modul 6_aplikasi pers diferensial

Berikut adalah beberapa fenomena sistem dinamik dalam fisika yang dapat dibuat formulasinya

dalam sistem persamaan diferensial biasa. Dalam bab ini akan dilakukan integrasi antara fisika

teoritik, simulasi numerik dan analisis eksperimen dari sistem dinamik dalam fisika.

Rangkaian RC adalah rangkaian yang terdiri atas hambatan, R dan kapasitor, C yang

dihubungkan dengan sumber tegangan DC. Ada dua proses dalam rangkaian RC yaitu:

Pengisian Muatan (Charge)

Gambar 6.1

Pada proses pengisian diasumsikan bahwa kapasitor mula-mula tidak bermuatan. Saat saklar

ditutup pada t = 0 dan muatan mengalir melalui resistor dan mengisi kapasitor. Berdasarkan

hukum Kirchhoff maka diperoleh:

METODE NUMERIK DAN VALIDASI EKSPERIMEN SIMULASI SISTEM FISIKA

Objektif: 1. Memahami pemodelan matematika sistem fisika 2. Memecahkan permasalahan fisika menggunakan metode numerik berbasis MATLAB 3. Membuat eksperimen sederhana untuk validasi hasil numerik dan teori.

PROBLEM 1. ANALISIS NUMERIK DAN EKSPERIMEN PENGISIAN DAN PENGOSONGAN KAPASITOR

Cq

Rdtdq 1 (6.1)

Jika persamaan diatas dianalisis maka diperoleh solusi eksak berikut

)1()1()( // RCRC eQeCtq (6.2)

Pelepasan Muatan (Discharge)

Gambar 6.2

Pada proses pelepasan muatan, potensial mula-mula kapasitor adalah CQVc / , sedangkan

potensial pada resistor sama dengan nol. Setelah t = 0, mulai tejadi pelepasan muatan dari

kapasitor. Berdasarkan hukum Kirchhoff maka diperoleh:

0dtdqR

Cq (6.3)

Jika persamaan diatas dianalisis maka diperoleh solusi eksak sebagai berikut:

RCQetq /)( (6.4)

Analisi Numerik Dalam analisis numerik, model persamaan matematis yang telah didapatkan dari sirkuit

RC, akan dicoba dengan cara komputasi yaitu menggunakan software MATLAB, Dengan

mengoperasikan persamaan persamaan tersebut pada MATLAB maka akan didapatkan output

gambar, yang mana dari output gambar tersebut terlihat dari plot grafik arus dan tegangan pada

kapasitor sebagai fungsi waktu ketika proses pengisian muatan dan proses terjadinya pelepasan

muatan.

File Fungsi

Output Pengisian muatan (Charge)

Gambar 3: Grafik Pengisian Kapasitor

Gambar 3 menunjukkan pada saat t=0 muatan pada kapasitor adalah kosong dan kemudian terus

menerus bertambah hingga menuju suatu nilai maksimum tertentu. Pada saat itu kapasitor akan

memiliki polarisasi muatan yang berlawanan dengan baterai. Perilaku arus listrik pada saat

pengisian kapasitor diperoleh dari penurunan persamaan sebelumnya. Dari gambar tersebut dapat

terlihat setelah terisi muatan, kapasitor memiliki arah polarisasi (positif-negatif) yang

berlawanan dengan baterai.

Output Pengosongan Kapasitor (Discharge)

Gambar 4: Grafik Pengosongan Kapasitor

Gambar 4 menunjukkan pelepasan muatan pada kapasitor, muatan berkurang setiap saat secara

eksponensial (turun menurut kurva fungsi eksponen) hingga akhirnya pada t tak hingga (sangat

lama) tidak ada muatan lagi dalam kapasitor. Pelepasan muatan dalam kapasitor terjadi ketika

baterai terisi penuh oleh muatan kemudian baterai dilepas.

Implementasi Simulasi Numerik

Simulasi Analog Sirkuit RC

Dengan menggunakan komponen kapasitor, sistem RC dapat menghasilkan arus naik

ketika pengisian dan arus akan mengalami penurunan ketika pelepasan muatan. Dari asumsi

tersebut dapat dibuat sirkuit analognya. Sedangkan untuk hasil simulasi dapat terlihat pada

gambar 6(a) dan b.

Gambar 5: Sirkuit dan Simulasi multiSIM Sirkuit RC

( a) (b)

Gambar 6: (a) Grafik Sirkuit Pengisian Muatan; (b) Grafik Sirkuit Pengosongan Muatan.

Hasil Scope Sirkuit RC

Eksperimen dilakukan dengan merangkai sirkuit pada gambar 7 kemudian diukur dengan

menggunakan software Scope untuk melihat kenaikan muatan atau penurunan muatan.

Gambar 7: Rangkaian Sirkuit RC

(a) (b)

Gambar 8: (a) Grafik Simulasi Scope Pengisian Muatan; (b) Grafik Simulasi Scope

Pengosongan Muatan.

Dari hasil eksperimen menggunakan software Scope, sirkuit RC memiliki hasil yang

kurang akurat. Dari diagram pengisian muatan yang dihasilkan terlihat arus mengalami penaikan

dari negatif dan konstan di titik nol. Akan tetapi untuk diagram pengosongan muatan yang

dihasilkan terlihat arus mengalami penurunan dari titik nol. Akan tetapi setelah dibandingkan

dengan hasil teori, dapat terlihat hasilnya sesuai ketika pengisian muatan tegangannya naik dan

arusnya turun dikarenakan nilai eksponensialnya negatif. Dan untuk pengosongan muatan

tegangan dan arus mengalami penurunan.

Gambar 6.3: Rangkaian RLC

PROBLEM 2. ANALISIS NUMERIK DAN EKSPERIMEN OSILASI TEREDAM PADA RANGKAIAN RLC

Dari rangkaian RLC seri diatas, kapasitor sebelumnya telah terisi penuh dengan muatan sebesar

Q0. setelah saklar tertutup maka arus mulai mengalir. Maka daya yang hilang pada resistor

sebesar

RIdt

dU 2 (6.5)

Sehingga persamaan umum untuk rangkaian seri RLC adalah

RIdtdILI

dtdQ

CQ 2 (6.6)

Karena besarnya arus sebanding dengan penurunan muatan kapasitor maka

02

2

CQ

dtdQR

dtQdL (6.7)

Dengan solusi umumnya adalah

)cos()( '0 teQtQ (6.8)

dimana

LR2

(6.9)

adalah faktor redaman.

dan

220

' (6.10)

Adalah frekuensi angular osilasi teredam.

Dan 0Q dan ditentukan oleh kondisi awal. Jika R = 0, maka frekuensi angular kembali

menjadi frekuensi osilasi harmonik sebesar.

LC/10 (6.11)

Terdapat tiga kondisi terkait osilasi teredam yaitu under damped, critically damped dan over

damped dengan kriteria sebagai berikut

Untuk under damping,

푅 < (6.12)

Untuk critically damping,

푅 = (6.13)

Untuk over damping,

푅 > (6.14)

Simulasi Numerik Menggunakan Matlab

Terdapat dua persamaan yang telah dibahas sebelumnya, yaitu persamaan diferensial

(pada persamaan (6.6)) dan persamaan dalam bentuk solusi eksak (pada persamaan (6.7)). Kita

akan menganalisis kedua persamaan tersebut. Persamaan (6.8) merupakan solusi persamaan

diferensial dalalm bentuk eksak yang telah diturunkan sehingga hanya mengandung satu variabel

yang berubah terhadap waktu.

Variasi Variabel RLC

Sama halnya dengan metode runge kutta, variasi variabel sangat diperlukan untuk menganalisis

perubahan tegangan atau muatan terhaap waktu.

Variasi Variabel Resistor

Variabel R divariasikan dengan nilai 0, 100, 328, 500, dan 700. Dengan file fungsi dan

file eksekusi yang mirip seperti diatas kita akan mendapatkan grafik dengan kondisi yang

berbeda-beda.

Grafik antara Tegangan Vc terhadap waktu t dengan

nilai Variabel L = 27 x 10-3, C = 1 x 10 -6, dan R = 0.







Grafik hubungan antara Tegangan Vc terhadap waktu t dengan nilai Variabel L = 27 x 10-3, C = 1 x 10 -6, dan R =

700.

Variasi Variabel Induktor

Variabel R divariasikan dengan nilai 0, 27, 50, 75, dan 100. Dengan file fungsi dan file

eksekusi yang mirip seperti diatas kita akan mendapatkan grafik dengan kondisi yang berbeda-

beda.


nilai Variabel R = 100, C = 1 x 10 -6, dan L = 0.


nilai Variabel R = 100, C = 1 x 10 -6, dan L = 27 x 10-3.


nilai variabel R = 100, C = 1 x 10 -6, dan L = 50 x 10-3.


nilai variabel R = 100, C = 1 x 10 -6, dan L = 75 x 10-3.

Grafik antara Tegangan Vc terhadap waktu t dengan nilai Variabel R = 100, C = 1 x 10 -6, dan L =100 x 10-3.

Variasi Variabel Kapasitor

Interval nilai kapasitor berkisar antara 10 nF sampai 10 mH. Dengan file fungsi dan file


beda.

Grafik hubungan antara Tegangan Vc terhadap waktu t

dengan nilai Variabel R = 100, L = 27 mH, , dan C =0.


dengan nilai R = 100, L = 27 mH, , dan C = 10 x 10 -9.





Grafik hubungan antara Tegangan Vc terhadap waktu t dengan nilai R = 100, L = 27 mH, , dan C = 10 x 10 -6.

Dari grafik diatas, dapat disimpulkan bahwa terjadi perbedaan antara solusi eksak dan

metode runge kutta. Analisis yang mendasar untuk memecahkan masalah ini kemungkinan besar

karena kekurangan solusi eksak yang hanya menggunakan metode pendekatan.

Hasil yang Mendekati Sistem Sebenarnya.

Data hasil dalam bentuk grafik dapat dianalisis dan dijadikan perbandingan agar tahu

mana yang lebih baik. Hasil analisis yang penulis lakukan lebih bagus menggunakan metode

runge kutta dibandingkan solusi eksak.

Solusi persamaan diferensial menggunakan Runge Kutta antara ode 2 dan 3

Dari persamaan () kita dapat menganalisis sistem rangkaian RLC dalam bentuk grafik

dengan menggunakan Matlab.

Penulisan Persamaan dalam Matlab

Karena persamaan () merupakan persamaan diferensial orde dua, maka perlu diubah

kedalam persamaan orde pertama dengan membuat variabel baru.

Dari persamaan (), kita pisahkan variabel yang mempunyai orde dua:

푑 휃푑푡 +

푅퐿푑푄푑푡 +

푄퐿퐶 = 0

Pindah ruas menjadi

푑 휃푑푡 = −

푅퐿푑푄푑푡 −

푄퐿퐶

Misal

푓(푋 ) =푑푄푑푡

Ubah dalam bentuk variabel

푓(푋 ) =푑푄푑푡 = 푋

Masukan ke persamaan ()

푑푋푑푡 = −

푅퐿 푋 −

푄퐿퐶

Jika

푓(푋 ) =푑푋푑푡

Maka

푓(푋 ) = −푅퐿 푋 −

푄퐿퐶

Langkah terakhir adalah pemisalan variabel yang berubah terhadap waktu

푋 = 푄

Sehingga

푓(푋 ) = −푅퐿 푋 −

푋퐿퐶

Membuat file fungsi

Langkah -langkah menuliskan persamaan () dalam bentuk script Matlab

1. Buat MFile baru dengan klik icon new script atau klik file > new > Script (Ctrl+N)

Gambar . membuat script baru

2. Membuat file fungsi dengan nama RLC

function fx = RLC(t,x)

3. Definisikan variabel dengan memasukan nilai

R=100; %nilai resistor

L=27e-3; %nilai Induktor

C=1e-6; %nilai Kapasitor

4. Buat memori untuk fx dalam bentuk matrik

fx=zeros(2,1); %memori fx dalam bentuk matrik 2x1 dengan

nilai [0 0]

5. Tuliskan persamaan ()

fx(1)=x(2); % dQ/dt = x(2)

fx(2)=(-R/L)*x(2)-x(1)/(L*C); % dX(2)/dt = fx(2)

6. Simpan file dalam sebuah folder dengan nama RLC.m

7. Hasil penulisan script

function fx = RLC(t,x)

R=100; %nilai resistor

L=27e-3; %nilai Induktor

C=1e-6; %nilai Kapasitor

fx=zeros(2,1); %memori fx dalam bentuk matrik 2x1

dengan nilai [0 0]

fx(1)=x(2); % dQ/dt = x(2)

fx(2)=(-R/L)*x(2)-x(1)/(L*C); % dX(2)/dt = fx(2)

Membuat file eksekusi

1. Buat MFile baru dengan klik icon new script atau klik file > new > Script (Ctrl+N)

2. Tuliskan clc, clear, dan close untuk membersihkan area, memori, dan objek

sebelumnya

clc % Mengosongkan layar (clear screen)

clear % menghapus memori dalam matlab

close % menghilangkan objek yang dibuat matlab

3. Masukan banyaknya waktu dengan variabel tspan

tspan=[0 0.004]; % Interval waktu / nilai sebesar t

4. Masukan kondisi awal

y0=[-1 -1]; % kondisi awal

5. Tuliskan perintah untuk menyelesaikan persamaan diferensial yang telah dibuat

(script ini menggunakan metode runge kutta ode 2 / 3)

[t,y]=ode23('RLC',tspan,y0); % solusi persamaan

diferensial RK 2/3

6. Membuat grafik

plot(t,y) % membuat grafik

xlabel('Waktu (t)') % nama sumbu x

ylabel('Tegangan Kapasitor (Vc)') % nama sumbu y

title('Osilasi Teredam Rangkaian RLC') % Nama grafik

7. Simpan dengan nama exe.m dan tempatkan tepat di folder yang sama dengan file

fungsi tadi (RLC.m)

8. Hasil penulisan script

clc % Mengosongkan layar (clear screen)

clear % menghapus memori dalam matlab

close % menghilangkan objek yang dibuat matlab

tspan=[0 0.004]; % Interval waktu / nilai sebesar t

y0=[-1 -1]; % kondisi awal

[t,y]=ode23('RLC',tspan,y0); % solusi persamaan

diferensial RK 2 / 3

plot(t,y) % membuat grafik

xlabel('Waktu (t)') % nama sumbu x

ylabel('Muatan (Q)') % nama sumbu y

title('Osilasi Teredam Rangkaian RLC') % Nama grafik

Output script

Jalankan file eksekusi dengan mengklik tombol run atau tekan F5. Setelah selesai

pembuatan script, selanjutnya memeriksa hasil output program, dan menganalisis hasilnya. Jika

tidak ada yang error akan muncul gambar seperti berikut:

Gambar . Hasil output program.

Variasi Variabel RLC

Gambar () merupakan grafik dengan nilai R,L, dan C yang ditentukan pada saat membuat

definisi variabel. Jika ingin menganalisis pengaruh nilai R, L, dan C pada sistem, maka harus

membuat nilai yang berbeda.


Variabel R divariasikan dengan nilai 0, 100, 328, 500, dan 700. Dengan file fungsi dan

file eksekusi yang mirip seperti diatas kita akan mendapatkan grafik dengan kondisi yang

berbeda-beda.









Grafik hubungan antara Tegangan Vc terhadap waktu t dengan nilai Variabel L = 27 x 10-3, C = 1 x 10 -6, dan R =

700.


Variabel R divariasikan dengan nilai 0, 27, 50, 75, dan 100. Dengan file fungsi dan file


beda.


nilai Variabel R = 100, C = 1 x 10 -6, dan L = 0.


nilai Variabel R = 100, C = 1 x 10 -6, dan L = 27 x 10-3.


nilai variabel R = 100, C = 1 x 10 -6, dan L = = 50 x 10-3.


nilai variabel R = 100, C = 1 x 10 -6, dan L = = 75 x 10-3.

Grafik antara Tegangan Vc terhadap waktu t dengan nilai Variabel R = 100, C = 1 x 10 -6, dan L = =100 x 10-3.


Interval nilai kapasitor berkisar antara 10 nF sampai 10 mH. Dengan file fungsi dan file


beda.


dengan nilai Variabel R = 100, L = 27 mH, , dan C =0.







Grafik hubungan antara Tegangan Vc terhadap waktu t dengan nilai R = 100, L = 27 mH, , dan C = 10 x 10 -6.

Dari data grafik diatas dapat disimpulkan bahwa banyaknya osilasi bergantung pada nilai

tiap komponen. Jika R = 0 maka tidak ada nilai resistor yang menghambat arus sehingga osilasi

tersebut tidak teredam. Dalam grafik hasil variasi kapasitor dapat diambil kesimpulan bahwa

nilai kapasitor semakin kecil akan menyebabkan osilasi semakin banyak. Berbanding terbalik

dengan induktor, jika nilai induktor semakin kecil banyaknya osilasi semakin sedikit dan jika

nilai semakin besar maka osilasi akan semakin besar.

Implementasi Rangkaian RLC dengan Multisim

Validasi pada rangkaian secara langsung memiliki tingkat error yang tinggi karena

banyaknya komponen yang memiliki impedansi besar. Untuk menggambarkan sirkuit

sebenarnya dibutuhkan simulasi dalam bentuk implementasi agar dapat meminimalisir

kesalahan-kesalahan dalam analisis rangkaian. Implementasi yang digunakan dalam buku ini

menggunakan software Multisim9.

Gambar 1. Skema rangkaian RLC dengan analisis output osiloskop

Variasi Variabel pada Nilai Komponen

Dalam dasar teori telah dijelaskan tentang pengaruh tiap-tiap komponen terhadap

perubahan tegangan. Jika kita implementasikan dalam bentuk sirkuit dengan skema seperti

gambar (1).

Gambar 2. Skema rangkaian untuk variasi tiap komponen

Dalam simulasi ini interval tiap komponen tidak begitu besar, karena dalam rangkaian

sebenarnya interval yang besar tidak begitu terlihat perbedaannya.


Untuk mengetahui pengaruh tiap komponen, maka dibutuhkan variasi masing-masing

komponen dengan menetapkan nilai komponen yang lain. Dalam variasi resistor digunakan

variable resistor dengan nilai antara 0 Ohm sampai 700 Ohm.

Gambar 3. Rangkaian RLC dengan Variasi Resistor

Dengan menggunakan osiloskop kita dapat mengetahui perubahan tegangan terhadap waktu.

Gambar 4. Grafik hubungan tegangan Vc terhadap waktu (t) dengan nilai Kapasitor = 1 µF,

Induktor = 27 mH dan Resistor = 0 Ohm.










Gambar 3. Rangkaian RLC dengan Variasi Induktor

Interval untuk induktor adalah 0 mH sampai 100 mH.


Resistor = 100 Ohm dan Induktor = 0 mH.




Gambar 3. Rangkaian RLC dengan Variasi Kapasitor

Terakhir adalah variasi kapasitor. Dalam simulasi ini menggunakan variabel kapasitor dengan

nilai interval 10 nF sampai 10 µF.

Gambar 14. Grafik hubungan tegangan Vc terhadap waktu (t) dengan nilai Resistor = 100 Ohm,

Induktor = 27 mH dan Kapasitor = 0 µF.


Induktor = 27 mH dan Kapasitor = 10 nF.


Induktor = 27 mH dan Kapasitor = 500 nF.





Dari hasil grafik diatas, dapat disimpulkan bahwa perubahan nilai tiap komponen sangat

mempengaruhi bentuk osilasi pada rangkaian RLC. Perhatikan perubahan sistem pada tabel (1):

Tabel 1. Pengaruh perubahan tiap komponen

Komponen Semakin Kecil Semakin Besar

Resistor Menambah Osilasi Mengurangi Osilasi

Induktor Mengurangi Osilasi Menambah Osilasi

Kapasitor Menambah Osilasi Mengurangi Osilasi

Eksperimen Rangkaian RLC

Dalam rangkaian yang sebenarnya banyak masalah yang harus diperhitungkan, dari mulai

nilai hambatan, toleransi hambatan, nilai kapasitor, toleransi kapasitor, nilai induktor, toleransi

induktor dan resistansi tiap komponen termasuk transmitter dengan menggunakan kabel.

Kita tidak bisa memvariasikan hambatan karena keterbatasan komponen yang ada dan

nilai resistansi dalam kapasitor dan induktor yang sangat besar sehingga hasil grafik yang

diperoleh hanya osilasi yang teredam dan komponen yang dipakai hanya kapasitor dan induktor

dengan mengabaikan nilai resistor.

Tabel . Daftar nilai komponen

No Variabel Nilai

1 C 1 µF

2 L 27 mH

3 휔 6097.56

4 XC 166.66

5 XL 164.63

6 Ztotal 331.29

7 Rcritically 328.63

Berdasarkan data hasil eksperimen, meskipun hambatan hanya terdapat dalam induktor dan

kapasitor osilasi pada rangkaian RLC sudah teredam (over damped) dan osilasinya akan cepat

hilang.

Grafik Hasil Eksperimen

Gambar . Grafik hasil eksperimen dengan menggunakan Osiloskop

Dalam eksperimen sangat sulit untuk mendapatkan hasil yang relevan. Hal ini karena

banyaknya faktor yang mempengaruhinya. Termasuk dalam alat osiloskop yang tidak bisa

membaca data dengan waktu yang lambat. Solusi lain yang mungkin dilakukan adalah

pengambilan grafik dengan menggunakan software osiloskop.

Dalam problem ini sirkuit non-autonomous yang digunakan merupakan modifikasi dari sirkuit

autonomous Chua dan merupakan sistem non-autonomous karena secara explicit bergantung

waktu karena adanya periodic forcing berupa sumber tegangan . Sirkuit non-

autonomous ini terdiri dari dua komponen kapasitor dan dua komponen induktor, sebuah resistor

negative linier, sebuah resistor nonlinier, dan sumber tegangan sinusoidal vs(t)

Gambar 6.5: Model sirkuit chaotik non-autonomous.

PROBLEM 3. ANALISIS NUMERIK DAN EKSPERIMEN RANGKAIAN NONAUTONOMOUS PENGHASIL SINYAL CHAOS

Dengan menggunakan hukum Kirchhoff, sirkuit non-autonomous dapat digambarkan dalam

empat persamaan diferensial biasa terkopel sebagai berikut:

)2sin(2222

2

11121

1

1222

2

11 1

ftvrivdt

diL

rivvdt

diL

iivgdt

dvC

iidt

dvC

mLCL

LCCL

LLCnC

NLC

(6.16)

Ni adalah karakteristik arus-tegangan non-linier dari resistor non-linier sebagaimana ditunjukkan

pada Gambar 6.6, dapat ditulis sebagai

PCPCCCN BvBvmmvmvgi 1101101 )(21)( (6.17)

Gambar 6.6: Fungsi resistor non-linier sirkuit non-autonomous.

Parameter yang digunakan pada sistem (6.16-6.17) ditentukan seperti tertera pada Tabel 6.1.

Tabel 6.1. Parameter sirkuit non-autonomous

Element Description Value Tolerance

L1 Inductor 100mH %10

L2 Inductor 300mH %10

C1 Capacitor 33nF %5

C2 Capacitor 75nF %5

R1 Resistor 1kΩ %5

R2 Resistor 1Ω %5

R3 Resistor 2k Ω %5




R7 Resistor 15.5k Ω %5



U1 TL082CD

U2 TL082CD

gn Negative

Resistor -0.50 ms

m0 Outer

gradient 5 ms

m1 Outer

gradient -0.35 ms

BP Breakpoint

voltage 1.2 volt

Karakteristik resistor nonlinier dibuat menggunakan sebuah Op-Amp yang disusun parallel

dengan resistor linier.

Gambar 6.7: Implementasi sirkuit chaos non-autonomous.

Analisis Matematatika

Persamaan dari sirkuit doubel-bell diselesaikan dengan menggunakan hukum Kirchoff

dan hukum Ohm sehingga didapatkan 4 persamaan diferensial sebagai berikut[8]:

)(1

1(1)

1

11

2222

2

11121

1

2122

2

11

1

tviRvLdt

di

RivvLdt

di

vGiicdt

dv

inicdt

dv

sLcL

LccL

cnLLc

Lc

)(tvs =sin휔푡, 휔 = 2휋푓

V1

2000mV 50 Hz 0Deg

L2300mH

U1

OPAMP_3T_VIRTUAL

R3

2k

R1

1k

C133nF

R7

15.5k

R6

1k

U2

OPAMP_3T_VIRTUAL

R21

R4

2k

R5

2k

R9297

R8

4.1k L1

100mH

C275nF

Nilai sinus dari persamaan menandakan bahwa waktu dalam persamaan diferensial ini

muncul secara ekplisit. 푖 adalah karakteristik arus-tegangan non-linier dari resistor non-linier

푖 = 퐺 푣 + 0.5(퐺 − 퐺 ) 푣 + 퐵 − 푣 − 퐵

Analisis Numerik

Keempat persamaan yang didapatkan melalui analisis matematika diatas (persamaan

1) dianalisis secara numerik dengan menggunakan software MATLAB (R2009a). Dengan

menggunakan software tersebut akan diperoleh diagram fasa dan diagram time series dari

sistem,cg sehingga dapat diamati lintasannya dan jenis geraknya linear atau nonlinear.

Hasil Simulasi Matlab

Simulasi dilakukan saat tegangan masukan sebesar 2 volt. Langkah-langkah penggunaan

Matlabnya adalah sebagai berikut:

1. Buat skrip pada editor seperti gambar dibawah ini

2. Buka editor baru dan ketik skrip eksekusi seperti gambar dibawah ini

3. Klik run pada toolbarnya maka akan tambil grafik fasanya

Gambar 2. Asa sirkuit Doubel-bell saat tegangan masukan 2 volt

4. Buka editor baru dan ketik skrip dibawah

5. Klik run pada toolbar. Maka akan tampil grafik timeseries

Gambar 3. Time series sirkuit Doubel-bell

Menentukan Lyapunov Eksponen

1. Buka editor baru, kemuadian ketik skrip berikut

2. Klik save

3. Buka editor baru, kemudian ketik skrip berikut

5. Klik save

6. Buka editor baru kemudian ketik skrip berikut

7. Klik save

8. Klik run pada toolbar jendela file eksekusi, kemudian akan tampil grafik berikut

Gambar4. Lyapunov eksponen

Pada coman window akan keluar data hasil eksekusi yang menjelaskan hasil grafik, data

rersebut adalah sebagai berikut:

Tabel 2. Nilai Lyapunov Eksponen

t=0.1000 160.884292 163.408510 63.995924 215.282594

t=0.2000 174.373298 175.371408 10.721348 124.655773

t=0.3000 176.352857 181.875803 39.313811 103.801029

t=0.4000 178.153473 184.317157 51.512372 95.083534

t=0.5000 182.154890 182.860924 58.464324 92.039869

t=0.6000 183.241098 183.471513 63.140214 88.674108

t=0.7000 183.027946 184.896656 66.208074 81.643798

t=0.8000 182.423310 186.410290 68.565366 80.943821

t=0.9000 184.503401 185.037197 70.568120 79.669171

t=1.0000 185.003823 185.102373 72.727193 77.162354

t=1.1000 184.817491 185.751467 74.116891 75.866767

t=1.2000 183.721686 187.232906 75.900612 74.859456

t=1.3000 185.394987 185.885910 76.615992 74.845186

t=1.4000 185.751833 185.808757 78.073634 74.337659

t=1.5000 185.635309 186.167680 78.581230 73.335971

t=1.6000 184.451006 187.564081 78.964508 72.927984

t=1.7000 185.856566 186.345668 79.483915 71.117292

t=1.8000 186.161711 186.206874 79.868998 71.602535

t=1.9000 186.097854 186.419574 80.906797 70.984689

t=2.0000 185.317589 187.333796 81.227703 70.671367

t=2.1000 186.132095 186.640490 81.960569 69.227825

t=2.2000 186.417888 186.464880 82.779811 68.542222

t=2.3000 186.392003 186.591366 82.835812 67.608436

t=2.4000 185.900537 187.175049 83.220196 67.461946

t=2.5000 186.308659 186.851765 83.308798 67.539282

t=2.6000 186.591213 186.647525 83.688007 67.227871

t=2.7000 186.593487 186.717764 84.391311 66.923496

t=2.8000 186.265741 187.112844 85.024592 66.295580

t=2.9000 186.424206 187.017067 85.009897 66.893296

t=3.0000 186.714676 186.785107 85.038907 67.462905

Berdasarkan data pada Tabel 2 dapat diamati pada t = 0,1 sampai t = 3 didapatkan nilai

lyapunov eksponen yang positif kecuali pada t=0,1 terdapat 1 yang bernilai negatif. Maka sirkuit

double-bell tersebut termasuk gejala Chaos pada t= 0.1 sampai t = 3.

Selain dengan menggunakan software MATLAB versi 9 digunakan juga software

MAPPLE 13 untuk menganalisis sirkuit Doubel-Bell chaos atau tidak, dari hasil simulasi ini

didapatkan

Nilai eigen yang didapatkan terdiri dari bilangan real dan imaginer yang berpasangan, dengan

bilangan real bernilai negatif sedangkan bilangan imaginernya terdiri dari bilangan imaginer

positif dan negatif. Bilangan real berpasangan yang bernilai negatif menunjukkan bahwa jenis

kestabilannya adalah unstable node.

Hasil Simulasi Multisim

Gambar 5. Rangkaian Doubel-bell pada Multisim versi 9

(a) (b)

Gambar 6. (a) Fasa sirkuit Doubel-bell (b) Time series sirkuit Doubel-bell

Eksperimen

(a) (b)

(c)

Gambar 7. (a) Rangkaian Doubel-bell (b) Rangkaian Doubel-bell dan catu daya (c) Rangkain

Doubell-bell diuji dengan osiloskop; gambar paling bawah kiri menunjukkan fasa sirkuit

Doubel-bell dan gambar paling bawah kanan menunjukkan time series sirkuit Doubel-bell

Sirkuit double-bell bersifat chaos karena terdiri dari resistor nonlinier RN dan sebuah

konduktansi negatif Gn. Sistem ini bersifat nonautonomous karena sistem persamaan

diferensialnya bergantung waktu yang muncul secara ekplisit. Amplitudo dan frekuensinya

adalah suatu sinyal sinusoidal. Sirkuit ini diberi sumber tegangan bolak-balik sehingga

menghasilkan suatu persamaan diferensial yang memiliki nilai sinus dari ωt. Nilai sinus dari

persamaan 1 diatas menandakan bahwa waktu dalam persamaan diferensial ini muncul secara

ekplisit.

Hasil simulasi numerik menggunakan software MATLAB(2009) ditunjukan pada gambar

2 dan 3 diatas menunjukan bahwa fasa dan time series yang dihasilkan dari sirkuit double-bell

bersifat tidak periodik (tidak berulang) artinya sirkuit double-bell bersifat chaos. Pada gambar 4

diperlihatkan metoda lyapunov, nilai lyapunov eksponen yang ditunjukkan pada gambar 4 yaitu

hubungan perubahan waktu terhadap nilai lyapunov terdiri dari nilai lyapunov eksponen real

positif dan negatif . Nilai negatif menunjukan sifat yang konvergen jika demikian artinya data

tersebut cenderung akan memiliki sifat yang sama karena menuju 1 titik sedangkan adanya nilai

positif menunjukan bahwa sifatnya difergen, artinya kemungkinan perkembangannya akan

cenderung semakin berbeda (acak) sehingga dapat disimpulkan sirkuit double-bell bersifat chaos.

Selain menggunakan MATLAB(2009) digunakan juga MAPPLE 13 untuk mengetahui

nilai titik kritis dan nilai eigen daripersamaan double-bell . Hasilnya diperoleh nilai eigen yang

terdiri dari bilangan imaginer positif dan negatif yang berpasangan.

Ini kembali membuktikan bahwa sirkuit double-bell memiliki sifat chaos. Gambar 6

menunjukan simulasi dengan menggunakan MULTISIM juga menunjukkan fasa dan time series

yang bersifat chaos, begitupun dengan hasil eksperimen yang ditunjukkan gambar 7 menunjukan

bahwa sirkuit double-bell bersipat chaos.Kelebihan rangkaian doubel-bell dapat mendeteksi

sinyal pada berbagai frekuensi sehingga untuk eksperimen selanjutnya rangkaian ini dapat

diaplikasikan sebagai pendeteksi sinyal lemah. Aplikasi lain dari sirkuit doubell dapat digunakan

pada sistem keamanan komunikasi [4][5].

Osilator Collpit adalah salah satu topologi osilator yang efektif digunakan untuk pembangkit

gelombang sinus pada rentang frekuensi antara kilo hertz hingga beberapa giga hertz. Osilator

colpitt ini mampu menghasilkan suatu output frekuensi yang sangat tinggi. Osilator ini

menggunakan rangkaian RLC yang dihubungkan dengan transistor dan umpanbalik positif

melalui suatu pembagi tegangan kapasitif dari rangkaian RLC. Umpan balik ini bisa ditopankan

deret maupun jajar. Adapun osilator colpitt nonlinear merupakan osilator colpitt yang dapat

menghasilkan suatu gejala chaos.

Hal penting dalam sistem chaos adalah kenyataan bahwa sepenuhnya sifat identik menghasilkan

bentuk gelombang osilator asynchronous karena mereka sangat sensitif pada kondisi awal.

Dalam simulasi numerik seseorang dapat mengatur kondisi awal yang sama untuk setiap sistem

dan mendapatkan bentuk gelombang chaos yang sama pada output. Sementara itu dalam sistem

elektronik pada kenyataannya adalah tidak mungkin. Perilaku yang sinkron dapat dicapai dengan

cara menghubungkan atau mengkopling osilator. Dalam sistem osilator colpitt, kita dapat

melakukan kopling atau sinkronisasi dengan cara menambah komponen transistor.

Gambar 6.8: Skema Sirkuit Osilator Colpitt

PROBLEM 4. ANALISIS NUMERIK DAN EKSPERIMEN RANGKAIAN COLPITT PENGHASIL SINYAL CHAOS FREKUENSI TINGGI

Sirkuit osilator colpitt satu tahap seperti di tunjukan pada Gambar 6.8, terdiri dari sebuah

transistor bipolar. Sirkuit tersebut dapat menunjukan perilaku chaos dalam rentang nilai

komponen tertentu. Pada osilator colpitts satu tahap, digunakan dua kapasitor sebagai tangki

energi. Balikan dikembangkan dengan menggunakan "medan elektrostatik" yang dihasilkan dari

proses pelucutan energi kapasitor melewati induktor. Frekuensi ditentukan oleh dua kapasitor

yang terhubung paralel dengan induktor. Kolektor diberi panjar mundur dengan menghubungkan

ke bagian positif dari VCC. Resistor (R1) berfungsi sebagai beban kolektor. Transistor

dihubungkan secara seri dengan konfigurasi basis-bersama. Analisis hukum Kirchhoff dari

rangkaian tersebut menghasilkan lima persamaan diferensial dari sirkuit yaitu:

퐿푑푖푑푡 = − 푉 − 푉 − 푖 .푅 + 푉

퐶 = 푖 − 푓(−푉 ) (6.18)

퐶 = 푖 −

Dimana:

iL = arus yang melalui inductor,

VC1 = tegangan pada kapasitor C1 ,

VC2= ,tegangan pada kapasitor C2 ,

C = kapasitansi kapasitor,

L= induktansi induktor,

푓(−푉 ) = 푓(푉 )= arus pada emitor yang merupakan fungsi tegangan basis-emitor,

Vcc= tegangan vcc, dan

R = resistansi resistor R.

Gambar 6.9: Skema Model Transistor

Skema model transistor ini menjelaskan tentang krakteristik dari transistor. Arus emitor sebagai

fungsi dari tegangan emitor-basis dapat ditulis sebagai:

−풊푬 = 푰ퟎ[풆풙풑 푽푬푬푽푻

− ퟏ] (6.19)

Analisis Matematika

Berdasarkan Gambar 1 kita dapatkan persamaan dari sirkuit osilator colpitt dengan

menggunakan hukum Khirchoff dan hukum Ohm:

퐶푑푉푑푡 = −푓(−푉 ) + 퐼

퐶푑푉푑푡 = 퐼 −

푉 − 푉푅

퐿푑퐼푑푡 = −푉 − 푉 − 퐼 푅 + 푉

Dengan persamaan model transistornya:

퐼 = 푓(푉 ) = 퐼 expVV − 1

Dari analisis, didapatkan tiga persamaan dari sirkuit dengan persamaan model transistor

yang merupakan persamaan nonliear yang menimbulkan chaos pada sirkuit.

Analisis Numerik

Dalam analisis numerik, model persamaan matematis yang telah didapatkan dari sirkuit,

akan dicoba dengan cara komputasi yaitu menggunakan software MATLAB, akan tetapi

sebelumnya parameter persamaan sirkuit tersebut harus dirubah. Dengan ketentuan:

푥 =푉푉 ,푦 =

휌퐼푉 , 푧 =

푉푉 , 푡 =

푡휏 ,휌 =

퐿퐶 , 푒 =

퐶퐶 ,

휏 = 퐿퐶 , 푎 =휌푟푒 , 푏 =

푅휌 , 푐 =

푉푉 , 푑 =

휌퐼푉

Maka akan dihasilkan persamaan sirkuit:

푑푥푑푡 = 푦 − 푎퐹(푧)

푑푦푑푡 = 푐 − 푥 − 푧 − 푏푦

푑푧푑푡 = 푒(푦 − 푑)

Dengan fungsi nonlinear F(z):

퐹(푧) = −(1 + 푧), 푧 < −10, 푧 ≥ −1

Dengan mengoperasikan persamaan persamaan tersebut pada MATLAB maka akan

didapatkan output gambar, yang mana dari output gambar tersebut dapat dilihat diagram fasa dan

diagram time series dari sirkuit berbentuk periodik atau tidak. Setelah menganalisa bentuk

diagram dari sirkuit, dapat ditentukan jenis dari sirkuit termasuk Chaos atau tidak.

File Fungsi

File Eksekusi

Output

Gambar 3: Diagram Fasa Dari Sirkuit Osilator Colpitt Tingkat I

Diagram fasa pada Gambar 3 menunjukan suatu attractor yang menyerupai tipe Rossler

yang bergerak memusat menuju limit cycle. Analisa terhadap diagram time series dari sirkuit

dapat dijadikan acuan untuk menentukan suatu sirkuit Chaos atau bukan, akan tetapi cara yang

lebih efektif untuk menentukan jenis sirkuit Chaos atau bukan yaitu dengan menggunakan

Lyapunov eksponen.

Gambar 4: Diagram Time Series Non Periodik Dari Sirkuit

File Fungsi Lyapunov 1

function [Texp,Lexp]=lyapunov(n,rhs_ext_fcn,fcn_integrator,tstart,stept,tend,ystart,ioutp);

%

% Lyapunov exponent calcullation for ODE-system.

%

% The alogrithm employed in this m-file for determining Lyapunov

% exponents was proposed in

%

% A. Wolf, J. B. Swift, H. L. Swinney, and J. A. Vastano,

% "Determining Lyapunov Exponents from a Time Series," Physica D,

% Vol. 16, pp. 285-317, 1985.

%

% For integrating ODE system can be used any MATLAB ODE-suite methods.

% This function is a part of MATDS program - toolbox for dynamical system investigation

% See: http://www.math.rsu.ru/mexmat/kvm/matds/

%

% Input parameters:

% n - number of equation

% rhs_ext_fcn - handle of function with right hand side of extended ODE-system.

% This function must include RHS of ODE-system coupled with

% variational equation (n items of linearized systems, see Example).

% fcn_integrator - handle of ODE integrator function, for example: @ode45

% tstart - start values of independent value (time t)

% stept - step on t-variable for Gram-Schmidt renormalization procedure.

% tend - finish value of time

% ystart - start point of trajectory of ODE system.

% ioutp - step of print to MATLAB main window. ioutp==0 - no print,

% if ioutp>0 then each ioutp-th point will be print.

%

% Output parameters:

% Texp - time values

% Lexp - Lyapunov exponents to each time value.

%

% Users have to write their own ODE functions for their specified

% systems and use handle of this function as rhs_ext_fcn - parameter.

%

% Example. Lorenz system:

% dx/dt = sigma*(y - x) = f1

% dy/dt = r*x - y - x*z = f2

% dz/dt = x*y - b*z = f3

%

% The Jacobian of system:

% | -sigma sigma 0 |

% J = | r-z -1 -x |

% | y x -b |

%

% Then, the variational equation has a form:

%

% F = J*Y

% where Y is a square matrix with the same dimension as J.

% Corresponding m-file:

% function f=lorenz_ext(t,X)

% SIGMA = 10; R = 28; BETA = 8/3;

% x=X(1); y=X(2); z=X(3);

%

% Y= [X(4), X(7), X(10);

% X(5), X(8), X(11);

% X(6), X(9), X(12)];

% f=zeros(9,1);

% f(1)=SIGMA*(y-x); f(2)=-x*z+R*x-y; f(3)=x*y-BETA*z;

%

% Jac=[-SIGMA,SIGMA,0; R-z,-1,-x; y, x,-BETA];

%

% f(4:12)=Jac*Y;

%

% Run Lyapunov exponent calculation:

%

% [T,Res]=lyapunov(3,@lorenz_ext,@ode45,0,0.5,200,[0 1 0],10);

%

% See files: lorenz_ext, run_lyap.

%

% --------------------------------------------------------------------

% Copyright (C) 2004, Govorukhin V.N.

% This file is intended for use with MATLAB and was produced for MATDS-program

% http://www.math.rsu.ru/mexmat/kvm/matds/

% lyapunov.m is free software. lyapunov.m is distributed in the hope that it

% will be useful, but WITHOUT ANY WARRANTY.

%

% n=number of nonlinear odes

% n2=n*(n+1)=total number of odes

%

n1=n; n2=n1*(n1+1);

% Number of steps

nit = round((tend-tstart)/stept);

% Memory allocation

y=zeros(n2,1); cum=zeros(n1,1); y0=y;

gsc=cum; znorm=cum;

% Initial values

y(1:n)=ystart(:);

for i=1:n1 y((n1+1)*i)=1.0; end;

t=tstart;

% Main loop

for ITERLYAP=1:nit

% Solutuion of extended ODE system

[T,Y] = feval(fcn_integrator,rhs_ext_fcn,[t t+stept],y);

t=t+stept;

y=Y(size(Y,1),:);

for i=1:n1

for j=1:n1 y0(n1*i+j)=y(n1*j+i); end;

end;

%

% construct new orthonormal basis by gram-schmidt

%

znorm(1)=0.0;

for j=1:n1 znorm(1)=znorm(1)+y0(n1*j+1)^2; end;

znorm(1)=sqrt(znorm(1));

for j=1:n1 y0(n1*j+1)=y0(n1*j+1)/znorm(1); end;

for j=2:n1

for k=1:(j-1)

gsc(k)=0.0;

for l=1:n1 gsc(k)=gsc(k)+y0(n1*l+j)*y0(n1*l+k); end;

end;

for k=1:n1

for l=1:(j-1)

y0(n1*k+j)=y0(n1*k+j)-gsc(l)*y0(n1*k+l);

end;

end;

znorm(j)=0.0;

for k=1:n1 znorm(j)=znorm(j)+y0(n1*k+j)^2; end;

znorm(j)=sqrt(znorm(j));

for k=1:n1 y0(n1*k+j)=y0(n1*k+j)/znorm(j); end;

end;

%

% update running vector magnitudes

%

for k=1:n1 cum(k)=cum(k)+log(znorm(k)); end;

%

% normalize exponent

%

for k=1:n1

lp(k)=cum(k)/(t-tstart);

end;

% Output modification

if ITERLYAP==1

Lexp=lp;

Texp=t;

else

Lexp=[Lexp; lp];

Texp=[Texp; t];

end;

if (mod(ITERLYAP,ioutp)==0)

fprintf('t=%6.4f',t);

for k=1:n1 fprintf(' %10.6f',lp(k)); end;

fprintf('\n');

end;

for i=1:n1

for j=1:n1

y(n1*j+i)=y0(n1*i+j);

end;

end;

end;

File Fungsi Lyapunov 2

function f=colpitt(t,X)

%

% Lorenz equation

%

% dx/dt = SIGMA*(y - x)

% dy/dt = R*x - y -x*z

% dz/dt= x*y - BETA*z

%

% In demo run SIGMA = 10, R = 28, BETA = 8/3

% Initial conditions: x(0) = 0, y(0) = 1, z(0) = 0;

% Reference values for t=10 000 :

% L_1 = 0.9022, L_2 = 0.0003, LE3 = -14.5691

%

% See:

% K. Ramasubramanian, M.S. Sriram, "A comparative study of computation

% of Lyapunov spectra with different algorithms", Physica D 139 (2000) 72-86.

%

% --------------------------------------------------------------------

% Copyright (C) 2004, Govorukhin V.N.

% Values of parameters

a=81.41;

b=0.82;

c=5;

d=0.73;

e=1;

x=X(1); y=X(2); z=X(3);

Y= [X(4), X(7), X(10);

X(5), X(8), X(11);

X(6), X(9), X(12)];

f=zeros(9,1);

%Lorenz equation

f(1)=y-a*(-(1+z));

f(2)=c-x-z-b*y;

f(3)=e*(y-d);

%Linearized system

Jac=[0, 1, a;

-1, -b, -1;

0, e, 0];

%Variational equation

f(4:12)=Jac*Y;

%Output data must be a column vector

File Eksekusi Lyapunov

[T,Res]=lyapunov1(3,@lyapunov2,@ode45,0,1.5,200,[0 1 0],10);

plot(T,Res);

title('Dynamics of Lyapunov exponents');

xlabel('Time'); ylabel('Lyapunov exponents');

Output

Tabel 1: Data Diagram Lyapunov Eksponen

t LE1 LE2 LE3

15.0000 1.715324 1.852049 -4.386838

30.0000 1.805830 1.798701 -4.423995

45.0000 1.799417 1.817501 -4.436381

60.0000 1.810157 1.812954 -4.442573

75.0000 1.812529 1.814298 -4.446289

90.0000 1.809778 1.819526 -4.448766

105.0000 1.816637 1.814436 -4.450535

120.0000 1.807182 1.825219 -4.451862

135.0000 1.818088 1.815345 -4.452894

Berdasarkan data pada Tabel 1 dapat diamati pada t = 15 sampai t = 135, didapatkan nilai

lyapunov eksponen yang berbeda - beda dan setiap t memiliki nilai lyapunov eksponen dengan

nilai positif dan negatif. Maka sirkuit colpitt tingkat I tersebut termasuk gejala Chaos pada t= 15

sampai t = 135.

Gambar 5: Diagram Lyapunov Eksponen Sirkuit Osilator Colpitt Tingkat I

Gambar 5 menunjukan diagram lyapunov eksponen osilator colpitt tingkat I, dari diagram

tersebut terlihat bahwa dalam keadaan suatu titik tertentu, sirkuit memperlihatkan suatu perilaku

Chaos. Simulasi numerik lyapunov eksponen selengkapnya dapat dilihat dalam lampiran C. Dari

persamaan sirkuit di atas, dilakukan pula analisis untuk mendapatkan nilai eigen yang kemudian

digunakan untuk menganalisa jenis kestabilannya. Nilai eigen ini didapatkan dengan

mengunakan Maple.

Dari persamaan tersebut didapatkan tiga titik kritis dan tiga nilai eigen dengan nilai a =

81.41.

푥 = 7.332283503;푦 = 1; 푧 = −1.012283503;

휆 = 1.820777640 + 3.864164718i;

휆 = 1.820777640− 3.864164718i;

휆 = −4.461555279

Nilai eigen yang didapatkan terdiri dari bilangan real dan imaginer dengan bilangan real

bernilai positif dan negatif, jika ditinjau dari jenis bilangannya dapat disimpulkan bahwa

persamaan tersebut Chaos karena nilai eigennya terdiri dari dua jenis bilangan yang berlainan,

sedangkan jika ditinjau dari segi real positif dan negatif, menandakan bahwa jenis kestabilannya

adalah saddle point.

Eksperimen

Eksperimen dilakukan dengan merangkai sirkuit pada Gambar 1 kemudian diukur

menggunakan osiloskop untuk melihat bentuk gelombangnya periodik atau tidak dan termasuk

Chaos atau bukan.

Gambar 6: Set Alat Eksperimen Sirkuit Osilator Colpitt Tingkat I

Dari hasil eksperimen, Sirkuit osilator colpitt tingkat I memiliki bentuk diagram yang

tidak periodik sehingga termasuk Chaos dan menghasilkan frekuensi output sekitar 0.1 MHz.

Gambar 7: Hasil Eksperimen Sirkuit Osilator Colpitt Tingkat I

Gambar 8: Time Series Sirkuit Osilator Colpitt Tingkat I

Salah satu sirkuit nonlinier autonomous adalah sirkuit Chua (Matsumoto, 1984; Chua dkk, 1993;

Kennedy dkk, 1993). sirkuit ini merupakan salah satu model rangkaian elektronik yang dapat

dipergunakan untuk pendekatan berbagai perilaku sistem dinamik, salah satucontoh adalah

keadaan chaos. Dengan merubah beberapa nilai parameter yangterdapat dalam rangkaian

elektronik chua mengakibatkan berubah pula hasil yangdidapat. Sehingga berbagai perilaku mik

ysistem dinaang komplek dapatdiperagakan. Beberapa nilai parameter yang diubah-ubah dapat

PROBLEM 5. ANALISIS NUMERIK DAN EKSPERIMEN RANGKAIAN CHUA PENGHASIL SINYAL CHAOS

menunjukkanbatas putaran, perioda ganda, perilaku kekacauan, dan kekacauan yang

berbedatergantung dari jenis kekacauan dan nilai dari parameter. Dengan caramenganalisa

kestabilan system dinamik pada sirkuit tersebut.

Sirkuit ini terdiri dari tiga elemen linier penyimpan energi (satu induktor dan dua kapasitor),

sebuah resistor linier, serta sebuah resistor non-linier NR seperti yang ditunjukkan pada Gambar

1.

Gambar 1. Sirkuit autonomous Chua.

Dengan menggunakan hukum Kirchhoff, sirkuit Chua dapat digambarkan dalam tiga

persamaan diferensial biasa sebagai berikut:

2

212

2

1121

1

)(

)()(

CL

LCCC

CCCC

vdt

diL

ivvGdt

dvC

vgvvGdt

dvC

(1)

yang mana

1Cv = tegangan pada kapasitor 1C ,

2Cv = tegangan pada kapasitor 2C ,

Li = arus yang melalui induktor,

C = kapasitansi kapasitor,

L = induktansi induktor, dan

G = konduktansi resistor R.

Gambar 2. Fungsi resistor non-linier sirkuit Chua.

)( 1Cvg adalah karakteristik arus-tegangan non-linier dari resistor non-linier sebagaimana

ditunjukkan pada Gambar 2, dapat ditulis sebagai

PRPRRRC BvBvmmvmvgvg )(

21)()( 0101 (2)

yang mana 1m dan 0m adalah gradient dalam dan luar, dan PB menunjukkan kondisi terjadinya

breakpoints. Resistor R adalah sebuah potensiometer dan digunakan sebagai parameter kontrol

yang menghasilkan fenomena bifurkasi dari atraktor periodik sampai atraktor chaos.

Penetapan nilai parameter dua buah kapasitor, induktor dan resistor telah dibuat oleh

Matsumoto (1984). Esat adalah tegangan saturasi dari komponen op-amp yang besarnya

ditentukan oleh catu daya dan karakteristik internal dari op-amp. Resistor non-linier terdiri dari

dua buah resistor yang terhubung secara paralel. Secara detail desain resistor non-linier telah

dibuat oleh Kennedy (1992; 1993).

Konstanta mo, m1, dan Bp telah ditentukan oleh Kennedy (1992; 1993).

satPsatP ERR

RBE

RRR

B

RRRR

mRR

RRR

Rm

65

62

32

31

431

20

64

5

31

21

,

,1

, (3)

2. Simulasi Numerik Sirkuit Autonomous

Tabel 1. Parameter sirkuit autonomous Chua

Simbol Komponen Nilai Toleransi

R1 Resistor 220 Ω %5

R2 Resistor 220 Ω %5

R3 Resistor 2.2kΩ %5

R4 Resistor 22kΩ %5



C1 Kapasitor 10nF %5

C2 Kapasitor 100nF %5

L Induktor 18mH %10

R Potentiometer 1.85 kΩ %5

Esat Power Supply

Op amp

9 V

U1A TL082CD

U1B TL082CD

(a)Diagram fasa (b) Time series

Gambar 3. Hasil simulasi numeric sistem Chua menggunakan Matlab dengan parameter

R = 1.85 kΩ.

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Vc1

Vc2

Double Scroll Attractor Chua Circuits

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

t

Vc1

Time Series Double Scroll Attractor Chua Circuits

Gambar 3 diatas merupakan hasil dari simulasi numeric menggunakan software Matlab

versi 7.2 yang menunjukan diagram fasa dan time series memiliki karakter chaotic dengan

atraktor “double scroll” . Parameter yang digunakan pada sistem (1) ditentukan seperti tertera

pada Tabel 1, parameter inilah yang seterusnya akan digunakan dalam sinkronisasi chaos serta

aplikasinya dalam sistem keamanan komunikasi.

3. Simulasi menggunakan Multisim Versi 9. Serta Validasi Sirkuit Aoutonomos

Dalam buku ini telah dibuat validasi sirkuit chua menggunakan Multisim versi 9. ,

sebagaimana diperlihatkan pada Gambar 4. serta hasil simulasinya pada Gambar 5. dan Gambar

6. Karakteristik resistor nonlinier dibuat menggunakan dua buah Op-Amp TL082 yang diberi

tegangan panjar DC .9V

Gambar 4. Validasi sirkuit autonomous Chua menggunakan MultiSIM.

Gambar 5. Diagram fasa sirkuit autonomous Chua menggunakan MultiSIM Versi 9.

Gambar 6. Time series sirkuit autonomous Chua menggunakan MultiSIM versi 9.

(a) Validasi PCB sirkuit Chua

(b) Diagram fase (c) Time series

Gambar 7. Hasil eksperimen sirkuit autonomous menggunakan osiloskop

Jika dibandingkan hasil output dari ketiga metode analisis yaitu simulasi numerik

Matlab, simulasi sirkuit MultiSim serta hasil Osiloskop hardware, maka terlihat adanya

kesamaan karakteristik diagram fase dan time series secara kualitatif. Sedangkan adanya sedikit

perbedaan kuantitatif antara ketiga hasil tersebut disebabkan karena fenomena chaos sangatlah

sensitif terhadap perubahan kondisi awal dan parameternya, dalam eksperimen hardware

sangatlah sulit untuk dapat membuat semua parameter sesuai dengan simulasi karena adanya

nilai toleransi dari tiap komponen elektronik.

“Ikhtiar adalah ketika kita melihat bayang-bayang kegagalan didepan mata, tapi kita tetap melakukan yang terbaik dalam tiap

usaha. Karena kita yakin ada Dia yang maha kuasa, yang ketika berkata ”Jadi”…maka

Jadilah…”

modul 6_aplikasi pers diferensial

Documents