P lPengenalanAnalisis Deret Waktu (Time Series Analysis)

MA 2081 Statistika Dasar29 November 201229 November 2012

Utriweni Mukhaiyar

Ilustrasi

2

Ilustrasi• Berikut adalah data rata-rata curah hujan bulanan yang diamati dari Stasiun Padaherang bulanan yang diamati dari Stasiun Padaherang pada tahun 2001 – 2004.

Sumber : Modul 3 Praktikum Mekanika Medium Kontinu “ Medan Gravitasi”

Tahun Jan Feb Mar Apr Mei Jun Jul Agust Sep Okt Nop Des

2001 278.59 279.78 355.29 241.34 115.9 176.9 55.32 29.08 43.82 313.68 508.49 267.82

2002 299.78 245.88 266.64 185.27 122.22 133.1 76.78 32.4 26.09 169.05 461.62 415.73

2003 425.21 370.8 300.23 157.43 184.96 69.93 23.28 14.39 17.86 275.23 433.23 456.02

2004 547.8 308.2 388 93 297 128 47 5 87 105 389 371.6

A bil il i h h j t i i di Apabila nilai curah hujan saat ini dianggap dipengaruhi oleh rata-rata curah hujan kemarin dst, maka data rata-rata curah hujan di atas dapat dikategorikan sebagai suatu deret waktu (time series)dikategorikan sebagai suatu deret waktu (time series).

Plot Data @ UM

3

Plot Data berdasarkan waktu

Rata-rata curah hujan bulanan 2001 - 2004 di Stasiun

500

600

Padaherang

300

400

5

ah

hu

jan

200

300

nil

ai

cur

0

100

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

waktu (bulan ke-)

P St k tik

4

Proses Stokastik• Proses stokastik adalah barisan peubah acak {Yt , t T }

• Setiap proses stokastik memuat ruang keadaan S danindeks parameterTS : semua nilai yang mungkin dari YtS d T d t b il i di k it t k tiS danT dapat bernilai diskrit atau kontinu

• Contoh proses stokastik:a. Cuaca harian kota Bandung gb. Banyaknya trombosit/hari pasien demam berdarah

sejak ia terinfeksi c. Laju pertumbuhan populasi orang utan (% per tahun)d Waktu antara mekarnya bunga bangkai yang ke nd. Waktu antara mekarnya bunga bangkai yang ke-n

dengan bunga bangkai yang ke n+1

• Misal yt nilai dari Yt maka barisan nilai {yt , t T } disebutyt t {yt }realisasi dari {Yt , t T }

Ti S i

5

Time Series• Jika T : waktu, maka {Yt , t T } disebut time series• Realisasinya disebut data TS• Realisasinya disebut data TS• Studi berkaitan dengan TS disebut analisis TS• Permasalahan dalam analisis TS :

“Bagaimana menentukan model Yt sehingga model Bagaimana menentukan model Yt sehingga model tersebut dapat digunakan untuk forecasting (prakiraan di waktu mendatang)?? ”

• Secara umum, model TS dapat ditulisYt = f (.) + et (1)

Asumsi galat: et ~ N (0, 2) dan tidak berkorelasi

• Jika f linier dalam parameter-parameternya makapersamaan (1) disebut model linier TS

• Koleksi semua model linier TS dinamakan model • Koleksi semua model linier TS dinamakan model ARIMA(p,d,q) (Box-Jenkins, 1976)

C t h Ti S i

6

Contoh Time Series

9

Tingkat Pengangguran di AS Produksi Tembakau di ASP

erse

n

56

78

Mili

ar p

ound

s

000

1500

2000

Kuartal

0 20 40 60 80 100 120

34

Tahun

M

1880 1900 1920 1940 1960 1980

500

10

Kuartal Tahun

0080

000

Data Penjualan lynx pelts di Canada

118

Ukuran partikel setelahpenyemprotan pengharum ruangan

0000

4000

060

00

112

114

116

Tahun

1850 1860 1870 1880 1890 1900

20

Menit

0 100 200 300 400 500

110

7

Manfaat dan Tujuan TS

d lk d hi d dilih• Memodelkan data TS sehingga dapat dilihat perilaku data lebih lanjutMelakukan prediksi ke depan atau prakiraan • Melakukan prediksi ke depan atau prakiraan jangka pendek (short-time forecasting)

8

Beberapa Konsep Dasar dalam TSKestasioneranKestasioneran

TS {Y t T } t i jik t k ti t• TS {Yt , t T } stasioner jika untuk setiap t,1. E[Yt] = (konstan) 2 kov(Y Y ) = (tidak tergantung t )2. kov(Yt , Yt –k) = k (tidak tergantung t )

• Secara visual data TS {Y t T } stasioner• Secara visual, data TS {Yt , t T } stasionerjika data TS berfluktuasi di sekitar rataannyadengan variansi konstang

9

Beberapa Konsep Dasar dalam TSACF fungsi autokorelasiACF, fungsi autokorelasi• ACF (fungsi autokorelasi) : fungsi antara lag

k dan dengan = corr (Y Y )k dan k dengan, k = corr (Yt ,Yt –k).ACF sampel:

1( )( )

n

t t kt k

Y Y Y Y1

2

1( )

t kk n

tt

rY Y

rk = 0 (secara signifikan) jika1 11 96 1 96 1,96 1,96krn n

10

Beberapa Konsep Dasar dalam TSPACF fungsi parsial autokorelasiPACF, fungsi parsial autokorelasi• PACF (fs. autokorelasi parsial) : fungsi antara lag k

dengan kk di mana kk = corr (Yt , Yt –k) setelah pengaruhg kk kk ( t , t k) p gY1 , Y2, …, Yk-1 ditiadakan.

• PACF dapat didefinisikan juga sebagai koefiesien suku• PACF dapat didefinisikan juga sebagai koefiesien sukuterakhir dari regresi Yt dengan Y1 , Y2, …, Yk.

Artinya jika Y = + Y + Y + + kY k maka PACF Artinya, jika Yt = +1Yt-1 + 2Yt-2 + … + kYt-k maka PACF sampel untuk lag k = taksiran dari k.atau

0 ( i ifik ) jikˆ ˆkk k

1 1ˆ1 96 1 96= 0 (secara signifikan) jikakk 1,96 1,96kkn n

C t h ACF d PACF d g SPSS

11

Contoh ACF dan PACF dengan SPSS8000

number of blowfly

6000

ber

of b

low

fly

1.0

0.5

0.0ACF

Lower ConfidenceLimit

Upper Confidence LimitCoefficient

4000

2000

num

b

16151413121110987654321

Lag Number

-0.5

-1.0

81

79

77

75

73

71

69

67

65

63

61

59

57

55

53

51

49

47

45

43

41

39

37

35

33

31

29

27

25

23

21

19

17

15

13

11

97531

Sequence number1.0

0.5

Lower ConfidenceLimit

Upper Confidence LimitCoefficient

number of blowfly

Dari menu SPSS, pilihGraphs

0.0

-0.5

Parti

al AC

F

pTime Series

Autocorrelations...pilih variabel yang akandihit ACF d PACF

16151413121110987654321

Lag Number

-1.0dihitung ACF dan PACF-nya

OK

Model-model Time Series

12

Model model Time SeriesUntuk TS Stasioner

1. Autoregresi (AR) : “regresi terhadap TS yg lalu & galatsekarang”sekarang

AR(1): Yt = +1Yt-1 +et , di mana 1<1<1AR(2): Yt = +1Yt-1 + 2Yt-2 + et ,

di mana 1<2<1, 2+1<1, 2-1<1 AR(p): Yt = +1Yt-1 + 2Yt-2 + … + pYt-p + et

2. Moving Average (MA) : “regresi terhadap galat yang laludan galat sekarang”

MA(1): Yt = + et – 1et -1 , di mana 1<1<1MA(2): Yt = + et – 1et -1 – 2et -2

di mana 1<2<1, 2+1<1, 2-1<1 MA(q): Yt = + et – 1et 1 – 2et 2 - … – qet q(q) t t 1 t-1 2 t -2 q t –q

13

Model-model Time SeriesUntuk TS StasionerUntuk TS Stasioner3. Autoregresi-Moving Average (ARMA)

“regresi terhadap TS yang lalu dan semua galat”g p y g gARMA(1,1): Yt = +1 Yt-1 +et – 1et -1ARMA(p,q): Z = +( Y + + Y ) +(e e e )Zt = +(1 Yt-1 + … + p Yt-p ) +(et – 1et -1 –… – qet -q )

Catatan: AR(p) = ARMA(p,0), MA(q) = ARMA(0,q)

14

Model-model Time SeriesUntuk TS tidak StasionerUntuk TS tidak Stasioner• Misal TS {Yt } tidak stasioner.

Buat TS baru yg stasioner sebut {Z } dengan caraBuat TS baru yg stasioner, sebut {Zt } dengan caradiferensi, yaitu Zt = Yt – Yt-1, untuk setiap t.

• Maka“ARMA(p,q) untuk {Zt} disebut ARIMA (p,1,q) untuk{Zt }”

• Jika diferensi dilakukan d kali, ditulis ARIMA(p,d,q)• Catatan: ARMA(p,q) = ARIMA (p,0,q)

15

Metode Box JenkinsTahap awal:Pemeriksaan kestasioneran:- Plot TS- Jika stasioner, lanjutkan ke “tiga tahap iteratif”.

Jika tidak lakukan transformasi atau diferensiTiga tahap iteratif :1. Identifikasi2 Penaksiran parameter2. Penaksiran parameter3. Uji diagnostik (pemeriksaan asumsi sisa)Jika pada uji diagnostik, ada asumsi yang dilanggar

l i l i 3 t h it tifulangi lagi 3 tahap iteratif

Id tifik i

16

IdentifikasiModel ACF PACFAR(p) Menurun secara

eksponensial atau membentuk gelombang sinus

Cut off setelah lag p

teredam

MA(q) Cut off setelah lag q Menurun secaraeksponensial ataueksponensial ataumembentuk gelombang sinus teredam

• Mengidentifikasi orde (p,q) model ARMA melalui kriteriaAkaike (AIC)

AIC n log + 2m , m = # parameter• Hitung nilai AIC untuk setiap (p,q). Orde yang dipilih adalah

(p,q) dengan nilai AIC yang paling kecil

P k i P t

17

Penaksiran Parameter• Metode: - Kuadrat terkecil (untuk model AR)

M k i lik lih d- Maksimum likelihood- Melard (digunakan SPSS)

C h k i l l i SPSS• Contoh penaksiran parameter melalui SPSSDari menu, pilih Analyze Forecasting Create Models ... Pilih nama TS sebagai Dependent variable Masukkan orde model ARIMA

Uji Di g i

18

Uji DiagnosisIngat asumsi galat: et ~ N (0,2) dan tidak berkorelasiPengujian asumsi:Pengujian asumsi:Cara 1:• Plot sisaan

berfluktuasi di sekitar 0 E[et ] = 0berfluktuasi di sekitar 0 E[et ] 0nilai sisaan di sekitar 1,96 Var(et) = 2

• plot ACF serta plot PACF-nyark dan signifikan 0 sisaan “tidak berkorelasi”

2

kkk gCara 2: Uji Ljung-Box• Uji “H0: korelasi antar sisaan = 0” dengan statistik Ljung-Box

2*

h r

kk

• Jika Q * > 2, dengan = h – m dan m = # parameter, maka H0

*

1( 2) k

k

rQ n nn k

ditolak

19

Contoh

• Hasil produksi bulanan perkebunan teh di lokasi PAL tahun 1992 2009 (T = 216)PAL tahun 1992-2009 (T = 216)

Produksi teh "PAL" 1992-2009

Produksi teh "PAL" 1992-2009

150000

200000

250000

300000

uk

si t

eh

100000

150000

eh

diferensi 1 kali

0

50000

100000

150000

0 50 100 150 200

pro

du

-50000

0

50000

0 50 100 150 200pro

du

ksi

te

0 50 100 150 200

bulan ke--100000

bulan ke-

Contoh

20

Contoh Sari Numerik Data

Data perkebunan teh PAL Data perkebunan teh PAL (diff 1 kali)

Mean 133793.6Standard Error 2488.531Median 136781

Data perkebunan teh PAL (diff 1 kali)

Mean 455.7023Standard Error 2407.674

Median 136781Mode #N/AStandard Deviation 36573.79Sample Variance 1.34E+09

Median ‐1515Mode ‐15033Standard Deviation 35303.43Sample Variance 1.25E+09p

Kurtosis 0.222436Skewness ‐0.07241Range 218458Mi i 36305

Sample Variance 1.25E 09Kurtosis 1.855309Skewness 0.701741Range 216395Mi i 81536Minimum 36305

Maximum 254763Sum 28899412Count 216

Minimum ‐81536Maximum 134859Sum 97976Count 215Count 216

21

ContohIdentifikasi • ACF menurun Identifikasi • ACF menurun

seperti gelombang sinus teredam sedangkan PACF cut off setelah lag-1.

• Model yang Model yang mungkin adalah AR(1)

ACF cut off setelah lag-1 sedangkanPACF juga seperti cut off setelah lag 1 cut off setelah lag-1.

Ada beberapa model yang mungkin, seperti ARIMA(1,1,1)( , , )

ContohPenaksiran dan Uji DiagnostikPenaksiran dan Uji Diagnostik

AR

(1)

1134113,420 0,535 t t tY Y eDiperoleh AR(1) :

1,1,

1)A

RIM

A (

1

22 1 119,205 0,434 0,934 t t t tZ Z e eDiperoleh ARIMA(1,1,1) :

Contoh23

Kesimpulan• Berdasarkan hasil Ljung-Box, dimana pada model

AR(1) H ditolak (sisaan berkorelasi) untuk semua AR(1) H0 ditolak (sisaan berkorelasi) untuk semua 1% 10%, sedangkan ARIMA(1,1,1) tidak ditolak untuk <1,7%.Ol h k it d l ARIMA( ) bi di • Oleh karena itu model ARIMA(1,1,1) bisa dianggap lebih cocok (dengan sisaan yang tidak berkorelasi) sehingga dapat digunakan untuk melakukan short-ti f t d k time forecast dengan menggunakan persamaan :

1 119,205 0,434 0,934 t t t tZ Z e e1 1

1 1 1

, , ,

19,205 0,434( ) 0,934

19 205 1 434 0 434 0 934

t t t t

t t t t tY Y Y Y e

Y Y Y e1 1 119,205 1,434 0,434 0,934 t t t tY Y Y e

Referensi B G E P d J ki G M ( ) Ti S i • Box, G. E. P. dan Jenkins, G. M. (1976): Time Series Analysis: Forecasting & Control, Holden-Day Inc., San Fransisco

• Cryer, J. D. dan Chan, K. S. (2008): Time Series Analysis with Applications in R, Springer, New York.

24