1

TKS 4003 Matematika II

Persamaan Diferensial – Non Homogen –

(Differential: Non Homogen)

Dr. AZ

Jurusan Teknik Sipil

Fakultas Teknik

Universitas Brawijaya

Definisi

Fungsi F(x,y) disebut fungsi homogen bila terdapat n X R

sehingga berlaku F(kx,ky) = knF(x,y), dengan n disebut order

dari fungsi homogen F(x,y).

Jika syarat di atas tidak terpenuhi, maka disebut dengan PD non

Homogen yang mempunyai bentuk :

(ax + by + c)dx + (px + qy + r)dy = 0 (1)

dengan

a, b, c, p, q, r adalah konstanta.

2

Untuk menyelesaikan PD non Homogen tersebut, terlebih dahulu

harus diperhatikan kondisi yang mungkin terjadi, yaitu :

1. Jika 𝒂

𝒑≠

𝒃

𝒒≠

𝒄

𝒓 atau 𝒂𝒒 − 𝒃𝒑 ≠ 𝟎

2. Jika 𝒂

𝒑=

𝒃

𝒒≠

𝒄

𝒓 atau 𝒂𝒒 − 𝒃𝒑 = 𝟎

3. Jika 𝒂

𝒑=

𝒃

𝒒=

𝒄

𝒓= 𝒎

Definisi (lanjutan)

Kondisi 1

1. Jika 𝒂

𝒑≠

𝒃

𝒒≠

𝒄

𝒓 atau 𝒂𝒒 − 𝒃𝒑 ≠ 𝟎

𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 = 𝒖⟹ 𝒂 𝒅𝒙 + 𝒃 𝒅𝒚 = 𝒅𝒖

𝒑𝒙 + 𝒒𝒚 + 𝒓 = 𝒗 ⟹ 𝒑 𝒅𝒙 + 𝒒 𝒅𝒚 = 𝒅𝒗

𝒂 𝒅𝒙 + 𝒃 𝒅𝒚 = 𝒅𝒖 × 𝒒 ⟹ 𝒂𝒒 𝒅𝒙 + 𝒃𝒒 𝒅𝒚 = 𝒒 𝒅𝒖

𝒑 𝒅𝒙 + 𝒒 𝒅𝒚 = 𝒅𝒗 × 𝒃 ⟹ 𝒃𝒑 𝒅𝒙 + 𝒃𝒒 𝒅𝒚 = 𝒃 𝒅𝒗

𝒂𝒒 − 𝒃𝒑 𝒅𝒙 = 𝒒 𝒅𝒖 − 𝒃 𝒅𝒗

akan diperoleh dx :

𝒅𝒙 =𝒒 𝒅𝒖−𝒃 𝒅𝒗

𝒂𝒒−𝒃𝒑 (2)

3

Kondisi 1 (lanjutan)

Dengan cara eleiminasi yang sama, akan diperoleh dy :

𝒅𝒚 =𝒂 𝒅𝒗−𝒑 𝒅𝒖

𝒂𝒒−𝒃𝒑 (3)

Kemudian substitusikan nilai u, v pada Pers. 2 dan Pers. 3 ke

Pers. 1 (bentuk PD semula) :

𝒖 𝒅𝒙 + 𝒗 𝒅𝒚 = 𝟎

𝒖 𝒒 𝒅𝒖−𝒃 𝒅𝒗

𝒂𝒒−𝒃𝒑+ 𝒗

𝒂 𝒅𝒗−𝒑 𝒅𝒖

𝒂𝒒−𝒃𝒑= 𝟎

Kondisi 1 (lanjutan)

𝒖 𝒒 𝒅𝒖 − 𝒃 𝒅𝒗 + 𝒗 𝒂 𝒅𝒗 − 𝒑 𝒅𝒖 = 𝟎

𝒒𝒖 𝒅𝒖 − 𝒃𝒖 𝒅𝒗 + 𝒂𝒗 𝒅𝒗 − 𝒑𝒗 𝒅𝒖 = 𝟎

𝒒𝒖 − 𝒑𝒗 𝒅𝒖 + 𝒂𝒗 − 𝒃𝒖 𝒅𝒗 = 𝟎 (4)

→ PD Homogen

Setelah PD awal (Pers. 1) sudah terbentuk menjadi seperti

Pers. 4, maka penyelesaian selanjutnya dapat menggunakan

Penyelesaian PD Homogen.

4

Contoh Kondisi 1

Selesaikan PD berikut :

𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟒 𝒅𝒙 − 𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝟑 𝒅𝒚 = 𝟎

Penyelesaian :

𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟒 𝒅𝒙 − 𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝟑 𝒅𝒚 = 𝟎

𝒂

𝒑=

𝟏

−𝟐, 𝒃

𝒒=

𝟐

−𝟏, dan

𝒄

𝒓=

−𝟒

−𝟑

karena 𝒂

𝒑≠

𝒃

𝒒≠

𝒄

𝒓 , maka dapat diselesaikan untuk Kondisi 1.

Contoh Kondisi 1 (lanjutan)

𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟒 = 𝒖 ⟹ 𝒅𝒙 + 𝟐𝒅𝒚 = 𝒅𝒖

−𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝟑 = 𝒗 ⟹ −𝟐𝒅𝒙 − 𝒅𝒚 = 𝒅𝒗

𝟐𝒅𝒙 + 𝟒𝒅𝒚 = 𝟐𝒅𝒖

−𝟐𝒅𝒙 − 𝒅𝒚 = 𝒅𝒗 +

𝟑𝒅𝒚 = 𝟐𝒅𝒖 + 𝒅𝒗

akan diperoleh dy :

𝒅𝒚 =𝟐𝒅𝒖+𝒅𝒗

𝟑

𝒅𝒙 + 𝟐𝒅𝒚 = 𝒅𝒖

−𝟒𝒅𝒙 − 𝟐𝒅𝒚 = 𝟐𝒅𝒗 +

−𝟑𝒅𝒙 = 𝒅𝒖 + 𝟐𝒅𝒗

akan diperoleh dx :

𝒅𝒙 =−𝒅𝒖−𝟐𝒅𝒗

𝟑

5

Contoh Kondisi 1 (lanjutan)

𝒖 𝒅𝒙 + 𝒗 𝒅𝒚 = 𝟎

𝒖−𝒅𝒖−𝟐𝒅𝒗

𝟑+ 𝒗

𝟐𝒅𝒖+𝟐𝒅𝒗

𝟑= 𝟎

𝒖 −𝒅𝒖 − 𝟐𝒅𝒗 + 𝒗 𝟐𝒅𝒖 + 𝒅𝒗 = 𝟎

−𝒖 + 𝟐𝒗 𝒅𝒖 + −𝟐𝒖 + 𝒗 𝒅𝒗 = 𝟎 → PD Homogen

Kemudian diselesaikan dengan Penyelesaian PD Homogen :

−𝒖

𝒗+ 𝟐 𝒅𝒖 + −𝟐

𝒖

𝒗+ 𝟏 𝒅𝒗 = 𝟎

misal 𝒕 =𝒖

𝒗 ⟹ 𝒅𝒖 = 𝒗 𝒅𝒕 + 𝒕 𝒅𝒗

−𝒕 + 𝟐 𝒗 𝒅𝒕 + 𝒕 𝒅𝒗 + 𝟏 − 𝟐𝒕 𝒅𝒗 = 𝟎

Contoh Kondisi 1 (lanjutan)

−𝒕𝒗 𝒅𝒕 + 𝟐𝒗 𝒅𝒕 − 𝒕𝟐𝒅𝒗 + 𝟐𝒕 𝒅𝒗 + 𝒅𝒗 − 𝟐𝒕 𝒅𝒗 = 𝟎

𝒗 −𝒕 + 𝟐 𝒅𝒕 + 𝟏 − 𝒕𝟐 𝒅𝒗 = 𝟎

bagi dengan 𝒗 𝟏 − 𝒕𝟐

−𝒕+𝟐

𝟏−𝒕𝟐𝒅𝒕 +

𝟏

𝒗𝒅𝒗 = 𝟎

−𝒕+𝟐

𝟏−𝒕𝟐𝒅𝒕 +

𝟏

𝒗𝒅𝒗 = 𝑪𝟏

−𝒕+𝟐

𝟏−𝒕𝟐𝒅𝒕 + 𝒍𝒏 𝒗 = 𝒍𝒏 𝑪 , dengan 𝒍𝒏 𝑪 = 𝑪𝟏

6

Contoh Kondisi 1 (lanjutan)

dengan menggunakan Integral Fungsi Rasional, diperoleh :

−𝟏

𝟐𝒍𝒏 𝒕 + 𝟏 +

𝟑

𝟐𝒍𝒏 𝒕 − 𝟏 + 𝒍𝒏 𝒗 = 𝒍𝒏 𝑪

𝒍𝒏 − 𝒕 + 𝟏 −𝟏/𝟐 + 𝒕 − 𝟏 𝟑/𝟐 + 𝒗 = 𝒍𝒏 𝑪

− 𝒕 + 𝟏 −𝟏/𝟐 + 𝒕 − 𝟏 𝟑/𝟐 + 𝒗 = 𝑪

𝒕 − 𝟏 𝟑/𝟐 + 𝒗 = 𝑪 + 𝒕 + 𝟏 𝟏/𝟐

𝒕 − 𝟏 𝟑 + 𝒗𝟐 = 𝑪𝟐 + 𝒕 + 𝟏

Substitusi kembali 𝒕 =𝒖

𝒗 :

𝒖

𝒗− 𝟏

𝟑

+ 𝒗𝟐 = 𝑪𝟐 +𝒖

𝒗+ 𝟏

Kondisi 2

2. Jika 𝒂

𝒑=

𝒃

𝒒≠

𝒄

𝒓 atau 𝒂𝒒 − 𝒃𝒑 = 𝟎

Misal 𝒂

𝒑=

𝒃

𝒒= 𝒎 , maka 𝒂 = 𝒎𝒑 dan 𝒃 = 𝒎𝒒 , sehingga

apabila disubstitusi ke Pers. 1 akan diperoleh :

𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 𝒅𝒙 + 𝒑𝒙 + 𝒒𝒚+ 𝒓 𝒅𝒚 = 𝟎

𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 𝒅𝒙 + 𝒄 𝒅𝒙 + 𝒑𝒙 + 𝒒𝒚 + 𝒓 𝒅𝒚 = 𝟎

𝒎𝒑𝒙+𝒎𝒒𝒚 𝒅𝒙 + 𝒄 𝒅𝒙 + 𝒑𝒙 + 𝒒𝒚 + 𝒓 𝒅𝒚 = 𝟎

𝒎 𝒑𝒙+ 𝒒𝒚 𝒅𝒙 + 𝒄 𝒅𝒙 + 𝒑𝒙 + 𝒒𝒚 + 𝒓 𝒅𝒚 = 𝟎 (5)

7

Kondisi 2 (lanjutan)

ambil 𝒖 = 𝒑𝒙 + 𝒒𝒚 → 𝒅𝒖 = 𝒑 𝒅𝒙 + 𝒒 𝒅𝒚

𝒅𝒙 =𝒅𝒖−𝒒 𝒅𝒚

𝒑

Substitusi ke Pers. 5, diperoleh :

𝒎𝒖𝒅𝒖−𝒒 𝒅𝒚

𝒑+ 𝒄

𝒅𝒖−𝒒 𝒅𝒚

𝒑+ 𝒖 + 𝒓 𝒅𝒚 = 𝟎

𝒎𝒖 𝒅𝒖 − 𝒒 𝒅𝒚 + 𝒄 𝒅𝒖 − 𝒒 𝒅𝒚 + 𝒑 𝒖 + 𝒓 𝒅𝒚 = 𝟎

𝒎𝒖 𝒅𝒖 − 𝒒𝒎𝒖 𝒅𝒚 + 𝒄 𝒅𝒖 − 𝒒𝒄 𝒅𝒚 + 𝒑𝒖 𝒅𝒚 + 𝒑𝒓 𝒅𝒚 = 𝟎

Kondisi 2 (lanjutan)

𝒎𝒖 + 𝒄 𝒅𝒖 + 𝒑𝒖 + 𝒑𝒓 − 𝒒𝒎𝒖 − 𝒒𝒄 𝒅𝒚 = 𝟎

𝒎𝒖 + 𝒄 𝒅𝒖 + ( 𝒑 − 𝒒𝒎 𝒖 + 𝒑𝒓 − 𝒒𝒄 )𝒅𝒚 = 𝟎 (6)

Pers. 6, adalah bentuk PD yang peubahnya dapat dipisah.

8

Contoh Kondisi 2

Selesaikan PD berikut :

𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟓 𝒚′ + 𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟑 = 𝟎

Penyelesaian :

𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟓𝒅𝒚

𝒅𝒙+ 𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟑 = 𝟎

𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟓 𝒅𝒚 + 𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟑 𝒅𝒙 = 𝟎 → PD non Homogen

𝒂

𝒑=

𝟐

𝟏= 𝟐,

𝒃

𝒒=

−𝟒

−𝟐= 𝟐, dan

𝒄

𝒓=

𝟓

𝟑

karena 𝒂

𝒑=

𝒃

𝒒≠

𝒄

𝒓 , maka dapat diselesaikan untuk Kondisi 2.

Contoh Kondisi 2 (lanjutan)

𝟐 𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟓 𝒅𝒚 + (𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟑)𝒅𝒙 = 𝟎 (7)

ambil 𝒎 = 𝟐

𝒖 = 𝒙 − 𝟐𝒚 ⟹ 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 − 𝟐𝒅𝒚 ⟺ 𝒅𝒙 = 𝒅𝒖 + 𝟐𝒅𝒚

Substitusi ke Pers. 7 :

𝟐𝒖 𝒅𝒚 + 𝟓 𝒅𝒚 + 𝒖 + 𝟑 𝒅𝒖 + 𝟐 𝒅𝒚 = 𝟎

𝟐𝒖 𝒅𝒚 + + 𝒖 + 𝟑 𝒅𝒖 + 𝟐𝒖 𝒅𝒚 + 𝟔 𝒅𝒚 = 𝟎

𝟒𝒖 + 𝟏𝟏 𝒅𝒚 + 𝒖 + 𝟑 𝒅𝒖 = 𝟎

PD di atas adalah PD dengan peubah yang mudah dipisahkan,

sehingga dapat dibagi dengan 𝟒𝒖 + 𝟏𝟏 .

9

Contoh Kondisi 2 (lanjutan)

𝒅𝒚 +𝒖+𝟑

𝟒𝒖+𝟏𝟏𝒅𝒖 = 𝟎

𝒅𝒚 + 𝒖+𝟑

𝟒𝒖+𝟏𝟏𝒅𝒖 = 𝟎

𝒚 + 𝟒(𝒖+𝟑)

𝟒(𝟒𝒖+𝟏𝟏)𝒅𝒖 = 𝒄𝟏

𝒚 + 𝟏

𝟒

𝟒𝒖+𝟏𝟏

𝟒𝒖+𝟏𝟏+

𝟏

𝟒𝒖+𝟏𝟏𝒅𝒖 = 𝒄𝟏

𝒚 + 𝟏

𝟒𝒅𝒖 +

𝟏

𝟒

𝟏

𝟒𝒖+𝟏𝟏

𝒅(𝟒𝒖+𝟏𝟏)

𝟒= 𝒄𝟏

𝒚 +𝟏

𝟒𝒖 +

𝟏

𝟏𝟔𝒍𝒏(𝟒𝒖 + 𝟏𝟏) = 𝒄𝟏

Contoh Kondisi 2 (lanjutan)

Substitusi kembali 𝒖 = 𝒙 − 𝟐𝒚, diperoleh :

𝒚 +𝟏

𝟒𝒙 − 𝟐𝒚 +

𝟏

𝟏𝟔𝒍𝒏 𝟒 𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟏𝟏 = 𝒄𝟏

𝟏𝟔𝒚 + 𝟒𝒙 − 𝟖𝒚 + 𝒍𝒏 𝟒𝒙 − 𝟖𝒚 + 𝟏𝟏 = 𝟏𝟔𝒄𝟏

𝟖𝒚 + 𝟒𝒙 + 𝒍𝒏(𝟒𝒙 − 𝟖𝒚 + 𝟏𝟏) = 𝑪, dengan 𝑪 = 𝟏𝟔𝒄𝟏

10

Kondisi 3

3. Jika 𝒂

𝒑=

𝒃

𝒒=

𝒄

𝒓= 𝒎, sehingga :

𝒂 = 𝒎𝒑, 𝒃 = 𝒎𝒒 , dan 𝒄 = 𝒎𝒓 ,

dengan mensubstitusikan ke Pers. 1, diperoleh :

𝒎𝒑𝒙 +𝒎𝒒𝒚+𝒎𝒓 𝒅𝒙 + 𝒑𝒙 + 𝒒𝒚+ 𝒓 𝒅𝒚 = 𝟎

𝒎 𝒑𝒙 + 𝒒𝒚 + 𝒓 𝒅𝒙 + 𝒑𝒙 + 𝒒𝒚 + 𝒓 𝒅𝒚 = 𝟎

bagi dengan 𝒑𝒙 + 𝒒𝒚 + 𝒓

𝒎𝒅𝒙 + 𝒅𝒚 = 𝟎

Kondisi 3 (lanjutan)

dengan mengintegralkan kedua ruas, diperoleh :

𝒎 𝒅𝒙 + 𝒅𝒚 = 𝑪

Solusi : 𝒎𝒙+ 𝒚 = 𝑪

11

Contoh Kondisi 3

Selesaikan PD berikut :

𝟑𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟔 𝒅𝒙 + 𝒙 + 𝒚 + 𝟐 𝒅𝒚 = 𝟎

Penyelesaian :

𝟑(𝒙 + 𝒚 + 𝟐 )𝒅𝒙 + 𝒙 + 𝒚 + 𝟐 𝒅𝒚 = 𝟎

dengan mengambil 𝒎 = 𝟑 dan membagi kedua ruas dengan

𝒙 + 𝒚 + 𝟐 akan diperoleh :

𝟑 𝒅𝒙 + 𝒅𝒚 = 𝟎

𝟑 𝒅𝒙 + 𝒅𝒚 = 𝟎

𝟑𝒙 + 𝒚 = 𝑪

Latihan

1. (y + 1)dx + (2x − 3)dy = 0

2. (7y + 1)dx + (2x − 3)dy = 0

3. (x + 2y − 4)dx − (2x − 4y)dy = 0

4. (x + y + 1)dx + (3x + 2y + 2)dy = 0

5. (3x + 2y + 3)dx − (x + 2y − 1)dy = 0, y(0) = 1

6. (x + 7)dx + (2x + y + 3)dy = 0, y(0) = 1

7. (3x + 2y + 1)dx − (3x + 2y − 1)dy = 0

8. (x + y + 1)dx + (2x + 2y + 2)dy = 0

9. (2x − y + 1)dx + (4x − 2y + 3)dy = 0

10. (x + 3y +1)dx + (2x + 6y − 1)dy = 0

11. (x + y)dx + (3x + 3y − 4)dy = 0, y(1) = 0

12. (x + y + 2)dx − (x − y − 4)dy = 0, y(1) = 0

12

Terima kasih dan

Semoga Lancar Studinya!