siklik tak hingga yang dibangun oleh 1.

Penyelesaian :

[1] = {…, -2.1, -1.1, 0.1, 1.1, 2.1, …}

= {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

Jadi, 1 merupakan genertor yang membentuk Grup Siklik tak hingga.

Contoh

Misalkan I4 = {1, -1, i, -i} adalah Grup bilangan kompleks terhadap perkalian (I4, .). Tentukan Grup Siklik dari Grup tersebut.

Penyelesaian :

Generator dari I4 = {1, -1, i, -i} adalah 1, -1, i dan -i

[1] = {(1) n | n ∈ Z}

= {(1)0, (1)1, (1)2 , …}

= {1}

[-1] = {(-1) n | n ∈ Z}

= {(-1)0, (-1)1, (-1)2, …}

= {-1, 1}

[i] = {(i) n | n ∈ Z}

= {(i)0, (i)1, (i)2, (i)3, (i)4, …}

= {1, i, -1, -i}

[-i] = {(-i) n | n ∈ Z}

= {…, (-i)-2, (-i)-1, (-i)0, (-i)1, (-i)2, …}

= {1, -i, i, -1 }

generator i dan -i adalah membangun suatu Grup Siklik, sehingga : [i] = [-i] = {1, -1, i,-i}

generator 1 dan -1 adalah membangun Subgrup Siklik, sehingga : [1] = {1} dan [-1] = {1, -1}

Definisi Setiap Grup Siklik adalah Grup Abelian.

Bukti :

Misalkan (G, .) merupakan Grup Siklik dan a merupakan pembangun dari

G, sehingga G = {an | n Z}.∈

Ambil x, y G, sehingga x = a∈ m dan y = an, untuk m, n Z.∈

x . y = am . an = am+n = an+m = an . am = y . x

Jadi, (G, .) merupakan Grup Komutatif.

Misalkan (G, +) merupakan Grup Siklik dan a merupakan pembangun dari G, sehingga G ={na | n Z}.∈

Ambil x, y G, sehingga x = na dan y = ma, untuk ∈m, n Z.∈

x + y = na + ma = (n + m)a = (m +n)a = ma + na = y + x

Jadi, (G, +) merupakan Grup Komutatif.

Latihan

1. Diketahui matriks

adalah suatu grup terhadap perkalian. Tunjukkan apakah (M, .) merupakan suatu grup siklik.

2. Diketahui matriks

adalah suatu grup terhadap perkalian. Tunjukkan apakah (N, .) merupakan suatu grup siklik.

01

10,01

10,10

01,10

01M

10

01,10

01,10

01,10

01N

Latihan3. Buktikan dengan contoh bahwa Subgrup dari

Grup Siklik merupakan juga Grup Siklik.

LOGO

Selamat Belajar