BAB IIIKlasifikasi Persamaan Diferensial

Orde-PertamaOleh:

Siska Oktarina (10130306) absen 3 lbr 1

Marfiana Nursanti (10130183) absen 37 lbr 2

BENTUK STANDAR DAN BENTUK DIFERENSIAL

Bentuk Standar dari persamaan diferensial orde-pertama dalam fungsi y(x) yang dicari adalah

(3.1)

di mana turunan muncul hanya di sisi kiri dari (3.1). Banyak, walaupun tidak semua, persamaan diferensial orde-pertama dapat dituliskan dalam bentuk standar melalui penyelesaian secara aljabar dan menetapkan sama dengan sisi kanan dari persamaan yang dihasilkan.

),( yxfy

y

y),( yxf

Sisi kanan dari (3.1) dapat selalu dituliskan sebagai pembagian dua fungsi lainnya .

Dengan demikian (3.1) menjadi

,

yang ekuivalen dengan bentuk diferensial

(3.2)

),( ),( yxNdanyxM

),(/),(/ yxNyxMdxdy

0),(),( dyyxNdxyxM

PERSAMAAN-PERSAMAAN LINEAR

Perhatikan sebuah persamaan diferensial dalam bentuk standar (3.1). Jika dapat dituliskan sebagai (yang artinya, sebagai fungsi dari x dikalikan y, ditambah satu lagi fungsi dari x), persamaan diferensial tersebut adalah linear. Persamaan diferensial orde-pertama dapat selalu dituliskan sebagai

(3.3)

persamaan-persamaan linear dikerjakan dalam Bab 6.

),( yxf)()(),( xqyxpyxf

)()(' xqyxpy

PERSAMAAN-PERSAMAAN BERNOULLI

Suatu persamaan diferensial Bernoulli adalah persamaan dalam bentuk

(3.4)di mana n melambangkan suatu bilangan real. Ketika n = 1 atau n = 0, persamaan Bernoulli akan tereduksi menjadi persamaan linear. Persamaan-persamaan Bernoulli dikerjakan dalam Bab 6.

nyxqyxpy )()('

PERSAMAAN-PERSAMAAN HOMOGEN

Suatu persamaan diferensial dalam bentuk standar (3.1) adalah homogen jika

(3.5)

Untuk setiap bilangan real t. Persamaan-persamaan homogen dikerjakan dalam Bab 4.

Catatan: Dalam kerangka umum persamaan diferensial, istilah “homogen” memiliki arti yang sama sekali berbeda (lihat Bab 8). Arti yang dimaksudkan di atas hanya berlaku dalam konteks persamaan diferensial orde-pertama.

),(),( yxftytxf

PERSAMAAN-PERSAMAAN YANG DAPAT DIPISAHKAN

Perhatikan suatu persamaan diferensial dalam bentuk diferensial (3.2). Jika (fungsi dari x saja) dan (fungsi dari y saja), persamaan diferensial tersebut dapat dipisahkan, atau memiliki variabel-variabel yang dapat dipisahkan. Persamaan-persamaan yang dapat dipisahkan, dikerjakan dalam Bab 4.

)(),( xAyxM )(),( yByxM

PERSAMAAN-PERSAMAAN EKSAK

Suatu persamaan diferensial dalam bentuk diferensial (3.2) adalah eksak jika

Persamaan-persamaan eksak dikerjakan dalam Bab 5 (di mana akan diberikan definisi yang lebih tepat terhadap pengertian “eksak”).

x

yxN

y

yxM

),(),(

Soal-soal dengan Penyelesaian

3.1. Tuliskan persamaan diferensial

dalam bentuk standar.

Dengan menyelesaikan , kita memperoleh yang memiliki bentuk (3.1) dengan

3.2. Tuliskan persamaan diferensial

dalam bentuk standar.

Dengan menyelesaikan , kita memperoleh

Atau yang memiliki bentuk (3.1) dengan

02 yyx

y xyy /2

xyyxf /),( 2

xyeye xx sin2

y

xeyey

xyeyexx

xx

sin

sin2

xeyeyxf xx sin),(

3.3 Tuliskan persamaan diferensial

dalam bentuk standar.

Persamaan ini tidak dapat dipecahkan secara aljabar untuk , dan tidak dapat dituliskan dalam bentuk standar.

3.4 Tuliskan persamaan diferensial

dalam bentuk diferensial.

Dengan menyelesaikan , kita memperoleh

(1)

)/sin()( 5 xyyy

y

xyyy )1(

y

2

2

y

yxy

yxyy

xyyy2

atau

yang merupakan bentuk standar dengan

Persamaan-persamaan diferensial yang dapat diasosiasikan dengan (1) memiliki jumlah yang tak terhingga. Empat diantaranya adalah :

a) Ambillah . Maka

dan (1) ekuivalen dengan bentuk diferensial

2/)(),( yyxyxf

2),(,),( yyxNyxyxM

22 )(),(

),(

y

yx

y

yx

yxN

yxM

0)()( 2 dyydxyx

b) Ambillah . Maka

dan (1) ekuivalen dengan bentuk diferensial

c) Ambillah . Maka

yx

yyxNyxM

2

),(,1),(

22 )/(

1

),(

),(

y

yx

yxyyxN

yxM

0)1(2

dyyx

ydx

2),(,

2),(

2yyxN

yxyxM

22 )2/(

2/)(

),(

),(

y

yx

y

yx

yxN

yxM

dan (1) ekuivalen dengan bentuk diferensial

d) Ambillah

. Maka

dan (1) ekuivalen dengan bentuk diferensial

022

2

dyy

dxyx

2

2

2),(,),(

x

yyxN

x

yxyxM

222

2

/

/)(

),(

),(

y

yx

xy

xyx

yxN

yxM

02

2

2

dyx

ydx

x

yx

3.5 Tuliskan persamaan diferensial dalam bentuk diferensial .

Persamaan ini memiliki bentuk diferensial dalam jumlah yang tidak terbatas. Salah satunya adalah

yang dapat dituliskan dalam bentuk (3.2) sebagai

(1)

xydxdy //

dxx

ydy

0)1( dydxx

y

Dengan mengalikan (1) dengan x, kita memperoleh

(2)

sebagai bentuk diferensial kedua. Dengan mengalikan (1) dengan , kita memperoleh

(3)

sebagai bentuk diferensial ketiga. Masih banyak lagi bentuk diferensial yang bisa diturunkan dari (1) dengan mengalikan persamaan tersebut dengan berbagai fungsi x dan y lainnya.

0)( dyxdxy

y/1

011

dyy

dxx

3.6 Tuliskan persamaan diferensialdalam bentuk standar.

Persamaan ini dalam bentuk diferensial. Kita menulisnya ulang sebagai

yang memiliki bentuk standar

atau

0123 2 dyyxdxxy

dxxydyyx 312 2

12

32

yx

xy

dx

dy

12

3'

2

xy

xyy

3.7 Tentukan apakah persamaan-persamaan diferensial berikut berbentuk linear:

a) e)

b) f)

c) g)

d) h)

xeyxy sin'

xeyxy sin'

5'y

xyy 2'

0' 5 xyy

yyxy '

yexyy x'

0' y

xy

(a) Persamaan ini linear; disini dan

(b) Persamaan ini tidak linear karena adanya suku sin y.

(c) Persamaan ini linear; disini dan .

(d) Persamaan ini tidak linear karena adanya suku .

(e) Persamaan ini tidak linear karena adanya suku .

(f) Persamaan ini tidak linear karena adanya suku .

(g) Persamaan ini linear. Persamaan ini dapat ditulis ulang sebagai dengan dan

.

(h) Persamaan ini tidak linear karena adanya suku .

xxp sin)( xexq )(

0)( xp 5)( xq2y5y2

1

y

0)(' yexy x xexxp )(0)( xq

y/1

3.8 Tentukan apakah ada diantara persamaan-persamaan diferensial dalam soal 3.7 yang merupakan persamaan Bernoulli.

Semua persamaan yang linear adalah persamaan Bernoulli dengan . Selain itu, tiga diantara persamaan yang tidak linear, (e), (f), dan (h), juga demikian. Tuliskan ulang sebagai ; ini memiliki bentuk (3.4) dengan , , dan . Tuliskan ulang (f) sebagai

Ini memiliki bentuk (3.4) dengandan

. . Tuliskan ulang (h) sebagai dengan

0n

)(e 5' xyy 0)( xp xxq )( 5n

2/111' y

xy

xy

xxqxp /1)()(

2/1n 1' xyy

1dan )(,0)( n xxqxp

3.9 Tentukan apakah persamaan-persamaan diferensial

berikut ini homogen:

a)

b)

c)

d)

x

xyy

'

x

yy

2

'

y

xyx

xyey

y

x

sin

2'

22

3

2

'x

yxy

a) Persamaan ini homogen, karena

b) Persamaan ini tidak homogen, karena

 

),(, yxf

x

xy

tx

xyt

tx

txtytytxf

yxfx

yt

tx

yt

tx

tytytxf ,,

2222

c) Persamaan ini homogen, karena

d) Persamaan ini tidak homogen, karena

),(sin

2

sin

2

sin

2,

22

/

2222

2

22

/

yxf

yx

yx

xye

yx

ytxt

xyet

tytx

tytx

etytxtytxf

yx

y

x

tytx

),(,32

2

33

22

3

2

yxfxt

ytx

xt

tyxt

tx

tytxtytxf

3.10 Tentukan apakah persamaan-persamaan diferensial berikut dapat dipisahkan:

a)

b)

c)

a) Persamaan diferensial ni dapat dipisahkan; disini

0sin 2 dyyxdx

0222 dyyxdxxy

01 ydydxxy

2)(),(dan sin)(),( yyByxNxxAyxM

b) Persamaan ini tidak dapat dipisahkan dalam bentuk yang diberikan, karena bukan fungsi dari x saja. Tapi jika kita membagi kedua sisi dari persamaan ini dengan , kita memperoleh persamaan

, yang dapat dipisahkan. Di sini,

(c) Persamaan ini tidak dapat dipisahkan , karena

, yang bukan merupakan fungsi dari x saja.

 

2),( xyyxM

22 yx

0)1()/1( dydxx

1)(dan /1)( yBxxA

xyyxM 1),(

3.11 Tentukan apakah persamaan-persamaan diferensial berikut adalah eksak:

a)

b)

a) Persamaan ini adalah eksak; disini

, dan .

b) Persamaan ini tidak eksak. Disini

; sehingga dan

03 32 dyxyydxx

02 dyyxydx

32 ),(,3),( xyyxNyxyxM 23// xxNyM

0/,/ xNxyM

xNyM //

2),(dan ),( yyxNxyyxM

3.12 Tentukan apakah persamaan diferensial adalah eksak.

Istilah “eksak” hanya memiliki definisi untuk persamaan- persamaan dalam bentuk diferensial, bukan bentuk standar . Persamaan diferensial yang diberikan memiliki banyak bentuk diferensial. Salah satu bentuk tersebut diberikan dalam Soal 3.5, Pers. (I), sebagai

Di sini,

xyy /'

01 dydxx

y

1),(,/),( yxNxyyxM

x

N

xy

M

01

  dan persamaan ini tidak eksak. Bentuk diferensial kedua untuk persamaan diferensial yang sama diberikan dalam Pers. (3) dari Soal 3.5 sebagai

Di sini

dan persamaan ini eksak. Jadi, suatu persamaan diferensial tertentu memiliki banyak bentuk diferensial, beberapa diantaranya mungkin eksak.

011

dyy

dxx

yyxNxyxM /1),(,/1),(

x

N

y

M

0

 

3.13 Buktikan bahwa suatu persamaan yang dapat dipisahkan selalu eksak.

Untuk suatu persamaan diferensial yang dapat dipisahkan,

Jadi,

Karena , persamaan diferensial ini eksak.

).(),(dan )(),( yByxNxAyxM

0

)(),(dan 0

,

x

yB

x

yxN

y

xA

y

yxM

xNyM //

 

3.14 Suatu teorema persamaan diferensial orde-pertama menyatakan bahwa jika kontinu dalam sebuah segiempat

,maka terdapat suatu interval disekitar dimana soal nilai-awal memiliki solusi unik.

Soal nilai-awal memiliki dua solusi dan .

Apakah hasil ini melanggar teorema tersebut?

Tidak, disini, dan dengan demikian, tidak eksis di titik 0.

yyxfyxf /,dan ),(byyaxx 00 ,:

0x 00; ,' yxyyxfy

0)0(; 2' yyy0ydan xxy

yyxf 2),( yf /

Soal-soal Tambahan

Dalam Soal 3.15 hingga 3.25. tuliskan persamaan – persamaan diferensial yang diberikan dalam bentuk standar.

3.15.

3.16 .

3.17.

3.18.

0' 2 yxy

'' yxye x

xyyy sin' 23

1'cos' yyxy

3.19.

3.20.

3.21.

3.22.

3.23.

3.24.

3.25.

xe yy '

2'6'5' 2 yyxyy

02 dyydxyx

0

dydxyx

yx

0

dyyx

yxdx

02 dyedxye xx

0 dxdy

Dalam Soal 3.26 hingga 3.35, persamaan-persamaan diferensial diberikan dalam bentuk standar dan diferensial. Tentukan apakah persamaan-parsamaan dalam bentuk standar bersifat homogen dan/atau linear, dan, jika tidak linear, apakah merupakan persamaan Bernoulli; tentukan apakah persamaa-persamaan dalam bentuk diferensial, diberikan sebagaimana tertulis dalam soal, bersifat tidak dapat dipisahkan dan/atau eksak.

3.26.

3.27.

3.28.

0;' dyxydxxyy

01

;' dyy

xdxxyy

01;1' dydxxyxyy

3.29.

3.30.

3.31.

3.32 .

3.33.

3.34.

3.35.

0;'2

2

2

2

dydxy

x

y

xy

0;' 222

2

dyydxxy

xy

02;2

' 2 dyxxydxx

yy

0;' 32232

2

dyyyxdxxyyyx

xyy

0)(;' 22222

2

dyyyxdxxy

yyx

xyy

01

;' 2233 dyxy

dxyxxyyxy

02;2'222

dyedxxexyexxyy xxx