psikometri bab a21

Bab 21

Teori Responsi Butir

------------------------------------------------------------------------------Teori Responsi Butir

------------------------------------------------------------------------------

Bab 21

TEORI RESPONSI BUTIR

A. Akurasi Pengukuran

1. Kemampuan dan Taraf Sukar

• Responden memiliki kemampuan yang biasanya berbeda di antara responden

• Butir memiliki taraf sukar butir b yang biasanya berbeda di antara butir

• Pada pengukuran terjadi pertemuan di antara kemampuan responden dengan taraf sukar butir


------------------------------------------------------------------------------

2. Hasil Ukur

• Jawaban atau tanggapan responden terhadap butir membuahkan hasil ukur

• Dalam hal tertentu, hasil ukur menunjukkan salah atau betul

• Pada skala dikotomi, jawaban salah sering diberi sekor 0 dan jawaban betul diberi sekor 1

• Hasil ukur dapat juga dinyatakan dalam bentuk probabilitas jawaban betul (nilai dari 0 sampai 1)

• Probabilitas jawaban betul ditentukan oleh padanan di antara kemampuan responden dengan taraf sukar butir

• Probabilitas jawaban betul Pgi() adalah probabilitas jawaban betul responden ke-g pada butir ke-i


------------------------------------------------------------------------------

3. Padanan Kemampuan dan Taraf Sukar

• Tidak selalu taraf sukar butir sepadan dengan kemampuan responden

• Butir terlalu mudah atau terlalu sukar tidak dapat menunjukkan kemampuan responden, sehingga akurasi pengukuran menjadi rendah

A B CResponden dan kemampuan

Butir mudah

Butir sukar


------------------------------------------------------------------------------

4. Kecocokan kemampuan dan taraf sukar

• Kecocokan di antara kemampuan responden dengan taraf sukar butir menghasilkan akurasi pengukuran yang tinggi

• Kecocokan (akurasi tertinggi) ditentukan oleh P() = 0,5

b – b > 0 P() > 0,5

b – b < 0 P() < 0,5

b – b = 0 P() = 0,5


------------------------------------------------------------------------------

5. Syarat Pencocokan

• Kecocokan di antara kemampuan responden dengan taraf sukar butir menghasilkan akurasi pengukuran tertinggi melalui ketentuan

P() = Pmin + 0,5 (Pmaks– Pmin)

• Karena Pmaks = 1 maka ketentuan ini menjadi

P() = Pmin + 0,5 (1 – Pmin)

• Pencocokan di antara kemampuan responden dengan taraf sukar butir dapat dilakukan jika mereka independen

• Jika b independen dari maka kita dapat mencari b yang cocok dengan

• Jika b dependen (bergantung) terhadap , maka kita tidak dapat mencari b yang cocok dengan


------------------------------------------------------------------------------

B. Pencocokan Pada Teori Klasik dan Modern

1. Teori Pengukuran Klasik

• Pada ujian, teori pengukuran klasik dikenal juga sebagai teori ujian klasik (classical test theory)

• Pada teori klasik, taraf sukar butir bergantung (dependen) kepada kemampuan responden

Bagi responden berkemampuan tinggi, butir menjadi tidak sukar (mudah)

Bagi responden berkempuan rendah, butir menjadi sukar

Pada butir tidak sukar (mudah), tampak kemampuan responden menjadi tinggi

Pada butir sukar, tampak kemampuan responden menjadi rendah


-----------------------------------------------------------------------------

• Taraf sukar butir bergantung kepada kemampuan responden

• Butir yang sama akan terasa berat bagi mereka yang berkemampuan rendah dan terasa ringan bagi mereka yang berkemampuan tinggi

Berat Ringan


-----------------------------------------------------------------------------

• Kemampuan responden bergantung kepada taraf sukar butir

• Mereka yang mengerjakan butir sukar akan tampak berkemampuan rendah sedangkan mereka yang mengerjaka butir mudah akan tampak berkemampuan tinggi

• Teori pengukuran klasik (teori ujian klasik) tidak dapat digunakan untuk pencocokan kemampuan responden dengan taraf sukar butir (karena mereka dependen)

Kemampuan rendah Kemampuan tinggi


------------------------------------------------------------------------------

Cara peungkapan hasil ukur pada teori klasik

• Pada teori klasik, terdapat interdependensi di antara kemampuan responden dan taraf sukar butir

• Sebaiknya cara penyebutan hasil pengukuran disandingi dengan nama alat ukur

Misal

450 TOEFL

630 SPMB

• Hasil ukur dapat dipahami melalui kaitannya dengan alat ukur yang digunakan (TOEFL atau SPMB)

• Sebaiknya nama alat ukur dikenal secara luas oleh banyak orang


------------------------------------------------------------------------------

2. Teori Pengukuran Modern

• Pada ujian, teori pengukuran modern dikenal juga sebagai teori ujian modern (modern test theory)

• Pada pengukuran modern, taraf sukar butir tidak dikaitkan langsung dengan kemampuan responden

• Pada pengukuran modern, taraf sukar butir dikaitkan langsung dengan karakteristik butir

• Taraf sukar butir pada pengukuran modern terletak pada

P() = Pmin + 0,5 (Pmaks – Pmin)

= Pmim + 0,5 (1 – Pmin)

dan di sini taraf sukar butir diberi notasi b


------------------------------------------------------------------------------

• Pada pengukuran modern, taraf sukar butir langsung dikaitkan dengan karakteristik butir

• Tampak bahwa tinggi dan rendah memiliki taraf sukar butir b yang sama

• Kemampuan responden dan taraf sukar butir menjadi independen

• Pengukuran modern dapat digunakan untuk pencocokan kemampuan responden dengan taraf sukar butir

tinggi

rendah

P1,0

0,5

b


------------------------------------------------------------------------------

Teori Responsi Butir

• Karakteristik butir ditentukan oleh responsi para responden (baik kemampuan tinggi maupun kemampuan rendah) sehingga dikenal sebagai teori responsi butir (item response theory)

• Teori responsi butir dikenal juga dengan berbagai nama

Item response theory (IRT)

Latent trait theory (LTT)

Item characteristic curve (ICC)

Item characteristic function (ICF)

• Nama yang paling banyak digunakan adalah Item Response Theory atau Teori Responsi Butir


------------------------------------------------------------------------------

C. Teori Responsi Butir

1. Karakteristik Butir

• Teori responsi butir perlu menentukan model karakteristik butir yang digunakan

• Model karakteristik butir dapat berbentuk satu parameter (1P), dua parameter (2P), tiga parameter (3P), atau model lain

• Di sini pembahasan dibatasi pada satu sampai tiga parameter serta pada sekor dikotomi

1P : P() = f(b, )

2P : P() = f(a, b, )

3P : P() = (a, b, c, )

• Satu, dua, dan tiga adalah banyaknya parameter butir


------------------------------------------------------------------------------

2. Parameter pada Teori Responsi Butir

• Parameter adalah parameter kemampuan responden

• Parameter b adalah parameter taraf sukar butir

Pada 1P dan 2P

b = ketika P() = 0,5

Pada 3P

b = ketika P() = 0,5 (1 + c)

• Parameter a adalah parameter daya beda butir

• Parameter c adalah parameter terkaan betul pada jawaban butir


------------------------------------------------------------------------------

3. Tujuan Teori Responsi Butir

• Teori responsi butir membebaskan responden dan butir dari interdependensi, sehingga

Taraf sukar butir tidak lagi bergantung (invarian) kepada kemampuan responden

Kemampuan responden tidak lagi bergantung (invarian) kepada taraf sukar butir

• Melalui independensi di antara taraf sukar butir dan kemampuan responden, pada pengukuran, kita dapat memilih butir yang cocok dengan responden

• Dalam hal terjadi kecocokan di antara taraf sukar butir dan kemampuan responden, maka

Kalau taraf sukar butir diketahui, kemampuan responden dapat ditentukan

Kalau kemampuan responden diketahui, taraf sukar butir dapat ditentukan


------------------------------------------------------------------------------

4. Dasar Invariansi

• Taraf sukar butir tidak langsung dikaitkan dengan kemampuan responden melainkan dikaitkan dengan lengkungan karakteristik butir pada

P() = Pmin + (1 – Pmin)

• Misalkan suatu butir memiliki parameter butir a1 = 1,27 dan b1

= – 0,39

Butir ini diberikan kepada responden dengan kemampuan agak rendah dan dari mereka diperoleh lengkungan dengan a1 = 1,27 dan b = – 0,39

Butir yang sama diberikan kepada responden dengan kemampuan agak tinggi dan dari mereka diperoleh lengkungan dengan a1 = 1,27 dan b1 = – 0,39

Dua hasil ini adalah sama


------------------------------------------------------------------------------

• Pada responden dengan kemampuan agak rendah

• Melalui perhitungan pada data diperoleh lengkungan dengan b1 = – 0,39

P()

–3 –2 –1 0 1 2 3

0,5

1,0

–0,39


------------------------------------------------------------------------------

• Pada responden dengan kemampuan agak tinggi

• Melalui perhitungan pada data diperoleh lengkungan dengan b1 = – 0,39

• Pada responden berkemampuan rendah dan tinggi, taraf sukar butir tetap sama dengan – 0,39

P()

–3 –2 –1 0 1 2 3

0,5

1,0

–0,39


------------------------------------------------------------------------------

D. Syarat Teori Responsi Butir

1. Tiga syarat

• Unidimensi

• Invariansi kelompok

• Independensi Lokal

2. Unidimensi

• Variabel yang diukur adalah unidimensi yakni yang memiliki satu dimensi atribut dan dikenal sebagai kemampuan

• Diperlukan agar P() terus menaik ketika terus menaik (kenaikan monotonik)

• Dalam kenyataan tidak mudah memperoleh atribut variabel yang unidimensi

• Dalam praktek, unidimensi dicapai melalui adanya satu dimensi yang dominan


------------------------------------------------------------------------------

3. Invariansi Kelompok

• Semua subkelompok memiliki karakteristik butir yang sama

• Dengan kata lain karakteristik butir adalah sama (invarian) untuk semua subkelompok

• Subkelompok disebut homogen apabila semua responden di dalam subkelompok itu memiliki kemampuan yang sama

tinggi

rendah

P1,0

0,5

b

subkelompok


------------------------------------------------------------------------------

4. Independensi Lokal

• Ada independensi lokal responden terhadap butir dan ada independensi lokal butir terhadap responden

• Independensi lokal responden terhadap butir

Pada responden di lokal yang sama, probabilitas menjawab betul P() untuk butir berbeda adalah independen satu terhadap lainnya

Misalkan responden yang memiliki kemampuan yang sama mengerjakan butir X1, X2, X3, …, XN, maka sesuai dengan rumus independensi pada probabilitas

)()(

)()...(

)()...()()()...(

ii

Ni

iiN

NN

XPXQ

XPXXXXP

atau

XPXPXPXPXXXXP

11

321

321321


------------------------------------------------------------------------------

• Indpendensi lokal butir terhadap responden

Pada butir di lokal yang sama, probabilitas menjawab betul P() untuk responden berbeda adalah independen satu terhadap lainnya

Responden

sama

Butir

sama

butir

butir butir

butir

independen

responden

responden

responden

independen


------------------------------------------------------------------------------

5. Pengujian independensi lokal

Independensi lokal dapat diuji secara

• Eksak melalui rumus probabilitas

• Statistika melalui uji ketergantungan khi-kuadrat

(a) Pengujian melalui rumus probabilitas

• Independensi lokal tercapai apabila data memenuhi rumus independensi pada probabilitas

Contoh 1

Responden dengan kemampuan menjawab butir 1, 2, dan 3, dengan sekor 1, 1, dan 0


------------------------------------------------------------------------------

Dalam hal ini

P(X1) = 1 P(X2) = 1 P(X3) = 0

Q(X3) = 1

Syarat untuk independesi lokal menjadi

P(X1∩X2∩X3) = P(X1)P(X2)P(X3)

= P1(1)P2(1)P3(0)

= P1(1)P2(1)Q3(1)

Contoh 2

Responden menjawab butir ke-i dan ke-j dengan probabilitas sebagai berikut

Butir ke-j 1 0

Butir 1 P(11) P(10) Pi(1)

ke-i 0 P(01) P(00) Pi(0)

Pj(1) Pj(0)


------------------------------------------------------------------------------

Probabilitas dan syarat independensi lokal

P(11) = Pi(1)Pj(1)

P(10) = Pi(1)Pj(0) = Pi(1)Qj(1)

P(01) = Pi(0)Qj(1) = Qi(1)Pj(1)

P(00) = Pi(0)Pj(0) = Qi(1)Qj(1)

Contoh 3

Responden mengerjakan butir ke-1 dan ke-2 dengan probabilitas jawaban

Butir ke-2

1 0

Butir 1 0,086 0,420 0,506

ke-1 0 0,083 0,411 0,494

0,169 0,831 1

Apakah terdapat independensi lokal?


------------------------------------------------------------------------------

Perhitungan probabilitas

P(11) = 0,086 P1(1)P2(1) = (0,506)(0,169) = 0,086

P(10) = 0,420 P1(1)P2(0) = (0,506)(0,831) = 0,420

P(01) = 0,083 P1(0)P2(1) = (0,494)(0,169) = 0,083

P(00) = 0,411 P1(0)P2(0) = (0,494)(0,831) = 0,411

Terdapat kecocokan sehingga mereka adalah independen secara lokal

Contoh 4

Responden mengerjakan butir ke-1 dan ke-2 dengan probabilitas jawaban

Butir ke-2 1 0 Butir 1 0,30 0,10 0,40 ke-1 0 0,00 0,60 0,60 0,30 0,70 1



------------------------------------------------------------------------------

Contoh 5

Responsi dari 40 responden pada suatu tertentu menunjukkan

Butir Responsi Responden

1 00000 11000 00011 00010 00100 00000 11001 10101

2 01100 00011 10000 11111 11111 11100 00110 01111


Butir ke-2

1 0

Butir 1

ke-1 0


------------------------------------------------------------------------------

(b) Pengujian secara statistika

• Pengujian dilakukan pada taraf signifikansi tertentu melalui hipotesis

H0 : Terdapat independensi lokal

H1 : Tidak terdapat independensi lokal

• Distribusi probabilias pensampelan adalah distribusi probabilias khi-kuadrat

• Statistik uji 2 adalah

Butir ke-2

1 0

Butir 1 A B A+B

ke-1 0 C D C+D

A+C B+D N


------------------------------------------------------------------------------

Statistik uji adalah

dengan derajat kebebasan

= 1

N = banyaknya responden

A, B, C, D dapat dalam frekuensi atau dalam proporsi

• Kriteria pengujian

Tolak H0 jika 2 > 2()()

Terima H0 jika 2 2()()

))()()((

)( 22

DBCADCBA

BCADN


-----------------------------------------------------------------------------

• Dapat juga dihitung dengan cara sebagai berikut

Dengan koreksi Yates

Selanjutnya

DCBA

DCDBDCBA

DCCADCBA

DBBADCBA

BACA

D

C

B

A

))((

))((

))((

))((

D

D

C

C

B

B

A

A

DC

BA

22

222

5,0||5,0||

5,0||5,0||


------------------------------------------------------------------------------

Contoh 6

Pada taraf signifikansi 0,05, uji independensi lokal pada sampel data di contoh 3 jika N = 50

• Hipotesis

H0 : Terdapat independensi lokal

H1 : Tidak terdapat independensi lokal

• Sampel

Seperti data pada contoh 3

• Distribusi probabilitas pensampelan

Distribusi probabilitas khi-kuadrat dengan derajat kebebasan = 1


------------------------------------------------------------------------------

• Statistik uji

A = 0,086 B = 0,420 C = 0,083

D = 0,411 N = 50

A + B = 0,506 C + D = 0,494

A + C = 0,169 B + D = 0,831

• Kriteria Pengujian

Taraf signifikansi 0,05

Nilai kritis 2(0,95)(1) = 3,841

Tolak H0 jika 2 > 3,841

Terima H0 jika 2 3,841

• Keputusan

Pada taraf signifikansi 0,05, terima H0

0

8310169049405060

083042004110086050 22

),)(,)(,)(,(

),)(,(),)(,()(


------------------------------------------------------------------------------

Contoh 7

Pada taraf signifikansi 0,05, uji independensi lokal pada sampel data di contoh 4 jika N = 60

Contoh 8

Pada taraf signifikansi 0,05, uji independensi lokal pada sampel data di contoh 5

Contoh 9

Banyaknya jawaban betul dan salah pada dua butir adalah

Butir ke-2

Salah Betul

Butir Salah 8 20

ke-1 Betul 8 4

Pada taraf signifikansi 0,05 uji independensi lokal


------------------------------------------------------------------------------

E. Model Logistik dan Cara Estimasi Parameter

1. Pemilihan Model Logistik

• Perlu memilih model, mencakup

Model Rasch

Model L1P

Model L2P

Model L3P

• Perlu memenuhi syarat unidimensi, invariansi kelompok, dan independensi lokal

• Perlu ada kecocokan di antara data dan model yang dipilih (dilakukan melalui pengujian kecocokan model, dibahas kemudian)


------------------------------------------------------------------------------

2. Estimasi Parameter

Dari data yang terkumpul dilakukan estimasi terhadap parameter, mencakup parameter kemampuan dan parameter butir

Dapat dilakukan melalui

• Satu responden dengan sejumlah butir (estimasi parameter kemampuan)

Responden

Butir


------------------------------------------------------------------------------

• Satu butir dengan sejumlah responden (estimasi parameter butir)

• Sejumlah responden dan sejumlah butir (estimasi paramter kemampuan dan atau parameter butir)

Responden

Butir

Responden Butir


------------------------------------------------------------------------------

3. Estimasi Parameter dan Indeteminasi

• Parameter yang diestimasi

Parameter yang diestimasi mencakup , a, b, dan c. Tiga di antaranya terhubung dalam

a ( – b)

Hasil estimasi dapat berbentuk indeterminasi yakni terdapat banyak hasil estimasi

Hasil estimasi ditambah konstanta juga merupakan hasil estimasi

Hasil estimasi dikalikan dan dibagi konstanta juga merupakan hasil estimasi


------------------------------------------------------------------------------

• Penambahan konstanta

Misalkan hasil estimasi adalah 1 dan b1 dalam bentuk

a (1 – b1)

Jika 1 dan b1 ditambah konstanta sama C

2 = 1 + C dan b2 = b1 + C

maka

a(2 – b2) = a(1 + C – b1 – C)

= a(1 – b1)

sehingga 2 dan b2 juga merupakan hasil estimasi

Ini berarti bahwa hasil estimasi dapat digeser (translasi) sehingga titik awal atau 0 dapat ditentukan secara bebas


------------------------------------------------------------------------------

• Kali bagi konstanta

Misalkan hasil estimasi adalah 1, a1, dan b1

dalam bentuk

a1 (1 – b1)

Jika 1 dan b1 dikalikan konstanta sama C serta a1 dibagi dengan konstanta C juga

2 = C1 b2 = Cb1 a2 = a1 / C

maka

a2(2 – b2) = (a1 / C)(C1 – Cb1)

= a1(1 – b1)

sehingga 2, a2, dan b2 juga merupakan hasil estimasi

Ini berarti bahwsa hasil estimasi dapat dipanjang-pendekkan sehingga satuan parameter dapat ditentukan secara bebas


------------------------------------------------------------------------------

Diterapkan pada L3P

• Misalkan 1, a1, b1, c1 adalah hasil estimasi

• Dengan 2 = C1 + k

b2 = Cb1 + k

a2 = a1 / C

c2 = c1

maka

)(

)(

)(

)()(

)(

))((

)(

1

11

11

222

111

111

222

1

11

1

11

1

11

P

ecc

e

cc

eccP

bDa

kCbkCC

aD

bDa


------------------------------------------------------------------------------

4. Metrik Parameter dan Kalibrasi

• Hasil estimasi parameter dapat saja indeterminasi sehingga terdapat banyak hasil estimasi

• Dalam hal ini, dapat saja dipilih salah satu hasil estimasi sebagai patokan yang dinamakan metrik parameter

• Sering terjadi bahwa metrik parameter yang dipilih adalah salah satu di antara

= 0 = 1

atau b = 0 b = 1

• Ini berarti bahwa titik awal atau 0 pada rerata serta satuan parameter sebesar 1 menurut simpangan baku

• Pencocokan parameter lain ke metrik parameter dikenal sebagai kalibrasi


------------------------------------------------------------------------------

5. Estimasi Terpisah dan Estimasi Serentak

• Estimasi Terpisah

Parameter butir diketahui dan parameter kemampuan diestimasi (menggunakan metrik butir)

Parameter kemampuan diketahui dan parameter butir diestimasi (menggunakan metrik kemampuan)

• Estimasi Serentak

Paramter kemampuan dan parameter butir kedua-duanya tidak diketahui sehingga kedua-duanya diestimasi

Perlu ditentukan metrik, biasanya dengan rerata = 0 dan simpangan baku = 1


------------------------------------------------------------------------------

F. Prosedur Estimasi Parameter

1. Beberapa Prosedur Estimasi

Ada sejumlah prosedur untuk secara serentak mengestimasi parameter kemampuan dan butir, mencakup

• Prosedur Kebolehjadian Maksimum Bersama (Joint Maximum Likelihood Procedure)

Digunakan untuk L1P, L2P, dan L3P. Estimasi dilakukan serentak untuk paramter kemampuan dan parameter butir

• Prosedur Kebolehjadian Maksimum Marjinal (Marginal Maximum Likelihood Procedure)

Digunakan untuk L1P, L2P, dan L3P. Intergrasi parameter kemampuan dan estimasi parameter butir. Integrasi parameter butir dan estimasi parameter kemampuan


------------------------------------------------------------------------------

• Prosedur Kebolehjadian Maksimum Kondisional (Conditional Maximum Likelihood Procedure)

Digunakan untuk L1P. Fungsi kebolehjadian dikondisikan terhadap banyaknya sekor jawaban betul

• Prosedur Bayes Bersama dan Marjinal (Joint and Marginal Bayesian Estimation Procedure)

Digunakan untuk L1P, L2P, dan L3P. Distribusi terdahulu ditempatkan pada paramter kemampuan dan butir kemudian dilakukan estimasi

• Prosedur Heuristik

Digunakan terutama untuk L2P, dan L3P

• Prosedur Analisis Faktor Nonlinier

Digunakan untuk L2P serta untuk L3P dengan kasus c tetap. Menggunakan kuadrat terkecil pada analisis faktor


------------------------------------------------------------------------------

2. Ciri Estimasi Kebolehjadian Maksimum

• Konsistensi

Jika responden ditambah, hasil estimasi parameter tetap konsisten

• Normalitas Asimptotik

Jika responden terus ditambah maka distribusi probabilitas pensampelan terus mendekat ke distribusi probabilitas normal

• Efisiensi Asimptotik

Jika responden terus ditambah maka variansi kekeliruan (pensampelan) terus mendekat ke nilai minimum teoretik


------------------------------------------------------------------------------

• Kecepatan Konvergensi

Jika responden terus ditambah maka dengan cepat sekali nilai parameter konvergen ke nilai parameter sesungguhnya (lihat metoda Newton-Raphson)

• Kendala Asimptotik

Pada probabilitas 0 dan 1 lengkungan karakteristik butir secara asimptotik menuju ke takhingga (minus takhingga dan plus takhingga)

Terjadi pada saat semua responsi salah atau semua responsi betul

Selama melakukan estimasi semua responsi salah atau betul dikeluarkan terlebih dahulu dari perhitungan


------------------------------------------------------------------------------

• Jumlah Responden

Responden pada 2P perlu lebih banyak dari responden pada 1P

Resposnen pada 3P perlu lebih banyak dari responden pada 2P

Ada program estimasi pada 1P menggunakan

Lebih dari 25 butir

Lebih dari 500 responden

Ada program estimasi yang menggunakan

Lebih dari 1000 responden, dan ada yang

Lebih dari 2000 responden

• Alat Bantu

Kalkulator dan komputer


------------------------------------------------------------------------------

3. Kebolehjadian

• Di sini dibahas prosedur kebolehjadian serentak terutama kebolehjadian bersama

• M responden menanggapi N butir dengan hasil untuk setiap responden

X1, X2, … , Xi , …, XN

• Pada skala dikotomi, jawaban betul X = 1 dan jawaban salah X = 0

• Dengan ketentuan independensi lokal, untuk tiap responden, kebolehjadian adalah

L(X1, X2, … Xi, …, XN)

= P(X1)Q(X1) P(X2)Q(X2) … P(XN)Q(XN)


-----------------------------------------------------------------------------

• Pada skala dikotomi

Jika P(X = 1) = 1, Q(X = 1) =0 Jika P(X = 0) = 0, Q(X = 0) = 1

maka

• Untuk M responden, kebolehjadian menjadi

• Pada bentuk logaritma

ii Xi

XNi

iiNi XQXPXXXXL

1

121 )()(),...,,...,(

gigi Xgi

Mg

g

Ni

i

Xgigi XQXPXL

1

1 1

)()()(

M

g

N

igigigigigi XQXXPXXL

1 1

1 )(ln)()(ln)()(ln


------------------------------------------------------------------------------

4. Kebolehjadian Maksimum

• Kebolehjadian maksimum pada tiap parameter dapat diperoleh melalui

• Dalam bentuk logaritma, kebolehjadian maksimum pada tiap parameter dapat diperoleh melalui

• Perhitungan masing-masing menghasilkan estimasi parameter kemampuan dan butir

0000

c

L

b

L

a

LL

0ln

0ln

0ln

0ln

c

L

b

L

a

LL


------------------------------------------------------------------------------

5. Estimasi Parameter Kemampuan

• Satu responden (ke-g) menjawab N butir

• Persamaan untuk estimasi parameter kemampuan g untuk responden ke-g

• Dapat digunakan untuk L1P, L2P, dan L3P dengan memasukkan karateristik butir mereka masing-masing

0

1

1

1

1

1

gi

giN

i gigi

gigi

g

giN

i gi

gi

gi

gi

g

giN

i gig

P

QP

PX

P

P

X

P

X

P

P

LL

lnln


------------------------------------------------------------------------------

• Solusi pada model L3P

• Solusi pada model L2P

Pada rumus L3P, masukkan ci = 0

• Pada model L1P

Pada rumus L3P, masukkan ai =1 dan ci = 0

011

N

i igi

igigigii

g cP

cPPXaD

L

)(

))((ln

N

igigii

g

PXaDL

1

0)(ln

0)(ln

1

N

igigi

g

PXDL


------------------------------------------------------------------------------

6. Estimasi Parameter Butir

• Satu butir (ke-i) dijawab oleh M responden

• Dengan jalan sama diperoleh parameter butir ke-i yang ditanggapi oleh M responden

• Dapat digunakan untuk L1P, L2P, dan L3P dengan memasukkan karateristik butir mereka masing-masing

01

0

0

1

1

1

i

giM

g gigi

gigi

i

giM

g gigi

gigi

i

i

giM

g gigi

gigi

i

c

P

QP

PX

c

L

b

P

QP

PX

b

L

a

P

QP

PX

a

L

ln

ln

ln


------------------------------------------------------------------------------

• Solusi pada L3P

• Solusi pada L2P (ci = 0)

• Solusi pada L1P (ai =1, ci = 0)

01

1

01

01

1

1

1

M

g gi

gigi

ii

M

g gi

gigiigi

i

i

i

M

g gi

gigiigiig

ii

P

PX

cc

L

P

PXcP

c

Da

b

L

P

PXcPb

c

D

a

L

)(ln

))((ln

))()((ln

0

0

1

1

)(ln

))((ln

gi

M

ggii

i

M

ggigiig

i

PXDab

L

PXbDa

L

01

)(ln M

ggigi

i

PXDb

L


------------------------------------------------------------------------------

G. Keterampilan Statistika

1. Dasar

P = probabilitas jawaban betul

Q = probabilitas jawaban salah

P + Q = 1 atau Q = 1 – P

Kebolehjadian terhadap probabilitas jawaban betul adalah

L = PQ

2. Kebolehjadian maksimum

0dP

dL


------------------------------------------------------------------------------

• Perhitungan

L = PQ = P(1 – P) = P – P2

sehingga

Contoh 10

Kebolehjadian maksimum untuk M responden dengan M1 reponden sukses dan M – M1 responden gagal

2505050

5050021

0

212

,),)(,(

,,

)(

maksL

QPPdP

dL

PdP

PPd

dP

dL


------------------------------------------------------------------------------

• Perhitungan

sehingga

• Kebolehjadian maksimum

11

11

1 MMM

MMM

PP

QPL

)(

P

PMMPMPP

PPMMPPM

PMMPPPM

dP

Pd

Pd

PdPMP

dP

dL

MMM

MMMMMM

MMMMMM

MMMMM

1

11

11

111

1

1

11

111

11

11

11

11

11

11

1111

1111

1

11

)()()(

)()()(

).())(()(

)(

)(

)(.)(

M

MP

PMMPMdP

dL

1

11 01

0

)()(


------------------------------------------------------------------------------

Contoh 11

Jawaban 21 responden (dengan 1 = betul; 0 = salah) adalah

11111 00111 01111 00110 1

Kebolehjadian

L = P15Q6

Kebolehjadian maksimum terjadi pada

P = 15 / 21 = 0,7143

Q = 1 – P = 1 – 0,7143 = 0,2857

Lmaks = (0,7143)15(0,2875)6

= 3,4968.10-6

psikometri bab a21

Education