Materi Aljabar Abstrak/Struktur Aljabar

BAB VIGRUP SIMETRI (GRUP PERMUTASI)

BM GROUP

Handout ini didukung oleh: Situs penyebar kebaikan http://www.adi-prasetia.co.cc dan Lembaga Bimbingan Belajar SD-SMP-SMA BRIGHT MATH Science Telp. 08562859020 Email: bright_math@ymail.com

Diperkenankan menggandakan dan menyebarluaskan dalam bentuk softcopy/hardcopy selama menyertakan catatan kaki ini. Copyright http://www.adi-prasetia.co.cc

S = himpunan berhingga yang banyak elemennya n. Suatu pemetaan satu-satu dari S ke S disebut permutasi dari elemen-elemen S. S = { a1, a2, a3, ..., an } dan f suatu pemetaan satu-satu dari S ke S, maka f adalah suatu permutasi tingkat n. Misalnya f(a1) = b1, f (a2) = b2, ..., f (an) = bn. dengan {b1, b2, ..., bn} = {a1, a2, ..., an}, dua himpunan yang sama ini mempunyai urutan elemen berbeda. Permutasi ini dituliskan sebagai

a1 a2 a3 L an f= b1 b2 b3 L bn Copyrighthttp://www.adi-prasetia.co.cc

1 2 3 = 2 3 1 (1) = 2, (2) = 3, (3) = 1

Misalkan S = {1, 2, 3}, tuliskan semua permutasi dari elemen-elemen S..Buatlah tabel Cayleynya!o

=

1 2 1 2

3 3

1 2 3 = 2 1 3

=

1 3

2 2

3 1

1 2 = 1 3

3 2

=

1 2 3 2 3 1

S3 = {, , , , , } disebut grup simetri tingkat 3 Copyrighthttp://www.adi-prasetia.co.cc

1 2 3 = 3 1 2

1 2 3 4 5 = 3 5 4 1 2

1 2 3 4 5 = 5 1 4 3 2

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 = 3 5 4 1 2 5 1 4 3 2 = 2 3 1 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 = 5 1 4 3 2 3 5 4 1 2 = 4 2 3 5 1

1 2 3 4 5 6 5 1 6 4 2 3 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 = 2 5 3 4 1 6 5 1 6 4 2 3 Copyrighthttp://www.adi-prasetia.co.cc

Sn = himpunan semua permutasi tingkat n dengan komposisi fungsi mrpk suatu grup dan disebut grup simetri tingkat n. o(Sn) = n! Bukti: (i) Apabila ,Sn, yaitu dan masing-masing adalah pemetaan bijektif dari S ke S, maka ( ) suatu pemetaan bijektif dari S ke S pula. Sehingga ( )Sn. (ii) Karena komposisi dari fungsi-fungsi mempunyai sifat asosiatif, maka Sn dengan komposisi juga memenuhi sifat asosiatif. (iii) Unsur identitas dari Sn adalah pemetaan identitas pada S. (iv) Jika Sn, yaitu suatu pemetaan bijektif dari S ke S, maka -1 juga merupakan pemetaan bijektif dari S ke S, sehingga -1Sn. Jadi setiap unsur Sn mempunyai invers terhadap komposisi. Dari (i) s.d (iv) dapat disimpulkan bahwa Sn dengan komposisi fungsi adalah suatu grup.Copyrighthttp://www.adi-prasetia.co.cc

Misalkan f suatu permutasi pada S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, yaitu

1 2 3 4 5 6 f= 3 5 4 6 2 1Kita akan menentukan orbit-orbit dari f. f (3) = 4, maka 3 ~ 4 f 2(3) = f (f (3)) = f (4) = 6 maka 3 ~ 6 f 3(3) = f (f 2 (3)) = f(6) = 1 maka 3 ~ 1 f 4(3) = f (f 3 (3)) = f(1) = 3 Jadi (3 4 6 1) merupakan suatu orbit dari f. f(2) = 5 maka 2 ~ 5 f 2(2) = f(f(2)) = f(5) = 2 (2 5) juga merupakan orbit dari f..1 2 3 4 5 6 Sehingga f = = (3 4 6 1)(2 5) 6 2 1 3 5 4Copyrighthttp://www.adi-prasetia.co.cc

1 2 3 4 5 f = 3 5 4 6 2 f = (1 3 4 6 ) (2 5 )

6 1

1 3 f = 3 4

4 6

62 15

5 2

f = (1 3 4 6 ) (2 5 )1 3 4Copyrighthttp://www.adi-prasetia.co.cc

2 6 5

Penulisan sikel yang dipentingkan urutannya. f = (1 3 4 6) (5 2) atau f = (4 6 1 3) (5 2) atau f = (6 1 3 4) (2 5) atau f = (3 4 6 1) (2 5)Tuliskan permutasi ini sebagai perkalian sikel yang saling asing!

1 2 3 4 5 6 7 = (1 4 7) (2 6 3) (5) 4 6 2 7 5 3 1

1 2 3 4 5 = (1 5) (2 3 4) 5 3 4 2 11 2 3 4 5 6 7 8 = (1 3) (2 7 5 6) (4) (8) 3 7 1 4 6 2 5 8Copyrighthttp://www.adi-prasetia.co.cc

Mencari hasilkali sikel-sikel. (1 5 3) ( 4 2) o (1 4 2) ( 5 3) = (1 2 5 ) (3 ) (4 )

(5 3 2 4 1) o (4 5 3 1 2) = (1 4 3 5 2 )Suatu permutasi yang hanya terdiri dari satu sikel disebut permutasi siklik a) (1 2 3 5 7) (2 4 7 6) = (1 2 4)(3 5 7 6) b) (1 2) (1 3) (1 5) (1 4) (2 6) (2 7) = (2 7 6 1 4 5 3) c) (1 2 3 4) (1 2 3 5) (1 2 3 6) = (1 4)(2 5)(3 6) d) (1 3 2 4) (2 3 1 4) = (1) e) (2 4 3 1) (4 5 3 6) (1 3 4 2) = (1 6 3 5) f) (5 2 3 4 1)5 = (1) Untuk nomor f) ini dikatakan bahwa o(5 2 3 4 1) = 5Copyrighthttp://www.adi-prasetia.co.cc

Invers suatu permutasi

1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 = 7 3 6 1 5 2 4 4 6 2 7 5 3 1 [(1 4 7)(2 6 3)]-1 = (7 4 1)(3 6 2)

1

= (1 7 4)(2 3 6)Tentukan order dan invers dari setiap permutasi berikut ini! (i) (1 4) (ii) (1 4 7) (iii) (1 4 7 6 2) Teo: Order dari permutasi suatu (iv) (1 2 4)(3 5 7) himpunan berhingga yang ditulis (v) (1 2 4)(3 5 6) sebagai hasilkali sikel-sikel saling (vi) (1 2 4)(3 5) asing adalah KPK (vii) (1 2 4)(3 5 7 8) Copyrighthttp://www.adi-prasetia.co.cc dari panjang sikelsikelnya.

Transposisi (sikel yang hanya terdiri dari dua elemen) (1 6) (1 2) (1 7) (1 5) = (1 5 7 2 6) (1 5) (1 7) (1 2) (1 6) = (1 6 2 7 5) (i) (1 4 3) (2 5 6) = (1 3) (1 4) (2 6) (2 5) (ii) (1 3 5) (4 5 3) = (1 5) (1 3) (4 3) (4 5) (1 3 5) (4 5 3) = (1 3 4) = (1 4) (1 3) Jika banyaknya transposisi suatu permutasi adl gasal disebut permutasi gasal. Jika banyaknya transposisi suatu permutasi adl genap disebut permutasi genap.Copyrighthttp://www.adi-prasetia.co.cc

Genap atau gasalkah permutasi berikut ini! (i) (1) genap

(ii) (1 4 7) genap (iii) (1 4 7 6 2) genap (iv) (1 2 4)(3 5 7) genap (v) (1 2 4)(3 5 6) genap (vi) (1 2 4)(3 5) gasal (vii) (1 2 4)(3 5 7 8) gasal Hasilkali permutasi genap dan genap adl genap Hasilkali permutasi genap dan gasal adl gasal Hasilkali permutasiCopyrighthttp://www.adi-prasetia.co.cc genap gasal dan gasal adl

Sn adalah grup simetri tingkat n, maka (Sn) = n!. Berapakah banyaknya permutasi genap dalam grup Sn?

n! Banyaknya permutasi genap dalam Sn adalah 2Jika An adalah himpunan semua permutasi genap tingkat n, maka An dengan komposisi fungsi adalah suatu grup dano(An)

=

n! dan An disebut grup Alternating tingkat n. 2

Tuliskan semua elemen dari A3. A3 = {(1), (1 2 3), (1 3 2)} Tunjukkan bahwa A3 merupakan suatu grup!

Copyrighthttp://www.adi-prasetia.co.cc

SOAL: Tentukanlah permutasi yang memenuhi persamaan (a). (1 2) -1 = (1 3) (b). (1 2 3) -1 = (4 5 6) Jawab: (a). (1 2) -1 = (1 3)

1 2 3 1 2 3 a b c 1 2 3 a b c 2 1 3 1 2 3 = 3 2 1 Karena pada ruas kanan, 2 adalah invarian (tetap), dan pada ruas kiri yang invarian adalah c , maka C = 2 . Selanjutnya, jika a = 1, maka b = 3 , sehingga didapat (2 3)(1 2)(3 2) = (1 3) Jika a = 3, maka b = 1 , sehingga didapat (1 3 2)(1 2)(3 1 2) = (1 3) Jadi = (2 3) atau = (1 3 2). Kerjakanlah (b)!Copyrighthttp://www.adi-prasetia.co.cc

SOAL: 1. Tunjukanlah bahwa (1 2 3)-1 = (3 2 1) dan (1 4 7 8)-1 = (8 7 4 1). 2. Tentukanlah order dari setiap elemen dari A4. Hubungan aritmetik apa dari order-order ini dengan order A4. 3. Misalkan a = (1 3 5 7 9)(2 4 6)(8 10) Jika am adalah suatu sikel-5, apakah yang dapat dikatakan tentang m? 4. Berapakah banyaknya elemen berorder 5 dalam S7. 5. Dalam S3, tentukan elemen-elemen a dan b sedemikian hingga o(a) = 2, o(b) = 2 dan o(ab) = 3. 6. Nyatakan grup isometri dari segitiga samasisi sebagai grup permutasi dari titik-titik sudutnya. 7. Dalam S4, tentukan subgrup siklik yang berorder 4 dan subgrup taksiklik berorder 4. 8. Berapakah banyaknya permutasi ganjil berorder 4 yang dimiliki S6. 9. Buktikan bahwa dalam S4, (1 2 3 4) bukan merupakan hasilkali dari sikel-sikel-3.Copyrighthttp://www.adi-prasetia.co.cc

SEKIAN BAB VI

TERIMAKASIH

Copyrighthttp://www.adi-prasetia.co.cc