Pemodelan dengan Persamaan Diferensial Orde Satu

Pemodelan dengan PersamaanDiferensial Orde SatuModel LinearModel NonlinearModel Linear & NonlinearModel Linear Pertumbuhan populasi Peluruhan zat radioaktif Hukum Newton tentang pendinginan/pemanasan Penyebaran penyakit Pencampuran cairan dalam tangki Rangkaian listrik

Model Nonlinear Dinamika populasi Persamaan logistik1Rangkaian Listrik

Rangkaian seri RLPersamaan diferensial linear untukarus i(t) pada rangkaian RL adalah

dengan L dan R konstanta yaituinduktansi dan resistensi.Arus i(t) disebut juga respondari sistem.2Rangkaian Listrik

Rangkaian seri RCPersamaan diferensial linear untukarus i(t) pada rangkaian RC adalah

dengan C adalah kapasistansi danq adalah muatan pada kapasitor.Karena i = dq/dt maka

3Rangkaian ListrikContoh:Sebuah baterai 12 volt dihubungkan ke suatu rangkaian seri yangdengan induktansi henry dan resistensi 10 ohm. Tentukanarus i(t) jika arus awal adalah nol.Jawab:

Persamaan diferensial:dengan i(0) = 0.Masing-masing ruas dibagi dengan diperoleh

4Faktor integral:Maka kita peroleh

Setelah diintegralkan didapat

Karena i(0) = 0 maka diperoleh c = -6/5 sehingga respondari sistem adalah

5Rangkaian ListrikPersamaan diferensial:

mempunyai solusi umum:Jika E(t) = E0 adalah konstan maka

Ketika t maka suku kedua menuju nol. Suku kedua ini disebutSebagai suku transien atau arus transien. Sedangkan suku E0/R disebut sebagai suku steady-state atau arus steady-state.6Latihan2. Persamaan diferensial untuk rangkaian RL adalah

Selesaikan persamaan diferensial tersebut jika

1. Sebuah electromotive force (emf)

digunakan pada rangkaian seri RL dengan induktansi 20 henrydan resistensi 2 ohm. Tentukan arus i(t) jika i(0) = 0.7dengan i(0) = i0.Jaringan ListrikSuatu jaringan listrik yang mempunyai lebih dari satu buah loop memberikan beberapa persamaan diferensial yang simultan.Perhatikan gambar di bawah ini, arus i1(t) bercabang dititik B1.8

Berdasarkan hukum Kirchhoff I:

Kita juga bisa menerapkan hukumKirchhoff II untuk masing-masingloop.Jaringan Listrik9

Untuk loop A1B1B2A2A1:

Untuk loop A1B1C1C2B2A2A1:

Jaringan Listrik10Kemudian gunakan i1 = i2 + i3 untuk mengeliminasi arus i1.Jadi, kita peroleh persamaan diferensial dalam i2 dan i3.

Latihan11Tentukan sistem persamaan diferensial orde satu yangmenggambarkan arus i2(t) dan i3(t) dalam jaringan listrikyang ditunjukkan dalam gambar berikut ini.

Pertumbuhandan PeluruhanPersamaan diferensial yang merepresentasikan pertumbuhandan peluruhan adalah

Dalam aplikasi biologi laju pertumbuhan suatu populasi (bakteri, sekelompok hewan) dalam periode pendek adalah sebanding dengan jumlah populasi pada saat t.12 Dalam aplikasi fisika dan kimia dapat dilihat sebagai bentuk dari reaksi orde satu, yaitu reaksi dengan laju atau kecepatan dx/dt sebanding dengan jumlah zat yang tersisa pada saat t.Pertumbuhan Bakteri Suatu populasi bakteri pada awalnya berjumlah P0. Pada saat t = 1 jam jumlah populasi bakteri adalah (3/2)P0. Jika laju pertumbuhan sebanding dengan jumlah populasi bakteri P(t) pada saat t, tentukan waktu yang dibutuhkan ketika populasi bakteri menjadi tiga kali lipatnya.Jawab: 13Waktu ParuhDalam fisika, waktu paruh mengukur kestabilan zat radioaktif.Waktu paruh adalah waktu yang dibutuhkan oleh setengah dari atom-atom dengan jumah awal A0 untuk meluruh kedalam atom-atom jenis lain.Contoh: 14Suatu reaktor mengubah uranium 238 yang relatif stabil menjadiisotop plutonium 239. Setelah 15 tahun dapat ditentukan bahwa 0.043% dari plutonium dengan jumlah awal A0 telah meluruh. Tentukan waktu paruh isotop jika laju peluruhan sebanding dengan jumah sisa zat.Pendinginan/Pemanasan15Hukum Newton tentang pendinginan/pemanasan:Laju perubahan temperatur T(t) dari suatu benda sebanding dengan perbedaan antara temperatur benda T dan temperatur sekitar A, ditulis

dengan k adalah konstanta positif.Contoh: Ketika sebuah kue dikeluarkan dari oven temperaturnya adalah300 oF. Tiga menit kemudian temperaturnya adalah 200 oF. Berapalama kue tersebut mendingin menjadi suhu ruang yaitu 70 oF.Pencampuran16Laju suatu zat dalam tangki adalah

dengan x adalah massa zat, ri dan ro adalah laju larutan yang masuk dan keluar, ci dan co adalah konsentrasi larutan yg masukdan keluar.Contoh: Sebuah tangki berisi 200 liter air dimana 30 gram garam terlarutdi dalamnya. Air asin yang mengandung garam 1 gram/liter dipompa masuk ke dalam tangki dengan laju 4 liter/menit. Larutan yang teraduk dengan baik dipompa keluar dengan laju yangsama. Tentukan banyaknya garam dalam tangki pada saat t.Latihan171. Populasi suatu kota tumbuh pada laju yang sebanding jumlah populasi sekarang saat t. Pada awalnya populasi berjumlah 500 orang dan meningkat 15% setelah 10 tahun. Berapa banyak populasi setelah 30 tahun? Seberapa cepat pertumbuhan populasi pada saat t = 30?2. Suatu isotop radioaktif timah, Pb-209, meluruh pada laju yang sebanding dengan jumlah zat pada saat t dan mempunyai waktu paruh 3.3 jam. Jika pada awalnya isotop ini adalah 1 gram, tentukan berapa lama waktu yang dibutuhkan agar 90 % dari timah meluruh?Latihan183. Sebuah termoter diambil dalam ruangan kemudian dibawa keluar ruangan dimana temperaturnya adalah 5 oF. Setelah satu menit, termometer menunjukkan angka 55 oF dan setelah 5 menit menunjukkan angka 30 oF. Berapakah temperatur awal di dalam ruangan?4. Sebuah tangki diisi 500 galon air murni. Air asin yang mengandung 2 pon garam per galon dipompa masuk ke dalam tangki dengan laju 5 galon per menit. Larutan yang teraduk dengan baik dipompa keluar dengan laju yang sama. Tentukan banyaknya garam dalam tangki pada saat t.