psikometri bab a18

Bab 18

Karakteristik Butir

------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir

------------------------------------------------------------------------------

Bab 18Karakteritik Butir

A. Dasar

1. Butir Di Dalam Pengukuran

(a) Kedudukan Butir

• Pada umumnya, alat ukur (ujian atau survei) terdiri atas sejumlah butir

• Butir merupakan komponen dasar di dalam alat ukur dan pengukuran

• Sekor butir adalah komponen dasar di dalam pensekoran pada pengukuran

------------------------------------------------------------------------------Karakeritik Butir

------------------------------------------------------------------------------

Perangkat alat ukur dan butir

• –

• –

• –

• –

• –

• –

• – • –

• –

Perangkat alat ukur

Perangkat alat ukur

• –

• –

• –

• – adalah butir


------------------------------------------------------------------------------

2. Pembentukan Alat Ukur

Alat ukur biasanya dibentuk melalui perakitan butir-butir melalui tata cara tertentu

Butir dapat diambil dari

• Kumpulan butir yang sudah tersedia

• Bank butir

Bank butir memiliki butir yang diseleksi dari kumpulan butir melalui prosedur tertentu

Hanya butir yang memenuhi persyaratan yang disimpan di dalam bank butir

Butir di dalam bank butir diadministrasi dan dipelihara menurut tata cara tertentu


------------------------------------------------------------------------------

Perakitan alat ukur dari kumpulan butir atau bank butir

Kumpulan butir

Bank butir

Seleksi berdasarkan karakteristik butir

Perangkat alat ukur

Perangkat alat ukur


------------------------------------------------------------------------------

3. Sekor Satuan Butir dan Sekor Responden

Pensekoran

• Perangkat alat ukur yang ditanggapi oleh para responden menghasilkan sekor butir

Sekor satuan • Sekor satu butir dari satu responden

merupakan sekor satuan (komponen dasar)

• Nilai sekor satuan dapat terbentuk dari (a) sekor 1 untuk jawaban betul dan sekor 0 untuk jawaban salah, (b) sekor sesuai dengan nilai skala yang ditetapkan untuk tiap jawaban atau tanggapan

Sekor responden• Biasanya merupakan jumlah sekor satuan pada

responden bersangkutan• Di sini banyak digunakan sekor responden

berupa jumlah jawaban betul


------------------------------------------------------------------------------

4. Proporsi Jawaban Betul

• Dalam hal jawaban betul (sekor 1) dan jawaban salah (sekor 0), dikenal proporsi jawaban betul

• Proporsi jawaban betul dilakukan pada butir tertentu, misalkan, pada butir ke-i

• Pada butir ke-i, kita kelompokkan responden berdasarkan sekor responden A. Seperti pada contoh 1, ada kelompok responden sekor 12, adalah kelompok responden sekor 11, dan seterusnya

• Pada butir ke-i, proporsi jawaban betul pada kelompok responden sekor A, adalah Pi (A), yakni proporsi menjawab betul di kelompok itu

• Misalkan pada butir ke-2, di kelompok responden sekor 7 ada 4 orang. Apabila 1 dari 4 responden itu menjawab betul, maka proporsi jawaban betul di kelompok itu adalah

P2 (7) = 1 / 4 = 0,25

Artinya 25% responden menjawab betul butir itu


------------------------------------------------------------------------------

Contoh 1

Respon- Butir Sekor res- Respon- Butir Sekor res-

den ke-2 ponden A den ke-2 ponden A

1 1 12 19 1 8

2 1 12 20 1 8

3 1 11 21 1 8

4 1 11 22 1 8

5 1 11 23 0 8

6 1 10 24 0 7

7 1 10 25 0 7

8 1 10 26 0 7

9 1 10 27 1 7

10 1 10 28 0 6

11 0 10 29 0 6

12 1 9 30 0 5

13 1 9

14 1 9

15 1 9

16 0 9

17 1 9

18 1 9


------------------------------------------------------------------------------

Proporsi jawaban betul untuk butir ke-2

Sekor Proporsi jawaban betul

A P2 (A)

5 0 / 1 = 0,00

6 0 / 2 = 0,00

7 1 / 4 = 0,25

8 4 / 5 = 0,80

9 6 / 7 = 0,86

10 5 / 6 = 0,83

11 3 / 3 = 1,00

12 2 / 2 = 1,00

1,00,80,60,40,2

5 6 7 8 9 10 11 12A

P2 (A)


------------------------------------------------------------------------------

Contoh 2

Respon- Butir Sekor res- Respon- Butir Sekor res-

den 2 4 6 ponden A den 2 4 6 ponden A

1 1 1 1 12 19 1 0 1 8

2 1 1 1 12 20 1 0 1 8

3 1 1 0 11 21 1 0 0 8

4 1 1 1 11 22 1 0 0 8

5 1 1 1 11 23 0 0 0 8

6 1 1 0 10 24 0 0 0 7

7 1 1 1 10 25 0 0 1 7

8 1 1 0 10 26 0 0 0 7

9 1 1 1 10 27 1 0 0 7

10 1 1 0 10 28 0 0 0 6

11 0 1 1 10 29 0 0 0 6

12 1 0 0 9 30 0 0 0 5

13 1 0 0 9

14 1 0 1 9

15 1 0 1 9

16 0 0 1 9

17 1 0 0 9

18 1 0 0 9


------------------------------------------------------------------------------



A P4 (A)

5 0 / 1 = 0,00

6 0 / 2 = 0,00

7 0 / 4 = 0,00

8 0 / 5 = 0,00

9 0 / 7 = 0,00

10 6 / 6 = 1,00

11 3 / 3 = 1,00

12 2 / 2 = 1,00

1,00,80,60,40,2

5 6 7 8 9 10 11 12A

P4 (A)


------------------------------------------------------------------------------



A P6 (A)

5

6

7

8

9

10

11

12

1,00,80,60,40,2

5 6 7 8 9 10 11 12A

P2 (A)


------------------------------------------------------------------------------

Contoh 3

Respon- Butir Sekor res-

den 1 2 3 4 5 6 7 8 ponden A 18 1 1 1 1 1 1 1 1 8 4 1 1 1 1 1 1 1 0 7 11 1 1 1 1 1 1 0 1 7 2 1 1 1 1 0 0 1 1 6 9 1 1 1 0 1 1 1 0 6 13 1 1 1 1 1 1 0 0 6 7 1 0 1 1 1 1 0 0 12 1 1 0 1 1 0 1 0 19 1 1 1 1 0 1 0 0 20 1 1 1 1 1 0 0 0 5 1 1 1 1 0 0 0 0 10 1 0 0 1 1 1 0 0 14 0 1 1 1 1 0 0 0 16 1 1 1 0 1 0 0 0 18 1 1 1 0 0 0 0 0 15 1 1 1 0 0 0 0 0 17 1 1 0 1 0 0 0 0 3 1 0 1 0 0 0 0 0 6 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0


------------------------------------------------------------------------------

Sekor Proporsi jawaban betul pada butir

Resp A 1 2 3 4 5 6 7 8

1 0 0 0 0 0 0,33 0,50 1,00

2 0 0 0 0 0,25 0,67 0,50 1,00

3

4

5

6

7

8

Buatlah grafik proporsi jawaban betul untuk setiap butir


------------------------------------------------------------------------------

B. Parameter Responden dan Parameter Butir

1. Parameter Responden

• Sekor responden mencerminkan kemampuan responden sehingga sekor responden dan kemampuan responden merupakan parameter responden

• Kemampuan responden merupakan suatu kontinum dari rendah ke tinggi

• Biasanya sekor responden tinggi menunjukkan kemampuan tinggi dan sekor responden rendah menunjukkan kemampuan responden rendah

• Biasanya, pada sekor responden tinggi atau kemampuan tinggi, proporsi jawaban betul juga tinggi


------------------------------------------------------------------------------

Biasanya terjadi

Sekor Kemampuan Proporsi jawaban

responden responden betul

tinggi tinggi tinggi

. . .

. . .

. . .

rendah rendah rendah

Pada karakteristik butir, proporsi jawaban betul dikenal sebagai probabilitas jawaban betul

• Sekor responden = kemampuan responden (θ)• Proporsi jawaban betul = probabilitas jawaban betul

P(θ)


------------------------------------------------------------------------------

2. Probabilitas Jawaban Betul

• Untuk butir ke-i, probabilitas jawaban betul berkaitan dengan dengan kemampuan responden θ

• Makin tinggi kemampuan responden θ, makin besar pula probabilitas jawaban betul

• Hubungan di antara probabilitas jawaban betul pada butir ke-i dengan kemampuan responden θ adalah

Pi (θ) = f (θ)

Sebagai probabilitas: 0 ≤ Pi (θ) ≤ 1

5 6 7 8 9 10 11 12

Pi (θ)

θ

1,00,80,60,40,2


------------------------------------------------------------------------------

3. Parameter Butir

(a) Taraf Sukar Butir

• Ada butir yang sukar, ada butir yang sedang, dan ada butir yang mudah

• Taraf sukar butir merupakan suatu kontinum dari mudah ke sukar

• Taraf sukar butir ke-i dinyatakan dengan bi

• Makin tinggi taraf sukar butir bi, diperlukan kemampuan responden θ yang makin tinggi untuk dapat menjawabnya dengan betul

θ > bi Pi (θ) tinggi

θ < bi Pi (θ) rendah

• Kontinum taraf sukar berimpit dengan kontinum kemampuan responden


------------------------------------------------------------------------------

Hubungan di antara kemampuan responden dan taraf sukar butir untuk butir ke-i

θ

b θ> b; θ – b > 0

P(θ) > 0,5

θ > b

θ

bθ < b; θ – b < 0

P(θ) < 0,5

θ < b

θ = b

θ

b θ = b; P(θ) = 0,5


------------------------------------------------------------------------------

Probabilitas jawaban betul pada butir ke-i berhubungan dengan letak θ terhadap bi atau terhadap (θ – bi) atau

Pi (θ) = f (θ – b)

Ini dikenal sebagai kararteristik butir satu parameter

Pi (θ) = f (θ, bi)

Nilai taraf sukar butir ke-i ditentukan oleh

θ – bi = 0 atau bi = θ pada saat Pi (θ) = 0,5

bi

θ

Pi (θ)1,0

0,5


------------------------------------------------------------------------------

Makin sukar butir, maka makin ke kanan letak karakteristik butir seperti tampak pada diagram berikut

butir j lebih sukar dari butir iP(θ)

θbi bj

i j

1,0

0,5

P(θ)

1,0

0,5

bi bj

θ

ij


------------------------------------------------------------------------------

(b) Daya Beda Butir

Ada butir yang memiliki ciri

• dapat dijawab dengan betul oleh kebanyakan responden yang berkemampuan tinggi

• tidak dapat dijawab dengan betul oleh kebanyakan responden yang berkemampuan rendah

Butir demikian memiliki daya untuk membedakan responden berdasarkan kemampuan mereka

Butir memiliki parameter berupa daya beda butir

P(θ)

Perbedaan besar

Banyak jawab salah

Banyak jawab betul

1,0

0,5

θ


------------------------------------------------------------------------------

Makin besar daya beda butir, maka makin curam lengkungan karakteristik butir, seperti tampak pada diagram berikut

P(θ)

P(θ)

1,0

1,0

0,5

0,5

θ

θ

b

b

θ1

θ1

θ2

θ2

Perbedaan kecil

Perbedaan besar


------------------------------------------------------------------------------

• Kecuraman pada lengkungan merupakan koefisien arah a pada fungsi a(θ − b).Makin curam makin besar koefisien arah a

• Pada butir ke-i, daya beda butir dinyatakan sebagai koefisien arah yang menunjukkan kecuraman pada lengkungan yakni ai sehingga

Pi (θ) = f (ai (θ − bi))

• Di sini terdapat dua parameter butir: bi dan ai dan ini dikenal sebagai karakteristik butir dua parameter

Pi (θ) = f (θ, ai, bi)P(θ)

1,0

0,5

θ1 bi θ2

θ

ji

aj > ai


------------------------------------------------------------------------------

(c) Tingkat Kebetulan Betul pada Butir

• Pada butir pilihan ganda dapat saja terjadi bahwa jawaban betul dicapai melalui terkaan

• Jawaban betul ini adalah kebetulan betul

• Tingkat kebetulan menjawab betul pada butir ke-i dinyatakan dengan parameter butir ci dan merupakan probabilitas jawaban betul minimum

Pi (θ)min = ci

P(θ)1,0

ci

(1 − ci)

θbi

0,5(1−ci)

0,5(1−ci)


------------------------------------------------------------------------------

• Di sini, taraf sukar butir bi tidak diperoleh melalui probabilitas jawaban betul Pi(θ) = 0,5 melainkan pada

Pi(θ) = ci + 0,5 (1− ci)

= 0,5 (1 + ci)

• Bentangan Pi (θ) tidak lagi dari 0 sampai 1,0 melainkan dari ci sampai 1,0 yakni selebar (1 − ci) sehingga

f (ai (θ− bi)) menjadi (1 − ci) f (ai(θ− bi))

dan probabilitas jawaban betul menjadi

Pi (θ) = ci + (1 − ci) f (ai (θ − bi))

• Di sini terdapat tiga parameter butir ai, bi, dan ci sehingga dikenal sebagai karakteristik butir tiga parameter

Pi (θ) = f (θ, ai, bi, ci)


------------------------------------------------------------------------------

4. Tiga Model Karakteristik Butir

(a) Model satu parameter (1P)

Bentuk umum P(θ) = f (θ, b)

Bentuk khusus

Pi (θ) = f (θ − bi)

bi = θ pada Pi (θ) = 0,5

(b) Model dua parameter (2P)

Bentuk umum P(θ) = f (θ, a, b)

Bentuk khusus

Pi (θ) = f (ai (θ − bi))

bi = θ pada Pi (θ) = 0,5


------------------------------------------------------------------------------

(c) Model tiga parameter (3P)

Bentuk umum P(θ) = f (θ, a, b, c)Bentuk khusus

Pi (θ) = ci + (1 − ci ) f (ai(θ − bi))

bi = θ pada Pi (θ) = ci + 0,5 (1 − ci)

= 0,5 (1 + ci)

(d) Model Karakteristik Butir

Selanjutnya model karateristik butir 1P, 2P, dan 3P ini ditentukan oleh bentuk

f (θ, bi)

f (θ, ai, bi)

f (θ, ai, bi , ci)

yang dipilih atau ditentukan bentuknya


------------------------------------------------------------------------------

C. Lengkungan Karateristik Butir

1. Model Ideal

(a) Model Skala Sempurna

Pi (θ)

θ

θ

Pi (θ)

bi

b1 b2 b3 b4

θ < bi Pi (θ) = 0θ ≥ bi Pi (θ) = 1


------------------------------------------------------------------------------

(b) Model Jarak Laten

θ < bi Pi (θ) = c

θ ≥ bi Pi (θ) = d

Pi (θ)

1,00d

0,75

0,50

0,25c

θbi


------------------------------------------------------------------------------

2. Model Linier

Pi (θ) = ci + ai (θ − bi)

0 ≤ Pi (θ) ≤ 1

Pada bi = 0 Pi (θ) = ci + ai θ

Pada ci = 0 Pi (θ) = ai (θ − bi)

Pi (θ) Pi (θ)

θ θ

1,0 1,0

0,5 0,5

bi bi

ci


------------------------------------------------------------------------------

3. Model Nonlinier

(a) Data Empirik

• Sebagian besar data empirik menunjukkan lengkungan nonlinier


------------------------------------------------------------------------------

Contoh empirik lainnya


------------------------------------------------------------------------------

(b) Model Ojaif Normal

• Peningkatan P(θ) terhadap peningkatan kemampuan θ dipandang sebagai berdistribusi probabilitas ojaif normal

• Lengkungan karakteristik butir menjadi berbentuk ojaif normal

(c) Model Logistik

• Perhitungan pada model ojaif normal cukup rumit sehingga dicarikan model serupa dengan perhitungan yang lebih sederhana

• Ditemukan bentuk yang mirip melalui pendekatan ke fungsi logistik sehingga menjadi model logistik

------------------------------------------------------------------------------Karakeristik Butir

------------------------------------------------------------------------------

4. Komparasi Model

Terdapat tiga macam model berupa model ideal, model linier, dan model nonlinier

• Model ideal

Ini adalah model terbaik atau sempurna karena secara jelas membagi dua responden menurut kemampuan mereka (batas jelas)

Sukar sekali untuk (praktis tidak dapat) menemukan butir seperti ini

1,0 1,0

θ θ

P(θ) P(θ)


------------------------------------------------------------------------------

• Model linier

Ini adalah model yang cukup dilakukan melalui perhitungan yang sederhana

Sukar untuk (praktis tidak dapat) menemukan model linier

θ θ

P(θ) P(θ)

------------------------------------------------------------------------------Karakteritik Butir

------------------------------------------------------------------------------

• Model Nonlinier

Ini terletak di antara model ideal dan model linier dan paling sering ditemukan pada butir

Kita perlu menentukan model nonlinier yang bagaimana yang paling memadai

Biasanya model nonlinier berbentuk ojaif atau berbentuk lengkungan S

θ θ

P(θ) P(θ)


------------------------------------------------------------------------------

D. Keterampilan Matematika

1. Fungsi Eksponensial

• Konstanta e dinamakan juga sebagai konstanta eksponensial, memiliki nilai tetap

e = 2,718281828 …

dapat diteruskan sampai tidak ada batas

• Di dalam pemakaian, e sering dibatasi sampai 2 atau 3 digit pecahan desimal

e = 2,72 atau e = 2,718

• Fungsi eksponensial menggunakan e dalam bentuk seperti

ex atau ef(x)


------------------------------------------------------------------------------

• Nilai fungsi eksponensial ex dapat langsung ditemukan melalui kalkulator elektronik

Misalnya e0,5 dapat langsung ditemukan di dalam kalkulator Casio melalui

Terbaca bahwa hasilnya adalah 1,6487 …

AC bertujuan mengosongkan isi memori kalkulator

AC

Shiftex

0 • 5

=


------------------------------------------------------------------------------

Contoh 4

Dengan kalkulator, carilah nilai berikut

e-1,5 = e-2,75 = e-1,0 = e-1,87 =

e0 = e0,5 =

e1,5 = e1,75 =

e2,0 = e2,25 =

e2,5 = e2,75 =

e2,9 = e3,0 =

e3,75 = e4,0 =


------------------------------------------------------------------------------

2. Fungsi Logaritma

• Logaritma berkaitan dengan pangkat dan akar pada bilangan, misalnya

32 = 9

• Pangkat

Pangkat bersangkutan dengan pertanyaan

32 = ? ? = 32

• Akar

Akar bersangkutan dengan pertanyaan

?2 = 9 ? = √9


------------------------------------------------------------------------------

• Logaritma

Logaritma bersangkutan dengan pertanyaan

3? = 9 ? = 3log 9

Di sini, 3 dinamakan basis logaritma

Kalau basis logaritma adalah 10, biasanya 10 itu tidak perlu ditulis

10? = 100 ? = log 100

Kalau basis logaritma adalah e, maka logaritma ini dinamakan logaritma naturalis dan ditulis sebagai ln

e? = 1,6487 ? = ln 1,6487


------------------------------------------------------------------------------

• Nilai logaritma dapat langsung dihitung pada kalkulator elektronik

Perhitungan log (yakni basis 10)

Misalnya untuk log 25

pada kalkulator Casio

Hasilnya adalah 1,3979 …

Ini berarti bahwa 101,3979… = 25

AC

log 2 5

=


------------------------------------------------------------------------------

Contoh 5

Dengan kalkulator elektronik, carilah nilai log sebagai berikut

log 15 = log 27,5 =

log 50,5 = log 58 =

log 75 = log 83 =

log 100 = log 118 =

log 1350 = log 2750 =

log 0,75 = log 0,025 =

log 0,50 = log 0,95 =

log e = log π =


------------------------------------------------------------------------------

Perhitungan ln (yakni basis e)

Misalnya ln 2,75pada kalkulator Casio

Hasilnya adalah 1,0116 …

Contoh 6

Dengan kalkulator elektronik, carilah nilai

ln 0,75 = ln 0,90 = ln 1,25 =

ln 15 = ln 20 = ln 27,5 =

ln 50 = ln 75 = ln 150 =

AC

ln 2 •

=

7 5


------------------------------------------------------------------------------

3. Diferensial

Di dalam matematika, diferensial adalah bilangan yang sangat kecil mendekati ke 0

∆x = x2 – x1

Jika x2 x1 maka ∆x 0

∆x 0 ini dikenal sebagai diferensial dx

Cara yang sama berlaku untuk variabel

lainnya, misalnya, y

∆y 0 dikenal sebagai dy

x1 x2


------------------------------------------------------------------------------

4. Hasibagi (quotient) diferensial

Pembagian di antara dy dan dx dikenal sebagai hasilbagi diferensial

atau juga sebagai y’

Kalau y = f (x), maka hasilbagi diferensial menjadi

atau juga sebagai f’(x)

Dengan demikian, hasilbagi diferensial adalah hasilbagi dari bilangan sangat kecil yang mendekati 0

Terdapat sejumlah rumus untuk menghitung hasilbagi diferensial

dx

dy

dx

xdf )(


------------------------------------------------------------------------------

• Hasilbagi diferensial (dikenal juga sebagai turunan pertama) bergantung kepada fungsi yang dideferensialkan

• Beberapa rumus umum

a = konstanta

dx

dv

dx

du

dx

vud

dx

dua

dx

aud

xdx

xdx

dx

xd

xdx

xde

dx

de

nnxdx

dx

dx

da

xx

nn

+=+=

−==

==

≠== −

)()(

sincos

cossin

ln

)(

1

10 1


------------------------------------------------------------------------------

Contoh 7

xxdx

dx

dx

dx

dx

dy

xxyd

xxdx

d

dx

dx

dx

dy

xyc

xdx

dx

dx

dy

xyb

xdx

dy

xya

41223

23

4042

2

123

3

4

324

24

334

4

34

4

3

4

+=+=

+=

=+=+=

+=

==

=

=

=

)(

)(

)(

)(


------------------------------------------------------------------------------

• Rumus selanjutnya

=

−

=

−=

+=

dx

du

dx

d

dx

ud

keTurunan

dx

du

du

udf

dx

udf

vdxdv

udxduv

dxvu

d

dx

dvu

dx

duv

dx

uvd

2

2

2

2

)()(

)(


------------------------------------------------------------------------------

Contoh 8

12

4126

1

2234121

1

123

231

1

23

42018

2234121

123

231

123

24

35

22

2432

22

224

242

2

24

35

2432

224

242

224

++++=

++−++=

+

++−++=

++=

++=++++=

+++++=

++=

xx

xxx

x

xxxxxx

xdxxd

xxdx

xxdx

dx

dy

x

xxyb

xxx

xxxxxx

dx

xdxx

dx

xxdx

dx

dy

xxxya

)(

))(())((

)(

)()(

)()(

)(

))(())((

)()(

)()(

))(()(


------------------------------------------------------------------------------

Contoh 9

436

412

23

412

412

23

23

22

2

3

24

233

323

24

24

23

23

24

24

24

24

+=

+=

+=

+=

+=

++

=

=

+

+

+

+

xdx

yd

xxdx

dy

xxyb

exx

xxe

dx

xxd

xxd

ed

dx

dy

eya

xx

xx

xx

xx

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(


------------------------------------------------------------------------------

5. Hasilbagi diferensial sebagai sudut garis singgung

∆y ----- berkaitan dengan besarnya sudut ∆x Jika ∆x 0 maka B bergerak ke A

dymaka ----- merupakan sudut pada garis

dx singgung di titik A

∆y

∆x

y

x

Garis singgung

A

B

C


------------------------------------------------------------------------------

6. Titik Minimum, Titik Maksimum, dan Titik Balik

Pada titik minimum dan maksimum garis singgung menajdi horizontal sehingga sudut singgung menjadi nol

Pada titik minimum atau titik maksimum, karena sudut singgung adalah noi, maka

dy

------ = 0

dx

y

x

y

x


------------------------------------------------------------------------------

Titik Balik adalah titik ketika grafik membalik, misalnya, dari melengkung ke kanan membalik menjadi melengkung ke kiri

Pada titik balik, garis singgung horizontal sehingga sudut singgung menjadi 0 yakni

dy ----- = 0 dx

y

x


------------------------------------------------------------------------------

7. Integrasi

Di dalam matematika, integrasi adalah proses penjumlahan sedjumlah bilangan yang sangat kecil mendekati 0

Notasi integrasi adalah ∫, misalnya, ∫ydx

Luas yang sangat kecil adalah y dx

Jumlah dari semua luas y dx dari x1 sampai x2 adalah luas seluruh gambar

x1 x2x

y

dx

y

∫2

1

x

x

ydx

-----------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir

-----------------------------------------------------------------------------

Integrasi pada distribusi probabilitas normal baku

Integrasi ini menghasilkan luas pada histogram distribusi probabilitas normal baku

Luas ini bergantung kepada letak z1 dan nilainya dijadikan tabel fungsi distribusi bawah untuk berbagai nilai z1 (lihat tabel)

dzedzznz

z z

z

21 1

1

2

1

2

110

−

∞− ∞−∫ ∫==

πφ ),;(

–∞

z1

φz1

z

------------------------------------------------------------------------------Karakteristik

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 10

Nilai ini dapat dilihat pada tabel fungsi distribusi (bawah) pada distribusi probabilitas normal baku

Dapat juga dicari pada program komputer tentang statistika seperti Minitab

Fungsi distribusi (bawah) pada distribusi normal baku merupakan kumulasi distribusi (luas histogram pada distribusi probabilitas normal baku) dari – ∞ sampai suatu nilai z1 = – 1,13

-1,13

φ-1,13

n (z; 0, 1)

z

∫−

∞−− ==

131

131 1292010,

, ,),;( dzznφ


------------------------------------------------------------------------------

8. Perhitungan integral

Secara umum integrasi adalah kebalikan dari hasilbagi diferensial

Hasilbagi diferensial dan integral

C = suatu konstanta (karena hasilbagi diferensial konstanta sama dengan 0)

C dapat ditentukan kemudian

11

1

1

1

−≠++

==

≠==

=

+

−

∫ ∫ nCn

xdxxydx

nnxdx

dx

dx

dy

xy

nn

nn

n


------------------------------------------------------------------------------

Contoh 11

Tampak di sini bahwa jika hasilbagi diferensial diintegralkan maka hasilnya kembali asal

Asal adalah y = x4 dan setelah didiferensial serta diintegralkan maka hasilnya kembali ke y = x4

CxCx

dxxdxxydx

xy

xdx

dx

dx

dy

xy

+=+===

=

==

=

∫∫∫ 44

33

3

34

4

4444

4

4


------------------------------------------------------------------------------

• Integral definit

Integral definit adalah integral yang diberi batas nilai dari sesuatu ke sesuatu

Misalkan integrasi dilakukan dari x1 sampai ke x2 maka bentuknya adalah

Contoh 12

)()(| 11

12

1 2

1

2

1

−−− −==

=

∫ nnxx

nx

x

n

nxnxnxydx

xy

515485

2

5

6

5

5562

56

2

4 ,| =−==∫x

dxx


------------------------------------------------------------------------------

• Rumus umum beberapa integral

• Diferensial diintegral akan kembali asal sehingga jika y didiferensialkan dan kemudian diintegralkan maka hasilnya akan kembali ke y

Cxx

dx

Cedxe

nCn

xdxx

Caxadx

xx

nn

+=

+=

−≠++

=

+=

∫∫∫

∫+

ln

11

1

Cydxdx

dy +=

∫

psikometri bab a18

Education