persamaan-diferensial-linier-homogen-orde-2.rtf

7/23/2019 PERSAMAAN-DIFERENSIAL-LINIER-HOMOGEN-ORDE-2.rtf

1/18

PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER HOMOGENORDE 2

Oleh: Ir. Sigit

Kusmara!t"# M.E!ghtt$:%%sigit&us'u(.a).i*

Pe!ga!tar:

Persamaan Diferensial Linier Homogen Orde 2 menjadi dasar penyelesaian

persamaan diferensial orde n . Modul ini membahas dasar dasar penyelesaian

Persamaan Diferensial Homogen Linier Orde 2 yang dilanjutkan pada PD Linier

Homogen orde-n. Isi modul ini !etakbebasan Linier Himpunan "ungsi#

Determinan $ronski# Prinsip %uperposisi# PD Linier Homogen !oe&sien !onstanta#

Persamaan Diferensial Linier Homogen Orde -2# Persamaan 'au(hi-)uler# PDLinier Homogen Orde n.

+u,ua! I!stru&si"!al -mum:

%etelah mengikuti modul ini mahasis*a diharapkan mampu memahamiPersamaan Diferensial Linier Orde -2

./ Persamaa! Di0ere!sial Li!ier H"m"ge!

+u,ua! I!stru&si"!al Khusus:

o Mahasis*a dapat memahami konsep ketakbebasan linier danprinsip superposisio Mahasis*a dapat menghitung determinan$ronskio Mahasis*a dapat menentukan akar Persamaan!arakteristik o Mahasis*a dapat menyelesaiakanPersamaan 'au(hy-)uler o Mahasis*a dapatmenyelesaiakan PD Homogen Orde-n

+entuk umum PD Linier orde-nadalah

1 1

341 34 5 34

34 34 1 3434

PD yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk di atas dikatakan tidak linier.

'ontoh

adalah PD Linier orde 2

adalah PD ,ak-Linier orde 2

%elanjutnya pembahasan penyelesaian PD Linier orde-n dalam modul ini dimulaipada PD Linier Orde-2# yang kemudian dibuat kasus umum untuk penyelesaian

PD orde-n.ntuk menyelesaikan PD Linier berbentuk

/D0y 1 "/0 dengan "/0 34#

kita misalkan 5(/0 adalah solusi umum PD homogen dari /D0y14# maka

1 6 2 5 1 65


2/18

penyelesaian umum PD Linier adalah dengan menjumlahkan penyelesaian umumPD homogen dan penyelesaian khusus# yaitu

5 7)384 1 7$384'ontoh

%olusi umum PD homogen /D2-6D720y14 adalah y1(8e7(2e

2dan solusi khusus

PD /D2-6D720y192 adalah 227:7;# maka solusi umum PD lengkap


3/18

././ Keta&(e(asa! Li!ierHimpunan n fungsi y8/0# y2/0# =# yn/0 dikatakan takbebas linier pada suatuselang jika ada n

konstanta (8# (2# =# (nyang tidak semua nol# sehingga berlaku

(8y8/07 (2y2/07 =7 (nyn/0 1

4

jika tidak maka himpunan fungsi tersebut dikatakan bebas linier.

'ontoh 8

2e6# >e6#e-9takbebas linier pada suatu selang karena dapat ditentukan

konstanta (8# (2# (6yang tidak semua nol sehingga

(8/2e607 (2/>e

607(6/e-90 1 4 dengan (81-># (212# (614

'ontoh 2

edan eadalah bebas linier karena (8/e07 (2/e

014 hanya jika (814# (214

Latihan soal

8. ,unjukkan bah*a himpunan fungsi berikut bebas linier?

34 # 34 #

#34 # 342. ,unjukkan bah*a himpunan fungsiberikut tak-bebas linier?

34 # 34 #

34 2# 6 34 # 9

./.2 Determi!a! r"!s&iHimpunan fungsi y8/0# y2/0# =# yn/0 /yang mempunyai turunan0 adalah bebas linier pada suatuselang jika determinan

34 34 34

3 # # # 4 5

34 34

34

;


4/18

< 2

/ 6 # / 1 # /

6

'ontoh 2

,unjukkan himpunanfungsi

adalah takbebas linier untuksemua nilai ?

Penyelesaian

(1) kita dapat menunjukkan dengan memilih konstanta (8# (2# (6 yang tidak semuanya nol sehingga (8/8-07(2/8707(6/8 /6-6014##/1# /jika6 ditentukan (818# (21-8# (614 maka 8--8-7414# sehingga himpunan fungsi adalah takbebas linier.

/b0 kita juga dapat menghitung determinan$ronski-nya# yaitu

34 5

/ 6 / 1 / 6

6/ / 6

< < 2: Persamaa!au)h>Euler

+entuk umum persamaan 'au(hy-)uler-orde2 adalah 4 1 5

persamaan-diferensial-linier-homogen-orde-2.rtf

Documents