-
7/23/2019 PERSAMAAN-DIFERENSIAL-LINIER-HOMOGEN-ORDE-2.rtf
1/18
PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER HOMOGENORDE 2
Oleh: Ir. Sigit
Kusmara!t"# M.E!ghtt$:%%sigit&us'u(.a).i*
Pe!ga!tar:
Persamaan Diferensial Linier Homogen Orde 2 menjadi dasar penyelesaian
persamaan diferensial orde n . Modul ini membahas dasar dasar penyelesaian
Persamaan Diferensial Homogen Linier Orde 2 yang dilanjutkan pada PD Linier
Homogen orde-n. Isi modul ini !etakbebasan Linier Himpunan "ungsi#
Determinan $ronski# Prinsip %uperposisi# PD Linier Homogen !oe&sien !onstanta#
Persamaan Diferensial Linier Homogen Orde -2# Persamaan 'au(hi-)uler# PDLinier Homogen Orde n.
+u,ua! I!stru&si"!al -mum:
%etelah mengikuti modul ini mahasis*a diharapkan mampu memahamiPersamaan Diferensial Linier Orde -2
./ Persamaa! Di0ere!sial Li!ier H"m"ge!
+u,ua! I!stru&si"!al Khusus:
o Mahasis*a dapat memahami konsep ketakbebasan linier danprinsip superposisio Mahasis*a dapat menghitung determinan$ronskio Mahasis*a dapat menentukan akar Persamaan!arakteristik o Mahasis*a dapat menyelesaiakanPersamaan 'au(hy-)uler o Mahasis*a dapatmenyelesaiakan PD Homogen Orde-n
+entuk umum PD Linier orde-nadalah
1 1
341 34 5 34
34 34 1 3434
PD yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk di atas dikatakan tidak linier.
'ontoh
adalah PD Linier orde 2
adalah PD ,ak-Linier orde 2
%elanjutnya pembahasan penyelesaian PD Linier orde-n dalam modul ini dimulaipada PD Linier Orde-2# yang kemudian dibuat kasus umum untuk penyelesaian
PD orde-n.ntuk menyelesaikan PD Linier berbentuk
/D0y 1 "/0 dengan "/0 34#
kita misalkan 5(/0 adalah solusi umum PD homogen dari /D0y14# maka
1 6 2 5 1 65
-
7/23/2019 PERSAMAAN-DIFERENSIAL-LINIER-HOMOGEN-ORDE-2.rtf
2/18
penyelesaian umum PD Linier adalah dengan menjumlahkan penyelesaian umumPD homogen dan penyelesaian khusus# yaitu
5 7)384 1 7$384'ontoh
%olusi umum PD homogen /D2-6D720y14 adalah y1(8e7(2e
2dan solusi khusus
PD /D2-6D720y192 adalah 227:7;# maka solusi umum PD lengkap
-
7/23/2019 PERSAMAAN-DIFERENSIAL-LINIER-HOMOGEN-ORDE-2.rtf
3/18
././ Keta&(e(asa! Li!ierHimpunan n fungsi y8/0# y2/0# =# yn/0 dikatakan takbebas linier pada suatuselang jika ada n
konstanta (8# (2# =# (nyang tidak semua nol# sehingga berlaku
(8y8/07 (2y2/07 =7 (nyn/0 1
4
jika tidak maka himpunan fungsi tersebut dikatakan bebas linier.
'ontoh 8
2e6# >e6#e-9takbebas linier pada suatu selang karena dapat ditentukan
konstanta (8# (2# (6yang tidak semua nol sehingga
(8/2e607 (2/>e
607(6/e-90 1 4 dengan (81-># (212# (614
'ontoh 2
edan eadalah bebas linier karena (8/e07 (2/e
014 hanya jika (814# (214
Latihan soal
8. ,unjukkan bah*a himpunan fungsi berikut bebas linier?
34 # 34 #
#34 # 342. ,unjukkan bah*a himpunan fungsiberikut tak-bebas linier?
34 # 34 #
34 2# 6 34 # 9
./.2 Determi!a! r"!s&iHimpunan fungsi y8/0# y2/0# =# yn/0 /yang mempunyai turunan0 adalah bebas linier pada suatuselang jika determinan
34 34 34
3 # # # 4 5
34 34
34
;
-
7/23/2019 PERSAMAAN-DIFERENSIAL-LINIER-HOMOGEN-ORDE-2.rtf
4/18
< 2
/ 6 # / 1 # /
6
'ontoh 2
,unjukkan himpunanfungsi
adalah takbebas linier untuksemua nilai ?
Penyelesaian
(1) kita dapat menunjukkan dengan memilih konstanta (8# (2# (6 yang tidak semuanya nol sehingga (8/8-07(2/8707(6/8 /6-6014##/1# /jika6 ditentukan (818# (21-8# (614 maka 8--8-7414# sehingga himpunan fungsi adalah takbebas linier.
/b0 kita juga dapat menghitung determinan$ronski-nya# yaitu
34 5
/ 6 / 1 / 6
6/ / 6
< < 2: Persamaa!au)h>Euler
+entuk umum persamaan 'au(hy-)uler-orde2 adalah 4 1 5