PENGENALAN SOFTWARE MATEMATIKA WOLFRAM

UNTUK BERBAGAI KOMPUTASI PADA

BIDANG TEKNIK ELEKTRO Ir. Timbang Pangaribuan, MT

Ir. Sahat P. Siahaan, MT Dosen Tetap Fakultas Teknik

Program Studi Teknik Elektro Fakultas Teknik Universitas HKBP Nommensen

Jl. Sutomo No. 4A Telepon (061)4522922 Fax 4571426 Medan 20234

e-mail : timbang.nommensen@gmail.com

ABSTRACT

An engineer must relate to the engineering design process requires computing is quite good, so it can perform

computation for various design purposes. Of the college experience, a computational tool that is often used is the

FORTRAN and MATLAB software. This last encountered a new experience in computing with software

TUNGSTEN. This software has the ability to very high and wide in the fields of mathematics, physics and engineering

fields. From the experience of using software Wolfram, encountered no ease in obtaining computing output in the

form of numerical data or graph data, so the software is demonstrated reliability in computing engineering field.

Therefore, it is worth doing the research to develop computational algorithms process, especially in the field of

electrical engineering. If the author managed to build algorithms and examples for using the application program, then

this software will add to the wealth of computing in Electrical Engineering Program Faculty of Engineering in

particular and in general.

Keywords : computation, algorithm, numerical data.

1. Latar Belakang

Software yang sering digunakan dalam komputasi bidang teknik elektro adalah

FORTRAN dan MATLAB, tetapi belakangan ini ditemui alat komputasi numerik terbaru dengan

nama Software Wolfram Mathematica. Pada sisi wolfram mathematika, suatu proses persamaan

numerik yang akan dihitung dinyatakan sebagai bagian dari input, dan hasil yang diperoleh

dinyatakan sebagai bagian dari output, dan keduanya input dan output akan ditampilkan secara

bersamaan atau simultan dalam satu window atau satu workspace. Kemudian dalam workspace

yang sama dapat dilakukan berbagai jenis komputasi secara bersamaan, boleh saling berkaitan dan

boleh bebas satu sama lainnya. Wolfram Mathematika adalah sebuah alat proses komputasi dalam

bentuk perangkat lunak, seperti ditunjukkan dalam Gambar 1.

Program komputasi yang akan diproses harus selalu ditunjukkan dalam tampilan

program. Suatu program dapat memiliki area tertentu dan dapat dijalankan hanya pada satu area

saja atau dapat juga dijalanakan semua area program secara bersamaan.

Gambar 1. Tampilan Awal Wolfram Mathematica

2. Perumusan Masalah

Yang menjadi masalah dalam tulisan ini adalah bagaimana membangun rancangan proses

untuk berbagai komputasi yang diperlukan dalam dunia teknik elektro, sehingga solusi setiap

persamaan dalam desain kecil atau besar dapat ditampilkan dengan mudah. Selain itu untuk

melakukan analisis yang berulang-ulang dengan cepat dalam memilih parameter tertentu yang

diperlukan dalam desain, tentunya akan lebih mudah jika dimiliki suatu proses komputasi yang

kompleks, sesuai dan lebih mudah. Dari sejumlah pengamatan buku literatur dan masalah-masalah

tugas akhir mahasiswa khususnya dalam desain yang menyangkut komputasi, penelitian ini akan

menghasilkan tuntunan penggunaan wolfram dalam komputasi dunia teknik elektro, diantaranya

adalah menyelesaikan persamaan diferensial model linier dan nonlinier, membuat proses

komputasi berulang, menampilkan grafik dalam berbagai bentuk dan lain sebagainya yang

diperlukan.

3. Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dari penulisan ini adalah untuk memberikan tahapan-tahapan dalam

menyelesaikan berbagai persamaan yang tunggal atau persamaan yang saling bergantungan dalam

suatu proses desain. Penelitian ini diharapkan memberi sumbangsih yang besar dalam komputasi

khususnya dalam menyelesaikan persoalan desain sistem, oleh karena itu diperlukan membangun

penuntun dalam penggunaan wolfram mathematica, sehingga secara bertahap mahasiswa teknik

elektro akan familiar menggunakan wolfram mathematica.

4. Tinjauan Pustaka

Secara umum bentuk persamaan dalam bidang teknik elektro ada dua jenis, jenis yang

pertama menggunakan hanya bilangan riil dan jenis yang kedua menggunakan bilangan kompleks.

Di kedua persamaan tersebut ada yang harus dilakukan berulang-ulang, ada yang harus dikerjakan

dalam grafik dari batas Xmin sampai batas Xmaks dalam sumbu horizontal. Ada juga persamaan

yang harus diselesaikan dalam bentuk analitik, misalnya menyelesaikan persamaan diferensial

biasa, mulai dari orde pertama, orde kedua, orde ketiga sampai orde tingkat tinggi, persamaan

integral tak tentu atau dengan batas tertentu, persoalan tansformasi Laplace dan lain sebagainya.

Persamaan diferensial ada dalam bentuk persamaan linier dan ada pula dalam bentuk

persamaan nonlinier. Persamaan dalam bentuk linier dapat dilakukan dengan berbagai cara dengan

bentuk standar yang berlaku, tetapi dalam dunia teknik proses tersebut membutuhkan waktu

penyelesaian yang lama, maka diperlukan proses penyelesaian yang cepat tentunya menggunakan

program matematika komputer.

Suatu filter ideal dalam bidang telekomunikasi, memiliki fungsi transfer dalam kawasan

frekuensi w dengan persamaan Hd(ejw) dan memiliki respon frekuensi dengan bentuk rectangular.

Jika fungsi rectangular ini dikonvolusikan dengan sebuah fungsi lainnya disebut dengan window

W(ejw) yang memiliki respon bukan rectangular, maka akan diperoleh respon filter H(ejw) seperti

ditunjukkan pada Gambar 2. Efek dari window yang diberikan adalah diperolehnya suatu batas

frekuensi passband, transition band dan stopband dengan batas frekuensi tertentu.

Sebuah filter Finite Impulse Response (FIR) causal dengan respon impuls h(n), dan respon

dimaksud dapat diperoleh dengan mengkonvolusikan dengan sebuah window lain w(n) yang

berawal dari titik 0 dan berakhir di N-1 yang diberikan oleh persamaan (1).

Gambar 2. Respon Frekuensi Lowpass Filter Metoda Windowing

)(2/1

2/1sin)( nw

Nn

Nnwnh c

(1)

Respon pulsa h(n) akan menghasilkan kurva yang simetris di titik n = , dan window juga akan

simetris pada suatu titik = (N-1)/2. Selanjutnya respon frekuensi H(ejw) untuk respon impuls

dari persamaan (1) dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan (2).

2/)3(

0

2/)1(cos)(22

1 N

n

jw NnwnhN

heH (2)

Langkah pertama adalah menentukan koefisien filter h(n) dari persamaan (1). Selanjutnya

hasilnya dimasukkan ke persamaan (2) serta variable lainnya yang diperlukan diberikan.

Perhitungan pada persamaan (2) dapat berulang dari n=0,1,….,N sedemikian, untuk setiap

frekuensi w sebagai variable dalam menggambarkan respon frekuensi.

Dalam sistem kendali, deskripsi matematik dari karakteristik dinamik suatu sistem yang

dikendalikan disebut model matematik. Secara umum bentuk persamaan diferensial orde ke-n

sistem dinamik plant yang bersifat linier dapat dituliskan seperti persamaan (3).

)()()(

........)()(

011

1

1 tutyadt

tdya

dt

tyda

dt

tydn

n

nn

n

(3)

Dalam hal ini, an-1,…, a1, a0 : adalah konstanta

y(t) : variabel output sebagai fungsi dari waktu t.

u(t) : variabel input sebagai fungsi dari waktu

Persamaan (3) di atas umumnya dibentuk kedalam persamaan ruang keadaan, sehingga persamaan

diferensial tersebut akan diuraikan menjadi sejumlah persamaan diferensial orde pertama. Dalam

hal ini terdapat sejumlah variabel baru x1, x2, ......., xn yang disebut dengan variabel keadaan dalam

persamaan ruang keadaan orde ke-n, sebagai persamaan diferensial orde kesatu sebanyak n buah.

uxaxaxadt

yd

dt

dx

xdt

yd

dt

dx

xdt

yd

dt

dx

xdt

dy

dt

dx

yx

nnn

n

n

n

nn

n

n

n

12110

1

1

1

1

32

2

2

21

1

......

.......... (4)

Selanjutnya untuk menyelesaikan setiap state tersebut dilakukan pengintegrasian, maka

pengambilan keputusan dalam mengamati respon sistem yang didesain apakah sudah memenuhi

kriteria atau spesifikasi yang diinginkan atau belum dapat dilakukan dengan baik.

5. Metodologi Penelitian

Metoda Penelitian yang akan dilakukan adalah dengan melakukan langkah-langkah

sebagai berikut :

1. Memilih dan menentukan bentuk-bentuk persamaan yang akan digunakan untuk

pelaksanaan komputasi.

2. Memilih jenis algoritma dan proses komputasi yang akan digunakan secara bersamaan

untuk mencari solusi termudah dan terbaik.

3. Menentukan proses penyelesaian persamaan-persamaan yang dipilih dan

menerjemahkannya dalam program komputer yang digunakan.

Suatu persamaan diferensial dapat diselesaikan dengan pendekatan numerik. Untuk

persamaan diferensial orde pertama dilakukan dengan,

𝑑

𝑑𝑡 𝑥(𝑡) = 𝑓(𝑥) =

𝑥(𝑡+ℎ) − 𝑥(𝑡)

ℎ (5)

Integrasi dari persamaan (5) dapat diselesaikan sehingga solusi x(t) diperoleh dengan,

𝑥(𝑡 + ℎ) = 𝑥(𝑡) + ℎ 𝑑𝑑𝑡

𝑥(𝑡) = 𝑥(𝑡) + ℎ 𝑓(𝑥) (6)

Persamaan (6) di atas dapat diselesaikan secara numerik dengan memilih interval waktu h

sedemikian rupa, sehingga diperoleh hasil integrasi numerik dengan batas watu tertentu; dalam hal

ini nilai h dipilih sekecil mungkin misalnya h < 0,01 detik.

Dalam bentuk lain, jika persamaan diferensial orde pertama yang terbentuk dari sejumlah

persamaan diferensial misalnya f1(x), f2(x) dan f3(x) dan lain sebagainya, artinya lebih dari satu

persamaan diferensial orde pertama, maka bentuk x(t+h) harus juga dibuat dalam bentuk x1(t+h),

x2(t+h) dan x3(t+h). Secara manual persamaan ini akan dihitung lebih rumit dan akan lebih sulit

jika diperlukan pengulangan perhitungan dengan bentuk persamaan dan variable lainnya.

Pendekatan solusi persamaan (6) memiliki keakuratan dan kelemahan yang rendah jika

diinginkan menyelesaikan persamaan diferensial nonlinier. Misalkan suatu persamaan diferensial

nonlinier satu variabel dari bentuk Ginzburg-Landau dengan persamaan,

𝑑

𝑑𝑡 𝑥(𝑡) = −𝑥 + 𝛾 𝑥3 (7)

dengan adalah parameter riil bernilai positip, maka solusi yang tepat yang dapat dilakukan

menyelesaikan persamaan (7) di atas adalah sulusi integrasi Runge-Kutta orde ke empat yang

memiliki persamaan:

𝑥(𝑡 + ℎ) = 𝑥(𝑡) + ℎ 𝐾1+ 2 𝐾2+ 2 𝐾3+ 𝐾4

6 (8)

Jika pada saat t = 0 diketahui x(t) = x0, maka nilai x saat t = t + h diperoleh dengan,

K1 = -x0 + x03

K2 = -(x0 + K1/2) + (x0 + K1/2)3

K3 = -(x0 + K2/2) + (x0 + K2/2)3

K4 = -(x0 + K3) + (x0 + K3)3 (9)

Untuk proses selanjutnya sampai diperoleh kondisi steady state, maka diberikan

penambahan waktu untuk setiap komputasi dengan t = t + 2 h, t = t + 3 h, t = t + 4 h dan seterusnya.

6. Komputasi Numerik Matematika Wolfram Komputasi numerik Wolfram memiliki bentuk workspace dimana layar komputasi dan

layar grafik berada dalam satu window yang sama. Pada window workspace, perhitungan

langsung dapat dilakukan dan output yang diinginkan untuk ditampilkan dapat dituliskan secara

langsung. Komputasi numerik untuk suatu persamaan akan lebih mudah dilakukan, jika si

pengguna telah mulai terbiasa menggunakan program function. Oleh karena itu sebaiknya sebuah

persamaan yang hasilnya diinginkan akan diberikan dalam bentuk grafik, maka persamaan

dimaksud haruslah tertera dalam bentuk function.

Misalnya sebuah persamaan respon waktu sistem orde kedua dalam sitem kendali memiliki

bentuk,

y(t) = 1 - e-z w t 1

√1−𝑧2 sin [w (√1 − 𝑧2 ) t + tan-1

√1−𝑧2

𝑧 ]

Terlihat bahwa persamaan di atas memiliki 2 buah konstanta z dan w, dan 1 variabel waktu yaitu

t. Akan diamati grafik y(t) untuk z berobah dari z = 0.1 ; z = 0.2 ; z = 0.3 dan w=1; w=2; w=3

untuk interval waktu yang sama, t = 20 detik.

Dua variabel dijadikan sebagai parameter yang berubah. Parameter z dapat berubah dari

0,05 sampai 0,95 dengan kenaikan 0,05 dan parameter w berubah dari 1 sampai 3 dengan kenaikan

0,5. Saat program ini dijalankan dengan menekan tombol SHIFT dan ENTER secara bersamaan,

maka program akan RUN. Selanjutnya jika tombol play di CLICK, akan terjadi perubahan

parameter z dan w. Demikianlah animasi respon dapat dilihat setiap saat, dari waktu x = 0 sampai

2500 secara berulang-ulang.

Gambar 3. Grafik dari Animasi Respon saat z = 0,1 dan w = 3

Contoh Kasus Sistem Orde Pertama

Misalkan suatu sistem orde pertama memiliki persamaan diferensial plant dengan,

�̇�(𝑡) + 𝑦(𝑡) = 1

a. Solusi Menggunakan Solusi Analitik

Dengan proses memakai Solusi Analitik, dibuat program Wolfram seperti berikut:

Selanjutnya untuk kondisi awal ditentukan y(0) = 0 maka diperoleh solusi persamaan

(4-12) tersebut adalah,

Atau hasilnya sama dengan y(t) = 1 – e-t

dan selanjutnya hasil grafik persamaan (4-12) diberikan seperti Gambar 4.7.

Gambar 4. Hasil Dengan Solusi Matematika

b. Solusi Menggunakan Solusi Numerik Metoda Runge-Kutta

Dengan menggunakan proses yang dilakukan memakai metode Runge-Kutta derajat ke-

empat, dibuat program seperti berikut ini :

Fungsi dibentuk dengan

f[t_,y_] = 1 – y

dan variable persamaan Runge Kutta dibuat dengan S1, S2, S3 dan S4. Setiap variable

tersebut menggunakan f[t_,y_] di atas.

Selanjutnya diperoleh hasil grafik persamaan (4-12) seperti Gambar 4.8.

0 1 2 3 4 50.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

Gambar 5. Hasil Dengan Metoda Runge-Kutta

Perbandingan hasil dari kedua solusi tersebut yaitu solusi Analitik dan solusi metoda

numeric Runge-Kutta diberikan pada Gambar 4 dan Gambar 5, hasilnya adalah sama dan memiliki

error y(t) ~ 0. Asumsi yang dapat dibuat, jika solusi ini sama maka solusi untuk plant sistem NON-

LINIER dapat dipastikan sama. Alasan ini perlu karena untuk solusi analitik siatem persamaan

non-linier sangat sulit dilakukan secara manual.

6.1. Contoh Plant Sistem Orde Kedua Misalkan suatu sistem orde pertama memiliki persamaan diferensial,

�̈�(𝑡) + 2 �̇�(𝑡) + 26 𝑦(𝑡) = 26

a. Solusi Menggunakan Solusi Analitik

Dengan Solusi Analitik dibuat program seperti berikut ini :

Selanjutnya untuk kondisi awal ditentukan y’(0) = 0 dan y(0) = 0 maka diperoleh

solusi persamaan (4-13) tersebut adalah,

0 1 2 3 4 50.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

Dan hasil grafik ditunjukkan pada Gambar 6.

Gambar 6. Hasil Dengan Solusi Matematika

b. Solusi Menggunakan Solusi Numerik Runge-Kutta Dengan menggunakan proses yang dilakukan memakai metode Runge-Kutta untuk plant

orde kedua, langkah pertama yang digunakan adalah membagi persamaan ke bentuk persamaan

state yaitu,

𝑥1 = 𝑦

𝑥2̇ = �̈� = −2 𝑥2 − 26 𝑥1 + 26

𝑥1̇ = �̇� = 𝑥2

Selanjutnya dibuat formulasi program dengan membuat dua buah penyelesaian persamaan

diferensial orde satu di atas dengan metoda Runge-Kutta seperti berikut ini.

1 2 3 4 5

0.5

1.0

1.5

Selanjutnya diperoleh hasil grafik persamaan (4-13) seperti Gambar 7 untuk variable sate

x1 dan Gambar 8 untuk variable sate x2 .

Kedua Solusi Analitik dan Solusi Numerik Runge-Kutta adalah memberikan hasil yang

sama dengan error ~ 0 seperti ditunjukkan pada Gambar 7 dan Gambar 8.

Gambar 7 . Hasil Dengan Metoda Runge-Kutta untuk x1

1 2 3 4 5

0.5

1.0

1.5

Gambar 8. Hasil Dengan Metoda Runge-Kutta untuk x2

6.2. Contoh Dalam Pemrosesan Sinyal

Sebuah Low Pass Filter ideal ditunjukkan pada Gambar 2 sebelumnya. Batas frekuensi

pada filter digital adalah antara – dan , dan frekuensi filter diberikan oleh batas w0. Filter

memiliki transition band sebesar 4/N, dengan N adalah derajat filter yang diperoleh untuk

rancangan. Frekuensi fc adalah sebagai batas passband frekuensi, dan frekuensi fr adalah sebagai

batas stopband frekuensi.

Fungsi-fungsi berbagai jenis window yang sering digunakan dalam desain filter digital

adalah sebagai berikut :

1. Rectangular. Window rectangular mempunyai amplitudo sama dengan satu untuk

filter terbatas pada derajat N.

𝜔𝑅(𝑛) = {1, 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁 − 10, 𝑒𝑙𝑠𝑒𝑤ℎ𝑟𝑒

2. Hanning. Window Hanning mempunyai amplitudo yang dibentuk oleh fungsi

cosinus, untuk filter terbatas pada derajat N.

𝑤𝐻𝑎𝑛(𝑛) = {{1 − cos [2𝜋𝑛

(𝑁 − 1)⁄ ]}

2⁄ , 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁 − 1

0, 𝑒𝑙𝑠𝑒𝑤ℎ𝑒𝑟𝑒

Cara yang mudah untuk memperoleh sebuah filter Finite Impulse Response (FIR) adalah

memotong dengan simpel respon impuls dari sebuah filter Infinite Impulse Response (IIR). Jika

hd(n) merepresentasikan respon impuls dari sebuah filter IIR yang diinginkan, maka filter FIR

dengan respon impuls h(n) dapat diperoleh sebagai berikut :

Definisikanlah K1, w1 dan K2, w2 merepresentasikan spesifikasi frekuensi cut-off dan

stopband untuk filter digital, maka perancangan sebuah filter digital diberikan dengan step-step

seperti berikut ini :

Step 1. Diilih terlebih dahulu type dari window yang akan digunakan.

Step 2. Dipilih jumlah titik pada window untuk memenuhi lebar transition bandnya,

sehingga diperoleh frekuensi transisi dengan persamaan,

wt = w2 – w1 N

k 2.

dalam hal ini k nilainya tergantung dari jenis window yang digunakan. Disusun

ulang kembali persamaan di atas maka akan diperoleh,

1 2 3 4 5

2

1

1

2

3

4

12

2.

ww

kN

Step 3. Pilihlah wc untuk membentuk respon impuls dengan,

wc = w1 dan

Selanjutnya pemilihan koefisien filter yang membentuk respon impuls diperoleh

dengan persamaan,

)(2/1

2/1sin)( nw

Nn

Nnwnh c

Step 4. Tentukanlah respon frekuensi H(ejw) dengan menggunakan persamaan,

2/)3(

0

2/)1(cos)(22

1 N

n

jw NnwnhN

heH

6.2.1. Window Rectangular

Untuk memperoleh respon pulsa dengan type window yang digunakan adalah

Rectangular dengan N = 55, dengan memilih frekuensi cut-off adalah 0,15 sebagai variable b

dalam program, maka dibuat program seperti berikut ini :

Loop : Respon Pulsa Window Rectangular Clear[wh,hd,T,W,H,p1,p2,g1,g2]; M=55; a=(M-1)/2; b=0.15*Pi;

wh[n_]=1 ; hd[n_]=Sin[b*(n-a)]/(Pi*(n-a)) ; T = Table[ j-1,{j,1,M+1}] ; W = Table[ 0,{j,1,M+1}] ; H = Table[ 0,{j,1,M+1}] ; Do[ w1 = wh[i]; W[[i+1]]=w1; If[i a,H[[i+1]]=(b/Pi)*w1,H[[i+1]]=w1*hd[i]]; ,{i,1,M} ]; p1=Transpose[{T,W}];

g1= ListPlot[p1,PlotStyle PointSize[0.01`],Filling Axis] p2=Transpose[{T,H}];

g2 =ListPlot[p2, PlotRange {{0,M},{-0.2*b/Pi,1.2*b/Pi}}]

Hasil yang diperoleh dalam bentuk respon pulsa adalah seperti pada Gambar 9, Gambar

10 dan Gambar 11.

Gambar 9. Respon Pulsa Rectangular Asal

Gambar 10. Respon Pulsa Window Rectangular

Gambar 11. Respon Frekuensi Window Rectangular

6.2.2. Window Hanning

Untuk memperoleh respon pulsa dengan type window yang digunakan adalah Hanning

dengan N = 55, dengan memilih frekuensi cut-off adalah 0,15 sebagai variable b dalam program,

maka dibuat program seperti berikut ini :

Loop : Respon Pulsa Window Hanning Clear[wh,hd,T,W,H,p1,p2,g1,g2]; M=55;

0 1 2 3 4 5 6

0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

a=(M-1)/2; b=0.15*Pi; wh[n_]=(1-Cos[Pi*n/a])/2 ; hd[n_]=Sin[b*(n-a)]/(Pi*(n-a)) ; T = Table[ j-1,{j,1,M+1}] ; W = Table[ 0,{j,1,M+1}] ; H = Table[ 0,{j,1,M+1}] ; Do[ w1 = wh[i]; W[[i+1]]=w1; If[i a,H[[i+1]]=(b/Pi)*w1,H[[i+1]]=w1*hd[i]]; ,{i,1,M} ]; p1=Transpose[{T,W}]; g1= ListPlot[p1,PlotStyle ->PointSize[0.01`],Filling ->Axis] p2=Transpose[{T,H}]; g2 = ListPlot[p2,Filling ->Axis,PlotRange ->{{0,M},{-0.2*b/Pi,1.2*b/Pi}}]

Hasil yang diperoleh dalam bentuk respon pulsa adalah seperti pada Gambar 12, Gambar

13 dan Gambar 14.

Gambar 12. Respon Pulsa Hanning Asal

Gambar 13. Respon Pulsa Window Hanning

Gambar 14. Respon Frekuensi Window Hanning

Hasil penelitian ini adalah sama jika dikerjakan dengan Program Matlab seperti Riset yang

telah dilakukan pada tahun 2012 dengan judul riset DESAIN FILTER DIGITAL

MENGGUNAKAN TEKNIK WINDOWING DENGAN SIMULASI BERBASIS MATLAB.

Maka dapat disimpulkan kembali dari hasil yang dicapai pada bagian ini bahwa Pemrograman

Wolfram sudah memberikan kontribusi baru dalam dunia teknik elektro, tetapi perlu melakukan

sosialisasi kepada mahasiswa pengguna sebagai pelatihan tentang tata cara mengoperasikan

Software Wolfram ini.

Kesimpulan

Setelah melakukan pembahasan dalam penelitian ini, penulis memberikan beberapa

kesimpulan seperti berikut ini :

1. Menurut perkiraan penulis dan seperti pengalaman penulis dalam menggunakan software

wolfram, bahan yang diberikan dalam penelitian ini khususnya bab 3 dan bab 4 sudah

sangat memadai untuk mahasiswa program S1 bidang teknik elektro, kelemahannya hanya

terletak pada waktu dan kesempatan supaya software ini menjadi bagian dalam kurikulum

teknik elektro.

2. Menurut perkiraan penulis dan seperti pengalaman penulis dalam menggunakan software

wolfram juga setelah menyelesaikan sejumlah simulasi dalam sistem kendali dan

pemrosesan sinyal, contoh-contoh yang diberikan sudah sangat memadai dan dapat

membantu mahasiswa dalam melakukan simulasi bidang listrik baik sistem linier maupun

nonlinier.

7. Daftar Pustaka

Steven Wolfram, 1991, Mathematica in A System for Doing Mathematics by Computer, Addison-

Wesley Publishing Company, Inc.

Fausto Pedro García Márquez, 2013, Digital Filters and Signal Processing, InTech Publishers,

Croatia.

0 1 2 3 4 5 6

0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

Jaan Kiusalaas, 2005, Numerical Methods in Engineering with Matlab, Cambridge University

Press, New York.

Katsuhiko Ogata, 1994, Solving Control Engineering Problems with Matlab, Prentice-Hall, Inc.,

London.

Katsuhiko Ogata, 1997, Modern Control Engineering, Prentice-Hall, Inc., London.

Lonnie C. Ludeman, 1987, Fundamentals of Digital Signal Processing, John Wiley & Sons, New

York.

Mikhaylo Andriychuk, 2012, Numerical Simulation, from Theory to Industry, InTech Publishers,

Croatia.

Shoiciro nakamura, 1991, Applied Numerical Methods with Software, Prentice-Hall, Inc., London.

Vasilios N. Katsikis, 2012, Matlab – A Fundamental Tool For Scientific Computing and

Engineering Applications, InTech Publishers, Croatia.

Wai-Kai Chen, 2005, A Mathematical Introduction to Control Theory, World Scientific

Publishing Co. Pte. Ltd., London.