permutasi

MODUL PERKULIAHAN

Matematika Diskrit

Permutasi

Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh

Ilmu Komputer Teknik Informatika

09MK Harni Kusniyati, ST.,MKom.

Abstract KompetensiPermutasi merupakan penyusunan angka/objke dalam berbagai urutan-urutan yang berbeda tanpa ada pengulangan. Dalam permutasi urutan diperhatikan.

Setelah membaca modul ini, mahasiswa diharapkan mampu memahami tentang permutasi biasa, permutasi dengan unsur yang sama, permutasi siklis dan permutasi berulang.

Isi

PERMUTASI

9.1. PERMUTASI BIASA

Permutasi adalah susunan berurutan dari semua atau

sebagian elemen yang diketahui. ( Urutan diperhatikan ).

Contoh :

- Permutasi 2 elemen dari A & B adalah AB & BA ( permutasi 2 dari 2

elemen ( 2P2 ) ) ada 2 susunan.

- Permutasi 3 elemen dari 3 elemen A, B & C ( 3P3 ) adalah:

ABC BAC CAB ada 6 Susunan

ACB BCA CBA

- Permutasi 2 elemen dari 3 elemen A, B, C ( 3P2 ) adalah:

AB BA CA ada 6 susunan

AC BC CB

Jadi 3P3 (permutasi 3 dari 3) dapat dijabarkan seperti berikut :

B – C …………ABC

A

C – B …………ACB

A – C …………BACB

C – A …………BCA

2013 2

Matematika DiskritPusat Bahan Ajar dan eLearning

Harni Kusniyati, ST.,MKom http://www.mercubuana.ac.id

A – B …………CAB

C

B – A …………CBA

Sehingga rumus 3P3 adalah 3 X 2 X 1 = 6 = 3! ( 3 faktorial )

Rumus 3P2 ( Permutasi 2 dari 3 ) =….. ?

B …………AB

A

C …………AC

A …………BA

B

C …………BC

A …………CA

C

B …………CB

3 X 2 = 6 =

3x 2x 11

=3 !1!

= 3 !(3−2 )!

Dengan cara yang sama

…………..(1)

..…………(2)

2013 3



n Pn = n !

n Pr = n !

(n−r )!

Contoh :

4P2 =

4 !(4−2 ) !

=4 !2 !

=4 x3 x 2x 12 x1

=12

6P3 =

6!(6−3 )!

=6 x 5x 4 x 3 x2 x13 x2 x1

=120

Contoh soal :

1. Berapa cara untuk memilih seorang ketua dan seorang bendahara dari suatu kelas

terdiri 20 orang ?

Jawab :

Permutasi 2 dari 20 : 20P2 = =

20 !(20−2 ) !

=20 x 19x 18 !18 ! = 20 . 19 = 380 cara

Dengan cara lain :

- Memilih ketua : 20 cara

- Memilih Bendahara : 19 cara 20.19 = 380 cara

2. Berapa cara untuk membuat nomor kode dengan 3 huruf berbeda dan diikuti 4

angka berbeda ?

Jawab :

26P3 x 10P4 =

26 !(26−3 )!

x10 !(10−4 )!

= 26.25.24 x 10.9.8.7

= 15600 x 5040

= 78624000 cara

contoh : SMD8514, ABC1235

2013 4



9.2 PEMUTASI YANG MEMUAT BEBERAPA UNSUR SAMA

1. Banyaknya permutasi n unsur yang memuat k unsur sama ( k £ n)

.......... (3a)

2. Banyaknya permutasi n unsur yag memuat k unsur sama, l unsur sama dan m

unsur sama:

........ (3b)

Contoh :

1. Permutasi 2 huruf A dan A adalah hanya satu yaitu : AA

Atau P =

2!2!

=1(Permutasi 2 unsur dengan 2 unsur sama).

2. Permutasi 3 huruf A, A dan B yaitu: AAB, ABA, BAA.

atau P =

3!2!

=3 (Permutasi 3 unsur dengan 2 unsur sama).

3. Berapa banyak susunan huruf yang dibentuk dari huruf-huruf :

a. S, O, L, O

b. P, A, R, E, R, A

c. C, A, T, A, T, A, N

d. T, E, R, C, E, C, E, R

2013 5



P =

n !k !

P =

n !k ! l!m !

Jawab:

a. P =

n !k !

=4 !2 !

=4 .3=12

b. P =

n!k ! l!

= 6 !2 !2 !

=6 x5 x 4 x32 .1

=180

c. P =

n!k ! l!

= 7 !2 !3 !

=7 x6 x5 x 42 .1

=420

d. P =

n !k ! l!m !

= 8!2! 2!3 !

=8.7 . 6 .5=1.680

9.3 PERMUTASI SIKLIS / SIRKULER

Misalnya ada 3 orang A (Ani), B (Boy), C(Carli) menempati 3 kursi yang

mengelilingi meja bundar: maka ada 2 cara :

A· A·

C· ·B ·B ·C

(a) (b)

dari gambar pada (a) : ABC, BCA, CAB adalah sama

pada (b) : ACB, CBA, BAC adalah sama

2013 6



Padahal P3 = 3 ! = 6, maka P3 (siklis) = 2

Atau P3 (siklis) = (3-1) !

Jadi, ……………(4)

Contoh Soal:

1. Misalkan ada 4 orang : A,B,C, dan D menempati 4 kursi yang mengeliling meja bundar,

maka banyak cara mereka duduk ada :

P4 (siklis) = (4 – 1) !

= 3.2.1 = 6 cara

2. Bila A harus berdekatan dengan B ada berapa cara mereka duduk ?

P2 . P3 (siklis) = 2.2 = 4 cara

9.4 PERMUTASI BERULANG

Banyaknya permutasi r unsur dari n unsur yang diketahui (unsur boleh diulang)

(r £ n) …………. (5)

Contoh soal :

1. Berapa banyak susunan nomor kendaraan bila terdiri : dua huruf diikuti 4 angka?

Jawab : 26P2 (berulang) x 10P4 (berulang)

= 26.26 x 10.10.10.10

2013 7



Pn (siklis) = (n-1)!

nPr (berulang) = nr

= 6.760.000 Susunan

2. Berapa banyak susunan nomor kendaraan, bila diawali huruf B kemudian diikuti 4 angka

kemudian diikuti 2 huruf.

Jawab : Contoh B 8888AA, B1234ZR dll

10P4 (berulang) x 26P2 (berulang)

= 10.10.10.10. x 26.26

= 6.760.000 susunan

(Perhatian!! nomor kendaraan diatas termasuk nomor B0000XX)

B1000XX, B0100XX, B 0010XX, B0001XX

Soal-Jawab Campuran

1. Bilangan terdiri 3 angka berbeda dibentuk dari angka-angka: 2, 3, 5, 6, 7, 9.

a. Ada berapa bilangan ?

b. Ada berapa cara bila bilangan yang dibentuk < 400 ?

c. Ada berapa yang genap ?

d. Ada berapa yang ganjil ?

e. Ada berapa yang kelipatan 5 ?

Jawab :

a. 6P3 = 6.5.4 = 120 bilangan

b. Ratusan : 2 cara (angka 2 dan 3)

Puluhan : 5 cara 2.5.4 = 40 bilangan < 400

5P2

2013 8



Satuan : 4 cara

c. Satuan : 2 cara (angka 2 dan 6)

Ratusan : 5 cara (6 angka diambil 1 buah satuan)

Puluhan : 4 cara

(5.4.2 = 40 bilangan genap)

d. Satuan : 4 cara (angka 3,5, 7, 9)

Ratusan : 5 cara (6 angka diambil 1 buah satuan)

Puluhan : 4 cara

( 5.4.4 = 80 bilangan ganjil)

e. Satuan : 1 cara (angka 5)

Ratusan : 5 cara 5P2

Puluhan : 4 cara

5.4.1 = 20 bilangan (kelipatan 5)

2. Ada 5 orang terdiri 3 pria dan 2 wanita

a. Dengan berapa cara mereka duduk dalam satu baris ?

b. Soal a). bila pria dan wanita masing-masing tidak terpisah ?

c. Soal a), bila hanya wanita yang tidak terpisah-pisah?

Jawab :

a. P5 = 5.4.3.2.1 = 5! = 120 cara

b. Ada 2 bentuk , yaitu : PPPWW dan WWPPP Permutasi pria = P3 , permutasi wanita

= P2. jadi semuanya = 2.P3.P2

= 2.3! . 2! = 2.6.2 = 24 cara

2013 9



c. Ada 4 bentuk , yaitu :

WWPPP, PWWPP, PPWWP,dan PPPWW

Jadi semuanya = 4.P3 . P2

= 4.3! . 2! = 4.6.2 = 48 cara

atau , cara lain : WW dianggap Satu

jadi ada : P4 . P2 = 4! . 2! = 2.4.2 = 48 cara

LATIHAN SOAL

1. Hitunglah: 16P3, 7P4, 5P3, 12P0.

2. Sebuah grup terdiri 7 wanita dan 3 pria. Ada berapa cara berbaris yang mungkin

dilakukan jika ketiga pria tersebut harus berdiri bersebelahan ?

3. Ada berapa banyak cara yang mungkin menyusun huruf-huruf dalam kata : Mississippi?

4. Banyaknya lambang bilangan yang terdiri dari 4 angka, jika tersedia angka, 1, 2, 3, 4, 5,

6, 7, 8, 9 adalah …?

5. Dalam berapa carakah 4 laki–laki dan 4 perempuan duduk pada meja bundar sehingga tidak ada dua laki–laki duduk berdekatan?

2013 10



Daftar PustakaBahri, S., 2006, Logika dan Himpunan, Universitas Mataram, Mataram.

Simangunsong Wilson, Matematika dasar, ( Jakarta: Erlangga, 2005)

http://perpustakaancyber.blogspot.com

2013 11



permutasi

Documents