persamaan diferensial orde-1

PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE-1Cara Penyelesaiannya dengan:#A#PENJUMLAHAN JAWABAN HOMOGEN DAN PARSIAL/PARTIKULER;#B#METODE PEMISAHAN;#C#METODE REDUKSI;#D#METODE FAKTOR INTEGRAL; atau#E#PERSAMAAN DIFERENSIAL BERNOULLI.

A#PENJUMLAHAN JAWABAN HOMOGEN DAN PARSIAL/PARTIKULER

Jawaban: y= yh+ y p

# yh = jawaban homogen yh=A esx

Persamaan menggunakan yh dan dipersamakan dengan nol.

1

# y p = jawaban parsial/partikulerPermisalan y p mengikuti ketentuan-ketentuan berikut.

(1) Untuk f ( x )=eax Pn (x ) , dengan Pn (x ) = polynomial berderajat n .

(a) Jika a bukan akar-akar persamaan karakteristik, maka y p=eax Qn (x ) dengan Qn (x )

= polynomial berderajat n dengan koefisien-koefisien tidak ditentukan.(b) Jika a akar-akar persamaan karakteristik, maka y p=x

r eax Qn ( x ) dengan r adalah jumlah akar yang bernilai a ( r=1 atau r=2 ).

(2) Untuk f ( x )=eax [Pn (x ) cosbx+Qn ( x ) sin bx ] ,

(a) (abi )0y p=e

ax [ SN (x ) cosb x+T N ( x ) sin bx ] , dengan SN ( x ) dan T N ( x ) adalah polinomial-polinomial berderajat Nmaksimum {n ,m } .

(b) (abi )0y p=x

r eax [SN ( x ) cosbx+T N ( x ) sin bx ] , dengan r adalah jumlah akar yang sama dengan(abi ) #untuk persamaan-persamaan orde-2, r=1 .

2

CONTOH#1#penjumlahan jawaban homogen dan parsialSelesaikan persamaan diferensial berikut!

ddx

y+ y=ex

PENYELESAIAN CONTOH#1#penjumlahan jawaban homogen dan parsialJawaban HomogenBentuk persamaan homogenya, adalah: yh

' + yh=0

Dimisalkan: yh=Aesx

>>>>>> yh'=s A esx

Substitusikan yh dan yh'

ke persamaan homogen-nya, diperoleh:

A esx+s A esx=0 (1+s ) A esx=0

Dicari nilai s dari (1+s ) A esx=0 , maka:

3

1+s=0 s=1

Catatan:1+s=0 persamaan karak teristiks=1 akar persamaan karakteristik

Jawaban homogen:yh=Ae

x

Jawaban ParsialBentuk persamaan untuk jawaban parsial, adalah:

y p' + y p=e

x

f ( x )=e x=eax Pn ( x ) , maka: a=1 dan Pn (x )=1 . Berarti n=0 #tidak terdapat fungsi x .

y p=ex [Bx0+0 ] y p=Bex y p'=Be x

4

Substitusikan y p dan y p'

ke persamaan parsial-nya, diperoleh:

B ex+Bex=ex 2Bex=ex

Dicari nilai B dari 2Bex=ex , maka:

2B=1B=12

Jawaban parsial:y p=

12ex

Jawaban keseluruhan (total):y= yh+ y p=A e

x+ 12ex


4 ddx

y+12 y=10 x e5 x

5

PENYELESAIAN CONTOH#2#penjumlahan jawaban homogen dan parsialJawaban HomogenBentuk persamaan homogennya, adalah:

4 yh' +12 yh=0

Dimisalkan: yh=Aesx

>>>>>> yh'=s A esx



4 sA esx+12 A esx=0 (4 s+12 ) A esx=0

Dicari nilai s dari (4 s+12 ) A esx=0 , maka:

4 s+12=0 4 s=12 s=3

Catatan:

6

4 s+12=0 persamaan karak teristiks=3 akar persamaan karakteristik


3x

Jawaban ParsialBentuk persamaan untuk jawaban parsial, adalah:

4 y p' +12 y p=10 x e

5 x

f ( x )=10 x e5 x=eax Pn ( x ) , maka: a=5 akar persamaan karakteristik dan Pn (x )=10 x . Berarti n=1 #terdapat fungsi x .

y p=e5x [Bx+C ] y p'=5e5 x [Bx+C ]+Be5x

4 y p' +12 y p , maka:

7

4 [5e5 x (Bx+C )+Be5x ]+12 [ e5 x (Bx+C ) ]=10 xe5x

4 [ (5e5x Bx )+(5e5 x C )+Be5 x ]+12e5 xBx+12e5xC=10 x e5 x

20 e5x Bx20Ce5x+4 Be5x+12Bxe5 x+12Ce5 x=10x e5x

20 Bxe5 x+12Bxe5x+4 Be5x20Ce5 x+12Ce5x=10 x e5 x

8Bxe5 x+4 Be5 x8Ce5x=10 x e5 x

[8Bx+ (4 B8C ) ] e5x=10 x e5 x

8Bx+ (4 B8C )=10 x

8B=10B=54

4 B8C=0 4 B=8CC=12BC=1

2 (54 )

8

C=58

Jawaban parsial:y p=e

5x [Bx+C ] y p=e5 x [54 x58 ]

y p=( 54 x+ 58 )e5x

Jawaban keseluruhan (total):y= yh+ y p=A e

3 x( 54 x+ 58 )e5x


5 ddx

y15 y=20 x3e3x

9

PENYELESAIAN CONTOH#3#penjumlahan jawaban homogen dan parsialJawaban homogenBentuk persamaan homogennya, adalah:

5 yh'15 yh=0

Dimisalkan: yh=Aesx

>>>>>> yh'=s A esx



5 sA esx15 Aesx=0 (5s15 ) A esx=0

Dicari nilai s dari (5 s15 ) A esx=0 , maka:

5 s15=0 5 s=15 s=3

Catatan:5 s15=0 persamaan karak teristiks=3 akar persamaan karakteristik

10


3x

Jawaban parsialBentuk persamaan untuk jawaban parsial, adalah:

5 y p' 15 y p=20 x

3 e3 x

f ( x )=20 x3 e3 x=xr eax Pn ( x ) , maka: a=3= akar persamaan karakteristik ( r=1 ) dan Pn (x )=20x3 . Berarti n=3 #terdapat fungsi x .

y p=xr Bxn eax

y p=x1 Bx3 e3 x y p=Bx

4 e3x

yp'=Bx4 3e3x+4Bx3 e3x

11

Substitusikan y p dan y p'

ke persamaan parsial-nya ( 5 y p' 15 y p ), maka diperoleh:

5 (Bx43e3x+4 Bx3 e3x )15 Bx4 e3 x=20 x3 e3 x

(15Bx415Bx4 ) e3 x+4 Bx3 e3 x=20 x3 e3x

4 Bx3 e3x=20 x3e3x

4 Bx3=20 x3

4 B=20 B=5

Substitusikan B=5 ke y p=Bx4 e3x=5 x4 e3x , maka:

Jawaban parsial:y p=5 x

4e3x

Jawaban keseluruhan (total):

12

y= yh+ y p=A e3 x+5 x4 e3x

B#METODE PEMISAHANUntuk kondisi dimana terdapat bentuk:

g ( y ) ddx

y+ f ( x )=0 atau g ( y ) ddx y=f ( x ) , maka diubah menjadi:

g ( y ) dy=f ( x ) dx .

Selanjutnya diselesaikan dengan pengintegralan terhadap kedua ruas.CONTOH#1#metode pemisahanSelesaikan persamaan berikut!x (2 y3 )+(x2+1 ) d

dxy=0

13

PENYELESAIAN#CONTOH#1#metode pemisahan

Diubah dalam bentuk: g ( y ) dy=f ( x ) dx , sehingga diperoleh:

(x2+1 ) ddx

y=x (2 y3 )

1(2 y3 )

dy= x(x2+1 )

dx

1(2 y3 ) dy=x dx

(x2+1 )

12

1(2 y3 )

dy= x(x2+1 )dx

12ln (2 y3 )=1

2ln (x2+1 )

(2 y3 )12=(x2+1 )

12 2 y3= 1

x2+1

14

2 y= 1x2+1

+3 2 y= 1x2+1

+3 x2+1

x2+1

2 y= 1x2+1

+ 3 x2+3

x2+1 2 y=1+3 x

2+3x2+1

2 y=3 x2+4

x2+1 y= 3 x

2+42 (x2+1 )

y=3 x2+4

2x2+2

CONTOH#2#metode pemisahanSelesaikan persamaan berikut!

(1ex) sec2 y dy+3ex tan y dx=0

PENYELESAIAN#CONTOH#2#metode pemisahan

15

Diubah dalam bentuk: g ( y ) dy=f ( x ) dx , sehingga diperoleh:

(1ex) sec2 y dy=3 ex tan y dx

sec2 ytan y

dy= 3ex

(1ex )dx

sec2 ytan y

dy= 3ex

(1ex )( 1ex ) d (1ex )

sec2 y 1tan y

dy=3 ex

ex d

(1ex )(1ex)

1cos2 y

cos ysin y

dy=3 d(1ex)

(1ex )

1cos y sin y

dy=3 d(1ex )

(1ex )

16

dysin y cos y

=3 d(1e x)

(1ex )

dy12 [sin ( y+ y )+sin ( y y ) ]

=3 d(1ex )

(1e x)

dy12

[sin 2 y+sin 0 ]=3 d

(1ex )(1ex )

dy12 sin 2 y

=3 d(1ex )

(1ex)

2 dysin 2 y

=3 d(1ex )

(1ex )

2 12 d

(2 y )sin 2 y

=3 d(1ex )

(1ex )

csc 2 y d (2 y )=3 d(1ex )

(1ex )

17

csc 2 y d2 y=3 d (1ex)

(1ex )

ln|tan y|=3 ln (1ex ) tan y=(1ex )3

y= tan1 (1ex )3

C#METODE REDUKSIUntuk kondisi dimana terdapat persamaan diferensial dalam bentuk yang mengandung

yx

(karena y'

dikalikan dengan x ), maka digunakan metode reduksi dengan permisalanyx=u .

yx=u y=u x y '= d

dxy

18

y '=u+ x ddx

u y '=u+x u'

kemudian, substitusikan bentuk y'

dan y yang baru ke persamaan. Selanjutnya, diselesaikan dengan metode pemisahan.

CONTOH#1#metode reduksiSelesaikan persamaan diferensial berikut!

x y '= y+x2 sec( yx )

PENYELESAIAN#CONTOH#1#metode reduksi

x y '= y+x2 sec ( yx ) y '= yx + x2

xsec ( yx )

Diubah ke bentuk dasar: y'=u+x u' .

19

y '= yx+x sec( yx )u+ x u '=u+x secu

x ddx

u=uu+ x sec u x ddx

u=x sec u

ddx

u=sec u dsecu

u=dx cosu du=dx

cosudu=dx sin u=x

u=sin1 x yx=sin1 x

y=x sin1 x

CONTOH#2#metode reduksiSelesaikan persamaan berikut!

20

(x2+1 ) y (x y ' y )=x3

PENYELESAIAN#CONTOH#2#metode reduksi

(x2+1 ) y (x y ' y )=x3(dikalikan dengan 1x)

(x2+1 ) y ( y ' yx )=x2

y ( y ' yx )= x2

(x2+1 )

Diketahui (dalam penjelasan teorema):

yx=u y=ux y'=u+xu'

ux (u+xu 'u )= x2

(x2+1 )

21

u (x u' )= x(x2+1 )

u u'= 1(x2+1 )

u ddx

u= 1(x2+1 )

u du= dx(x2+1 )

u du=12d (x2+1 )(x2+1 )

u du=12d (x2+1 )(x2+1 )

12u2=1

2 ln (x2+1 ) u2=ln (x2+1 )

u= ln ( x2+1 )

D#METODE FAKTOR INTEGRALUntuk kondisi dimana terdapat bentuk:

y '+ f ( x ) y=r ( x )

22

maka penyelesaiannya:

y=eh [eh r ( x ) dx+C ]

h= faktor integral h= f ( x )+C .

CONTOH#1#metode faktor integralSelesaikan persamaan berikut!

(x2+1 ) y '=xyx

PENYELESAIAN#CONTOH#1#metode faktor integral

(x2+1 ) y 'xy=x

y ' x(x2+1 )

y= x(x2+1 )

23

Sesuai teorema sebelumnya, bahwa bentuk dasar: y'+ f ( x ) y=r ( x ) , sehingga:

f ( x )= x(x2+1 )

r ( x )= x(x2+1 )

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++Digunakan teorema dasar:y=eh [eh r ( x ) dx+C ] . h= (faktor integral) h= f ( x )+C .

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

h= x(x2+1 )dx h=1

2ln (x2+1 )

h=ln ( x2+1 )12

Digunakan persamaan dasar:

y=eh [eh r ( x ) dx+C ]

24

y=eln (x2+1 )

12 [ eln (x2+1)

12

( x(x2+1 ) ) dx+C ]

y=(x2+1 )12 [ 1(x2+1 )12 x(x2+1 ) dx+C ]

y=(x2+1 )12 [ x(x2+1 )32 dx+C]

y=(x2+1 )12 [ x (x2+1 )32 dx+C ]

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++Gunakan teorema bentuk integral: x (ax2+c )ndx= 12a

(ax2+c )n+1

n+1;n1

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++Diperoleh:

25

y=(x2+1 )12 (12 ) (x

2+1 )12

12

+(x2+1 )12 C

y=1+(x2+1 )12 C y=1+C x2+1

CONTOH#2#metode faktor integralSelesaikan persamaan berikut!

x2 y2+2xy=sinh 3 x

PENYELESAIAN#CONTOH#2#metode faktor integral

x2 y2+2xy=sinh 3 x{dikalikandengan 1x2 }y2+ 2

xy= 1

x2sinh 3 x

Digunakan bentuk dasar: y'+ f ( x ) y=r ( x ) , sehingga:

26

f ( x )=2x r ( x )= 1

x2sinh 3 x

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++Digunakan teorema dasar:y=eh [eh r ( x ) dx+C ] . h= (faktor integral) h= f ( x )+C .

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

h= 2x dx h=2 ln x=ln x2

h=ln x2

Digunakan teorema dasar: y=eh [eh r ( x ) dx+C ] .

y=eln x2[e ln x2 1x2 sinh 3x dx+C ]

27

y= 1x2 [ x2 1x2 sinh 3 x dx+C ]

y= 1x2

[ sinh 3 x dx+C ]

y= 1x2 [ 12 [e3 xe3 x ] dx+C ]

y= 1x2 [12 e3 x dx12e3x dx+C ]

y= 1x2 [12 13 e3 x12 (13 )e

3x

+C ]

y= 1x2 [ 16 e3x+ 16 e3x+C ]

y= 1x2 [ 16 (e3 x+e3x )+C ]

28

y= 1x2 [ 16 (12 sinh 3 x)+C ] y= 1x2 [13 sinh 3 x+C ]

y= sinh 3 x3 x2

+ Cx2

E#PERSAMAAN DIFERENSIAL BERNOULLIUntuk kondisi dimana terdapat bentuk:

y '+ f ( x ) y=g ( x ) ya , maka untuk penyelesaiannya, semua suku dikalikan dengan (1a ) ya ; sehingga:

(1a ) ya y '+f ( x ) y (1a ) ya=g ( x ) ya (1a ) ya

(1a ) ya y '+f ( x ) (1a ) y1a=(1a ) g ( x )

Selanjutnya dimisalkan:29

u ( x )= y1a u'=(1a ) ya y1

Sehingga:u'+ (1a ) f ( x ) u= (1a ) g ( x )

Bentuk tersebut dapat diselesaikan dengan faktor integral dengan:

h= f ( x ) dx dan r ( x )=g (x ) .

CONTOH#1#persamaan diferensial BernoulliSelesaikan persamaan berikut!y '+x1 y=x y2

Penyelesaian:y '+x1 y=x y2

a=2 ; f ( x )=1x; g ( x )=x ;u= y12= y1= 1

y .

Disubstitusikan ke persamaan dasar:30

u'+ (1a ) f ( x ) u= (1a ) g ( x )

Diperoleh:u'+ (12 ) 1

xu=(12 ) x

u'1xu=x

h= 1x dx=ln x

u=eln x [ eln x x dx +C ]

u=x [ 1x x dx +C ]

u=x [x+C ] u=x2+cxu= 1y

31

1y=x2+cx y= 1

x2+cx

CONTOH#2#persamaan diferensial BernoulliSelesaikan persamaan berikut!3 y '+ y=(12 x ) y4

Penyelesaian:

3 y '+ y=(12 x ) y4 {ruas kiridibagidengan3 }

Menjadi bentuk lain:y '+ 1

3y=(12 x ) y 4

a=4 ; f ( x )=13; g ( x )=(12 x ) ;u= y14= y3= 1

y3

Disubstitusikan ke persamaan dasar:

u'+ (1a ) f ( x ) u= (1a ) g ( x )

Diperoleh:

32

u'+ (14 ) 13 u= (14 ) (12 x )

u'3 13u=3 (12 x ) u'u=3 (12 x )

u 'u=6 x3

h= dx=x

u=ex [ ex (6 x3 ) dx+C ]

u=ex [ ex 6 x dx3ex dx+C ]

u=ex [6 x dex3 ex dx+C ]

u=ex [6 x ex6ex dx3 ex dx+C ]

u=ex [6 x e x9ex+C ]

33

u=ex [ (6 x9 ) ex+C ]

u= (6 x9 ) e2 x+Ce x

u= 1y3 1

y3= (6x9 ) e2 x+Ce

x

y= 3 1(6 x9 ) e2x+Cex

34

persamaan diferensial orde-1

Documents