PengenalanAnalisis Deret Waktu (Time Series Analysis)

MA 2081 Statistika Dasar

( y )

MA 2081 Statistika Dasar30 April 2012

Utriweni MukhaiyarUtriweni Mukhaiyar

IlustrasiIlustrasi Berikut adalah data rata-rata curah hujan bulanan yang diamati dari Stasiun Padaherang pada tahun 2001 – 2004.

Sumber : Modul 3 Praktikum Mekanika Medium Kontinu “ Medan Gravitasi”

Tahun Jan Feb Mar Apr Mei Jun Jul Agust Sep Okt Nop Desa u Ja eb a p e Ju Ju gust Sep O t op es2001 278.59 279.78 355.29 241.34 115.9 176.9 55.32 29.08 43.82 313.68 508.49 267.822002 299.78 245.88 266.64 185.27 122.22 133.1 76.78 32.4 26.09 169.05 461.62 415.732003 425.21 370.8 300.23 157.43 184.96 69.93 23.28 14.39 17.86 275.23 433.23 456.022004 547.8 308.2 388 93 297 128 47 5 87 105 389 371.6

Apabila nilai curah hujan saat ini dianggap dipengaruhi oleh rata-p j gg p p grata curah hujan kemarin dst, maka data rata-rata curah hujan di atas dapat dikategorikan sebagai suatu deret waktu (time series).

2

Plot Data berdasarkan waktu

Rata-rata curah hujan bulanan 2001 - 2004 di Stasiun Padaherang

500

600

300

400

urah

huj

an

100

200nila

i cu

0

100

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

@ UM3

waktu (bulan ke-)

Proses StokastikProses Stokastik Proses stokastik adalah barisan peubah acak {Yt , t T }

Setiap proses stokastik memuat ruang keadaan S danindeks parameterTS : semua nilai yang mungkin dari YtS d T d t b il i di k it t k tiS danT dapat bernilai diskrit atau kontinu

Contoh proses stokastik:a. Cuaca harian kota Bandung gb. Banyaknya trombosit/hari pasien demam berdarah

sejak ia terinfeksi c. Laju pertumbuhan populasi orang utan (% per tahun)d Waktu antara mekarnya bunga bangkai yang ke nd. Waktu antara mekarnya bunga bangkai yang ke-n

dengan bunga bangkai yang ke n+1

Misal yt nilai dari Yt maka barisan nilai {yt , t T } disebut

4

yt t {yt }realisasi dari {Yt , t T }

Time SeriesTime Series Jika T : waktu, maka {Yt , t T } disebut time series Realisasinya disebut data TS Realisasinya disebut data TS Studi berkaitan dengan TS disebut analisis TS Permasalahan dalam analisis TS :

“Bagaimana menentukan model Yt sehingga model Bagaimana menentukan model Yt sehingga model tersebut dapat digunakan untuk forecasting (prakiraan di waktu mendatang)?? ”

Secara umum, model TS dapat ditulisYt = f (.) + et (1)

Asumsi galat: et ~ N (0, 2) dan tidak berkorelasi

Jika f linier dalam parameter-parameternya makapersamaan (1) disebut model linier TS

Koleksi semua model linier TS dinamakan model

5

Koleksi semua model linier TS dinamakan model ARIMA(p,d,q) (Box-Jenkins, 1976)

Contoh Time SeriesContoh Time Series

9

Tingkat Pengangguran di AS Produksi Tembakau di ASP

erse

n

56

78

Mili

ar p

ound

s

000

1500

2000

Kuartal

0 20 40 60 80 100 120

34

Tahun

M

1880 1900 1920 1940 1960 1980

500

10

Kuartal Tahun

0080

000

Data Penjualan lynx pelts di Canada

118

Ukuran partikel setelahpenyemprotan pengharum ruangan

0000

4000

060

00

112

114

116

6Tahun

1850 1860 1870 1880 1890 1900

20

Menit

0 100 200 300 400 500

110

Manfaat dan Tujuan TSManfaat dan Tujuan TS

d lk d h d d l h l k d Memodelkan data TS sehingga dapat dilihat perilaku data lebih lanjut

Melakukan prediksi ke depan atau prakiraan jangka pendek Melakukan prediksi ke depan atau prakiraan jangka pendek (short-time forecasting)

7

Beberapa Konsep Dasar dalam TSK t iKestasioneran

TS {Yt , t T } stasioner jika untuk setiap t,1. E[Yt] = (konstan) t2. kov(Yt , Yt –k) = k (tidak tergantung t )

Secara visual, data TS {Yt , t T } stasionerjika data TS berfluktuasi di sekitarrataannya dengan variansi konstan

8

Beberapa Konsep Dasar dalam TSACF f i t k l iACF, fungsi autokorelasi ACF (fungsi autokorelasi) : fungsi antara

lag k dan k dengan, k = corr (Yt ,Yt –k).ACF sampel:

1( )( )

n

t t kt k

Y Y Y Y1

2

1( )

t kk n

tt

rY Y

rk = 0 (secara signifikan) jika1 11 96 1 96

9

1,96 1,96krn n

Beberapa Konsep Dasar dalam TSPACF f i i l t k l iPACF, fungsi parsial autokorelasi PACF (fs. autokorelasi parsial) : fungsi antara lag k

d di (Y Y ) t l hdengan kk di mana kk = corr (Yt , Yt –k) setelahpengaruh Y1 , Y2, …, Yk-1 ditiadakan.

PACF dapat didefinisikan juga sebagai koefiesien sukuterakhir dari regresi Yt dengan Y1 , Y2, …, Yk.

Artinya, jika Yt = +1Yt-1 + 2Yt-2 + … + kYt-k makaPACF sampel untuk lag k = taksiran dari k.

t ˆ ˆ atau

= 0 (secara signifikan) jika

kk k

1 1ˆ1,96 1,96kk

10

0 (secara signifikan) jikakk 1,96 1,96kkn n

C t h ACF d PACF d g SPSSContoh ACF dan PACF dengan SPSS

8000

number of blowfly

6000

ber

of b

low

fly

1.0

0.5

0.0ACF

Lower ConfidenceLimit

Upper Confidence LimitCoefficient

4000

2000

num

b

16151413121110987654321

Lag Number

-0.5

-1.0

81

79

77

75

73

71

69

67

65

63

61

59

57

55

53

51

49

47

45

43

41

39

37

35

33

31

29

27

25

23

21

19

17

15

13

11

97531

Sequence number1.0

0.5

Lower ConfidenceLimit

Upper Confidence LimitCoefficient

number of blowfly

Dari menu SPSS, pilihGraphs

0.0

-0.5

Parti

al AC

F

pTime Series

Autocorrelations...pilih variabel yang akandihit ACF d PACF

11

16151413121110987654321

Lag Number

-1.0dihitung ACF dan PACF-nya

OK

Model-model Time SeriesUntuk TS Stasioner1. Autoregresi (AR) : “regresi terhadap TS yg lalu & galat

sekarang”sekarangAR(1): Yt = +1Yt-1 +et , di mana 1<1<1AR(2): Yt = +1Yt-1 + 2Yt-2 + et ,

di mana 1<2<1, 2+1<1, 2-1<1 AR(p): Yt = +1Yt-1 + 2Yt-2 + … + pYt-p + et

2. Moving Average (MA) : “regresi terhadap galat yang laludan galat sekarang”

MA(1) Y di 1 1MA(1): Yt = + et – 1et -1 , di mana 1<1<1MA(2): Yt = + et – 1et -1 – 2et -2

di mana 1<2<1, 2+1<1, 2-1<1

12

2 , 2 1 , 2 1

MA(q): Yt = + et – 1et-1 – 2et -2 - … – qet –q

Model-model Time SeriesUntuk TS Stasioner3. Autoregresi-Moving Average (ARMA)

“ h d S l l d l ”“regresi terhadap TS yang lalu dan semua galat”ARMA(1,1): Yt = +1 Yt-1 +et – 1et -1

ARMA(p,q): ARMA(p,q): Zt = +(1 Yt-1 + … + p Yt-p ) +(et – 1et -1 –… – qet -q )

Catatan: AR(p) = ARMA(p,0), MA(q) = ARMA(0,q)

13

Model-model Time SeriesUntuk TS tidak Stasioner Misal TS {Yt } tidak stasioner.

Buat TS baru yg stasioner, sebut {Zt } dengan caradiferensi, yaitu Zt = Yt – Yt-1, untuk setiap t.

Maka Maka“ARMA(p,q) untuk {Zt} disebut ARIMA (p,1,q) untuk {Zt }”t

Jika diferensi dilakukan d kali, ditulisARIMA( d )ARIMA(p,d,q)

Catatan: ARMA(p,q) = ARIMA (p,0,q)

14

Metode Box JenkinsMetode Box JenkinsTahap awal:Pemeriksaan kestasioneran:Pemeriksaan kestasioneran:- Plot TS- Jika stasioner, lanjutkan ke “tiga tahap iteratif”.

Jik tid k l k k t f i t dif iJika tidak lakukan transformasi atau diferensiTiga tahap iteratif :1 Identifikasi1. Identifikasi2. Penaksiran parameter3. Uji diagnostik (pemeriksaan asumsi sisa)

Jika pada uji diagnostik, ada asumsi yang dilanggarulangi lagi 3 tahap iteratif

15

IdentifikasiIdentifikasiModel ACF PACFAR(p) Menurun secara

eksponensial atau membentuk gelombang sinus

Cut off setelah lag p

teredam

MA(q) Cut off setelah lag q Menurun secaraeksponensial ataueksponensial ataumembentuk gelombang sinus teredam

Mengidentifikasi orde (p,q) model ARMA melalui kriteriaAkaike (AIC)

AIC n log + 2m , m = # parameter

16

Hitung nilai AIC untuk setiap (p,q). Orde yang dipilih adalah(p,q) dengan nilai AIC yang paling kecil

Penaksiran ParameterPenaksiran Parameter Metode: - Kuadrat terkecil (untuk model AR)

M k i lik lih d- Maksimum likelihood- Melard (digunakan SPSS)

Contoh penaksiran parameter melalui SPSSDari menu, pilih Analyze Forecasting Create Models ... Pilih nama TS sebagai Dependent variable Pilih nama TS sebagai Dependent variable Masukkan orde model ARIMA

17

Uji DiagnosisUji DiagnosisIngat asumsi galat: et ~ N (0,2) dan tidak berkorelasiP ji iPengujian asumsi:Cara 1: Plot sisaan

berfluktuasi di sekitar 0 E[et ] = 0nilai sisaan di sekitar 1,96 Var(et) = 2

plot ACF serta plot PACF-nya

2

ˆrk dan signifikan 0 sisaan “tidak berkorelasi”Cara 2: Uji Ljung-Box Uji “H0: korelasi antar sisaan = 0” dengan statistik Ljung-Box

kk

j 0 g j g

Jika Q * > 2 dengan = h – m dan m = # parameter maka H0

2*

1( 2)

hk

k

rQ n nn k

18

Jika Q > , dengan h m dan m # parameter, maka H0ditolak

ContohContoh Hasil produksi bulanan perkebunan teh di lokasi PAL tahun

1992-2009 (T = 216)

Produksi teh "PAL" 1992 2009

250000

300000

Produksi teh "PAL" 1992-2009

100000

150000

Produksi teh "PAL" 1992-2009diferensi 1 kali

100000

150000

200000

pro

duk

si te

h

0

50000

100000

0 50 100 150 200pro

duk

si te

h

0

50000

0 50 100 150 200

bulan ke-

-100000

-50000

0 50 100 150 200

bulan ke-

19

bulan ke-

Contoh Sari Numerik Data

Data perkebunan teh PAL Data perkebunan teh PAL (diff 1 kali)

Mean 133793.6Standard Error 2488.531Median 136781

Data perkebunan teh PAL (diff 1 kali)

Mean 455.7023Standard Error 2407.674

Median 136781Mode #N/AStandard Deviation 36573.79Sample Variance 1.34E+09

Median ‐1515Mode ‐15033Standard Deviation 35303.43Sample Variance 1.25E+09p

Kurtosis 0.222436Skewness ‐0.07241Range 218458Mi i 36305

Sample Variance 1.25E 09Kurtosis 1.855309Skewness 0.701741Range 216395Mi i 81536Minimum 36305

Maximum 254763Sum 28899412Count 216

Minimum ‐81536Maximum 134859Sum 97976Count 215

20

Count 216

ContohIdentifikasi

ACF menurun seperti ACF menurun seperti gelombang sinus teredam sedangkan PACF cut off setelah lag-1.g

Model yang mungkin adalah AR(1)

ACF cut off setelah lag-1 sedangkan PACF juga seperti cut off j g p ffsetelah lag-1.

Ada beberapa model yang mungkin, seperti

21

gARIMA(1,1,1)

ContohPenaksiran dan Uji Diagnostik

AR

(1)

1134113,420 0,535 t t tY Y eDiperoleh AR(1) :

,1,1

)A

RIM

A (1

221 119,205 0,434 0,934 t t t tZ Z e eDiperoleh ARIMA(1,1,1) :

ContohKesimpulan Berdasarkan hasil Ljung-Box, dimana pada model AR(1) H0

dit l k ( i b k l i) t k 1% 10% ditolak (sisaan berkorelasi) untuk semua 1% 10%, sedangkan ARIMA(1,1,1) tidak ditolak untuk <1,7%.

Oleh karena itu model ARIMA(1,1,1) bisa dianggap lebih ( , , ) gg pcocok (dengan sisaan yang tidak berkorelasi) sehingga dapat digunakan untuk melakukan short-time forecast dengan menggunakan persamaan :menggunakan persamaan :

1 119,205 0,434 0,934 t t t tZ Z e e1 1

1 1 1

, , ,

19,205 0,434( ) 0,934

19 205 1 434 0 434 0 934

t t t t

t t t t tY Y Y Y e

Y Y Y e

23

1 1 119,205 1,434 0,434 0,934 t t t tY Y Y e

Referensi Referensi

B G E P d J ki G M ( ) Ti S i • Box, G. E. P. dan Jenkins, G. M. (1976): Time Series Analysis: Forecasting & Control, Holden-Day Inc., San Fransisco

• Cryer, J. D. dan Chan, K. S. (2008): Time Series Analysis with Applications in R, Springer, New York.

24