1
TKS 4003 Matematika II
Persamaan Diferensial β Non Homogen β
(Differential: Non Homogen)
Dr. AZ
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik
Universitas Brawijaya
Definisi
Fungsi F(x,y) disebut fungsi homogen bila terdapat n X R
sehingga berlaku F(kx,ky) = knF(x,y), dengan n disebut order
dari fungsi homogen F(x,y).
Jika syarat di atas tidak terpenuhi, maka disebut dengan PD non
Homogen yang mempunyai bentuk :
(ax + by + c)dx + (px + qy + r)dy = 0 (1)
dengan
a, b, c, p, q, r adalah konstanta.
2
Untuk menyelesaikan PD non Homogen tersebut, terlebih dahulu
harus diperhatikan kondisi yang mungkin terjadi, yaitu :
1. Jika π
πβ
π
πβ
π
π atau ππ β ππ β π
2. Jika π
π=
π
πβ
π
π atau ππ β ππ = π
3. Jika π
π=
π
π=
π
π= π
Definisi (lanjutan)
Kondisi 1
1. Jika π
πβ
π
πβ
π
π atau ππ β ππ β π
ππ + ππ + π = πβΉ π π π + π π π = π π
ππ + ππ + π = π βΉ π π π + π π π = π π
π π π + π π π = π π Γ π βΉ ππ π π + ππ π π = π π π
π π π + π π π = π π Γ π βΉ ππ π π + ππ π π = π π π
ππ β ππ π π = π π π β π π π
akan diperoleh dx :
π π =π π πβπ π π
ππβππ (2)
3
Kondisi 1 (lanjutan)
Dengan cara eleiminasi yang sama, akan diperoleh dy :
π π =π π πβπ π π
ππβππ (3)
Kemudian substitusikan nilai u, v pada Pers. 2 dan Pers. 3 ke
Pers. 1 (bentuk PD semula) :
π π π + π π π = π
π π π πβπ π π
ππβππ+ π
π π πβπ π π
ππβππ= π
Kondisi 1 (lanjutan)
π π π π β π π π + π π π π β π π π = π
ππ π π β ππ π π + ππ π π β ππ π π = π
ππ β ππ π π + ππ β ππ π π = π (4)
β PD Homogen
Setelah PD awal (Pers. 1) sudah terbentuk menjadi seperti
Pers. 4, maka penyelesaian selanjutnya dapat menggunakan
Penyelesaian PD Homogen.
4
Contoh Kondisi 1
Selesaikan PD berikut :
π + ππ β π π π β ππ + π β π π π = π
Penyelesaian :
π + ππ β π π π β ππ + π β π π π = π
π
π=
π
βπ, π
π=
π
βπ, dan
π
π=
βπ
βπ
karena π
πβ
π
πβ
π
π , maka dapat diselesaikan untuk Kondisi 1.
Contoh Kondisi 1 (lanjutan)
π + ππ β π = π βΉ π π + ππ π = π π
βππ β π + π = π βΉ βππ π β π π = π π
ππ π + ππ π = ππ π
βππ π β π π = π π +
ππ π = ππ π + π π
akan diperoleh dy :
π π =ππ π+π π
π
π π + ππ π = π π
βππ π β ππ π = ππ π +
βππ π = π π + ππ π
akan diperoleh dx :
π π =βπ πβππ π
π
5
Contoh Kondisi 1 (lanjutan)
π π π + π π π = π
πβπ πβππ π
π+ π
ππ π+ππ π
π= π
π βπ π β ππ π + π ππ π + π π = π
βπ + ππ π π + βππ + π π π = π β PD Homogen
Kemudian diselesaikan dengan Penyelesaian PD Homogen :
βπ
π+ π π π + βπ
π
π+ π π π = π
misal π =π
π βΉ π π = π π π + π π π
βπ + π π π π + π π π + π β ππ π π = π
Contoh Kondisi 1 (lanjutan)
βππ π π + ππ π π β πππ π + ππ π π + π π β ππ π π = π
π βπ + π π π + π β ππ π π = π
bagi dengan π π β ππ
βπ+π
πβπππ π +
π
ππ π = π
βπ+π
πβπππ π +
π
ππ π = πͺπ
βπ+π
πβπππ π + ππ π = ππ πͺ , dengan ππ πͺ = πͺπ
6
Contoh Kondisi 1 (lanjutan)
dengan menggunakan Integral Fungsi Rasional, diperoleh :
βπ
πππ π + π +
π
πππ π β π + ππ π = ππ πͺ
ππ β π + π βπ/π + π β π π/π + π = ππ πͺ
β π + π βπ/π + π β π π/π + π = πͺ
π β π π/π + π = πͺ + π + π π/π
π β π π + ππ = πͺπ + π + π
Substitusi kembali π =π
π :
π
πβ π
π
+ ππ = πͺπ +π
π+ π
Kondisi 2
2. Jika π
π=
π
πβ
π
π atau ππ β ππ = π
Misal π
π=
π
π= π , maka π = ππ dan π = ππ , sehingga
apabila disubstitusi ke Pers. 1 akan diperoleh :
ππ + ππ + π π π + ππ + ππ+ π π π = π
ππ + ππ π π + π π π + ππ + ππ + π π π = π
πππ+πππ π π + π π π + ππ + ππ + π π π = π
π ππ+ ππ π π + π π π + ππ + ππ + π π π = π (5)
7
Kondisi 2 (lanjutan)
ambil π = ππ + ππ β π π = π π π + π π π
π π =π πβπ π π
π
Substitusi ke Pers. 5, diperoleh :
πππ πβπ π π
π+ π
π πβπ π π
π+ π + π π π = π
ππ π π β π π π + π π π β π π π + π π + π π π = π
ππ π π β πππ π π + π π π β ππ π π + ππ π π + ππ π π = π
Kondisi 2 (lanjutan)
ππ + π π π + ππ + ππ β πππ β ππ π π = π
ππ + π π π + ( π β ππ π + ππ β ππ )π π = π (6)
Pers. 6, adalah bentuk PD yang peubahnya dapat dipisah.
8
Contoh Kondisi 2
Selesaikan PD berikut :
ππ β ππ + π πβ² + π β ππ + π = π
Penyelesaian :
ππ β ππ + ππ π
π π+ π β ππ + π = π
ππ β ππ + π π π + π β ππ + π π π = π β PD non Homogen
π
π=
π
π= π,
π
π=
βπ
βπ= π, dan
π
π=
π
π
karena π
π=
π
πβ
π
π , maka dapat diselesaikan untuk Kondisi 2.
Contoh Kondisi 2 (lanjutan)
π π β ππ + π π π + (π β ππ + π)π π = π (7)
ambil π = π
π = π β ππ βΉ π π = π π β ππ π βΊ π π = π π + ππ π
Substitusi ke Pers. 7 :
ππ π π + π π π + π + π π π + π π π = π
ππ π π + + π + π π π + ππ π π + π π π = π
ππ + ππ π π + π + π π π = π
PD di atas adalah PD dengan peubah yang mudah dipisahkan,
sehingga dapat dibagi dengan ππ + ππ .
9
Contoh Kondisi 2 (lanjutan)
π π +π+π
ππ+πππ π = π
π π + π+π
ππ+πππ π = π
π + π(π+π)
π(ππ+ππ)π π = ππ
π + π
π
ππ+ππ
ππ+ππ+
π
ππ+πππ π = ππ
π + π
ππ π +
π
π
π
ππ+ππ
π (ππ+ππ)
π= ππ
π +π
ππ +
π
ππππ(ππ + ππ) = ππ
Contoh Kondisi 2 (lanjutan)
Substitusi kembali π = π β ππ, diperoleh :
π +π
ππ β ππ +
π
ππππ π π β ππ + ππ = ππ
πππ + ππ β ππ + ππ ππ β ππ + ππ = ππππ
ππ + ππ + ππ(ππ β ππ + ππ) = πͺ, dengan πͺ = ππππ
10
Kondisi 3
3. Jika π
π=
π
π=
π
π= π, sehingga :
π = ππ, π = ππ , dan π = ππ ,
dengan mensubstitusikan ke Pers. 1, diperoleh :
πππ +πππ+ππ π π + ππ + ππ+ π π π = π
π ππ + ππ + π π π + ππ + ππ + π π π = π
bagi dengan ππ + ππ + π
ππ π + π π = π
Kondisi 3 (lanjutan)
dengan mengintegralkan kedua ruas, diperoleh :
π π π + π π = πͺ
Solusi : ππ+ π = πͺ
11
Contoh Kondisi 3
Selesaikan PD berikut :
ππ + ππ + π π π + π + π + π π π = π
Penyelesaian :
π(π + π + π )π π + π + π + π π π = π
dengan mengambil π = π dan membagi kedua ruas dengan
π + π + π akan diperoleh :
π π π + π π = π
π π π + π π = π
ππ + π = πͺ
Latihan
1. (y + 1)dx + (2x β 3)dy = 0
2. (7y + 1)dx + (2x β 3)dy = 0
3. (x + 2y β 4)dx β (2x β 4y)dy = 0
4. (x + y + 1)dx + (3x + 2y + 2)dy = 0
5. (3x + 2y + 3)dx β (x + 2y β 1)dy = 0, y(0) = 1
6. (x + 7)dx + (2x + y + 3)dy = 0, y(0) = 1
7. (3x + 2y + 1)dx β (3x + 2y β 1)dy = 0
8. (x + y + 1)dx + (2x + 2y + 2)dy = 0
9. (2x β y + 1)dx + (4x β 2y + 3)dy = 0
10. (x + 3y +1)dx + (2x + 6y β 1)dy = 0
11. (x + y)dx + (3x + 3y β 4)dy = 0, y(1) = 0
12. (x + y + 2)dx β (x β y β 4)dy = 0, y(1) = 0
12
Terima kasih dan
Semoga Lancar Studinya!
