slide aljabar abstrak 2edit.pdf
TRANSCRIPT
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Pertemuan 9Karakteristik Gelanggang
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Definisi 7.1 (Karakteristik Gelanggang)
Bilangan bulat positif terkecil n disebut karakteristik gelanggang Rjika memenuhi persamaan
n · a = 0R untuk setiap a ∈ R.
Catatan:jika tidak ada bilangan bulat positif n yang memenuhi persamaantersebut di atas, kita katakan bahwa gelanggang R mempunyaikarakteristik 0.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Definisi 7.1 (Karakteristik Gelanggang)
Bilangan bulat positif terkecil n disebut karakteristik gelanggang Rjika memenuhi persamaan
n · a = 0R untuk setiap a ∈ R.
Catatan:jika tidak ada bilangan bulat positif n yang memenuhi persamaantersebut di atas, kita katakan bahwa gelanggang R mempunyaikarakteristik 0.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh Karakteristik Gelanggang
� Gelanggang Zn memiliki nilai karakteristik n
� Gelanggang Z,Q,R dan Csemuanya memiliki nilai karakteristik 0
� 4 bukan nilai karakteristik dari Z2.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh Karakteristik Gelanggang
� Gelanggang Zn memiliki nilai karakteristik n
� Gelanggang Z,Q,R dan Csemuanya memiliki nilai karakteristik 0
� 4 bukan nilai karakteristik dari Z2.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh Karakteristik Gelanggang
� Gelanggang Zn memiliki nilai karakteristik n
� Gelanggang Z,Q,R dan Csemuanya memiliki nilai karakteristik 0
� 4 bukan nilai karakteristik dari Z2.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Teorema 7.1 (Karakteristik Gelanggang)
Bilangan bulat positif terkecil n adalah karakteristik gelanggang Rjika memenuhi n · 1R = 0R untuk suatu n ∈ Z+. Jika tidak ada nyang memenuhi maka karakteristiknya adalah 0.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Bukti Teorema 7.1
Misalkan n adalah bilangan bulat positif yang memenuhi n · 1R = 0.
Ambil sembarang a ∈ R sehingga diperolehn · a = a + a + · · ·+ a
= a(1R + 1R + · · ·+ 1R)= a(n · 1R)= a · 0R= 0R �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Bukti Teorema 7.1
Misalkan n adalah bilangan bulat positif yang memenuhi n · 1R = 0.Ambil sembarang a ∈ R sehingga diperoleh
n · a = a + a + · · ·+ a= a(1R + 1R + · · ·+ 1R)= a(n · 1R)= a · 0R= 0R �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Bukti Teorema 7.1
Misalkan n adalah bilangan bulat positif yang memenuhi n · 1R = 0.Ambil sembarang a ∈ R sehingga diperoleh
n · a = a + a + · · ·+ a
= a(1R + 1R + · · ·+ 1R)= a(n · 1R)= a · 0R= 0R �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Bukti Teorema 7.1
Misalkan n adalah bilangan bulat positif yang memenuhi n · 1R = 0.Ambil sembarang a ∈ R sehingga diperoleh
n · a = a + a + · · ·+ a= a(1R + 1R + · · ·+ 1R)
= a(n · 1R)= a · 0R= 0R �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Bukti Teorema 7.1
Misalkan n adalah bilangan bulat positif yang memenuhi n · 1R = 0.Ambil sembarang a ∈ R sehingga diperoleh
n · a = a + a + · · ·+ a= a(1R + 1R + · · ·+ 1R)= a(n · 1R)
= a · 0R= 0R �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Bukti Teorema 7.1
Misalkan n adalah bilangan bulat positif yang memenuhi n · 1R = 0.Ambil sembarang a ∈ R sehingga diperoleh
n · a = a + a + · · ·+ a= a(1R + 1R + · · ·+ 1R)= a(n · 1R)= a · 0R
= 0R �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Bukti Teorema 7.1
Misalkan n adalah bilangan bulat positif yang memenuhi n · 1R = 0.Ambil sembarang a ∈ R sehingga diperoleh
n · a = a + a + · · ·+ a= a(1R + 1R + · · ·+ 1R)= a(n · 1R)= a · 0R= 0R �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Teorema 7.2 (Karakteristik Daerah Integral)
Karakteristik suatu daerah integral adalah 0 atau prima.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Bukti Teorema 7.2
Misalkan R daerah integral dan suatu bilangan bulat positif nadalah karakteristik R.
Untuk membuktikan teorema ini cukup kitatunjukan n adalah prima dengan menggunakan kontradiksi.
Andaikan n bukan bilangan prima maka ada 1 < r < n dan1 < s < n sehingga n = rs. Karena n karakteristik dari R makadiperoleh
n · 1R = 0R(r · s) · 1R = 0R
(r · 1R)(s · 1R) = 0R
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Bukti Teorema 7.2
Misalkan R daerah integral dan suatu bilangan bulat positif nadalah karakteristik R. Untuk membuktikan teorema ini cukup kitatunjukan n adalah prima dengan menggunakan kontradiksi.
Andaikan n bukan bilangan prima maka ada 1 < r < n dan1 < s < n sehingga n = rs. Karena n karakteristik dari R makadiperoleh
n · 1R = 0R(r · s) · 1R = 0R
(r · 1R)(s · 1R) = 0R
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Bukti Teorema 7.2
Misalkan R daerah integral dan suatu bilangan bulat positif nadalah karakteristik R. Untuk membuktikan teorema ini cukup kitatunjukan n adalah prima dengan menggunakan kontradiksi.
Andaikan n bukan bilangan prima maka ada 1 < r < n dan1 < s < n sehingga n = rs. Karena n karakteristik dari R makadiperoleh
n · 1R = 0R
(r · s) · 1R = 0R(r · 1R)(s · 1R) = 0R
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Bukti Teorema 7.2
Misalkan R daerah integral dan suatu bilangan bulat positif nadalah karakteristik R. Untuk membuktikan teorema ini cukup kitatunjukan n adalah prima dengan menggunakan kontradiksi.
Andaikan n bukan bilangan prima maka ada 1 < r < n dan1 < s < n sehingga n = rs. Karena n karakteristik dari R makadiperoleh
n · 1R = 0R(r · s) · 1R = 0R
(r · 1R)(s · 1R) = 0R
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Bukti Teorema 7.2
Misalkan R daerah integral dan suatu bilangan bulat positif nadalah karakteristik R. Untuk membuktikan teorema ini cukup kitatunjukan n adalah prima dengan menggunakan kontradiksi.
Andaikan n bukan bilangan prima maka ada 1 < r < n dan1 < s < n sehingga n = rs. Karena n karakteristik dari R makadiperoleh
n · 1R = 0R(r · s) · 1R = 0R
(r · 1R)(s · 1R) = 0R
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Bukti Teorema 7.2
karena R daerah integral maka diperoleh(r · 1R) = 0R atau (s · 1R) = 0R .
Kedua kemungkinan tersebut menimbulkan kontradiksi dengan nkarakteristik dari R(n bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi n · 1R = 0R).
Jadi haruslah n adalah bilangan prima�
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Bukti Teorema 7.2
karena R daerah integral maka diperoleh(r · 1R) = 0R atau (s · 1R) = 0R .
Kedua kemungkinan tersebut menimbulkan kontradiksi dengan nkarakteristik dari R(n bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi n · 1R = 0R).
Jadi haruslah n adalah bilangan prima�
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Bukti Teorema 7.2
karena R daerah integral maka diperoleh(r · 1R) = 0R atau (s · 1R) = 0R .
Kedua kemungkinan tersebut menimbulkan kontradiksi dengan nkarakteristik dari R(n bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi n · 1R = 0R).
Jadi haruslah n adalah bilangan prima�
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Latihan 7
1. Misalkan R gelanggang dengan karakteristik n > 0 dan msuatu bilangan bulat positif. Buktikan bahwa m · 1R = 0Rjika dan hanya jika n membagi m.
2. Tentukan karakteristik dari gelanggang-gelanggang berikut.a. Z3 × Z3
b. Z4 × Z6
c. Z4 × R3. Dengan mengamati jawaban anda pada soal no.1 di atas,
tentukan karakteristik dari gelanggang R × S jikakarakteristik gelanggang R dan S adalah masing-masingn dan m (n dan m sembarang bilangan bulat tak negatif).
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Latihan 7
1. Misalkan R gelanggang dengan karakteristik n > 0 dan msuatu bilangan bulat positif. Buktikan bahwa m · 1R = 0Rjika dan hanya jika n membagi m.
2. Tentukan karakteristik dari gelanggang-gelanggang berikut.a. Z3 × Z3
b. Z4 × Z6
c. Z4 × R
3. Dengan mengamati jawaban anda pada soal no.1 di atas,tentukan karakteristik dari gelanggang R × S jikakarakteristik gelanggang R dan S adalah masing-masingn dan m (n dan m sembarang bilangan bulat tak negatif).
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Latihan 7
1. Misalkan R gelanggang dengan karakteristik n > 0 dan msuatu bilangan bulat positif. Buktikan bahwa m · 1R = 0Rjika dan hanya jika n membagi m.
2. Tentukan karakteristik dari gelanggang-gelanggang berikut.a. Z3 × Z3
b. Z4 × Z6
c. Z4 × R3. Dengan mengamati jawaban anda pada soal no.1 di atas,
tentukan karakteristik dari gelanggang R × S jikakarakteristik gelanggang R dan S adalah masing-masingn dan m (n dan m sembarang bilangan bulat tak negatif).
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Latihan 7
4. Buktikan bahwa pernyataan berikut tidak benar. Jika R suatugelanggang dan terdapat 0 6= a ∈ R dan n bilangan bulatpositif terkecil sehingga n · a = 0R maka n merupakankarakteristik dari R.
5. Misalkan R suatu daerah integral dengan karakteristik dari 0.Buktikan bahwa R memiliki subgelanggang yang isomorfikdengan gelanggang bilangan bulat Z
6. Misalkan R dan S dua buah gelanggang yang saling isomorfikTunjukan bahwa karakteristik R dan S adalah sama.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Latihan 7
4. Buktikan bahwa pernyataan berikut tidak benar. Jika R suatugelanggang dan terdapat 0 6= a ∈ R dan n bilangan bulatpositif terkecil sehingga n · a = 0R maka n merupakankarakteristik dari R.
5. Misalkan R suatu daerah integral dengan karakteristik dari 0.Buktikan bahwa R memiliki subgelanggang yang isomorfikdengan gelanggang bilangan bulat Z
6. Misalkan R dan S dua buah gelanggang yang saling isomorfikTunjukan bahwa karakteristik R dan S adalah sama.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Latihan 7
4. Buktikan bahwa pernyataan berikut tidak benar. Jika R suatugelanggang dan terdapat 0 6= a ∈ R dan n bilangan bulatpositif terkecil sehingga n · a = 0R maka n merupakankarakteristik dari R.
5. Misalkan R suatu daerah integral dengan karakteristik dari 0.Buktikan bahwa R memiliki subgelanggang yang isomorfikdengan gelanggang bilangan bulat Z
6. Misalkan R dan S dua buah gelanggang yang saling isomorfikTunjukan bahwa karakteristik R dan S adalah sama.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Pertemuan 10Ideal
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Definisi 8.1 (Ideal)
Misalkan diberikan suatu gelanggang R. Suatu subhimpunan takkosong I ⊆ R disebut ideal jika memenuhi
i . I adalah subgrup dari (R,+)ii . untuk setiap r ∈ R dan a ∈ I berlaku ra, ar ∈ I
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Definisi 8.1 (Ideal)
Misalkan diberikan suatu gelanggang R. Suatu subhimpunan takkosong I ⊆ R disebut ideal jika memenuhi
i . I adalah subgrup dari (R,+)
ii . untuk setiap r ∈ R dan a ∈ I berlaku ra, ar ∈ I
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Definisi 8.1 (Ideal)
Misalkan diberikan suatu gelanggang R. Suatu subhimpunan takkosong I ⊆ R disebut ideal jika memenuhi
i . I adalah subgrup dari (R,+)ii . untuk setiap r ∈ R dan a ∈ I berlaku ra, ar ∈ I
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Teorema 8.1 (Ideal)
Suatu subhimpunan I dari suatu gelanggang R membentuk suatuideal jika dan hanya jika memenuhi
i . I 6= ∅ii . jika a, b ∈ I maka a− b ∈ I
iii . jika a ∈ I dan r ∈ R maka ar , ra ∈ I
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Teorema 8.1 (Ideal)
Suatu subhimpunan I dari suatu gelanggang R membentuk suatuideal jika dan hanya jika memenuhi
i . I 6= ∅
ii . jika a, b ∈ I maka a− b ∈ Iiii . jika a ∈ I dan r ∈ R maka ar , ra ∈ I
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Teorema 8.1 (Ideal)
Suatu subhimpunan I dari suatu gelanggang R membentuk suatuideal jika dan hanya jika memenuhi
i . I 6= ∅ii . jika a, b ∈ I maka a− b ∈ I
iii . jika a ∈ I dan r ∈ R maka ar , ra ∈ I
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Teorema 8.1 (Ideal)
Suatu subhimpunan I dari suatu gelanggang R membentuk suatuideal jika dan hanya jika memenuhi
i . I 6= ∅ii . jika a, b ∈ I maka a− b ∈ Iiii . jika a ∈ I dan r ∈ R maka ar , ra ∈ I
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.1
Misal diberikan dua buah gelanggang R1 dan R2. θ : R1 → R2
adalah homomorfisma gelanggang. Maka Inti(θ) merupakan idealdari R1.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.2
Misal R suatu gelanggang komutatif dan a ∈ R. Tunjukan bahwahimpunan
〈a〉 = {ar | r ∈ R}
merupakan ideal terkecil yang memuat a.
Catatan:Ideal yang berbentuk 〈a〉 disebut ideal utama (suatu ideal yangdibangun oleh satu unsur, yaitu a).
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.2
Misal R suatu gelanggang komutatif dan a ∈ R. Tunjukan bahwahimpunan
〈a〉 = {ar | r ∈ R}
merupakan ideal terkecil yang memuat a.
Catatan:Ideal yang berbentuk 〈a〉 disebut ideal utama (suatu ideal yangdibangun oleh satu unsur, yaitu a).
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.2
Untuk menunjukan 〈a〉 adalah ideal terkecil dari R yangmengandung a cukup dengan menunjukan tiga hal berikut:
i . himpunan 〈a〉 membentuk suatu ideal dari Rii . unsur a ∈ 〈a〉iii . untuk setiap ideal I dari R dengan a ∈ I berlaku 〈a〉 ⊆ I
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.2
Untuk menunjukan 〈a〉 adalah ideal terkecil dari R yangmengandung a cukup dengan menunjukan tiga hal berikut:
i . himpunan 〈a〉 membentuk suatu ideal dari R
ii . unsur a ∈ 〈a〉iii . untuk setiap ideal I dari R dengan a ∈ I berlaku 〈a〉 ⊆ I
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.2
Untuk menunjukan 〈a〉 adalah ideal terkecil dari R yangmengandung a cukup dengan menunjukan tiga hal berikut:
i . himpunan 〈a〉 membentuk suatu ideal dari Rii . unsur a ∈ 〈a〉
iii . untuk setiap ideal I dari R dengan a ∈ I berlaku 〈a〉 ⊆ I
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.2
Untuk menunjukan 〈a〉 adalah ideal terkecil dari R yangmengandung a cukup dengan menunjukan tiga hal berikut:
i . himpunan 〈a〉 membentuk suatu ideal dari Rii . unsur a ∈ 〈a〉iii . untuk setiap ideal I dari R dengan a ∈ I berlaku 〈a〉 ⊆ I
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.2
Bukti (i .): himpunan 〈a〉 membentuk suatu ideal dari R
ia. Jelas bahwa 0R = a · 0R ∈ 〈a〉. Sehingga 〈a〉 6= ∅ib. misalkan x , y ∈ 〈a〉. Maka x dan y dapat ditulis
x = ar1 dan y = ar2 untuk suatu r1, r2 ∈ RSehingga diperolehx − y = (ar1)− (ar2)
= a(r1 − r2) sifat distributif∈ 〈a〉 r1 − r2 ∈ R
jadi untuk setiap x , y ∈ 〈a〉 diperoleh x − y ∈ 〈a〉
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.2
Bukti (i .): himpunan 〈a〉 membentuk suatu ideal dari R
ia. Jelas bahwa 0R = a · 0R ∈ 〈a〉. Sehingga 〈a〉 6= ∅
ib. misalkan x , y ∈ 〈a〉. Maka x dan y dapat ditulisx = ar1 dan y = ar2 untuk suatu r1, r2 ∈ RSehingga diperolehx − y = (ar1)− (ar2)
= a(r1 − r2) sifat distributif∈ 〈a〉 r1 − r2 ∈ R
jadi untuk setiap x , y ∈ 〈a〉 diperoleh x − y ∈ 〈a〉
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.2
Bukti (i .): himpunan 〈a〉 membentuk suatu ideal dari R
ia. Jelas bahwa 0R = a · 0R ∈ 〈a〉. Sehingga 〈a〉 6= ∅ib. misalkan x , y ∈ 〈a〉. Maka x dan y dapat ditulis
x = ar1 dan y = ar2 untuk suatu r1, r2 ∈ RSehingga diperolehx − y = (ar1)− (ar2)
= a(r1 − r2) sifat distributif∈ 〈a〉 r1 − r2 ∈ R
jadi untuk setiap x , y ∈ 〈a〉 diperoleh x − y ∈ 〈a〉
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.2
ic . Misalkan x ∈ 〈a〉 dan r ∈ R. Maka x dapat ditulissebagai x = ar1 untuk suatu r1 ∈ R. Diperolehrx = xr R gelanggang komutatif
= (ar1)r= a(r1r) sifat asosiatif∈ 〈a〉 karena r1r ∈ R
Jadi berdasarkan (ia), (ib) dan (ic) dapat disimpulkan bahwa 〈a〉suatu ideal.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.2
ic . Misalkan x ∈ 〈a〉 dan r ∈ R. Maka x dapat ditulissebagai x = ar1 untuk suatu r1 ∈ R. Diperolehrx = xr R gelanggang komutatif
= (ar1)r= a(r1r) sifat asosiatif∈ 〈a〉 karena r1r ∈ R
Jadi berdasarkan (ia), (ib) dan (ic) dapat disimpulkan bahwa 〈a〉suatu ideal.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.2
ii . Jelas bahwa a = a · 1R ∈ 〈a〉
iii . Misal I suatu ideal dengan a ∈ I . Ambil sembarang x ∈ 〈a〉x = ar1 untuk suatu r1 ∈ R. Dengan demikian diperolehx = ar1 ∈ I karena a ∈ I dan I suatu ideal.Jadi untuk setiap ideal I dari R dengan a ∈ I maka 〈a〉 ⊆ I
Berdasarkan (i), (ii) dan (iii) dapat disimpulkan bahwa 〈a〉merupakan ideal terkecil dari R yang memuat a.
�
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.2
ii . Jelas bahwa a = a · 1R ∈ 〈a〉iii . Misal I suatu ideal dengan a ∈ I . Ambil sembarang x ∈ 〈a〉
x = ar1 untuk suatu r1 ∈ R. Dengan demikian diperolehx = ar1 ∈ I karena a ∈ I dan I suatu ideal.Jadi untuk setiap ideal I dari R dengan a ∈ I maka 〈a〉 ⊆ I
Berdasarkan (i), (ii) dan (iii) dapat disimpulkan bahwa 〈a〉merupakan ideal terkecil dari R yang memuat a.
�
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.3
Misalkan Z menyatakan daerah integral bilangan bulat. Tunjukanbahwa setiap ideal I di Z merupakan ideal utama.
Catatan:Suatu daerah integral yang setiap idealnya merupakan ideal utamadisebut Daerah Ideal Utama.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.3
Ambil I suatu ideal dari Z.
Jika ideal I = {0} jelas bahwa I adalahideal utama karena dibangun satu unsur yaitu oleh unsur 0.
Selanjutnya, untuk I 6= {0} akan ditunjukan bahwa I dibangunoleh satu unsur.
ambil suatu unsur terkecil a di I maka diperoleh a 6= 0 dan−a = a(−1) ∈ I karena I suatu idealberdasarkan Contoh 8.2 diperoleh 〈a〉 ⊆ I · · · · · · (∗)
Ambil x ∈ I . Berdasarkan algoritma pembagian, terdapat r , s ∈ Zsehingga
x = a · r + s dengan 0 ≤ s < a
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.3
Ambil I suatu ideal dari Z. Jika ideal I = {0} jelas bahwa I adalahideal utama karena dibangun satu unsur yaitu oleh unsur 0.
Selanjutnya, untuk I 6= {0} akan ditunjukan bahwa I dibangunoleh satu unsur.
ambil suatu unsur terkecil a di I maka diperoleh a 6= 0 dan−a = a(−1) ∈ I karena I suatu idealberdasarkan Contoh 8.2 diperoleh 〈a〉 ⊆ I · · · · · · (∗)
Ambil x ∈ I . Berdasarkan algoritma pembagian, terdapat r , s ∈ Zsehingga
x = a · r + s dengan 0 ≤ s < a
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.3
Ambil I suatu ideal dari Z. Jika ideal I = {0} jelas bahwa I adalahideal utama karena dibangun satu unsur yaitu oleh unsur 0.
Selanjutnya, untuk I 6= {0} akan ditunjukan bahwa I dibangunoleh satu unsur.
ambil suatu unsur terkecil a di I maka diperoleh a 6= 0 dan−a = a(−1) ∈ I karena I suatu idealberdasarkan Contoh 8.2 diperoleh 〈a〉 ⊆ I · · · · · · (∗)
Ambil x ∈ I . Berdasarkan algoritma pembagian, terdapat r , s ∈ Zsehingga
x = a · r + s dengan 0 ≤ s < a
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.3
Ambil I suatu ideal dari Z. Jika ideal I = {0} jelas bahwa I adalahideal utama karena dibangun satu unsur yaitu oleh unsur 0.
Selanjutnya, untuk I 6= {0} akan ditunjukan bahwa I dibangunoleh satu unsur.
ambil suatu unsur terkecil a di I maka diperoleh a 6= 0 dan−a = a(−1) ∈ I karena I suatu ideal
berdasarkan Contoh 8.2 diperoleh 〈a〉 ⊆ I · · · · · · (∗)
Ambil x ∈ I . Berdasarkan algoritma pembagian, terdapat r , s ∈ Zsehingga
x = a · r + s dengan 0 ≤ s < a
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.3
Ambil I suatu ideal dari Z. Jika ideal I = {0} jelas bahwa I adalahideal utama karena dibangun satu unsur yaitu oleh unsur 0.
Selanjutnya, untuk I 6= {0} akan ditunjukan bahwa I dibangunoleh satu unsur.
ambil suatu unsur terkecil a di I maka diperoleh a 6= 0 dan−a = a(−1) ∈ I karena I suatu idealberdasarkan Contoh 8.2 diperoleh 〈a〉 ⊆ I · · · · · · (∗)
Ambil x ∈ I . Berdasarkan algoritma pembagian, terdapat r , s ∈ Zsehingga
x = a · r + s dengan 0 ≤ s < a
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.3
Ambil I suatu ideal dari Z. Jika ideal I = {0} jelas bahwa I adalahideal utama karena dibangun satu unsur yaitu oleh unsur 0.
Selanjutnya, untuk I 6= {0} akan ditunjukan bahwa I dibangunoleh satu unsur.
ambil suatu unsur terkecil a di I maka diperoleh a 6= 0 dan−a = a(−1) ∈ I karena I suatu idealberdasarkan Contoh 8.2 diperoleh 〈a〉 ⊆ I · · · · · · (∗)
Ambil x ∈ I . Berdasarkan algoritma pembagian, terdapat r , s ∈ Zsehingga
x = a · r + s dengan 0 ≤ s < a
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.3
Ambil I suatu ideal dari Z. Jika ideal I = {0} jelas bahwa I adalahideal utama karena dibangun satu unsur yaitu oleh unsur 0.
Selanjutnya, untuk I 6= {0} akan ditunjukan bahwa I dibangunoleh satu unsur.
ambil suatu unsur terkecil a di I maka diperoleh a 6= 0 dan−a = a(−1) ∈ I karena I suatu idealberdasarkan Contoh 8.2 diperoleh 〈a〉 ⊆ I · · · · · · (∗)
Ambil x ∈ I . Berdasarkan algoritma pembagian, terdapat r , s ∈ Zsehingga
x = a · r + s dengan 0 ≤ s < a
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.3
s = x + a · (−r) ∈ I karena I suatu ideal dari Z
s = 0 karena 0 ≤ s < a dan a bilangan bulat positif terkecil di I .Dengan demikian diperoleh x = a · r ∈ 〈a〉.
karena untuk setiap x ∈ I mengakibatkan x ∈ 〈a〉 maka diperolehI ⊆ 〈a〉 · · · · · · (∗∗)
Berdasarkan (∗) dan (∗∗) disimpulkan bahwa I = 〈a〉 untuk suatua bilangan bulat positif terkecil di I . Dengan demikian terbuktibahwa setiap ideal di Z merupakan ideal utama.
�
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.3
s = x + a · (−r) ∈ I karena I suatu ideal dari Zs = 0 karena 0 ≤ s < a dan a bilangan bulat positif terkecil di I .
Dengan demikian diperoleh x = a · r ∈ 〈a〉.
karena untuk setiap x ∈ I mengakibatkan x ∈ 〈a〉 maka diperolehI ⊆ 〈a〉 · · · · · · (∗∗)
Berdasarkan (∗) dan (∗∗) disimpulkan bahwa I = 〈a〉 untuk suatua bilangan bulat positif terkecil di I . Dengan demikian terbuktibahwa setiap ideal di Z merupakan ideal utama.
�
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.3
s = x + a · (−r) ∈ I karena I suatu ideal dari Zs = 0 karena 0 ≤ s < a dan a bilangan bulat positif terkecil di I .Dengan demikian diperoleh x = a · r ∈ 〈a〉.
karena untuk setiap x ∈ I mengakibatkan x ∈ 〈a〉 maka diperolehI ⊆ 〈a〉 · · · · · · (∗∗)
Berdasarkan (∗) dan (∗∗) disimpulkan bahwa I = 〈a〉 untuk suatua bilangan bulat positif terkecil di I . Dengan demikian terbuktibahwa setiap ideal di Z merupakan ideal utama.
�
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.3
s = x + a · (−r) ∈ I karena I suatu ideal dari Zs = 0 karena 0 ≤ s < a dan a bilangan bulat positif terkecil di I .Dengan demikian diperoleh x = a · r ∈ 〈a〉.
karena untuk setiap x ∈ I mengakibatkan x ∈ 〈a〉 maka diperoleh
I ⊆ 〈a〉 · · · · · · (∗∗)
Berdasarkan (∗) dan (∗∗) disimpulkan bahwa I = 〈a〉 untuk suatua bilangan bulat positif terkecil di I . Dengan demikian terbuktibahwa setiap ideal di Z merupakan ideal utama.
�
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.3
s = x + a · (−r) ∈ I karena I suatu ideal dari Zs = 0 karena 0 ≤ s < a dan a bilangan bulat positif terkecil di I .Dengan demikian diperoleh x = a · r ∈ 〈a〉.
karena untuk setiap x ∈ I mengakibatkan x ∈ 〈a〉 maka diperolehI ⊆ 〈a〉 · · · · · · (∗∗)
Berdasarkan (∗) dan (∗∗) disimpulkan bahwa I = 〈a〉 untuk suatua bilangan bulat positif terkecil di I . Dengan demikian terbuktibahwa setiap ideal di Z merupakan ideal utama.
�
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.3
s = x + a · (−r) ∈ I karena I suatu ideal dari Zs = 0 karena 0 ≤ s < a dan a bilangan bulat positif terkecil di I .Dengan demikian diperoleh x = a · r ∈ 〈a〉.
karena untuk setiap x ∈ I mengakibatkan x ∈ 〈a〉 maka diperolehI ⊆ 〈a〉 · · · · · · (∗∗)
Berdasarkan (∗) dan (∗∗) disimpulkan bahwa I = 〈a〉 untuk suatua bilangan bulat positif terkecil di I . Dengan demikian terbuktibahwa setiap ideal di Z merupakan ideal utama.
�
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.4
Misalkan R suatu gelanggang komutatif. Maka R suatu lapanganjika dan hanya jika R tidak memiliki ideal lain selain {0} dan R itusendiri.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.4
Untuk menunjukan syarat cukup R suatu lapangan, akanditunjukan bahwa setiap ideal I dari R maka I = {0} atau I = R.
Misal R suatu lapangan dan I ideal dari R dengan I 6= {0}. Akanditunjukan bahwa ideal I = R.
Jelas bahwa I ⊆ R karena I suatu ideal dari R. · · · · · · (?)
ambil suatu unsur a ∈ Imaka 0 6= a ∈ R karena {0} 6= I ⊆ R.Karena R lapangan maka ada a−1 ∈ R sehingga a · a−1 = 1Dengan demikian diperoleh bahwa unsur 1 = a · a−1 ∈ I karenaa ∈ I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.4
Untuk menunjukan syarat cukup R suatu lapangan, akanditunjukan bahwa setiap ideal I dari R maka I = {0} atau I = R.
Misal R suatu lapangan dan I ideal dari R dengan I 6= {0}. Akanditunjukan bahwa ideal I = R.
Jelas bahwa I ⊆ R karena I suatu ideal dari R. · · · · · · (?)
ambil suatu unsur a ∈ Imaka 0 6= a ∈ R karena {0} 6= I ⊆ R.Karena R lapangan maka ada a−1 ∈ R sehingga a · a−1 = 1Dengan demikian diperoleh bahwa unsur 1 = a · a−1 ∈ I karenaa ∈ I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.4
Untuk menunjukan syarat cukup R suatu lapangan, akanditunjukan bahwa setiap ideal I dari R maka I = {0} atau I = R.
Misal R suatu lapangan dan I ideal dari R dengan I 6= {0}. Akanditunjukan bahwa ideal I = R.
Jelas bahwa I ⊆ R karena I suatu ideal dari R. · · · · · · (?)
ambil suatu unsur a ∈ Imaka 0 6= a ∈ R karena {0} 6= I ⊆ R.Karena R lapangan maka ada a−1 ∈ R sehingga a · a−1 = 1Dengan demikian diperoleh bahwa unsur 1 = a · a−1 ∈ I karenaa ∈ I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.4
Untuk menunjukan syarat cukup R suatu lapangan, akanditunjukan bahwa setiap ideal I dari R maka I = {0} atau I = R.
Misal R suatu lapangan dan I ideal dari R dengan I 6= {0}. Akanditunjukan bahwa ideal I = R.
Jelas bahwa I ⊆ R karena I suatu ideal dari R. · · · · · · (?)
ambil suatu unsur a ∈ I
maka 0 6= a ∈ R karena {0} 6= I ⊆ R.Karena R lapangan maka ada a−1 ∈ R sehingga a · a−1 = 1Dengan demikian diperoleh bahwa unsur 1 = a · a−1 ∈ I karenaa ∈ I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.4
Untuk menunjukan syarat cukup R suatu lapangan, akanditunjukan bahwa setiap ideal I dari R maka I = {0} atau I = R.
Misal R suatu lapangan dan I ideal dari R dengan I 6= {0}. Akanditunjukan bahwa ideal I = R.
Jelas bahwa I ⊆ R karena I suatu ideal dari R. · · · · · · (?)
ambil suatu unsur a ∈ Imaka 0 6= a ∈ R karena {0} 6= I ⊆ R.
Karena R lapangan maka ada a−1 ∈ R sehingga a · a−1 = 1Dengan demikian diperoleh bahwa unsur 1 = a · a−1 ∈ I karenaa ∈ I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.4
Untuk menunjukan syarat cukup R suatu lapangan, akanditunjukan bahwa setiap ideal I dari R maka I = {0} atau I = R.
Misal R suatu lapangan dan I ideal dari R dengan I 6= {0}. Akanditunjukan bahwa ideal I = R.
Jelas bahwa I ⊆ R karena I suatu ideal dari R. · · · · · · (?)
ambil suatu unsur a ∈ Imaka 0 6= a ∈ R karena {0} 6= I ⊆ R.Karena R lapangan maka ada a−1 ∈ R sehingga a · a−1 = 1
Dengan demikian diperoleh bahwa unsur 1 = a · a−1 ∈ I karenaa ∈ I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.4
Untuk menunjukan syarat cukup R suatu lapangan, akanditunjukan bahwa setiap ideal I dari R maka I = {0} atau I = R.
Misal R suatu lapangan dan I ideal dari R dengan I 6= {0}. Akanditunjukan bahwa ideal I = R.
Jelas bahwa I ⊆ R karena I suatu ideal dari R. · · · · · · (?)
ambil suatu unsur a ∈ Imaka 0 6= a ∈ R karena {0} 6= I ⊆ R.Karena R lapangan maka ada a−1 ∈ R sehingga a · a−1 = 1Dengan demikian diperoleh bahwa unsur 1 = a · a−1 ∈ I karenaa ∈ I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.4
Sekarang, ambil sembarang r ∈ R maka diperoleh
r = r .1 ∈ I karena 1 ∈ IJadi karena untuk setiap r ∈ R mengakibatkan r ∈ I maka dapatdisimpulkan bahwa R ⊆ I . · · · · · · (??)
Berdasarkan (?) dan (??) dapat disimpulkan bahwa I = R.
Terbukti bahwa setiap ideal di R adalah {0} atau dirinya sendiri.Atau dengan kata lain, R tidak memiliki ideal selain {0} dan R.Bukti syarat perlu sebagai latihan.
�
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.4
Sekarang, ambil sembarang r ∈ R maka diperolehr = r .1 ∈ I karena 1 ∈ I
Jadi karena untuk setiap r ∈ R mengakibatkan r ∈ I maka dapatdisimpulkan bahwa R ⊆ I . · · · · · · (??)
Berdasarkan (?) dan (??) dapat disimpulkan bahwa I = R.
Terbukti bahwa setiap ideal di R adalah {0} atau dirinya sendiri.Atau dengan kata lain, R tidak memiliki ideal selain {0} dan R.Bukti syarat perlu sebagai latihan.
�
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.4
Sekarang, ambil sembarang r ∈ R maka diperolehr = r .1 ∈ I karena 1 ∈ IJadi karena untuk setiap r ∈ R mengakibatkan r ∈ I maka dapatdisimpulkan bahwa R ⊆ I . · · · · · · (??)
Berdasarkan (?) dan (??) dapat disimpulkan bahwa I = R.
Terbukti bahwa setiap ideal di R adalah {0} atau dirinya sendiri.Atau dengan kata lain, R tidak memiliki ideal selain {0} dan R.Bukti syarat perlu sebagai latihan.
�
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.4
Sekarang, ambil sembarang r ∈ R maka diperolehr = r .1 ∈ I karena 1 ∈ IJadi karena untuk setiap r ∈ R mengakibatkan r ∈ I maka dapatdisimpulkan bahwa R ⊆ I . · · · · · · (??)
Berdasarkan (?) dan (??) dapat disimpulkan bahwa I = R.
Terbukti bahwa setiap ideal di R adalah {0} atau dirinya sendiri.Atau dengan kata lain, R tidak memiliki ideal selain {0} dan R.Bukti syarat perlu sebagai latihan.
�
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.4
Sekarang, ambil sembarang r ∈ R maka diperolehr = r .1 ∈ I karena 1 ∈ IJadi karena untuk setiap r ∈ R mengakibatkan r ∈ I maka dapatdisimpulkan bahwa R ⊆ I . · · · · · · (??)
Berdasarkan (?) dan (??) dapat disimpulkan bahwa I = R.
Terbukti bahwa setiap ideal di R adalah {0} atau dirinya sendiri.Atau dengan kata lain, R tidak memiliki ideal selain {0} dan R.
Bukti syarat perlu sebagai latihan.�
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.4
Sekarang, ambil sembarang r ∈ R maka diperolehr = r .1 ∈ I karena 1 ∈ IJadi karena untuk setiap r ∈ R mengakibatkan r ∈ I maka dapatdisimpulkan bahwa R ⊆ I . · · · · · · (??)
Berdasarkan (?) dan (??) dapat disimpulkan bahwa I = R.
Terbukti bahwa setiap ideal di R adalah {0} atau dirinya sendiri.Atau dengan kata lain, R tidak memiliki ideal selain {0} dan R.Bukti syarat perlu sebagai latihan.
�
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Latihan 8
1. Diketahui himpunan R =
{(a b0 c
)| a, b, c ∈ R
}dengan R menyatakan lapangan bilangan riil. Tunjukan
a. R adalah gelanggang
b. I =
{(0 a0 0
)| a ∈ R
}adalah ideal dari R
2. Misalkan R suatu gelanggang komutatif, I ideal dari R danuntuk suatu a ∈ R, himpunan J yaituJ = I + 〈a〉 = {i + ar | i ∈ I dan r ∈ R}.
a. Buktikan bahwa himpunan J merupakan ideal dari Rb. Buktikan bahwa I ⊆ J
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Latihan 8
1. Diketahui himpunan R =
{(a b0 c
)| a, b, c ∈ R
}dengan R menyatakan lapangan bilangan riil. Tunjukan
a. R adalah gelanggang
b. I =
{(0 a0 0
)| a ∈ R
}adalah ideal dari R
2. Misalkan R suatu gelanggang komutatif, I ideal dari R danuntuk suatu a ∈ R, himpunan J yaituJ = I + 〈a〉 = {i + ar | i ∈ I dan r ∈ R}.
a. Buktikan bahwa himpunan J merupakan ideal dari Rb. Buktikan bahwa I ⊆ J
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Latihan 8
3. Misalkan R suatu gelanggang komutatif yang tidak memilikiideal selain {0} dan R. Tunjukan bahwa R suatu lapangan!
4. Misalkan R2×2 menyatakan gelanggang matriks berukuran2× 2 dengan komponen bilangan riil. Buktikan bahwa R2×2
tidak memiliki ideal lain selain {0} dan R2×2.
5. Misalkan R suatu gelanggang dan U,V dua buah ideal dari Ri . Buktikan bahwa subhimpunan
U + V = {u + v | u ∈ U, v ∈ V }adalah ideal terkecil di R yang memuat U dan V .
ii . Buktikan bahwa subhimpunan U ∩ V adalah ideal ter-besar yang termuat dalam U dan V .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Latihan 8
3. Misalkan R suatu gelanggang komutatif yang tidak memilikiideal selain {0} dan R. Tunjukan bahwa R suatu lapangan!
4. Misalkan R2×2 menyatakan gelanggang matriks berukuran2× 2 dengan komponen bilangan riil. Buktikan bahwa R2×2
tidak memiliki ideal lain selain {0} dan R2×2.
5. Misalkan R suatu gelanggang dan U,V dua buah ideal dari Ri . Buktikan bahwa subhimpunan
U + V = {u + v | u ∈ U, v ∈ V }adalah ideal terkecil di R yang memuat U dan V .
ii . Buktikan bahwa subhimpunan U ∩ V adalah ideal ter-besar yang termuat dalam U dan V .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Latihan 8
3. Misalkan R suatu gelanggang komutatif yang tidak memilikiideal selain {0} dan R. Tunjukan bahwa R suatu lapangan!
4. Misalkan R2×2 menyatakan gelanggang matriks berukuran2× 2 dengan komponen bilangan riil. Buktikan bahwa R2×2
tidak memiliki ideal lain selain {0} dan R2×2.
5. Misalkan R suatu gelanggang dan U,V dua buah ideal dari Ri . Buktikan bahwa subhimpunan
U + V = {u + v | u ∈ U, v ∈ V }adalah ideal terkecil di R yang memuat U dan V .
ii . Buktikan bahwa subhimpunan U ∩ V adalah ideal ter-besar yang termuat dalam U dan V .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Latihan 8
6. Misalkan R suatu gelanggang dan U,V dua buah ideal dari R.Jika UV merupakan himpunan semua unsur di R yang dapatditulis sebagai jumlah hingga perkalian dari unsur-unsur di Udan V , buktikan bahwa UV merupakan ideal dari R denganUV ⊆ U ∩ V !
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Pertemuan 11Gelanggang Kuosien
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Membentuk Gelanggang R/I
� ambil sembarang gelanggang R dan ideal I dari gelanggangtersebut
� bentuk himpunan R/I sebagai himpunan semua koset a + Idengan a ∈ R atau dapat ditulis denganR/I = {a + I | a ∈ R}
� definisikan operasi jumlah dan kali pada R/I secara berurutanyaitu:
(a + I ) + (b + I ) = (a + b) + I , dan(a + I ) · (b + I ) = (a · b) + I
untuk setiap a + I , b + I ∈ R/I
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Membentuk Gelanggang R/I
� ambil sembarang gelanggang R dan ideal I dari gelanggangtersebut
� bentuk himpunan R/I sebagai himpunan semua koset a + Idengan a ∈ R atau dapat ditulis denganR/I = {a + I | a ∈ R}
� definisikan operasi jumlah dan kali pada R/I secara berurutanyaitu:
(a + I ) + (b + I ) = (a + b) + I , dan(a + I ) · (b + I ) = (a · b) + I
untuk setiap a + I , b + I ∈ R/I
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Membentuk Gelanggang R/I
� ambil sembarang gelanggang R dan ideal I dari gelanggangtersebut
� bentuk himpunan R/I sebagai himpunan semua koset a + Idengan a ∈ R atau dapat ditulis denganR/I = {a + I | a ∈ R}
� definisikan operasi jumlah dan kali pada R/I secara berurutanyaitu:
(a + I ) + (b + I ) = (a + b) + I , dan(a + I ) · (b + I ) = (a · b) + I
untuk setiap a + I , b + I ∈ R/I
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Membentuk Gelanggang R/I
� ambil sembarang gelanggang R dan ideal I dari gelanggangtersebut
� bentuk himpunan R/I sebagai himpunan semua koset a + Idengan a ∈ R atau dapat ditulis denganR/I = {a + I | a ∈ R}
� definisikan operasi jumlah dan kali pada R/I secara berurutanyaitu:
(a + I ) + (b + I ) = (a + b) + I , dan(a + I ) · (b + I ) = (a · b) + I
untuk setiap a + I , b + I ∈ R/I
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Membentuk Gelanggang R/I
� tunjukan operasi tersebut terdefinisi dengan baik
⇒ (R/I ,+, ·) membentuk sistem matematika
� tunjukan (R/I ,+, ·) memenuhi definisi 1.2, yaitu:i . (R/I ,+) membentuk grup komutatif
ii . (R/I , ·) memenuhi sifat asosiatif dan mempunyai unsurkesatuan, dan
iii . (R/I ,+, ·) memenuhi hukum distributif.
⇒ R/I membentuk suatu gelanggang yang berbeda dari R.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Membentuk Gelanggang R/I
� tunjukan operasi tersebut terdefinisi dengan baik⇒ (R/I ,+, ·) membentuk sistem matematika
� tunjukan (R/I ,+, ·) memenuhi definisi 1.2, yaitu:i . (R/I ,+) membentuk grup komutatif
ii . (R/I , ·) memenuhi sifat asosiatif dan mempunyai unsurkesatuan, dan
iii . (R/I ,+, ·) memenuhi hukum distributif.
⇒ R/I membentuk suatu gelanggang yang berbeda dari R.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Membentuk Gelanggang R/I
� tunjukan operasi tersebut terdefinisi dengan baik⇒ (R/I ,+, ·) membentuk sistem matematika
� tunjukan (R/I ,+, ·) memenuhi definisi 1.2, yaitu:i . (R/I ,+) membentuk grup komutatif
ii . (R/I , ·) memenuhi sifat asosiatif dan mempunyai unsurkesatuan, dan
iii . (R/I ,+, ·) memenuhi hukum distributif.
⇒ R/I membentuk suatu gelanggang yang berbeda dari R.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Membentuk Gelanggang R/I
� tunjukan operasi tersebut terdefinisi dengan baik⇒ (R/I ,+, ·) membentuk sistem matematika
� tunjukan (R/I ,+, ·) memenuhi definisi 1.2, yaitu:i . (R/I ,+) membentuk grup komutatif
ii . (R/I , ·) memenuhi sifat asosiatif dan mempunyai unsurkesatuan, dan
iii . (R/I ,+, ·) memenuhi hukum distributif.
⇒ R/I membentuk suatu gelanggang yang berbeda dari R.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Membentuk Gelanggang R/I
� tunjukan operasi tersebut terdefinisi dengan baik⇒ (R/I ,+, ·) membentuk sistem matematika
� tunjukan (R/I ,+, ·) memenuhi definisi 1.2, yaitu:i . (R/I ,+) membentuk grup komutatif
ii . (R/I , ·) memenuhi sifat asosiatif dan mempunyai unsurkesatuan, dan
iii . (R/I ,+, ·) memenuhi hukum distributif.
⇒ R/I membentuk suatu gelanggang yang berbeda dari R.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Membentuk Gelanggang R/I
� tunjukan operasi tersebut terdefinisi dengan baik⇒ (R/I ,+, ·) membentuk sistem matematika
� tunjukan (R/I ,+, ·) memenuhi definisi 1.2, yaitu:i . (R/I ,+) membentuk grup komutatif
ii . (R/I , ·) memenuhi sifat asosiatif dan mempunyai unsurkesatuan, dan
iii . (R/I ,+, ·) memenuhi hukum distributif.
⇒ R/I membentuk suatu gelanggang yang berbeda dari R.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Operasi + terdefinisi dg baik di R/I
Ambil unsur a1 + I , b1 + I , a2 + I , b2 + I ∈ R/I dengan(i) a1 + I = a2 + I dan
(ii) b1 + I = b2 + I .
Untuk menunjukan bahwa operasi + terdefinisi dengan baik cukupdengan menunjukan (a1 + b1) + I = (a2 + b2) + I .
Point (i) dan (ii) secara berurutan artinya adalah(iii) a1 − a2 = i1 ∈ I dan(iv) b1 − b2 = i2 ∈ I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Operasi + terdefinisi dg baik di R/I
Ambil unsur a1 + I , b1 + I , a2 + I , b2 + I ∈ R/I dengan(i) a1 + I = a2 + I dan(ii) b1 + I = b2 + I .
Untuk menunjukan bahwa operasi + terdefinisi dengan baik cukupdengan menunjukan (a1 + b1) + I = (a2 + b2) + I .
Point (i) dan (ii) secara berurutan artinya adalah(iii) a1 − a2 = i1 ∈ I dan(iv) b1 − b2 = i2 ∈ I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Operasi + terdefinisi dg baik di R/I
Ambil unsur a1 + I , b1 + I , a2 + I , b2 + I ∈ R/I dengan(i) a1 + I = a2 + I dan(ii) b1 + I = b2 + I .
Untuk menunjukan bahwa operasi + terdefinisi dengan baik cukupdengan menunjukan (a1 + b1) + I = (a2 + b2) + I .
Point (i) dan (ii) secara berurutan artinya adalah(iii) a1 − a2 = i1 ∈ I dan(iv) b1 − b2 = i2 ∈ I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Operasi + terdefinisi dg baik di R/I
Ambil unsur a1 + I , b1 + I , a2 + I , b2 + I ∈ R/I dengan(i) a1 + I = a2 + I dan(ii) b1 + I = b2 + I .
Untuk menunjukan bahwa operasi + terdefinisi dengan baik cukupdengan menunjukan (a1 + b1) + I = (a2 + b2) + I .
Point (i) dan (ii) secara berurutan artinya adalah(iii) a1 − a2 = i1 ∈ I dan
(iv) b1 − b2 = i2 ∈ I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Operasi + terdefinisi dg baik di R/I
Ambil unsur a1 + I , b1 + I , a2 + I , b2 + I ∈ R/I dengan(i) a1 + I = a2 + I dan(ii) b1 + I = b2 + I .
Untuk menunjukan bahwa operasi + terdefinisi dengan baik cukupdengan menunjukan (a1 + b1) + I = (a2 + b2) + I .
Point (i) dan (ii) secara berurutan artinya adalah(iii) a1 − a2 = i1 ∈ I dan(iv) b1 − b2 = i2 ∈ I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Operasi + terdefinisi dg baik di R/I
Sehingga berdasarkan (iii) dan (iv) diperoleh
a1 + b1 = (a2 + i1) + (b2 + i2)= (a2 + b2) + (i1 + i2)
(a1 + b1)− (a2 + b2) = (i1 + i2)∈ I karena i1 + i2 ∈ I
Oleh Karena (a1 + b1)− (a2 + b2) ∈ I maka(a1 + b1) + I = (a2 + b2) + I . Jadi terbukti bahwa operasi tambahterdefinisi dengan baik pada R/I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Operasi + terdefinisi dg baik di R/I
Sehingga berdasarkan (iii) dan (iv) diperoleh
a1 + b1 = (a2 + i1) + (b2 + i2)
= (a2 + b2) + (i1 + i2)(a1 + b1)− (a2 + b2) = (i1 + i2)
∈ I karena i1 + i2 ∈ I
Oleh Karena (a1 + b1)− (a2 + b2) ∈ I maka(a1 + b1) + I = (a2 + b2) + I . Jadi terbukti bahwa operasi tambahterdefinisi dengan baik pada R/I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Operasi + terdefinisi dg baik di R/I
Sehingga berdasarkan (iii) dan (iv) diperoleh
a1 + b1 = (a2 + i1) + (b2 + i2)= (a2 + b2) + (i1 + i2)
(a1 + b1)− (a2 + b2) = (i1 + i2)∈ I karena i1 + i2 ∈ I
Oleh Karena (a1 + b1)− (a2 + b2) ∈ I maka(a1 + b1) + I = (a2 + b2) + I . Jadi terbukti bahwa operasi tambahterdefinisi dengan baik pada R/I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Operasi + terdefinisi dg baik di R/I
Sehingga berdasarkan (iii) dan (iv) diperoleh
a1 + b1 = (a2 + i1) + (b2 + i2)= (a2 + b2) + (i1 + i2)
(a1 + b1)− (a2 + b2) = (i1 + i2)
∈ I karena i1 + i2 ∈ I
Oleh Karena (a1 + b1)− (a2 + b2) ∈ I maka(a1 + b1) + I = (a2 + b2) + I . Jadi terbukti bahwa operasi tambahterdefinisi dengan baik pada R/I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Operasi + terdefinisi dg baik di R/I
Sehingga berdasarkan (iii) dan (iv) diperoleh
a1 + b1 = (a2 + i1) + (b2 + i2)= (a2 + b2) + (i1 + i2)
(a1 + b1)− (a2 + b2) = (i1 + i2)∈ I karena i1 + i2 ∈ I
Oleh Karena (a1 + b1)− (a2 + b2) ∈ I maka(a1 + b1) + I = (a2 + b2) + I . Jadi terbukti bahwa operasi tambahterdefinisi dengan baik pada R/I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Operasi + terdefinisi dg baik di R/I
Sehingga berdasarkan (iii) dan (iv) diperoleh
a1 + b1 = (a2 + i1) + (b2 + i2)= (a2 + b2) + (i1 + i2)
(a1 + b1)− (a2 + b2) = (i1 + i2)∈ I karena i1 + i2 ∈ I
Oleh Karena (a1 + b1)− (a2 + b2) ∈ I maka(a1 + b1) + I = (a2 + b2) + I . Jadi terbukti bahwa operasi tambahterdefinisi dengan baik pada R/I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Operasi · terdefinisi dg baik di R/I
Ambil unsur a1 + I , b1 + I , a2 + I , b2 + I ∈ R/I dengan(i) a1 + I = a2 + I dan
(ii) b1 + I = b2 + I .
Untuk menunjukan bahwa operasi · terdefinisi dengan baik cukupdengan menunjukan (a1 · b1) + I = (a2 · b2) + I .
Point (i) dan (ii) secara berurutan artinya adalah(iii) a1 − a2 = i1 ∈ I dan(iv) b1 − b2 = i2 ∈ I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Operasi · terdefinisi dg baik di R/I
Ambil unsur a1 + I , b1 + I , a2 + I , b2 + I ∈ R/I dengan(i) a1 + I = a2 + I dan(ii) b1 + I = b2 + I .
Untuk menunjukan bahwa operasi · terdefinisi dengan baik cukupdengan menunjukan (a1 · b1) + I = (a2 · b2) + I .
Point (i) dan (ii) secara berurutan artinya adalah(iii) a1 − a2 = i1 ∈ I dan(iv) b1 − b2 = i2 ∈ I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Operasi · terdefinisi dg baik di R/I
Ambil unsur a1 + I , b1 + I , a2 + I , b2 + I ∈ R/I dengan(i) a1 + I = a2 + I dan(ii) b1 + I = b2 + I .
Untuk menunjukan bahwa operasi · terdefinisi dengan baik cukupdengan menunjukan (a1 · b1) + I = (a2 · b2) + I .
Point (i) dan (ii) secara berurutan artinya adalah(iii) a1 − a2 = i1 ∈ I dan(iv) b1 − b2 = i2 ∈ I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Operasi · terdefinisi dg baik di R/I
Ambil unsur a1 + I , b1 + I , a2 + I , b2 + I ∈ R/I dengan(i) a1 + I = a2 + I dan(ii) b1 + I = b2 + I .
Untuk menunjukan bahwa operasi · terdefinisi dengan baik cukupdengan menunjukan (a1 · b1) + I = (a2 · b2) + I .
Point (i) dan (ii) secara berurutan artinya adalah(iii) a1 − a2 = i1 ∈ I dan
(iv) b1 − b2 = i2 ∈ I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Operasi · terdefinisi dg baik di R/I
Ambil unsur a1 + I , b1 + I , a2 + I , b2 + I ∈ R/I dengan(i) a1 + I = a2 + I dan(ii) b1 + I = b2 + I .
Untuk menunjukan bahwa operasi · terdefinisi dengan baik cukupdengan menunjukan (a1 · b1) + I = (a2 · b2) + I .
Point (i) dan (ii) secara berurutan artinya adalah(iii) a1 − a2 = i1 ∈ I dan(iv) b1 − b2 = i2 ∈ I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Operasi · terdefinisi dg baik di R/I
Sehingga berdasarkan (iii) dan (iv) diperoleh
a1 · b1 = (a2 + i1) · (b2 + i2)= a2 · b2 + a2 · i2 + i1 · (b2 + i2)
(a1 · b1)− (a2 · b2) = a2 · i2 + i1 · (b2 + i2)∈ I karena a2 · i2 + i1 · (b2 + i2) ∈ I
Oleh Karena (a1 · b1)− (a2 · b2) ∈ I maka(a1 · b1) + I = (a2 · b2) + I . Jadi terbukti bahwa operasi kaliterdefinisi dengan baik pada R/I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Operasi · terdefinisi dg baik di R/I
Sehingga berdasarkan (iii) dan (iv) diperoleh
a1 · b1 = (a2 + i1) · (b2 + i2)
= a2 · b2 + a2 · i2 + i1 · (b2 + i2)(a1 · b1)− (a2 · b2) = a2 · i2 + i1 · (b2 + i2)
∈ I karena a2 · i2 + i1 · (b2 + i2) ∈ I
Oleh Karena (a1 · b1)− (a2 · b2) ∈ I maka(a1 · b1) + I = (a2 · b2) + I . Jadi terbukti bahwa operasi kaliterdefinisi dengan baik pada R/I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Operasi · terdefinisi dg baik di R/I
Sehingga berdasarkan (iii) dan (iv) diperoleh
a1 · b1 = (a2 + i1) · (b2 + i2)= a2 · b2 + a2 · i2 + i1 · (b2 + i2)
(a1 · b1)− (a2 · b2) = a2 · i2 + i1 · (b2 + i2)∈ I karena a2 · i2 + i1 · (b2 + i2) ∈ I
Oleh Karena (a1 · b1)− (a2 · b2) ∈ I maka(a1 · b1) + I = (a2 · b2) + I . Jadi terbukti bahwa operasi kaliterdefinisi dengan baik pada R/I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Operasi · terdefinisi dg baik di R/I
Sehingga berdasarkan (iii) dan (iv) diperoleh
a1 · b1 = (a2 + i1) · (b2 + i2)= a2 · b2 + a2 · i2 + i1 · (b2 + i2)
(a1 · b1)− (a2 · b2) = a2 · i2 + i1 · (b2 + i2)
∈ I karena a2 · i2 + i1 · (b2 + i2) ∈ I
Oleh Karena (a1 · b1)− (a2 · b2) ∈ I maka(a1 · b1) + I = (a2 · b2) + I . Jadi terbukti bahwa operasi kaliterdefinisi dengan baik pada R/I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Operasi · terdefinisi dg baik di R/I
Sehingga berdasarkan (iii) dan (iv) diperoleh
a1 · b1 = (a2 + i1) · (b2 + i2)= a2 · b2 + a2 · i2 + i1 · (b2 + i2)
(a1 · b1)− (a2 · b2) = a2 · i2 + i1 · (b2 + i2)∈ I karena a2 · i2 + i1 · (b2 + i2) ∈ I
Oleh Karena (a1 · b1)− (a2 · b2) ∈ I maka(a1 · b1) + I = (a2 · b2) + I . Jadi terbukti bahwa operasi kaliterdefinisi dengan baik pada R/I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Operasi · terdefinisi dg baik di R/I
Sehingga berdasarkan (iii) dan (iv) diperoleh
a1 · b1 = (a2 + i1) · (b2 + i2)= a2 · b2 + a2 · i2 + i1 · (b2 + i2)
(a1 · b1)− (a2 · b2) = a2 · i2 + i1 · (b2 + i2)∈ I karena a2 · i2 + i1 · (b2 + i2) ∈ I
Oleh Karena (a1 · b1)− (a2 · b2) ∈ I maka(a1 · b1) + I = (a2 · b2) + I . Jadi terbukti bahwa operasi kaliterdefinisi dengan baik pada R/I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Perhatikan Sistem R/I !
⇒ bersifat asosiatif terhadap terhadap jumlah dan kali(berasal dari gelanggang R)
⇒ unsur nolnya adalah I
⇒ unsur −a + I adalah negatif dari unsur a + I
⇒ bersifat komutatif terhadap jumlah (berasal dari R)
⇒ unsur satuannya adalah 1R + I
⇒ memenuhi hukum distributif (berasal dari R)
Jadi sistem R/I membentuk gelanggang.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Perhatikan Sistem R/I !
⇒ bersifat asosiatif terhadap terhadap jumlah dan kali(berasal dari gelanggang R)
⇒ unsur nolnya adalah I
⇒ unsur −a + I adalah negatif dari unsur a + I
⇒ bersifat komutatif terhadap jumlah (berasal dari R)
⇒ unsur satuannya adalah 1R + I
⇒ memenuhi hukum distributif (berasal dari R)
Jadi sistem R/I membentuk gelanggang.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Perhatikan Sistem R/I !
⇒ bersifat asosiatif terhadap terhadap jumlah dan kali(berasal dari gelanggang R)
⇒ unsur nolnya adalah I
⇒ unsur −a + I adalah negatif dari unsur a + I
⇒ bersifat komutatif terhadap jumlah (berasal dari R)
⇒ unsur satuannya adalah 1R + I
⇒ memenuhi hukum distributif (berasal dari R)
Jadi sistem R/I membentuk gelanggang.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Perhatikan Sistem R/I !
⇒ bersifat asosiatif terhadap terhadap jumlah dan kali(berasal dari gelanggang R)
⇒ unsur nolnya adalah I
⇒ unsur −a + I adalah negatif dari unsur a + I
⇒ bersifat komutatif terhadap jumlah (berasal dari R)
⇒ unsur satuannya adalah 1R + I
⇒ memenuhi hukum distributif (berasal dari R)
Jadi sistem R/I membentuk gelanggang.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Perhatikan Sistem R/I !
⇒ bersifat asosiatif terhadap terhadap jumlah dan kali(berasal dari gelanggang R)
⇒ unsur nolnya adalah I
⇒ unsur −a + I adalah negatif dari unsur a + I
⇒ bersifat komutatif terhadap jumlah (berasal dari R)
⇒ unsur satuannya adalah 1R + I
⇒ memenuhi hukum distributif (berasal dari R)
Jadi sistem R/I membentuk gelanggang.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Perhatikan Sistem R/I !
⇒ bersifat asosiatif terhadap terhadap jumlah dan kali(berasal dari gelanggang R)
⇒ unsur nolnya adalah I
⇒ unsur −a + I adalah negatif dari unsur a + I
⇒ bersifat komutatif terhadap jumlah (berasal dari R)
⇒ unsur satuannya adalah 1R + I
⇒ memenuhi hukum distributif (berasal dari R)
Jadi sistem R/I membentuk gelanggang.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Perhatikan Sistem R/I !
⇒ bersifat asosiatif terhadap terhadap jumlah dan kali(berasal dari gelanggang R)
⇒ unsur nolnya adalah I
⇒ unsur −a + I adalah negatif dari unsur a + I
⇒ bersifat komutatif terhadap jumlah (berasal dari R)
⇒ unsur satuannya adalah 1R + I
⇒ memenuhi hukum distributif (berasal dari R)
Jadi sistem R/I membentuk gelanggang.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Perhatikan Sistem R/I !
⇒ bersifat asosiatif terhadap terhadap jumlah dan kali(berasal dari gelanggang R)
⇒ unsur nolnya adalah I
⇒ unsur −a + I adalah negatif dari unsur a + I
⇒ bersifat komutatif terhadap jumlah (berasal dari R)
⇒ unsur satuannya adalah 1R + I
⇒ memenuhi hukum distributif (berasal dari R)
Jadi sistem R/I membentuk gelanggang.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Definisi 9.1 (Gelanggang Kuosien)
Misal diberikan sembarang gelanggang R dan ideal I darigelanggang tersebut. Gelanggang R/I disebut gelanggangKuosien dari R oleh ideal I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 9.1 (Gelanggang Kuosien)
Misalkan ambil R = Z maka ideal I = 〈n〉 untuk suatu n ∈ Z.R/I = Z/〈n〉
= {k + 〈n〉 | k ∈ Z}= {k | k ∈ Z} dengan k = k + 〈n〉 = {k + nz | z ∈ Z}
adalah kelas ekuivalen yang memuat k= {0, 1, · · · , n − 1}= Zn
Jadi Zn merupakan gelanggang Kuosien dari gelanggang Z olehideal 〈n〉 untuk suatu n ∈ Z
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 9.1 (Gelanggang Kuosien)
Misalkan ambil R = Z maka ideal I = 〈n〉 untuk suatu n ∈ Z.R/I = Z/〈n〉
= {k + 〈n〉 | k ∈ Z}
= {k | k ∈ Z} dengan k = k + 〈n〉 = {k + nz | z ∈ Z}adalah kelas ekuivalen yang memuat k
= {0, 1, · · · , n − 1}= Zn
Jadi Zn merupakan gelanggang Kuosien dari gelanggang Z olehideal 〈n〉 untuk suatu n ∈ Z
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 9.1 (Gelanggang Kuosien)
Misalkan ambil R = Z maka ideal I = 〈n〉 untuk suatu n ∈ Z.R/I = Z/〈n〉
= {k + 〈n〉 | k ∈ Z}= {k | k ∈ Z} dengan k = k + 〈n〉 = {k + nz | z ∈ Z}
adalah kelas ekuivalen yang memuat k
= {0, 1, · · · , n − 1}= Zn
Jadi Zn merupakan gelanggang Kuosien dari gelanggang Z olehideal 〈n〉 untuk suatu n ∈ Z
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 9.1 (Gelanggang Kuosien)
Misalkan ambil R = Z maka ideal I = 〈n〉 untuk suatu n ∈ Z.R/I = Z/〈n〉
= {k + 〈n〉 | k ∈ Z}= {k | k ∈ Z} dengan k = k + 〈n〉 = {k + nz | z ∈ Z}
adalah kelas ekuivalen yang memuat k= {0, 1, · · · , n − 1}
= Zn
Jadi Zn merupakan gelanggang Kuosien dari gelanggang Z olehideal 〈n〉 untuk suatu n ∈ Z
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 9.1 (Gelanggang Kuosien)
Misalkan ambil R = Z maka ideal I = 〈n〉 untuk suatu n ∈ Z.R/I = Z/〈n〉
= {k + 〈n〉 | k ∈ Z}= {k | k ∈ Z} dengan k = k + 〈n〉 = {k + nz | z ∈ Z}
adalah kelas ekuivalen yang memuat k= {0, 1, · · · , n − 1}= Zn
Jadi Zn merupakan gelanggang Kuosien dari gelanggang Z olehideal 〈n〉 untuk suatu n ∈ Z
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 9.1 (Gelanggang Kuosien)
Misalkan ambil R = Z maka ideal I = 〈n〉 untuk suatu n ∈ Z.R/I = Z/〈n〉
= {k + 〈n〉 | k ∈ Z}= {k | k ∈ Z} dengan k = k + 〈n〉 = {k + nz | z ∈ Z}
adalah kelas ekuivalen yang memuat k= {0, 1, · · · , n − 1}= Zn
Jadi Zn merupakan gelanggang Kuosien dari gelanggang Z olehideal 〈n〉 untuk suatu n ∈ Z
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Teorema 9.1 (Proyeksi Kanonik)
Misalkan R suatu gelanggang, I ideal dari R dan R/I gelanggangkuosien dari R oleh I . Maka pengaitan
π : R → R/I
a 7→ a + I
merupakan suatu homomorfisma gelanggang yang bersifat padadengan ker(π) = I . Homomorfisma seperti ini disebut proyeksikanonik.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Teorema 9.1 (Proyeksi Kanonik)
Misalkan R suatu gelanggang, I ideal dari R dan R/I gelanggangkuosien dari R oleh I . Maka pengaitan
π : R → R/Ia 7→ a + I
merupakan suatu homomorfisma gelanggang yang bersifat padadengan ker(π) = I . Homomorfisma seperti ini disebut proyeksikanonik.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Definisi 9.2 (Ideal Maksimal)
Misalkan R suatu gelanggang dan M ideal dari R. Ideal M 6= Rdisebut ideal maksimal jika untuk setiap ideal I dari R denganM ⊆ I ⊆ R maka I = M atau I = R.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Teorema 9.2
Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan I 6= R ideal dari R.Maka gelanggang kuosien R/I membentuk suatu lapangan jikadan hanya jika I merupakan ideal maksimal.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Definisi 9.3
Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan I 6= R ideal dari R.Ideal I disebut ideal prima jika untuk setiap x , y ∈ R denganxy ∈ I maka berlaku x ∈ I atau y ∈ I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Teorema 9.3
Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan I 6= R ideal dari R.Maka gelanggang kuosien R/I membentuk suatu daerah integraljika dan hanya jika I merupakan ideal prima.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Latihan 9
1. Buktikan bahwa operasi · pada gelanggang kuosien bersifatasosiatif dan distributif!
2. Misalkan R suatu gelanggang dan I 6= R suatu ideal.Buktikan bahwa pemetaanπ : R → R/I
a 7→ a + Imerupakan homomorfisma gelanggang yang bersifat padadengan ker(π) = I !
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Latihan 9
1. Buktikan bahwa operasi · pada gelanggang kuosien bersifatasosiatif dan distributif!
2. Misalkan R suatu gelanggang dan I 6= R suatu ideal.Buktikan bahwa pemetaanπ : R → R/I
a 7→ a + Imerupakan homomorfisma gelanggang yang bersifat padadengan ker(π) = I !
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Latihan 9
1. Buktikan bahwa operasi · pada gelanggang kuosien bersifatasosiatif dan distributif!
2. Misalkan R suatu gelanggang dan I 6= R suatu ideal.Buktikan bahwa pemetaanπ : R → R/I
a 7→ a + Imerupakan homomorfisma gelanggang yang bersifat padadengan ker(π) = I !
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Latihan 9
3. Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan I 6= R suatuideal dari R. Buktikan bahwa gelanggang R/I membentuksuatu daerah integral jika dan hanya jika I ideal prima.
4. Misalkan R suatu gelanggang komutatif. Buktikan bahwagelanggang R suatu daerah integral jika dan hanya jika {0}ideal prima.
5. Misalkan R suatu gelanggang komutatif. Tunjukan bahwa {0}adalah ideal maksimal jika dan hanya jika R lapangan.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Latihan 9
3. Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan I 6= R suatuideal dari R. Buktikan bahwa gelanggang R/I membentuksuatu daerah integral jika dan hanya jika I ideal prima.
4. Misalkan R suatu gelanggang komutatif. Buktikan bahwagelanggang R suatu daerah integral jika dan hanya jika {0}ideal prima.
5. Misalkan R suatu gelanggang komutatif. Tunjukan bahwa {0}adalah ideal maksimal jika dan hanya jika R lapangan.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Latihan 9
3. Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan I 6= R suatuideal dari R. Buktikan bahwa gelanggang R/I membentuksuatu daerah integral jika dan hanya jika I ideal prima.
4. Misalkan R suatu gelanggang komutatif. Buktikan bahwagelanggang R suatu daerah integral jika dan hanya jika {0}ideal prima.
5. Misalkan R suatu gelanggang komutatif. Tunjukan bahwa {0}adalah ideal maksimal jika dan hanya jika R lapangan.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Latihan 9
6. Misalkan R suatu gelanggang dan I 6= R suatu ideal dari R.Buktikan bahwa gelanggang R/I membentuk gelanggangkomutatif jika untuk setiap a, b ∈ R maka ab − ba ∈ I
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)