permutasi dan kombinasi -...
TRANSCRIPT
Statistika
@ 2012
Permutasi dan Kombinasi
Pendahuluan Probabilitas
intepretasi keluaran peluang yang terjadi dalam suatu percobaan
Tingkat kepastian dari munculnya hasil percobaan statistik
Dilambangkan dengan P
Konsep probabilitas dari permainan yang dilakukan pengamatanuntuk diperoleh fakta (empiris) kemudian diformulakan kedalamkonsep dan dilakukan pengujian
Matematika permutasi dan kombinasi banyak digunakan
Permutasi vs. Kombinasi
3
Keduanya digunakan untuk mengukur posibility.
Perbedaan keduanya adalah permasalahan URUTAN. Perhatikan kartu poker berikut: A♦, 5♥, 7♣, 10♠, K♠
Apakah sama dengan ini: K♠, 10♠, 7♣, 5♥, A♦
Apakah urutan kartu di atas penting? JikaYA, maka kita berurusan dengan Permutasi
JikaTIDAK, maka kita menggunakan kombinasi
Permutasi dan Kombinasi
Faktorial
n! = n(n-1)(n-2)…3.2.1
0! = 1 dan 1! = 1
Permutasi
susunan yang dibentuk dari anggota suatu himpunan
dengan mengambil seluruh atau sebagian anggota
himpunan dan memberi arti pada urutan anggota dari
susunan
! !
rn
nPrn
Definisi:
permutasi dari sekumpulan objek adalahbanyaknya susunan objek-objek berbeda dalamurutan tertentu tanpa ada objek yang diulangdari objek-objek tersebut
permutasi
permutasi
Misalkan H adalah himpunan dengan n objek
Misalkan k ≤ n, permutasi k objek dari himpunan H adalah
susunan objek-objek berbeda dalam urutan tertentu yang terdiri dari k
objek anggota himpunan H
Lambang permutasi adalah huruf P (nPk)
situasi: ada n objek yang satu sama
lain berbeda
masalah: menentukan banyaknya
susunan terurut terdiri dari
n objek yang ada
notasi:
permutasi n objek dari n objek
yang berbeda
nn P ),( nnPn
nP
Masalah tersebut dapat dipandang sebagai masalah
menempatkan n objek dalam n kotak yang berbeda
Kotak ke- 1 2 ……………… n – 1 n
Tahap pertama adalah mengisi kotak ke-1, tahap kedua adalah mengisi
kotak ke-2, dan seterusnya sampai tahap ke-n
Tahap Pengisian kotak ke- Banyak cara
1 1 n
2 2 n – 1
… … …
n – 1 n – 1 2
n n 1
Menurut kaidah perkalian
Banyak cara mengisi kotak tersebut adalah:
n(n-1)(n-2)(n-3) …2 • 1 = n!
nn P = n!
Contoh:
Dari empat calon pengurus LK Mahaika, berapa banyak susunan
yang dapat terjadi untuk menentukan ketua, wakil ketua, sekretaris
dan bendahara?
Solusi:
Masalah tersebut merupakan masalah permutasi 4 objek dari 4 objek
241.2.3.4!444 P Jadi ada 24 susunan calon pengurus kelas
situasi: ada n objek yang satu sama
lain berbeda
masalah: menentukan banyaknya
susunan terurut terdiri dari k
objek dari n objek yang ada, k ≤ n
notasi:
Permutasi k objek dari n objek
yang berbeda, k ≤ n
n
kP),( knPkn P
Masalah tersebut dapat dipandang sebagai masalah
memilih k objek dalam n objek yang ada, k ≤ n
Kotak ke- 1 2 ……………… k – 1 k
Tahap pertama adalah mengisi kotak ke-1, tahap kedua adalah mengisi
kotak ke-2, dan seterusnya sampai tahap ke-k
Tahap Pengisian kotak ke- Banyak cara
1 1 n
2 2 n – 1
… … …
k – 1 k – 1 n - (k - 2) = n – k +2
k k n - (k -1) =n – k +1
Menurut kaidah perkalian
Banyak cara mengisi kotak tersebut adalah:
n(n-1)(n-2)(n-3) …(n – k + 1) =
)!(
!
kn
n
Contoh:
Tentukan banyak susunan presiden dan wakil presiden jika ada
enam calon.
Solusi:
Masalah tersebut merupakan masalah permutasi 2 objek dari 6 objek
sehingga ada:
susunan presiden dan wakil presiden
)!(
!
kn
nPkn
3056!4
!6
)!26(
!626
P
situasi:
ada n objek yang beberapa diantaranya sama. Misal ada sejumlahn1 objek q1, sejumlah n2 objek q2, … nk objek qk, dengann1+n2+…+nk = n
masalah:
menentukan banyak susunan terurut terdiri dari n objek
notasi:
Permutasi n objek dari n objek
dengan beberapa objek sama
)..,.........,( 21 knnnn P
Permutasi n objek dari n objek yang terdiri dari sejumlah n1 objek
q1, sejumlah n2 objek q2, … nk objek qk, dengan n1+n2+…+nk = n
adalah:
!!...!
!
21
)..,.........,( 21
k
nnnnnnn
nP
k
Contoh: Berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat dibentuk dari
kata MATEMATIKAWAN?
Solusi: Terdapat 13 huruf pada kata MATEMATIKAWAN, terdiri dari 2 huruf M, 4
huruf A, 2 huruf T, 1 huruf I, 1 huruf E, 1 huruf K, 1 huruf W, 1 huruf N
Banyak susunan huruf yang dapat dibuat adalah:
64864800!4.2.1.2.1
!4.5.6.7.8.9.10.11.12.13
!1!1!1!1!1!2!4!2
!13)1,1,1,1,1,2,4,2(13 P
Contoh
Himpunan {a,b,c}
diambil 3 anggota, diperoleh susunan:
abc; acb; bac; bca; cab; cba
diambil 2 anggota, diperoleh susunan:
ab; ba; bc; cb; ac; ca
6
! 33
! 333
P
6
! 23
! 323
P
Kombinasi
susunan yang dibentuk dari anggota suatu himpunandengan mengambil seluruh atau sebagian anggotahimpunan dan tanpa memberi arti pada urutan anggota darisusunan
Contoh: himpunan {a,b,c} diambil 2 anggota,
diperoleh susunan: ab; bc; ca
{Permutasi ab = ba; bc = cb; ca = ac}
! !
!
rnr
n
r
nCrn
Kombinasi
Dalam suatu pertemuan MUKERNAS terdapat 10 orang yang belum saling kenal. Agar mereka saling kenal maka merekasaling berjabat tangan. Berapa banyaknya jabat tangan yang terjadi.Jawab : 10C2 = (10!)/(2!(10-2)!) = 45 jabat tangan
Kombinasi dari kombinasi merupakan perkalian perkalian antarabanyaknya kombinasi suatu kumpulan obyek dengan banyaknyakombinasi dari obyek lainnya.
Formulasi untuk mencari kombinasi dari kombinasi adalah sebagaiberikut :
nCk . mCy = (n!)/(k!(n-x)!) . (m!)/(y!(m-y)!).
Contoh :Suatu kelompok yang terdiri dari 3 orang pria dan 2 orang wanita akanmemilih 3 orang pengurus LK. Berapa cara yang dapat dibentuk daripemilihan jika pengurus terdiri dari 2 orang pria dan 1 orang wanita.
Jawab : 3C2 . 2C1 = (3!)/(2!(3-2)!) . (2!)/(1!(2-1)!) = 6 cara,
yaitu : L1 L2 W1 ; L1 L3 W1 ; L2 L3 W1 ; L1 L2 W2 ; L1 L3 W2 ; L2 L3 W2
Sampling Procedures
Definisi Population – group of things (people) having one or more
common characteristics
Sample – representasi dari subgroup populasi yang lebihbesar
Digunakan untuk mengestimasi sesuatu tentang populasi(generalisasi)
Harus sama dengan populasi dan karakteristik yang akan dicari.
Sampling
Sampling merupakan suatu proses seleksi terhadap
sejumlah elemen kecil dari suatu grup target
yang lebih besar sehingga akan dapat dilakukan
penentuan keputusan terhadap
grup yang lebih besar (populasi) tersebut
Census
Basics of Sampling Theory
Population
Element
Defined target
population
Sampling unit
Sampling frame
Sampling Error
Sampling error adalah segala tipe bias
Yang memungkinkan terjadinya
Kesalahan baik dalam menggambarkan
Sampel ataupun dalam menentukan
Ukuran sampel
1. Define the Population of Interest
2. Identify a Sampling Frame (if possible)
3. Select a Sampling Method
4. Determine Sample Size
5. Execute the Sampling Plan
Developing a Sampling Plan
Population of interest is entirely dependent on Management
Problem, Research Problems, and Research Design.
Some Bases for Defining Population:
Geographic Area
Demographics
Usage/Lifestyle
Awareness
Defining Population of Interest
A list of population elements (people, companies, houses, cities, etc.) from which units to be sampled can be selected.
Difficult to get an accurate list.
Sample frame error occurs when certain elements of the population are accidentally omitted or not included on the list.
See Survey Sampling International for some good examples
http://www.surveysampling.com/
Sampling Frame
Sampling Methods
Probability
sampling
Nonprobability
sampling
Representatif
Sample Size Critical factor is whether sample is representative
Necessary sample size depends on population size
Recommendations: Use tables from books
30 per group
Descriptive studies – 10-20% of population
No more than 50% of population
Statistical power
Attrition
Other Sampling Considerations Random assignment
Sampling of treatments (experimental research)
Use post hoc analysis to show groups were equal at the start
Since random sampling is often impossible, sample must be selected on some theoretical basis
Be careful with generalizations
When Selecting Subjects … Are subjects with special characteristics necessary for
your research? (age, gender, trained/untrained, expert/novice, size, etc.)
Can you obtain the necessary permission and cooperation from the subjects?
Can you find enough subjects?
Interaction among selection of subjects, treatments, and measures is essential for experimental studies.
Reporting Subjects State how many subjects were selected
Describe how the subjects were selected
Discuss whether any subjects were lost during the study and why
Explain why the subjects were selected
Describe subject characteristics that are pertinent to study – be very specific
Identify procedures taken to protect the subjects
UNSUR DASAR PERANCANGAN PERCOBAAN
1. Ulangan
2. Pengacakan
3. Kesalahan percobaan
4. Pengawasan Setempat
UNSUR DASAR PERANCANGAN PERCOBAAN
(1) ULANGAN
Perlakuan diberikan lebih dari
sekali dalam suatu percobaan
→ perlakuan tsb. dikatakan
diulang.
Fungsi Ulangan:
1). Untuk menghasilkan nilai-dugaan bagi galat percobaan
SampelSedimenke:
Perlakuan KimiawiA B C
1
2
.
.
n
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
S.K. d.b. J.K. K.T. Fhit. Ftabel
Perlakuan
G a l a t
t - 1
t ( n – 1 )
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . . . .
T o t a l t n - 1 . . .
Ulangan
2. PENGACAKAN
Dalam percobaan suatu penelitian → penentuan secara acak
berarti setiap perlakuan harus mempunyai kesempatan yang
sama untuk diberikan pada sembarang satuan percobaan.
Harus bertindak seobyektif mungkin
(tidak boleh menurut selera kita)
cara lotre (paling sederhana)
Pengacakan
dengan menggunakan tabel bilangan acak
Fungsi Pengacakan:
1. Untuk menghindari bias atau untuk memperkecil bias
yang mungkin terdapat dalam percobaan.
2) Meningkatkan ketelitian / ketepatan percobaan
3) Memperluas daya cakup kesimpulan percobaan
Contoh:
Meneliti 2 varitas rumput laut di daerah tertentu.
Daerah tsb.
terdapat
2 jenis perairan
4) mengendalikan ragam galat percobaan
Contoh:
Meneliti pengaruh pemberian kitosan pada ikan tuna
Tuna: 1 – 2 bulan → 10 ulangan
Tuna: 2 – 3 bulan → 10 ulangan
Tuna: 3 – 4 bulan → 10 ulangan
Kondisi Perairan A
Kondisi Perairan A Varietas I
Varietas II
Varietas I
Varietas II
PENGAMBILAN SAMPEL SECARA ACAK
( PENGACAKAN )
# Penentuan secara acak → satuan percobaan berpeluang sama
untuk mendapat perlakuan (bertindak obyektif).
Pengacakan → kegunaannya untuk menghindari / memperkecil
bias yang terdapat dalam percobaan.
# Sampel mencerminkan populasi → pengambilan sampel harus
seobyektif mungkin, dengan cara random / acak, antara lain di-
bedakan:
I. Random sampel
(simple random sample)
II. Pengambilan sampel secara sistematik
(sistematic sample)
III. Random sampel berstrata
(stratified random sample)
dengan lotre
dengan tabel bilangan acak
Metode SamplingProbability Sampling
Simple random sampling
Stratified random sampling
Systematic sampling
Cluster (area) sampling
Multistage sampling
Non-Probability Sampling
Deliberate (quota) sampling
Convenience sampling
Purposive sampling
Simple Random Sampling
Equal probability
Techniques
Table of random numbers
Advantage
Most representative group
Disadvantage
Difficult to identify every member of a population
RANDOM SAMPEL: (A) Dengan cara lotre5 satuan percobaan akan memperoleh
perlakuan P, Q, R, S danT
( I ) ( II )
- Satuan percobaan diberi - P,Q, R, S danT ditulis
nomor 1, 2, 3, 4 dan 5 dikertas, dan digulung
- Ambil 5 potongan kertas kecil, - 1, 2, 3, 4 dan 5 ditulis
tuliskan huruf P, Q, R, S danT dikertas, dan digulung
↓ ↓
kertas digulung ambil satu persatu: Pengambilan pertama dari
Pengambilan pertama tertulis Q, kertas isi perlakuan → S.
berarti ditempatkan pada Pengambilan pertama dari
satuan percobaan ke 1 kertas isi sat. percob.→ 5
Pengambilan kedua tertulisT, un- ↓
tuk satuan percobaan ke 2 maka S menempati sat.percob. 5
Dan seterusnya. - Dan seterusnya
( B ) Dengan tabel bilangan acak → (lebih dianjurkan)
CONTOH:
Suatu percobaan mendapat perlakuan A, B, C dan D
masing-masing diulang 5 kali
terdapat 4x5 = 20 satuan percobaan yang harus disediakan
untuk:
A1 A2 A3 A4 A5
B1 B2 B3 B4 B5
C1 C2 C3 C4 C5
D1 D2 D3 D4 D5
Cara penempatan perlakuan-perlakuan tersebut ke dalam
satuan-satuan percobaan adalah sbb.:
(a). Satuan-satuan percobaan tersebut diberi nomor urut
1 s/d 20.
(b). Dari tabel bilangan acak, tentukan bilangan-bilangan yang digunakan untuk pengacakan. Misalnya, setelah terpilih titikmula, didapat gugus bilangan acak:
421658 027639 516240 743165926304 895421 195237
(c). Yang diperlukan hanya sampai no 20Dilakukan pengelompokan beranggotakan 2 angka sebanyak20 gugus (bila ada gugus sama → lewatkan)
42 16 58 02 76 39 51 6240 74 31 65 92 63 04 8954 21 19 52
(d). Bilangan tersebut di atas diberi nomor urut sesuai urutannya(bilangan kecil pertama adalah 02) :
9 3 13 1 18 7 10 148 17 6 16 20 15 2 1912 5 4 11
(e). Berdasarkan (d) →
perlakuan A (ulangan 1 s/d 5) ditempatkan pada satuan perco-
baan nomor 9 3 13 1 18, perlakuan B menempati
nomor 7 10 14 8 17. sehingga diperoleh:
1 2 3 4 5
A4 C5 A2 D4 D3
Sudah menghilang-
6 7 8 9 10 kan sifat berbias
C1 B1 B4 A1 B2 dalam penempatan
perlakuan ke dalam
11 12 13 14 15 satuan percobaan
D5 D2 A3 B3 C4
16 17 18 19 20
C2 B5 A5 D1 C3
Stratified Random Sampling Technique Divide population into various strata Randomly sample within each strata Sample from each strata should be proportional
Advantage Better in achieving representativeness on control variable
Disadvantage Difficult to pick appropriate strata Difficult to ID every member in population
PENGAMBILAN SAMPEL SECARA BERSTRATA:Bila populasi tidak homogen → perlu distratakan terlebih dahulu
menjadi bagian-bagian yang homogen.
↓
Dari bagian-bagian homogen inilah
baru diambil sampelnya
CONTOH:
Suatu penelitian terdiri dari 5 perlakuan dan 4 ulangan →
diperlukan 20 ekor ikan tuna yang “seragam”. Namun
yang tersedia dilapangan ikan tuna umur ½ s/d 3½ bln.
↓
perlu distratakan menjadi 4 kelompok yang homogen:
kelompok I, ikan tuna umur kurang 1 bln
kelompok II, ikan tuna umur 1 – 2 bln
kelompok III, ikan tuna umur 2 – 3 bln
kelompok IV, ikan tuna umur lebih 3 bln
Systematic Sampling Technique Use “system” to select sample (e.g., every 5th item in alphabetized list, every
10th name in phone book)
Advantage Quick, efficient, saves time and energy
Disadvantage Not entirely bias free; each item does not have equal chance to be selected
System for selecting subjects may introduce systematic error
Cannot generalize beyond pop actually sampled
PENGAMBILAN SAMPEL SECARA SISTEMATIK10 petak tanah, masing-masing ditanami
7 x 12 = 84 rumput gajah → diambil bbrp
tanaman sampel untuk diteliti
.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 . . . . . . . . . . . .
2 . x . . . x = . . x . .
3 . . . . . . . . . . . .
4 . . . x = . = x = . . .
5 . . . . . . . . . . . .
6 . x . . . x = . . x . .
7 . . . . . . . . . . . .
Macam-macam cara pengambilan sampel secara sistematik:
- cara diagonal, cara bujursangkar, cara leter L,
- cara hitungan (misalnya tiap hitungan ke 3), Harus konsisten
- cara bentuk segitiga, dll.
Cluster (Area) Sampling
Randomly select groups (cluster) – all members of
groups are subjects
Appropriate when
you can’t obtain a list of the members of the population
have little knowledge of pop characteristics
Pop is scattered over large geographic area
Cluster (Area) Sampling
Advantage
More practical, less costly
Conclusions should be stated in terms of cluster (sample unit
– school)
Sample size is # of clusters
Multistage Sampling
Stage 1
randomly sample clusters (schools)
Stage 2
randomly sample individuals from the schools selected
Sampling MethodsProbability Sampling
Simple random sampling
Stratified random sampling
Systematic sampling
Cluster (area) sampling
Multistage sampling
Non-Probability Sampling
Deliberate (quota) sampling
Convenience sampling
Purposive sampling
(3) KESALAHAN / GALAT PERCOBAANSatu perlakuan diulang pada satuan percobaan yang
berkondisi serba sama
↓
Nilai pengamatan yang diperoleh
tidak akan sama satu dengan yang lain
↓
Kegagalan satuan-satuan percobaan ini
disebut dengan kesalahan / galat percobaan
Keaneka-ragaman yang disebabkan ketidak mampuan materi
percobaan yang diperlakukan sama untuk berperilaku sama
disebut: - Kesalahan percobaan
- Galat percobaan
- Error percobaan
- Sisa percobaan → karena merupakan hasil selisih
Total dan Sumber Keragaman
lainnya.
(4) PENGAWASAN SETEMPAT
ialah usaha mengatur / menempatkan unit-unit percobaan
untuk memperkecil kesalahan
D
A
F
C E
B
Tanah ketinggian tak sama
(kesuburan tanah berbeda)
Quiz time….
1. Berikan penjelasan mengenai perbedaan antara permutasi
dan kombinasi, sertakan juga contohnya!
2. Berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat dibentuk
dari kata HIMITEKINDO!
3. Suatu kelompok warga terdiri dari 8 orang pria dan 2
orang wanita akan memilih 5 orang pengurus RT. Berapa
cara yang dapat dibentuk dari pemilihan jika pengurus
terdiri dari 3 orang pria dan 3 orang wanita?
4. Apa saja tahapan dalam membuat rencana sampling?