persamaan diferensial orde-2
DESCRIPTION
Materi KuliahTRANSCRIPT
-
PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE-2(A)HOMOGEN dan (B) TAK HOMOGEN
HOMOGEN
A.1 Homogen Bentuk SederhanaUntuk kondisi dimana terdapat persamaan bentuk:
A y '+By+C=0 .
Dinamakan homogen, karena sama dengan nol, dengan: A , B , dan C adalah konstanta,maka dapat diambil misal: y=Ae
st
, sehingga:
( As '+Bs+C ) A est=0 As '+Bs+C=0
adalah persamaankarakteristik
Berdasarkan persamaan karakteristik, diperoleh akar-akar s1 dan s2 .(1) s1 s2 >>>>> Keduanya bilangan riil, maka: y=a1e
s1 x+a2 es2 x
-
(2) s1=s2 >>>>> Keduanya bilangan riil, maka: y=a1es1 x+a2 x e
s2x
(3) s1 dan s2 >>>>> Keduanya bilangan kompleks ( s1,2=Re+ j I m dan s1 conjugate daris2 ), maka:y=eRe [ (a1+a2 )cos I m . t+ j (a1+a2 ) sI m. t ]
CONTOH SOAL #akar-akar riil dan tidak samaCONTOH#1#akar-akar riil dan tidak samaSelesaikan persamaan berikut!3 y ' '8 y '3 y=0
Penyelesaian:
3 y ' '8 y '3 y=03 s28 s3=0 RUMUS ABC
s1,2=bb24 ac
2a
s1=8+6436
6= 8
6+10
6= 4
3+53= 9
3=3
-
s2=86436
6=810
6=2
6=1
3
y=a1e3x+a2e
13 x
CONTOH#2#akar-akar riil dan tidak samaSelesaikan persamaan berikut!
y ' '4 y '+3 y=0 ;dengan : y (0 )=1dan y ' (0 )=1
Penyelesaian:
y ' '4 y '+3 y=0 s24 s+3=0 RUMUS ABC
s1,2=bb24 ac
2a
s1=4+1612
2=42+ 22=2+1=3
-
s2=86436
6=4222=21=1
y=a1e3x+a2e
x
y '=3a1 e3x+a2 e
x
Substitusi syarat awal
y (0 )=11=a1+a2 a1=1a2
y ' (0 )=1 1=3 a1+a2 3a1=1a2
3 (1a2 )=1a233a2=1a2
31=3a2a24=2a2
a2=42
=2
-
a1=1a2=1(2 )=1+2=1
y=a1e3x+a2e
x y=e3x2ex
CONTOH SOAL #akar-akar riil dan samaCONTOH#1#akar-akar riil dan samaSelesaikan persamaan berikut!y ' '+8 y '+16 y=0
Penyelesaian:
y ' '+8 y '+16 y=0 s2+8 s+16=0 ( s+4 ) (s+4 )=0
s1=s2=4
y=a1e4 x+a2 x e
4 x
CONTOH#2#akar-akar riil dan samaSelesaikan persamaan berikut!
y ' '+4 y '+4 y=0 ;dengan : y (0 )=3dan y ' (0 )=1
-
Penyelesaian:
y ' '+4 y '+4 y=0 s24 s+4=0 ( s+2 ) ( s+2 )=0
s1=s2=2
y=a1e2x+a2 x e
2x
y '=2a1e2 x+a2e
2 x2a2 xe2x
Substitusi syarat awal
y (0 )=3 3=a1+a2 a1=3a2
y ' (0 )=1 1=2a1+a2 1=2 (3a2)+a2
1=6+2a2+a2= 1+6=3a2
-
a2=73
a1=3a2=373=9
37
3=97
3=23
y=a1e3x+a2 x e
x y=23e3x+ 7
3x ex
CONTOH SOAL #akar-akar complex conjugateCONTOH#1#akar-akar complex conjugateSelesaikan persamaan berikut!y ' '2 y '+10 y=0
Penyelesaian:
y ' '2 y '+10 y=0 s22 s+10=0RUMUS ABC
s1,2=bb24 ac
2a
-
s1=2+440
2= 2
2+ 36
2=1+ 36 1
2=1+ 6 1
2 s1=1+ j 3
s2 complex conjugate s1
s2=1 j3
y=a1e(1+ j3) t+a2 e
( 1 j 3) t
y=a1e1 t+ j3 t+a2e
1 t j 3t
y=et [a1e j3 t+a2 e j3 t ]
Ingat, persamaan Euler!!! >>> e ix=cos x+i sin x dan eix=cos xisin x
y=et [a1 (cos3 t+ j sin 3 t )+a2 (cos3 t jsin 3 t ) ]
y=et [ (a1+a2 )cos3 t+ j (a1a2 ) sin 3t ]
y=et [b1cos3 t+ j b2 sin 3t ]
-
Diketahui:b1=a1+a2b2=a1a2
CONTOH#2#akar-akar complex conjugateSelesaikan persamaan berikut!
y ' '6 y '+25 y=0 ;dengan : y (0 )=4 dan y ' (0 )=1
Penyelesaian:
y ' '6 y '+25 y=0 s26 s+25=0 RUMUS ABC
s1,2=bb24 ac
2a
s1=6+36100
2=6
2+ 64
2=3+ 64 1
2=3+ 8 1
2 s1=3+ j 4
s2 complex conjugate s1
-
s2=3 j 4
y=a1e(3+ j4 ) t+a2e
(3 j4) t
y=a1e3 t+ j4 t+a2 e
3 t j 4 t
y=e3 t [a1e j4 t+a2 e j4 t ]
Ingat, persamaan Euler!!! e ix=cos x+i sin x dan eix=cos xisin x
y=e3 t [a1 (cos 4 t+ j sin 4 t )+a2 (cos4 t j sin 4 t ) ]
y=e3 t [ (a1+a2 )cos4 t+ j (a1a2 )sin 4 t ]
y '=3e3t [4 (a1+a2 ) s4 t+ j 4 (a1a2) cos 4 t ]
Substitusi syarat awaly (0 )=4 4=a1+a2 a1=4a2
-
y ' (0 )=1 1=3 j 4 (a1a2 )1= j 12 (a1a2 )
1j 12
=a1a2=112
j=4a2a2
2a2=112
j4 2a2=112
j+4
2a2=12 ( 112 j+4) a2= 124 j+2
a2=2+ j124
a1=4a2=4(2+ j 124 )=2 j 124
a1=2 j124
-
+
(2 j 124 +2+ j 124 )cos 4 t+ j [(2 j 124 )(2+ j 124 )] (sin 4 t ]y=e3t
y=e3 t [(2 j 124 +2+ j 124 )cos 4 t+ j(2 j 1242 j 124 )sin 4 t ]
y=e3 t [4cos 4 t+ j( j 224 )sin 4 t ]
y=e3 t [4cos 4 t+ j( j 112 )sin 4 t ]
y=e3 t [4cos 4 t+ 112 sin 4 t ]
A.2 Homogen dengan Penggunaan Persamaan Cauchy/EulerUntuk kondisi dimana terdapat persamaan bentuk:
-
x2 y ' '+ax y '+by=0 , maka diambil:
y=c xm ; y '=cm xm1 ; dan y ' '=cm (m1 ) xm2 ;
sehingga persamaan menjadi:
c x2m (m1 ) xm2+c a x m xm1+c b xm=0
Bentuk lain:c x2m (m1 ) x
m
x2+c a x m x
m
x+c b xm=0
[dikalikan 1c ], maka:
x2m (m1 ) xm
x2+a x m x
m
x+b xm=0
m (m1 ) xm+am xm+b xm=0
[dikalikan 1xm ], maka:
m (m1 )+am+b=0
Bentuk lain:m2+ (a1 )m+b=0
-
m2+ (a1 )m+b=0 #yang digunakan; #adalah persamaan karakteristik
Berdasarkan persamaan karakteristik, kemudian dicari akar-akar m1 dan m2 . ## m1 danm2 selalu riil.
(1) m1m2 >>>>> y=c1 xm1+c2 x
m2
(2) m1=m2 >>>>> y=c1 xm1+(c2 ln x ) x
m2
>>>>> y=(c1+c2 ln x )xm2
CONTOH#1Selesaikan persamaan berikut!
( z+1 )2 y ' '+5 ( z+1 ) y '+3 y=0
Penyelesaian:
Dimisalkan: ( z+1 )=x
-
x2 y ' '+5 x y'+3 y=0 a=5danb=3
m2+4m+3=0m1=1danm2=3
(#akar-akarnya riil dan tidak sama), selanjutnya disubstitusikan ke:
y=c1 xm1+c2 x
m2
y=c1 x1+c2 x
3
y=c1 ( z+1 )1+c2 (z+1 )
3
CONTOH#2Selesaikan persamaan berikut!
x2 y ' '3 y '+4=0 ;dengan : y (1 )=1dan y ' (1 )=1
Penyelesaian:
-
x2 y ' '3 y '+4=0 a=3danb=4
Substitusikan ke:m2+ (a1 )m+b=0
m2+ (31 )m+4=0
m24m+4=0 (m2 ) (m2 )=0m1=m2=2
Jawaban sementara:y=(c1+c2 ln x )x2
y '=c21xx2+2x (c1+c2ln x )
Substitusikan syarat awal:
y (1 )=1 1=(c1+c2 ln 1 )12
#diketahui: ln 1=0
y (1 )=1 1=(c1+c20 ) 1=c1 c1=1
-
y ' (1 )=1 1=c21112+2 1 (c1+c2 ln1 )
1=c2+2 (c1+c2 0 )
1=c2+2 c11=c2+21 c2=1
Nilai c1=1 dan c2=1 , disubstitusikan ke:y=(c1+c2 ln x )x2
Diperoleh jawaban akhir:y=(1ln x ) x2
TAK HOMOGENUntuk kondisi dimana terdapat persamaan bentuk:
-
y ' '+a y '+by=r ( x ) ., maka jawabannya:
y= yh+ y p
yh=Aesx . y p ditentukan sesuai penjelasan sebelumnya, metode penjumlahan jawaban
homogen dan parsial/partikuler.
CONTOH#1Selesaikan persamaan berikut!
y ' '+5 y '+6 y=9 x4x
Jawaban homogen:
yh' '+5 yh
' +6 yh=0 ; yh=Aesxs2+5 s+6=0 ( s+3 ) ( s+2 )=0 s1=3 ;s2=2
yh=A1 e3x+A2 e
2 x
-
Penentuan jawaban parsial, y p :
y p' '+5 y p
' +6 y p=9x4x
f ( x )=9 x4x=eax Pn ( x ) ;a=0; n=4
y p=B x4+C x3+Dx2+Ex+F
y p' =4 Bx3+3C x2+2Dx+E
y p' '=12B x2+6Cx+2D
Substitusikan ke persamaan, y p :(12B x2+6Cx+2D )+5 (4 B x3+3C x2+2Dx+E )+6 (B x4+C x3+D x2+Ex+F )=9 x4x
12B x2+6Cx+2D+20B x3+15C x2+10Dx+5 E+6 B x4+6C x3+6Dx2+6 Ex+6F=9x4x
6B x4+ (20 B+6C ) x3+(12B+15C+6D ) x2+(6C+10D+6 E ) x+(12D+5E+6 F )=9 x4x
-
Suku x4
: 6B=9B=32
Suku x3
: 20B+6C=0 20 32=6CC=5
Suku x2
: 12B+15C+6D=0 1232+15 (5 )+6D=0 1875+6D=0 D=7518
6=57
6=19
2
Suku x1
: 6C+10D+6 E=1 6 (5 )+10192+6 E=1 E=1+3095
6=66
6=11
Suku x0
: 12D+5E+6 F=0 12192+5 (11 )+6 F=0 F=114+55
6=59
6
Nilai-nilai B=32 , C=5 , D=
192 , E=11 , dan F=
596 disubstitusikan ke y p=B x
4+C x3+Dx2+Ex+F , diperoleh:
y p=32x45 x3+ 19
2x211 x59
6
y= yh+ y p
y=A1 e3x+A2 e
2 x+ 32x45 x3+ 19
2x211 x59
6