modul persamaan diferensial 1
DESCRIPTION
Modul singkat Persamaan Diferensial 1 tingkat UniversitasTRANSCRIPT
Dosen Pembimbing: Huri Suhendri, M.Pd
MODUL
PERSAMAAN DIFERENSIAL 1
OLEH: Maya Umami (200913500674)
PRODI: PENDIDIKAN MATEMATIKA SEMESTER: 6 (ENAM) – S6C
- A -
Assalamuallaikum Wr. Wb
Alhamdulillah modul pada mata kuliah “Persamaan Diferensial 1” ini akhirnya dapat
terselesaikan. Modul ini merupakan tugas akhir atau untuk memenuhi persyaratan (nilai) pada
mata kuliah tersebut. Setelah menjelajahi berbagai literature dan mencoba untuk menemukan
intisari dari materi yang sesuai dengan silabus perkuliahan ini, saya selaku penulis telah
berusaha semaksimal mungkin untuk menemukan intisari yang mudah untuk dipahami
dengan diaadakanya berbagai contoh soal dan latihan-latihan sesuai dengan silabus
perkuliahan.
Syukur ke hadirat Allah SWT penulis panjatkan atas kemudahan yang diberikan-Nya
selama penulisan modul. Tak lupa juga, penulis mengucapkan terima kasih kepada Dosen
Pembimbing kami Bapak Hri Suhendri, M.Pd yang telah memberikan tugas modul ini yang
insyaallah bermanfaat bagi banyak orang terutama bagi penulis.
Modul ini terdiri dari 10 BAB diantaranya: 1. Pendahuluan Persamaan Diferensial; 2.
Persamaan Diferensial Variabel Terpisah; 3. Reduksi ke Bentuk Persamaan Diferensial
Variabel Terpisah; 4. Persamaan Diferensial Homogen; 5. Persamaan Diferensial Tak
Homogen; 6. Persamaan Diferensial Eksak; 7. Reduksi ke Bentuk Persamaan Diferensial
Eksak; 8. Persamaan Diferensial Linier Orde 1; 9. Persamaan Diferensial Bernoulli; 10.
Masalah Nilai Awal (Solusi Khusus). Masing-masing bab dilengkapi oleh materi yang mana
tiap materi diberikan contoh soal dan pembahasan ditambah latihan soal pada bagian akhir
modul ini.
Demikian yang dapat penulis sampaikan. Penulis berharap adanya kritik dan saran
yang membangun guna terciptanya modul yang lebih mendekati kesempurnaan. Semoga
modul ini dapat bermanfaat dan dapat dijadikan modul pegangan pada mata kuliah persamaan
diferensial 1. Amiin….
Wassalamuallaikum Wr. Wb
Jakarta, Juni 2012
- B -
KATA PENGANTAR ……………………………………………………. A
DAFTAR ISI ……………………………………………………………… B
BAB 1 PENDAHULUAN PERSAMAAN DIFERENSIAL …………………… 1
1.1. Definisi Persamaan Diferensial ……………………………………. 1
1.2. Bentuk Umum Persamaan Diferensial …………………………….. 1
1.3. Orde (Tingkat) dan Degree (Derajat)………………………………. 1
1.4. Mencari Solusi Persamaan Diferensial …………………………….. 2
1.5. Contoh Soal dan Pembahasan ……………………………………… 2
BAB 2 PERSAMAAN DIFERENSIAL VARIABEL TERPISAH …………… 4
2.1. Persamaan Diferensial Variable Terpisah ………………………….. 4
2.2. Contoh Soal dan Pembahasan ……………………………………… 4
BAB 3 REDUKSI KE BENTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL VARIABEL
TERPISAH ………………………………………………………………..
6
3.1. Materi Reduksi ke Bentuk Persamaan Diferensial Variabel
Terpisah …………………………………………………………….
6
3.2. Contoh Soal dan Pembahasan ……………………………………… 6
BAB 4 PERSAMAAN DIFERENSIAL HOMOGEN ………………………….. 8
4.1. Langkah-langkah Menentujan Penyelesaian Umum Persamaan
Diferensial Homogen ……………………………………………….
8
4.2. Contoh Soal dan Pembahasan ……………………………………… 8
- B -
BAB 5 PERSAMAAN DIFERENSIAL TAK HOMOGEN …………………… 10
5.1. Persamaan Diferensial dengan M (x,y) dan N (x,y) ……………….. 10
5.2. Contoh Soal dan Pembahasan ……………………………………… 11
BAB 6 PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAK ………………………………. 14
6.1. Sifat-Sifat Dasar ……………………………………………………. 14
6.2. Metode Solusi ……………………………………………………… 14
6.3. Contoh Soal dan Pembahasan ……………………………………… 15
BAB 7 REDUKSI KE BENTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAK
(FAKTOR INTEGRASI) …………………………………………………
18
7.1. Macam-macam faktor integrasi ……………………………………. 18
7.2. Contoh Soal dan Pembahasan ……………………………………… 18
BAB 8 PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE SATU……………….. 21
8.1. Metode Solusi ……………………………………………………… 21
8.2. Contoh Soal dan Pembahasan ……………………………………… 21
BAB 9 PERSAMAAN DIFERENSIAL BERNOULLI ………………………… 23
9.1. Metode Solusi ……………………………………………………… 23
9.2. Contoh Soal dan Pembahasan ……………………………………… 23
BAB 10 MASALAH NILAI AWAL (SOLUSI KHUSUS) ………………………. 26
10.1. Pengertian ………………………………………………………….. 26
10.2. Contoh Soal dan Pembahasan ……………………………………… 26
LATIHAN SOAL …………………………………………………………. 27
LAMPIRAN ………………………………………………………………. C
DAFTAR PUSTAKA ……………………………………………………. D
Page | 1
1.1. Definisi Persamaan Diferensial
Persamaan Diferensial adalah persamaan yang memuat turunan satu (atau beberapa)
fungsi yang tidak diketahui. Meskipun persamaan seperti itu sehausnya disebut
“persamaan turunan”, namun istilah “persamaan diferensial” (aequatio differentialis)
yang diperkenalkan Leibniz dalam tahun 1676 sudah umum digunakan (Finizio
Ladas:2:1988)
Sebagai contoh:
y’ + xy = 3 ………………………………(1)
y” – 5y’ + 6y = cos x ………………………………(2)
y” = (1+y’2) (x
2+y
2) ………………………………(3)
𝜕2𝑢
𝜕𝑡2 - 𝜕2𝑢
𝜕𝑥2 = 0 ………………………………(4)
Pada persamaan (1) sampai (3) menyatakan turunan pertama dan kedua dari fungsi y(x)
terhadap x yang disebut persamaan diferensial biasa.
Dalam persamaan (4) memuat turunan-turunan parsial yang disebut persamaan
diferensial parsial.
1.2. Bentuk Umum Persamaan Diferensial
Adapun bentuk umum persamaan diferensial yaitu:
𝑓 𝑥 . 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑦 . 𝑑𝑦 = 0
1.3. Orde (Tingkat) dan Degree (Derajat)
Orde (tingkat) adalah turunan tertinggi dalam persamaan diferensial.
Degree (derajat) adalah derajat dari orde tertinggi
Contoh:
BAB 1
Page | 2
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3 2
- 𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 3
+ 2xy = 6
Pada persamaan diatas memiliki orde 3 dan derajat 2.
1.4. Mencari Solusi Persamaan Diferensial
Langkah-langkah:
Hitunglah banyaknya konstanta sembarang yang ada di dalam persamaan garus
lengkung (kurva) yang akan dicari persamaan diferensialnya.
Hilangkan semua konstanta sembarang ada n maka untuk mengeliminasi semua
konstanta sembarang itu. Jika banyaknya konstanta sembarang ada n, maka untuk
mengeliminasi semua konstanta sembarang yang ada dubutuhkan n + 1 persamaan.
Untuk mendapatkan n + 1 persamaan, persamaan garis lengkung (kurva) semula
didiferensialkan sampai turunan ke n.
Banyaknya konstanta sembarang menunjukan orde tertinggi dari turunan dalam
persamaan diferensial yang dicari.
1.5. Contoh Soal dan Pembahasan
1) Carilah persamaan diferensial dari himpunan garis lengkung:
a. y = A sin 2x + B cos 2x ; A dan B adalah konstanta sembarang
b. y = x3 +A x
2 + B x + C ; A, B, dan C adalah konstanta sembarang
Pembahasan:
a. Karena ada 2 (dua) konstanta sembarang, maka dibutuhkan 3 persamaan untuk
mengeliminasi A dan B serta orde tertinggi dari turunannya adalah 2.
Persamaan 1 : y = A sin 2x + B cos 2x , turunan terhadap x
Persamaan 2 : 𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 2A cos 2x – 2B sin 2x, turunan terhadap x
Persamaan 3 : 𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 = - 4A sin 2x – 4B cos 2x
Masukan persamaan (1) ke (3) didapatkan bahwa :
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 = - 4A sin 2x – 4B cos 2x
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 = - 4(A sin 2x + B cos 2x) y = A sin 2x + B cos 2x
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 = - 4y
Jadi, persamaan diferensial yang dicari adalah 𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒙𝟐 + 4y = 0
Page | 3
b. Karena ada 3 (tiga) konstanta sembarang, maka dibutuhkan 4 persamaan untuk
mengeliminasi A dan B serta orde tertinggi dari turunannya adalah 3.
Persamaan 1 : y = x3 +A x
2 + B x + C , turunan terhadap x
Persamaan 2 : 𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 3x
2 + 2Ax + B , turunan terhadap x
Persamaan 3 : 𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 = 6x + 2A , turunan terhadap x
Persamaan 4 : 𝑑3𝑦
𝑑𝑥3 = 6
Jadi, persamaan diferensial yang dicari adalah 𝑑3𝑦
𝑑𝑥3 = 6
2) Carilah persamaan diferensial dari berkas kardiola r = a (1-cos 𝜃), a = konstanta
sembarang.
Pembahasan :
Karena ada 1 (satu) konstanta sembarang, maka dibutuhkan 2 persamaan untuk
mengeliminasi A dan B serta orde tertinggi dari turunannya adalah 1.
Persamaan 1 : r = a (1-cos 𝜃) , turunan terhadap x
Persamaan 2 : 𝑑𝑟
𝑑𝜃 = a sin 𝜃
Dari persamaan (1) didapat a = 𝑟
1−cos 𝜃
Eliminir a dalam persamaan (2), di dapatkan
𝑑𝑟
𝑑𝜃 =
𝑟
1−cos 𝜃 sin 𝜃
Jadi, persamaan diferensialnya adalah: 1 − cos 𝜃 dr – r sin 𝜃 𝑑𝜃 = 0
Page | 4
2.1. Persamaan Diferensial Variable Terpisah
Suatu persamaan diferensial variable terpisah ditandai oleh fakta bahwa dua peubah dari
persamaan itu bersama-sama masing-masing didiferensianya, dapat ditempatkan di ruas
yang berlawanan.
Dengan manipulasi aljabar, memunkinkan kita menuliskan persamaan diferensial
terpisah dalam bentuk implisit :
y’ = 𝑃(𝑥)
𝑄 (𝑥) , atau
dalam bentuk eksplisit :
𝑑𝑦
𝑑𝑥 =
𝑃(𝑥)
𝑄 (𝑥)
Untuk memperoleh penyelesaian umum suatu persamaan diferensial terpisah, pertama-
tama kita pisahkan kedua peubah dan kemudian integralkan kedua ruas.
Awal Q (y) dy = P (x) dx
Integral P (x) dx = Q (y) dy + C dimana C = Konstanta sembarang
Note: bisa dilakukan hanya pada variable yang sama. Contoh :
Hanya mengandung
variable y
𝑦+1
𝑦2+4 dy = -x dx
Hanya mengandung
variable x
2.2. Contoh Soal dan Pembahasan
Selesaikan setiap persamaan diferensial di bawah ini:
1) y2 dy = (x + 3x
2) dx , bilamana x = 0 dan y = 6 bentuk eksplisit
2) xyy’ + x2 + 1 = 0 bentuk implisit
BAB 2
Page | 5
Pembahasan:
1) y2 dy = (x + 3x
2) dx , syarat harus mengandung variable yang sama pada tiap ruas.
Integralkan kedua ruas
y2 dy = (x + 3x2) dx
𝑦3
3 +C1 =
𝑥2
2 + x3 + C2
y3 =
3𝑥2
2 + 3x3 + (3C2 – 3C1)
= 3𝑥2
2 + 3x3 + C ; C = 3C2 – 3C1
y = 3𝑥2
2 + 3x3 + C
3
Maka, solusi umumnya adalah: = 3𝑥2
2 + 3x3 + C
3
Menghitung konstanta C, kita menggunakan persyaratannya bilamana x = 0 dan
y = 6, maka akan menghasilkan:
6 = 𝐶3
C = 216
Solusi khususnya adalah: y = 3𝑥2
2 + 3x3 + 216
3
2) xyy’ + x2 + 1 = 0
Ubah ke dalam eksplisit
xy 𝑑𝑦
𝑑𝑥 + x
2 + 1 = 0
Bagi tiap-tiap ruas
y dy = − x2 + 1
𝑥 dx
Integralkan masing-masing ruas
y dy = − x2 + 1
𝑥 dx
𝑦2
2 + C = − 𝑋 +
1
𝑥 dx
𝑦2
2 + C = −
x2
2+ 𝐿𝑛 |𝑥| + C
𝑦2 = − x2 − 2 𝐿𝑛 𝑥 + 𝑐
y = − x2 − 2 𝐿𝑛 𝑥 + 𝑐
Maka, solusi umumnya adalah:
y = − x2 − 2 𝐿𝑛 𝑥 + 𝑐
Page | 6
3.1. Materi Reduksi ke Bentuk Persamaan Diferensial Variabel Terpisah
Tidak semua persamaan diferensial mudah untuk didapatkan solusinya. Pada saat
persamaan diferensial memiliki bentuk:
f1 (x) g1 (y) dx ± f2 (x) g2 (y) dy
Maka dibutuhkan reduksi dengan menggunakan faktor integrasi 1
g1 y F2 (x) , yang
kemudian akan menjadi:
f1 (x)
f2 (x) dx ±
g1 (y)
g2 (y) dy = 0
f1 (x)
f2 (x) dx = ±
g1 (y)
g2 (y) dy
Pengitegralan masing-masing ruas:
f1 (x)
f2 (x) dx = ±
g1 (y)
g2 (y) dy
3.2. Contoh Soal dan Pembahasan
Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial berikut:
1) (x3y + yx
2) dx + (y
3x
2 + 2x
2y) dy = 0
2) (x2-1) dx – (2x+xy) dy = 0
Pembahasan
1) (x3y + yx
2) dx + (y
3x
2 + 2x
2y) dy = 0
y (x3 + x
2) dx + x
2 (x
2 + 2y) dy = 0
faktor integrasi : 1
yx2
BAB 3
Page | 7
1
yx2 [y (x
3 + x
2) dx + x
2 (x
2 + 2y) dy] = 0
(x3 + x
2) dx + (x
2 + 2y) dy = 0
Karena sudah memiliki variable yang sama, langkah selanjutnya adalah integralkan.
(x3 + x
2) dx + (x2
+ 2y) dy = 0
𝑥4
4 +
𝑥3
3 +
𝑦4
4 + 𝑦2 + C = 0
x 12
3x4 + 4x
3 + 3y
4 + 12 y
2 = C
Maka, Solusi umumnya adalah 3x4 + 4x
3 + 3y
4 + 12 y
2 = C
2) (x2-1) dx – (2x+xy) dy = 0
(x2-1) dx – x (2+y) dy = 0
faktor integrasi : 1
𝑥
1
𝑥 [(x
2-1) dx – x (2+y) dy] = 0
x2−1
𝑥 dx – (2+y) dy = 0
x2−1
𝑥 dx – (2+y) dy = 0
𝑥2
2 -Ln |x| - 2y -
𝑦2
2 = 0
x 2
𝑥2 - 2 Ln |x| - 4y - 𝑦2 = 0
𝑥2- 𝑦2 - 2 Ln |x| - 4y = 0
Maka, solusi umumnya adalah 𝑥2- 𝑦2 - 2 Ln |x| - 4y = 0
Page | 8
f (x,y) dikatakan homogen berderjat n jika:
f (𝛼x,𝛼y) = 𝛼n f (x,y)
M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0
Syarat persamaan diferensial diatas dikatakan homogeny jika M (x,y) dan N (x,y) adalah
homogeny dan berderajat sama.
4.1. Langkah-langkah Menentujan Penyelesaian Umum Persamaan Diferensial
Homogen
Gunakan tranformasi:
y = u x dy = x du + u dx, atau
x = u y dy = y dy + u du
Persamaan diferensial homogeny tereduksi ke Persamaan Diferensial terpisah
Gunakan aturan persamaan diferensial terpisah untuk mendapatkan solusi umum
persamaan diferensial.
Gantilah u = 𝑦
𝑥 jika menggunakan transformasi y = u x, dan u =
𝑥
𝑦 jika menggunakan
transformasi x = u y untuk mendapatkan kembali variable semula.
4.2. Contoh Soal dan Pembahasan
Buktikan bahwa persamaan tersebut adalah persamaan homogen!
1) y’ = 𝑥3+ 𝑦3
𝑥𝑦2
2) (2x2y + y
3) dx + (xy
2 – 2x
3) dy = 0
Pembahasan:
1) y’ = 𝑥3+ 𝑦3
𝑥𝑦2 𝑑𝑦
𝑑𝑥 =
𝑥3+ 𝑦3
𝑥𝑦2
xy2 dy – (x
3+y
3) dx = 0
BAB 4
Page | 9
fungsi M (x,y) dx
M (x,y) dx = -x3-y
3 = - 𝛼3𝑥3 - 𝛼3𝑦3
= 𝛼3(−𝑥3 −𝑦3)
M (𝛼x,𝛼y) = 𝛼3[M (x,y)]
fungsi N (x,y) dy
N (x,y) dy = xy2 = 𝛼𝑥𝛼3𝑦3
= 𝛼3 (x𝑦2)
N (𝛼x,𝛼y) = 𝛼3[N (x,y)]
didapatkan 𝛼3, maka TERBUKTI persamaan diferensial diatas merupakan
persamaan diferensial homogeny berderajat 3.
2) (2x2y + y
3) dx + (xy
2 – 2x
3) dy = 0
fungsi M (x,y) dx
M (x,y) dx = 2x2y + y
3 = 2𝛼2x
2 𝛼 y + 𝛼3y3
= 𝛼3 (2x2y + y
3)
M (𝛼x,𝛼y) = 𝛼3[M (x,y)]
fungsi N (x,y) dy
N (x,y) dy = xy2 – 2x
3 = 𝛼 x𝛼2y
2 – 2𝛼3x
3
= 𝛼3 (xy2 – 2x
3)
N (𝛼x,𝛼y) = 𝛼3[N (x,y)]
didapatkan 𝛼3, maka TERBUKTI persamaan diferensial diatas merupakan
persamaan diferensial homogeny berderajat 3.
Page | 10
5.1. Persamaan Diferensial dengan M (x,y) dan N (x,y)
Persamaan ini merupakan persamaan linier tetapi tidak homogen. Pandang bentuk
persamaan diferensial dibawah ini:
( ax + by + c ) dx + ( px + qy + r ) dy = 0
Dimana a,b,c,p,q,r merupakan suatu konstanta.
Ada 3 (tiga) kemungkinan yang dapat terjadi:
1) 𝑎
𝑝 =
𝑏
𝑞 =
𝑐
𝑟 = 𝛼
Langkah-langkah penyelesaian:
Karena 𝑎
𝑝 =
𝑏
𝑞 =
𝑐
𝑟 = 𝛼 , maka menggunakan transformasi px + qy + r = u, yang berarti
bahwa ax + by + c = 𝛼u
Bentuk persamaan tereduksi menjadi persamaan dengan variable terpisah dan
kemudian selesaikanlah.
2) 𝑎
𝑝 =
𝑏
𝑞 ≠
𝑐
𝑟
Langkah-langkah penyelesaian:
Gunakan transformasi px + qy = u, dan dari sini berarti dy = 𝑑𝑢−𝑞 𝑑𝑦
𝑞, atau
dx=𝑑𝑢−𝑞 𝑑𝑦
𝑝
Misalkan 𝑎
𝑝 =
𝑏
𝑞 = 𝛽, maka ax + by = 𝛽 u
Persamaan tereduksi menjadi persamaan variable terpisah.
(𝛽 x + C) dx + (u + r) 𝑑𝑢−𝑝 𝑑𝑥
𝑞 = 0, atau (𝛽 x + C)
𝑑𝑢−𝑝 𝑑𝑥
𝑞 + (u + r) 𝑑𝑦 = 0
Selesaikan persamaan variable terpisah ini dan kemudian gantilah x = px + qy untuk
mendapatkan solusi umumnya.
BAB 5
Page | 11
3) 𝑎
𝑝 ≠
𝑏
𝑞
Langkah-langkah penyelesaian:
Gunakan Transformasi
ax + by + c = u a dx + b dy = du
px + qy + r = v p dx + q dy = dv
dari dua persamaan diatas diperoleh bahwa:
dx = 𝑞 𝑑𝑢−𝑏 𝑑𝑣
𝑎𝑞−𝑏𝑝 , dan dy =
𝑎 𝑑𝑢−𝑝 𝑑𝑣
𝑎𝑞−𝑏𝑝
selesaikan persamaan diferensial diatas dan kemudian gantilah kembali u dan v
dengan tranformasi semula untuk mendapatkan solusi umum persamaan
diferensial semula.
5.2. Contoh Soal dan Pembahasan
Tentukan solusi umum persamaan diferensial dibawah ini!
1) (2x – 5y +2) dx + (10y – 4x – 4) dy = 0
2) 𝑑𝑦
𝑑𝑥 =
1−2𝑦−4𝑥
1+𝑦+2𝑥
3) 𝑑𝑦
𝑑𝑥 =
6𝑥−2𝑦−7
2𝑥+3𝑦−6
Pembahasan:
1) (2x – 5y +2) dx + (10y – 4x – 4) dy = 0
a b c q p r
𝑎
𝑝 =
2
−4 = -
1
2 ;
𝑏
𝑞 =
−5
10 = -
1
2 ;
𝑐
𝑟 =
2
−4 = -
1
2
Maka, 𝑎
𝑝 =
𝑏
𝑞 =
𝑐
𝑟 = 𝛼 = -
1
2
Penyelesaian:
px + qy + r = u
ax + by + c = 𝛼 u
= - 1
2 u
(2x – 5y +2) dx + (10y – 4x – 4) dy = 0
- 1
2 u dx + u dy = 0
x u
- 1
2 dx + dy = 0
Page | 12
- 1
2 dx + dy = 0
- 1
2 x + y = C
Maka Solusi umumnya adalah - 1
2 x + y = C
2) 𝑑𝑦
𝑑𝑥 =
1−2𝑦−4𝑥
1+𝑦+2𝑥
(1 − 2𝑦 − 4𝑥) dx = (1 + 𝑦 + 2𝑥) dy = 0
c b a r q p
𝑎
𝑝 =
−4
−2 = 2 ;
𝑏
𝑞 =
−2
−1 = 2 ;
𝑐
𝑟 =
−7
6
Maka,
𝑎
𝑝 ≠
𝑏
𝑞 𝑐
𝑟 = 𝛽 = 2
Penyelesaian:
px + qy = u
-2x+(-y) = u
-2x – y = u
ax + by = 𝛽 u
-4x – 2y = 2u
Pengganti dx atau dy
-2x –y = u
x = 𝑢+𝑦
−2
dx = 𝑑𝑢 +𝑑𝑦
−2
-2x –y = u
y = - (u + 2x)
dy = - du – 2dx
Solusi umum
(1 − 2𝑦 − 4𝑥) dx = (1 + 𝑦 + 2𝑥) dy = 0
(1 – 2u) 𝑑𝑢+𝑑𝑦
−2 - (1 – u) dy = 0
x 2
(1 – 2u) (𝑑𝑢 + 𝑑𝑦) - 2 (1 – u) dy = 0
du + dy + 2udu + 2udy – 2dy + 2udy = 0
du – dy + 2 udu + 4udy = 0
(1 + 2u) du + (4u – 1) dy = 0
: (4u – 1)
1+2𝑢
4𝑢−1 du + dy = 0
Page | 13
1+2𝑢
4𝑢−1 du + dy = 0
1
4𝑢−1 du +
2𝑢
4𝑢−1 du + dy = 0
Ln |4𝑢 − 1| + 2u Ln |4𝑢 − 1| + y = C
Maka, solusi umumnya adalah: Ln |4𝑢 − 1| + 2u Ln |4𝑢 − 1| + y = C
3) 𝑑𝑦
𝑑𝑥 =
6𝑥−2𝑦−7
2𝑥+3𝑦−6
(6𝑥 − 2𝑦 − 7) dx – (2𝑥 + 3𝑦 − 6) dy = 0
a b c p q r
maka didapatkan
𝑎
𝑝 =
6
−2 = - 3 ;
𝑏
𝑞 =
−2
−3 =
2
3 ;
𝑐
𝑟 =
1
−1 = -1
𝑎
𝑝 ≠
𝑏
𝑞
Penyelesaian:
(qu – pv) du + (qv – bu) dv = 0
(-3u + 2v) du + (bv + 2u) dv = 0 Persamaan Diferensial Homogen
Subtitusi:
z = 𝑢
𝑣 , atau u = zv du = v dz + z dv
Solusi Umum:
(-3u + 2v) du + (bv + 2u) dv = 0
(-3 zv + 2v) (v dz + z dv) + (bv + 2 zv) dv = 0
v2 (-3z + 2) dz + v (-3z
2 + 4z + 6) dv = 0
: v2 (-3z + 2)
−3𝑧+2
−3z2 + 4z + 6 dz + v dv = 0
−3𝑧+2
−3z2 + 4z + 6 dz + v dv = 0
−3𝑧
−3z2 + 4z + 6 dz +
2
−3z2 + 4z + 6 dz +
1
2 v2
dv = 0
−3𝑧 𝐿𝑛 | − 3z2 + 4z + 6| + 2 𝐿𝑛 | − 3z2 + 4z + 6| + 1
2 v2
dv = C
x 2
−6𝑧 𝐿𝑛 | − 3z2 + 4z + 6| + 4 𝐿𝑛 | − 3z2 + 4z + 6| + v2 dv = C
Maka, Solusi Umumnya adalah:
−6𝑧 𝐿𝑛 | − 3z2 + 4z + 6| + 4 𝐿𝑛 | − 3z2 + 4z + 6| + v2 dv = C
Page | 14
6.1. Sifat-Sifat Dasar
Suatu persamaan diferensial dengan bentuk:
M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0
Dikatakan persamaan diferensial eksak, jika ada suatu fungsi f(x,y) yang diferensial
totalnya sama dengan M (x,y) dx + N (x,y) dy, yaitu (dengan meniadakan lambang
x dan y):
df = M dx + N dy
uji kepastian : Jika M dan N merupakan fungsi kontinu dan memiliki turunan
parsial pertama yang kontinu pada sebuah segiempat bidang xy,
maka M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0 adalah eksak hanya jika: 𝜕𝑀
𝜕𝑦 =
𝜕𝑁
𝜕𝑥
6.2. Metode Solusi
Untuk menentukan solusi dari M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0, maka secara implicit
diberikan oleh penyelesaian umum f (x,y) = c.
Langkah-langkah menemukan suatu fungsi f (x,y) adalah:
Langkah 1
Perhatikan bahwa:
𝜕𝑓
𝜕𝑥 = M (x,y), dan
𝜕𝑓
𝜕𝑦 = N (x,y)
Langkah 2
Integrasikan (mencari integral) dari M (x,y) terhadap x dengan y tetap.
𝜕𝑓
𝜕𝑥 dx = M (x,y) dx
f (x,y) = [ M (x, y) dx𝑥
] + ∅(𝑦)
dimana ∅𝑦 adalah fungsi sembarang dari y saja.
Langkah 3
Fungsi f (x,y) pada langkah ke-2, didiferensialkan parsial terhadap y yang
selanjutnya akan diperoleh:
BAB 6
Page | 15
𝜕𝑓
𝜕𝑦 =
𝜕
𝜕𝑦 [ M (x, y) dx
𝑥 ] +
𝜕∅
𝜕𝑦
Langkah 4
Karena 𝜕𝑓
𝜕𝑦 = N (x,y) maka,
𝜕∅
𝜕𝑦 = N (x,y) -
𝜕
𝜕𝑦 [ M (x, y) dx
𝑥 ]
Dari sini ∅(𝑦) akan diperoleh.
Langkah 5
∅(𝑦) yang baru saja diperoleh, disubtitusikan ke f (x,y) dalam langkaj ke-2.
Dengan demikian f (x,y) = C dapat diperoleh.
6.3. Contoh Soal dan Pembahasan
Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial di bawah ini dan buktikan
keeksakanya!
1) (2xy + x2) dx + (x
2 + y
2) dy = 0
2) 3x2y
2 dx + (2x
3y + 4y
3) dy = 0
Pembahasan:
1) (2xy + x2) dx + (x
2 + y
2) dy = 0
Pembuktian Persamaan Diferensial Eksak
M (x, y) = 2xy + x2
𝜕𝑀
𝜕𝑦= 2𝑥
N (x, y) = x2 + y
2
𝜕𝑁
𝜕𝑥= 2𝑥
Karena 𝜕𝑀
𝜕𝑦 =
𝜕𝑁
𝜕𝑥, maka persamaan diferensial diatas merupakan persamaan
diferensial eksak.
Mencari Solusi Umum
Langkah 2 (mencari f (x,y))
f (x,y) = [ M (x, y) dx𝑥
] + ∅(𝑦)
= (2xy + x2) dx𝑥
+ ∅(𝑦)
= x2y +
1
3 x
3 + ∅(𝑦)
Page | 16
Langkah 3
𝜕𝑓
𝜕𝑦 =
𝜕
𝜕𝑦 [ M (x, y) dx
𝑥 ] +
𝜕∅
𝜕𝑦
= 𝜕
𝜕𝑦 [ (2xy + x2) dx
𝑥 ] +
𝜕∅
𝜕𝑦
= x2 +
𝜕
𝜕𝑦 ∅(𝑦)
Langkah 4 (mencari ∅(𝑦))
𝜕𝑓
𝜕𝑦 = N (x,y)
x2 +
𝜕
𝜕𝑦 ∅(𝑦) = x
2 + y
2
𝜕
𝜕𝑦 ∅(𝑦) = x
2 + y
2 - x
2
∅(𝑦) = y2 dy
= 1
3 y3 + k
Langkah 5 (Solusi Umum)
f (x,y) = x2y +
1
3 x
3 + ∅(𝑦)
= x2y +
1
3 x
3 +
1
3 y3 = k
x 3
= 3x2y + x
3 + y3 = 3k
Maka solusi umumnya adalah 3x2y + x
3 + y3 = C dengan nilai C=3k
2) 3x2y
2 dx + (2x
3y + 4y
3) dy = 0
Pembuktian Persamaan Diferensial Eksak
M (x, y) = 3x2y
2
𝜕𝑀
𝜕𝑦= 6𝑥2𝑦
N (x, y) = 2x3y + 4y
3
𝜕𝑁
𝜕𝑥= 6𝑥2𝑦
Karena 𝜕𝑀
𝜕𝑦 =
𝜕𝑁
𝜕𝑥, maka persamaan diferensial diatas merupakan persamaan
diferensial eksak.
Mencari Solusi Umum
Langkah 2 (mencari f (x,y))
f (x,y) = [ M (x, y) dx𝑥
] + ∅(𝑦)
= 3x2y2 dx𝑥
+ ∅(𝑦)
= x3y
2+ ∅(𝑦)
Page | 17
Langkah 3
𝜕𝑓
𝜕𝑦 =
𝜕
𝜕𝑦 [ M (x, y) dx
𝑥 ] +
𝜕∅
𝜕𝑦
= 𝜕
𝜕𝑦 [ 3x2y2 dx
𝑥 ] +
𝜕∅
𝜕𝑦
= 2x3y +
𝜕
𝜕𝑦 ∅(𝑦)
Langkah 4 (mencari ∅(𝑦))
𝜕𝑓
𝜕𝑦 = N (x,y)
2x3y +
𝜕
𝜕𝑦 ∅(𝑦) = 2x
3y + 4y
3
𝜕
𝜕𝑦 ∅(𝑦) = 2x
3y + 4y
3 - 2x
3y
∅(𝑦) = 4y3 dy
= y4 + k
Langkah 5 (Solusi Umum)
f (x,y) = x3y
2+ ∅(𝑦)
= x3y
2+ y4 = k
Maka solusi umumnya adalah x3y
2+ y4 = C dengan nilai C = k
Page | 18
Secara umum persamaan M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0 tidak eksak. Terkadang adalah mungkin
mengubah menjadi persamaan diferensial eksak melalui perkalian yang eksak.
Oleh karena itu, fungsi untuk mengubah Persamaan Diferensial tiadk eksak ke bentuk
persamaan diferensial eksak adalah factor integrasi (Faktor pengkali/ Gabung).
7.1. Macam-macam faktor integrasi
Ada beberapa macam faktor integrasinya, yaitu:
Jika,
𝜕𝑀
𝜕𝑦 −
𝜕𝑁
𝜕𝑥
𝑁 = f(x) dimana f(x) merupakan fungsi dari x saja
Faktor Integrasinya: 𝑒 f x dx
Jika,
𝜕𝑀
𝜕𝑦 −
𝜕𝑁
𝜕𝑥
−𝑀 = g(y) dimana g(y) merupakan fungsi dari y saja
Faktor Integrasinya: 𝑒 g y dy
Jika, M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0 merupakan Persamaan Diferensial Homogen dan
xM + yN ≠ 0
Faktor Integrasinya: 1
xM + yN
Jika, M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0 dapat diubah ke bentuk
y f(x,y) dx + x g(x,y) dy = 0 dan f(x,y) ≠ g(x,y)
Faktor Integrasinya: 1
xM − yN
Dan sebagainya
7.2. Contoh Soal dan Pembahasan
Tentukan Faktor Integrasi kemudian tentukan solusi umumnya!
1) 3x2y
2 dx + (4x
3y – 12) dy = 0
2) (2y – x3) dx + x dy = 0
BAB 7
Page | 19
Pembahasan:
1) 3x2y
2 dx + (4x
3y – 12) dy = 0
M = 3x2y
2
𝜕𝑀
𝜕𝑦 = 6x
2y
N = 4x3y – 12
𝜕𝑀
𝜕𝑦 = 12x
2y
Karena 𝜕𝑀
𝜕𝑦 ≠
𝜕𝑁
𝜕𝑥 maka, bukan merupakan persamaan diferensial eksak
𝜕𝑀
𝜕𝑦 −
𝜕𝑁
𝜕𝑥
−𝑀 =
16𝑥2𝑦 −12𝑥2𝑦
−3𝑥2𝑦2 = −2
𝑦 +
4
𝑦 =
2
𝑦
Faktor Integrasi: 𝑒 g y dy = 𝑒
2
𝑦dy
= 𝑒2 ln 𝑦 = y2
Faktor Integrasi f(x)
y2 [3x
2y
2 dx + (4x
3y – 12) dy] = 0
3x2y
4 dx + (4x
3y
3 – 12 y
2) dy = 0
M = 3x2y
4
𝜕𝑀
𝜕𝑦 = 12x
2y
3
N = 4x3y
3 – 12 y
2
𝜕𝑀
𝜕𝑦 = 12x
2y
3
Karena 𝜕𝑀
𝜕𝑦 =
𝜕𝑁
𝜕𝑥 maka, merupakan persamaan diferensial eksak
Solusi Umum
Mencari f(x,y) dengan mengintegralkan M
f (x,y) = [ M (x, y) dx𝑥
] + ∅(𝑦)
= 3x2y4 dx𝑥
+ ∅(𝑦)
= x3y
4+ ∅(𝑦)
Mencari ∅(𝑦) dengan mendiferensialkan f(x,y) = N
𝜕𝑓
𝜕𝑦 = N (x,y)
4x3y
3 +
𝜕
𝜕𝑦 ∅(𝑦) = 4x
3y
3 – 12 y
2
𝜕
𝜕𝑦 ∅(𝑦) = 4x
3y
3 – 12 y
2 - 4x
3y
3
∅(𝑦) = − 12 y2 dy
= - 4 y3 + k
Masukan ke persamaan f(x,y)
f (x,y) = x3y
4+ ∅(𝑦)
= x3y
4 − 4 y3 = k
Maka solusi umumnya adalah x3y
4 − 4 y3 = C dengan nilai C = k
Page | 20
2) (2y – x3) dx + x dy = 0
M = 2y – x3
𝜕𝑀
𝜕𝑦 = 2
N = x 𝜕𝑀
𝜕𝑦 = 1
Karena 𝜕𝑀
𝜕𝑦 ≠
𝜕𝑁
𝜕𝑥 maka, bukan merupakan persamaan diferensial eksak
𝜕𝑀
𝜕𝑦 −
𝜕𝑁
𝜕𝑥
𝑁 =
2−1
𝑥 =
1
𝑥
Faktor Integrasi: 𝑒 f x dy = 𝑒 1
𝑥 dx
= 𝑒ln 𝑥 = x
Faktor Integrasi f(x)
x [(2y – x3) dx + x dy] = 0
(2xy – x4) dx + x
2 dy = 0
M = 2xy – x4
𝜕𝑀
𝜕𝑦 = 2x
N = x2
𝜕𝑀
𝜕𝑦 = 2x
Karena 𝜕𝑀
𝜕𝑦 =
𝜕𝑁
𝜕𝑥 maka, merupakan persamaan diferensial eksak
Solusi Umum
Mencari f(x,y) dengan mengintegralkan M
f (x,y) = [ M (x, y) dx𝑥
] + ∅(𝑦)
= (2xy – x4) dx𝑥
+ ∅(𝑦)
= x2y
−
1
5x5 + ∅(𝑦)
Mencari ∅(𝑦) dengan mendiferensialkan f(x,y) = N
𝜕𝑓
𝜕𝑦 = N (x,y)
x2 +
𝜕
𝜕𝑦 ∅(𝑦) = x
2
𝜕
𝜕𝑦 ∅(𝑦) = x
2 – x
2
∅(𝑦) = 0 dy
= k
Masukan ke persamaan f(x,y)
f (x,y) = x2y
−
1
5x5 + ∅(𝑦)
= x2y
−
1
5x5 = k
Maka solusi umumnya adalah x2y
−
1
5x5 = C dengan nilai C = k
Page | 21
8.1. Metode Solusi
Persamaan linier orde satu memiliki bentuk umum
𝑑𝑦
𝑑𝑥 + P(x) y = Q(x) dengan syarat ruas kanan ≠ 0
Factor integrasi: 𝑒 P x dx
Solusi umum
𝑒 P x dx y = Q(x) 𝑒 P x dx + 𝐶
8.2. Contoh Soal dan Pembahasan
Tentukan solusi umum dari:
1) 𝑑𝑦
𝑑𝑥 + 4y = x -2x
2
2) 𝑦′ + 𝑦 = (1 + 𝑥)2
Pembahasan:
1) 𝑑𝑦
𝑑𝑥 + 4y = x -2x
2
P(x) = 4 ; Q(x) = x – 2x2
Faktor Integrasi: 𝑒 P x dx = 𝑒 4 dx = 𝑒4𝑥
Solusi Umum:
𝑒 P x dx y = Q(x) 𝑒 P x dx + 𝐶
𝑒4𝑥 y = x – 2x2 𝑒4𝑥 + 𝐶
y = 𝑥−2𝑥2
4−
1−4𝑥
16−
1
16 +
𝑐
𝑒4𝑥
y = 4𝑥−8𝑥2−1+4𝑥−1
16 +
𝑐
𝑒4𝑥
y = 4𝑥−4𝑥2−1
8 +
𝑐
𝑒4𝑥
BAB 8
Page | 22
2) 𝑦′ + 𝑦 = (1 + 𝑥)2
𝑑𝑦
𝑑𝑥 + 𝑦 = (1 + 𝑥)2
P(x) = 1 ; Q(x) = (1 + 𝑥)2
Faktor Integrasi: 𝑒 P x dx = 𝑒 1 dx = 𝑒𝑥
Solusi Umum:
𝑒 P x dx y = Q(x) 𝑒 P x dx + 𝐶
𝑒𝑥 y = (1 + 𝑥)2 𝑒𝑥 + 𝐶
𝑒𝑥 y = 𝑒𝑥(1 + 𝑥)2 − 2𝑒𝑥(1 + 𝑥) + 2𝑒𝑥 + C
y = [ 1 + 𝑥 2 − 2 1 + 𝑥 + 2 +𝑐
𝑒𝑥
Page | 23
9.1. Metode Solusi
Bentuk umum dari persamaan diferensial Bernoulli adalah:
𝑑𝑦
𝑑𝑥 + P(x) y = Q(x) y
n
Persamaan Bernoulli akan tereduksi ke persamaan linier orde satu dengan
Transformasi:
z = y-n+1
𝑑𝑧
𝑑𝑥 = (-n + 1) y
-n. 𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥 = (1 – n) y
n.
𝑑𝑧
𝑑𝑥
Persamaan linier orde satu
𝑑𝑧
𝑑𝑥= (1 – n) P(x) y
-n = (1 – n) Q(x)
𝑑𝑧
𝑑𝑥= (1 – n) P(x) z = (1 – n) Q(x)
Dengan faktor integrasi: 𝑒 1 – n P x dx
Solusi umum
𝑒 1 – n P x dx z = (1 – n) Q(x) 𝑒 1 – n P x dx 𝑑𝑥 + C
9.2. Contoh Soal dan Pembahasan
Cari solusi dari:
1) 𝑑𝑦
𝑑𝑥 +
𝑦
𝑥 =
𝑦2
𝑥
2) 𝑑𝑦
𝑑𝑥 + y = xy
3
Pembahasan:
1) 𝑑𝑦
𝑑𝑥 +
𝑦
𝑥 =
𝑦2
𝑥
P(x) = 1
𝑥 ; Q(x) =
1
𝑥 ; n = 2
BAB 9
Page | 24
z = y-n+1
z = y-2+1
z = y-1
𝑑𝑧
𝑑𝑥 = - y
-2. 𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥 = - y
2.
𝑑𝑧
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥 +
𝑦
𝑥 =
𝑦2
𝑥
- y2.
𝑑𝑧
𝑑𝑥 +
𝑦
𝑥 =
𝑦2
𝑥
: - y2
𝑑𝑧
𝑑𝑥 -
1
𝑥 𝑦−1 = −
1
𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑥 -
1
𝑥− 𝑧 = −
1
𝑥 Persamaan Linier Orde Satu
P(x) = −1
𝑥 ; Q(x) = −
1
𝑥
solusi umum:
𝑒 1 – n P x dx z = (1 – n) Q(x) 𝑒 1 – n P x dx 𝑑𝑥 + C
1
𝑥 z = −
1
𝑥
1
𝑥 𝑑𝑥 + C
1
𝑥 z = 𝑥−1 + C
𝑧 =𝑥−1 + 𝐶
1𝑥
Maka, Solusi Umumnya adalah 1
𝑦 = 1 + Cx
3) 𝑑𝑦
𝑑𝑥 + y = xy
3
P(x) = 1 ; Q(x) = xy3 ; n = 3
z = y-n+1
z = y-3+1
z = y-2
𝑑𝑦
𝑑𝑥 =
1
𝑛−1
𝑑𝑧
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥 =
1
−2
𝑑𝑧
𝑑𝑥
Persamaan Diferensial Orde Satu
𝑑𝑧
𝑑𝑥 + (1 – n) z p(x) = (1 – n) Q(x)
Page | 25
𝑑𝑧
𝑑𝑥 + -2y
-2 = -2x
Solusi Umum:
𝑒 1 – n P x dx z = (1 – n) Q(x) 𝑒 1 – n P x dx 𝑑𝑥 + C
𝑒 −2 dx y-2
= −2x 𝑒 −2 dx 𝑑𝑥
−2𝑥 𝑦−2 = 4x2dx
−2𝑥 𝑦−2 = 4
3𝑥3 + k
x 3
−6𝑥 𝑦−2 = 4𝑥3 + 3k
6𝑥 𝑦−2 + 4𝑥3 = C
Maka, Solusi umumnya adalah 6𝑥 𝑦−2 + 4𝑥3 = C ; C =3k
Page | 26
10.1. Pengertian
Soal Nilai Awal merupakan suatu persamaan diferensial bersama dengan kondisi-
kondisi tambahan terhadap fungsi yang dicari dan turunannya yang semuanya diberikan
pada nilai variable independen yang sama. Masalah Nilai awal adalah mencari solusi
khusus dari kondisi awal. Solusi khusus adalah ketika persamaan diferensial hanya
memiliki satu solusi saja. Misalnya (y’)4 + y
2 = 0. Persamaan ini hanya memiliki satu
solusi yaitu y = 0. Dan tidak mengandung nilai C
10.2. Contoh Soal dan Pembahasan
Tentukan solusi umum dan solusi khusus persamaan diferensial dibawah ini!
1) 3x2 + (2y - 1) dy = 0, dimana y=2
2) xy3 dx + (2y + 1) x
2 dy = 0, dimana y=10
Pembahasan:
1) 3x2 + (2y - 1) dy = 0, dimana y=2
3x2 + (2y − 1) dy = 0
x3 + y
2 + y = C Solusi Umum
x3 + (2)
2 + 2 = C
x3 = -6 Solusi Khusus
2) xy3 dx + (2y + 1) x
2 dy = 0, dimana y=10
xy3 dx + (2y + 1) x
2 dy = 0
: y3
x2
𝑥
𝑥2 dx + (2y + 1)
𝑦3 dy = 0
𝑥
𝑥2 dx +
(2y + 1)
𝑦3 dy = 0
𝐿𝑛 𝑥 + 2y + 1 𝐿𝑛 𝑦3 = 𝐶 Solusi Umum
𝐿𝑛 𝑥 + 21 𝐿𝑛 1000 = 𝐶
𝐿𝑛 𝑥 = −145 Solusi Khusus
BAB 10
Page | 27
Tentukan orde dan carilah persamaan diferensial dari:
1) y 𝑑2𝑥
𝑑𝑦2 = y2 + 1
2) y 𝑑𝑥
𝑑𝑦
2
= x2 + 1
3) s 𝑑2𝑡
𝑑𝑠2 + s t
𝑑𝑠
𝑑𝑡 = s
4) 𝑦" + 3𝑦 − 𝑥𝑦 = 0
5) 𝑥𝑦′ + 3𝑦 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2 = 0
Manakah diantara persamaan diferensial berikut yang merupakan persamaan diferensial
variable terpisah?
6) (x2 – y
2) 𝑦′ + xy = 0
7) (x2 y
2 – y
2) 𝑦′ + x = 0
8) (x sin y – x2) 𝑦′ + cos x = 0
9) (x sin y – xy) 𝑦′ + (x2 + 1) y = 0
10) xy 𝑦′ + x2 + 1= 0
Tentukan solusi persamaan diferensial variable terpish dengan mereduksinya!
11) (x2 – 1) 𝑦′ + y
2 + 1 = 0
12) (1 + 2y) 𝑑𝑥 + (x – 4) dy = 0
13) xy dx + (1 + x2) dy = 0
14) (xy + x) dx + (xy – y) dy = 0
15) 𝑑𝑦
𝑑𝑥 =
4𝑦
𝑥𝑦−3𝑥
Page | 28
Buktikan bahwa persamaan di bawah ini adalah persamaan diferensial homogeny kemudian,
carilah solusi umumnya!
16) 2xy dy = (x2 – y
2) dx
17) x sin 𝑦
𝑥 (y dx + x dy) + y cos
𝑦
𝑥 (x dy – y dx) = 0
18) (x2 – 2y
2) dy – 2xy dx = 0
19) 𝑑𝑦
𝑑𝑥 =
𝑥+𝑦
𝑥
20) 𝑑𝑦
𝑑𝑥 =
4𝑦−3𝑥
2𝑥−𝑦
Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial tak homogeny dibawah ini!
21) 𝑑𝑦
𝑑𝑥 =
6𝑥−2𝑦−7
2𝑥+3𝑦−6
22) 𝑑𝑦
𝑑𝑥 =
1−2𝑦−4𝑥
1+𝑦+2𝑥
23) (2x – 3y +5) dx + (24y – 8x – 40) dy = 0
24) (x – 5y +2) dx + (2x – 10x – 4) dy = 0
25) (2x – 5y +2) dx + (10y – 4x – 4) dy = 0
Tunjukkan bahwa PD berikut eksak dan tentukan selesaian umumnya!
26) (x+2y)dx + (y2+2x)dy = 0
27) 2y(x-y)dx + x(x-4y)dy = 0
28) (xsiny-y2)dy – cosy dx = 0
29) (3+y+2y2sin
2x)dx – (ysin2x-2xy-x)dy = 0
30) xcos(xy)dy + (2x+ycos(xy))dx = 0
Tunjukkan bahwa fungsi yang diberikan adalah suatu faktor integrasi dan selesaikan
PD nya:
31) 2ydx+xdy = 0, x
32) sinydx+cosydy=0, 1/x2
33) y2dx+(1+xy)dy=0, e
xy
34) 2dx-ey-x
dy = 0
35) (y+1)dx-(x+1)dy = 0
Page | 29
Selesaikan PD linier orde satu!
36) y’+(2x-1)y = xy2+(x-1)
37) y’+(2x4-1/x))y = x
3y
2+x
5
38) y’-2y/x = -y2/x+x
2
39) y’+(2-1/x)y = y2-2/x
40) y’+2y+y2=0.
Tentukan Solusi Umum dari PD Bernoulli!
41) y’ + y = xy3
42) y’ = y (1 + xy)
43) y - 𝑥
2 y’ = 𝑦
44) 2xyy’ + y2 = x
45) Y’ – y = xy6
Tentukan Solusi khusus dari persamaan diferensial dibawah ini!
46) y'(t) = 3y + 5 , y(0) =1
47) y'(t) = ty +1 , y(0) = 0
48) y'= z, z'= -y , y(0) =1, z(0) = 0
49) y'(t) = −1
1+ 𝑦2 , y(0) =1
50) y” + 5y’ + 6y = 0, y(0) = 1
Lampiran
Basic Forms
(1)
(2)
(3)
(4)
Integrals of Rational Functions
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
Integrals with Roots
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
(28
)
(29)
(30)
(31)
(32)
(33)
(34)
(35)
(36)
(37
)
(38)
(39)
(40)
(41)
Integrals with Logarithms
(42)
(43)
(44)
(45)
(46)
(47)
(48)
(49)
(50)
(51
)
(52)
(53)
(54)
(55)
(56)
(57)
Integrals with Exponentials
(58)
(59)
erf where erf
(60)
(61)
(62)
(63)
(64)
(65)
d
(66)
where d
(67)
erf
(68)
erf
(69)
(70)
erf
Integrals with Trigonometric Functions
(71)
(72)
(73)
(74)
(75)
(76)
(77)
(78)
(79)
(80)
(81)
(82)
(83)
(84)
(85)
(86)
(87)
(88)
(89)
(90)
(91)
(92)
(93)
(94)
(95)
(96)
(97)
(98)
(99)
(100)
(101)
Products of Trigonometric Functions and Monomials
(102)
(103)
(104)
(105)
(106)
(107)
(108)
(109)
(110)
(111)
(112)
(113)
(114)
(115)
(116)
Products of Trigonometric Functions and Exponentials
(117)
(118)
(119)
(120)
(121)
(122)
Integrals of Hyperbolic Functions
(123)
(124)
(125)
(126)
(127)
(128)
(129)
(130)
(131)
(132)
(133)
(134)
- D -
SM. Nababan.2005.Persamaan Diferensial Biasa (Edisi Satu). Jakarta:Universitas Terbuka
Finizio and Ladas. 1988.Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern (Edisi
Kedua).Jakarta:Erlangga
Schaum’s.2007.Persamaan Diferensial (Edisi Ketiga).Jakarta: Erlangga
Varberg, Purcell, Rigdom.2003.Kalkulus Jilid 1. Jakarta: Erlangga
Sitanggang, Curmentyna.2003.Kamus Matematuka (Cetakan ketiga).Jakarta:Balai Pustaka
Soal Ujian Tenga Semester (UTS).2012.Persamaan Diferensial 1.Jakarta.Universitas
Indraprasta PGRI
http://uuniquee.files.wordpress.com/2010/09/persamaan_differensial_-_dr-_st-
_budi_waluya.pdf
http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/195804011985031-
ASEP_SYARIF_HIDAYAT/PERSAMAAN_DIFERENSIAL_I.pdf
http://math.ipb.ac.id/~files/tpb/9PersamaanDiferensialPrint_Mhs.pdf
http://alifis.files.wordpress.com/2009/09/bab-v-masalah-nilai-awal-persamaan-diferensial.pdf
http://dora.student.fkip.uns.ac.id/uncategorized/tutorial-maple-persamaan-differensial-
differential-equations/
http://staff.ui.ac.id/internal/131611668/material/mod-02.pdf