Persamaan Diferensial

Bentuk umum Persamaan Diferensial

… ……..(1)Untuk menyederhanakan persamaan, semua bagian dibagi dengan sehingga menjadi (misalnya pada Persamaan Diferensial orde 3):

……………(2)

Dalam hal maka persamaan 2 disebut dalam bentuk tereduksi (reduced form)

PD orde 1 dapat diselesaikan dengan integrasi

………..(3)

Ketika , maka persamaan (3) menjadi persamaan tereduksi:

………..(4)

Penyelesaian Persamaan (4)

• Pisahkan variabel-variabelnya. Semua variabel x di sebelah kiri dan variabel y di sebelah kanan

• Integralkan persamaan yang terbentuk

Contoh Aplikasi dalam Kimia

1. Laju reaksi kimia tertentu ternyata sebanding dengan konsentrasi reaktan pada setiap waktu t. Tentuan laju reaksi terintegrasi yang menggambarkan proses tersebut.

Misalnya zat A, maka perubahan konsentrasinya adalah

Dengan pemisahan variabel dan integrasi:

Pada t=0, C=(A)0

Perubahan fasa zat pada tekanan dan suhu konstan dapat dijelaskan dengan persamaan Clapeyron:

DH adalah perubahan entalpi pada perubahan fasa, Vi dan Vf adalah volume awal (initial) dan volume akhir (final)Tentukan bentuk terintegrasi dari persamaan (6) untuk penguapan cairan dengan sumsi bahwa uapnya adalah gas ideal

Untuk perubahan dari cair menjadi gas, persamaan (6) menjadi:

Karena dalam jumlah mol yang sama Vg jauh lebih besar daripada Vl maka persamaan (7) menjadi:

Pada gas ideal

Substitusikan persamaan (9) ke persamaan (8) sehingga persamaan (8) menjadi:

Selesaikan persamaan (10) dengan metode pemisahan variabel dan integrasi:

Latihan

1. Sebuah bola baja dipanaskan sehingga suhunya 100oC. Selanjutnya, pada saat t=0, bola tersebut dicelupkan ke dalam air yang dijaga suhunya pada 30oC. Pada akhir menit ke 3, suhu bola berkurang menjadi 70oC. Tentukan waktu di mana suhu bola turun menjadi 31oC

Persamaan tidak terduksi

Perlu diingat pula bahwa:

Maka, jika persamaan 11 dikalikan dengan akan diperoleh:

Dengan menggunakan persamaan (12) maka persamaan (13) menjadi:

Maka:

disebut sebagai faktor pengintegrasi

Contoh

Dalam reaksi konsekutif C di mana k1 dan k2 adalah konstanta laju reaksinya, konsentrasi B yaitu (B) mengikuti persamaan:

(A)0 adalah konsentasi A pada t=0Tentukan persamaan laju terintegrasi yang menjelaskan konsentrasi B sebagai fungsi waktu

Ubah persamaannya menjadi seperti persamaan (11):

Dalam hal ini faktor pengintegralnya adalah yaitu sama dengan . Pengalian dengan faktor pengintegral:

Dengan analogi yang sama pada persamaan (12) dan (13) ini maka integrasinya menjadi:

C dapat dicari dengan asumsi bahwa pada t=0 maka (B) = 0

Persamaan Diferensial Orde 2

Bentuk umum:

Persamaan tereduksinya menjadi

Penyelesaian coba-cobanya adalah

Turunan pertama dan kedua dari persamaan (16) adalah:

dan Substitusi ke persamaan (15):

Karena maka

Akar-akarnya bisa berupa bilangan nyata (real) maupun imaginer

Penyelesaian Umum

“Kombinasi linear dari penyelesaian persamaan diferensial adalah juga penyelesaian terhadap persamaan

diferensial tersebut”

Boleh jadi kedua akar persamaan adalah nyata dan equal sehingga

Contoh

Metode penyelesaian dengan deret

Misalkan:

Jika diasumsikan bahwa penyelesaian persamaan tersebut adalah suatu deret dengan bentuk:

Maka:

Dan

Dengan mensubstitusikan turunan kedua ke dalam persamaan (18) maka:

Persamaan (19) harus berlaku untuk semua nilai x. Oleh karena itu persamaan tersebut hanya benar jika semua koefisien untuk x adalah 0 dan kerena n tidak mungkin bernilai negatif maka koefisien pada x ketika n=0 dengan pangkat terendah adalah x(𝜅-2) sehingga:

Karena maka sehingga

Kedua suku pada persamaan (19) dapat digabung apabila penjumlahan pertama dilakukan pada n+2 sehingga:

Karena, maka bagian yang di dalam kurung besar harus sama dengan nol sehingga:

Dan

Diferensial exact dan inexact

M(x,y)dx + N(x,y)dy dikatakan sebagai diferensial exact jika ada suatu fungsi F(x,y) sedemikian rupa sehingga:

Jika tidak ada F(x,y) yang memenuhi syarat tersebut maka diferensial disebut inexact

Test Euler

Jika M(x,y)dx + N(x,y)dy adalah exact maka: dan Jika dilakukan penurunan kedua maka dan Karena = maka

Contoh

Tunjukkan bahwa dF=3x2y3dx+3y2x3dy adalah exact

Dapat dituliskan dalam bentuk yang lebih umum sebagai:

Di mana K(y) tidak bergantung pada xTurunan parsial dari F(x,y) menjadi:

Atau

Integrasi dari persamaan (21) menjadi:

Yang menghasilkan:

Contoh:Bukti bahwa adalah exact:

dan dan

Sehingga = dan dF adalah exact

Dan

Karena itu maka:

Yang menghasilkan :

Tugas (setara dengan 2 x pertemuan)

Tugas (dikumpulkan paling lambat Jum’at 30 Mei 2014 jam 16.30): 1. Dengan meneruskan pengembangan di atas,

buktikan bahwa penyelesaian deret tersebut sama dengan cos bx untuk 𝜅=0 dan sin bx untuk 𝜅=1

2. Dengan cara yang sama, turunkan persamaan Hermite, Laguerre dan Legendre

3. Buatlah uraian lengkap tentang persamaan diferensial parsial pada buku Barrante