METODE BEDA HINGGA

A. DERET TAYLOR SATU VARIABEL

Deret Taylor fungsi satu variabel disekitar x diberikan sebagai

f ( x+h)=f ( x )+ f '( x )h+f ''( x )

2 !h2+⋯

(1)atau

f ( x+h)=f ( x )+ f '( x )( x+h−x )+f ''( x )

2 !( x+h−x )2+⋯

(2)

Deret Taylor inilah yang merupakan dasar pemikiran metode beda hingga untuk

menyelesaikan persamaan diferensial parsil secara pendekatan numerik. Pendekatan untuk

turunan pertama dilakukan deret Taylor dengan memotong suku-suku berorde h2. Hal ini

disebabkan, untuk h yang cukup kecil, h2 jauh lebih kecil lagi sehingga dapat diabaikan. Jadi

f ' ( x )=f (x+h )−f ( x )

h (3)

yang dikenal sebagai pendekatan Forward Difference (FD). Bila dipilih h̄=−h atau h=h̄

dalam (3) diperoleh

f ' ( x )=f (x )−f ( x+ h̄)

h̄

atau ditulis ulang

f ' ( x )=f (x )−f ( x+h)

h (4)yang dikenal sebagai pendekatan Backward Difference (BD).

Ada pula pendekatan yang dikenal sebagai pendekatan center difference (CD). Untuk

ini digunakan

f ( x+h)=f ( x )+ f '( x )h

f ( x−h )=f ( x )−f ' ( x )hdan dengan mengurangkan kedua persamaan diperoleh

f ' ( x )=f (x+h )−f ( x−h )

2h (5)

Turunan kedua diperoleh dengan cara yang sama. Disini ditinjau deret Taylor hingga nilai

h yang berderajat dua. Pemotongan dilakukan pada h yang berderajat tiga.

Tinjau

f ( x+h)=f ( x )+ f '( x )h+f ''( x )

2 !h2 ,

f ( x−h )=f ( x )− f ' ( x )h+f ''( x )

2 !h2 .

Jumlahkan kedua persamaan diperoleh

f ( x+h)+ f ( x−h )=2 f ( x )+2f ''( x )

2h2 ,

f ''( x )=f ( x+h )+ f ( x−h)−2 f ( x )

h2.

Nilai pendekatan untuk turunan ketiga, keempat dan seterusnya dilakukan dengan cara yang

sama.

B. DERET TAYLOR DUA VARIABEL

Untuk fungsi dua variabel, deret Taylor diturunkan secara sebagian bagian (parsil) terhadap

variabelnya. Jadi untuk u = u(x, y) ekspansi deret Taylor terhadap x dan y diberikan sebagai

u( x+h , y )=u( x , y )+ux (x , y )h+uxx( x , y )h2

2 !+⋯,

u( x , y+k )=u( x , y )+uy (x , y )h+u yy( x , y )k2

2 !+⋯.

(7)

Jadi turunan parsil fungsi terhadap x dan y dengan metode Forward Difference (FD)

dituliskan

ux( x , y )≈u ( x+h , y )−u( x , y )h

,

u y( x , y )≈u (x , y+k )−u( x , y )k

. (8)

Dengan Backward Difference (BD) dituliskan

ux( x , y )≈u ( x , y )−u( x−h , y )h

,

u y( x , y )≈u (x , y )−u ( x , y−k )k

.(9)

Dengan Centered Difference (CD) dituliskan

uxx ( x , y )≈u( x+h , y )−2u (x , y )+u( x−h , y )h2

,

u yy ( x , y )≈u( x , y+k )−2u (x , y )+u( x , y−k )k 2

.(10)

C. SOLUSI PENDEKATAN PDP

Untuk memberikan ide akan cara kerja metode pendekatan beda hingga untuk menyelesaikan

suatu persamaan differensial parsil, marilah meninjau kembali persamaan Laplace dua

dimensi yang dapat diperoleh solusi analitiknya sebagai pembanding. Disini akan ditinjau

PDP Laplace dengan domain persegi

uxx+uyy=0,0<x<a ,0< y<b , (11)

dengan syarat batas

u( x , 0)=f 1 (x ), u( x , b)=f 2( x )u(0 , y )=g1( y ) ,u( a , y )=g2 ( y ) (12)

Gambar 1.

Dengan menggunakan pendekatan Centered Difference pada persamaan (10) diatas,

persamaan (11) dapat ditulis sebagai

U ( x+h , y )−2 U ( x , y )+U ( x−h , y )h2

+U ( x , y+k )−2 U ( x , y )+U ( x , y−k )

k 2=0 ,

atau dengan memperkalikan kedua ruas persamaan dengan h2k2

k 2U ( x+h , y )−2k2U (x , y )+k 2U ( x−h , y )+h2U ( x , y+k )−2h2U ( x , y )+h2U ( x , y−k )=0 ,

atau

U ( x , y )=k2 U ( x+h , y )+k2 U ( x−h , y )+h2 U ( x , y+k )+h2 U ( x , y−k )

2 h2+2 k2.

(13)

Bila nilai h dan k dipilih sama, persamaan (8.13) segera menjadi

U ( x , y )=

h2 (U ( x+h , y )+U ( x−h , y )+U ( x , y+k )+U ( x , y−k ))4 h2

,

U ( x , y )=U ( x+h , y )+U ( x−h , y )+U ( x , y+k )+U ( x , y−k )

4. (14)

Untuk penyederhanaan penulisan, persamaan (8.14) dituliskan

U ij=14 (U i+1, j+U i−1 , j+U i , j+1+U i , j−1) .

(15)

Disini akan digunakan sebuah grid persegi panjang dengan daerah R seperti yang

ditunjukkan pada gambar 2. Misalkan h adalah panjang dari setiap grid pada sumbu x dan k

untuk grid pada sumbu y. Kita akan mengaproksimasi pergeseran u pada himpunan diskrit

dari titik-titik grid koordinat-xy. Misalkan

h= am

, k=bn

dan

U ij=U ( ih , jk ), 0< i<m, 0< j<n. (16)

Gambar 2. Grid R