smart solution un matematika sma 2013 (skl 6.2 kaidah pencacahan, permutasi dan kombinasi)

Smart Solution

UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2012/2013

Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013

Matematika SMA (Program Studi IPA)

Disusun oleh :

Pak Anang

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 303

6. 2. Menyelesaikan masalah sehari-hari dengan menggunakan kaidah pencacahan, permutasi atau kombinasi.

Kaidah Pencacahan

Aturan Perkalian

Banyak cara memilih unsur pertama

Banyak cara memilih unsur kedua

Banyak cara memilih kedua unsur sekaligus

𝑚 𝑛 𝑚 × 𝑛

Faktorial “Perkalian Bilangan Urut” 𝑛! = 𝑛 × (𝑛 − 1) × (𝑛 − 2) × … × 3 × 2 × 1 Catatan: 1! = 1 dan 0! = 1

Banyak cara menyusun 𝒓 buah unsur dari keseluruhan 𝒏 buah unsur

Permutasi Kombinasi “Perhatikan Urutan” “Urutan Tidak Diperhatikan”

𝑛𝑃𝑟 =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)!

Catatan: 𝑟 ≤ 𝑛

𝑛𝐶𝑟 =

𝑛!

𝑟! (𝑛 − 𝑟)!

Catatan: 𝑟 ≤ 𝑛

Permutasi Ada Unsur Sama “Ada 𝒌 unsur yang sama, ada 𝓵 unsur yang sama, dan 𝒎 unsur yang sama”

𝑛𝑃(𝑘,ℓ,𝑚) =𝑛!

𝑘! ℓ! 𝑚!

Catatan: 𝑘 + ℓ + 𝑚 ≤ 𝑛

𝑛𝐶𝑟 =

𝑛𝑃𝑟

𝑟!

Permutasi Siklis “Posisi Melingkar”

𝑃𝑠𝑖𝑘𝑙𝑖𝑠 = (𝑛 − 1)!

Kombinasi adalah permutasi tanpa memperhatikan urutan obyek. Jadi, rumus kombinasi diperoleh dari permutasi 𝑟 unsur dari 𝑛 unsur

namun karena hasil permutasi tersebut urutan tidak diperhatikan maka dianggap hasil permutasi tersebut ada 𝑟 unsur yang sama.

http://pak-anang.blogspot.com/

Halaman 304 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Menyusun Rumus Permutasi. Cara paling mudah untuk menyusun rumus permutasi adalah menggunakan definisi aslinya. Di sekolah mungkin adik-adik diberikan rumus permutasi seperti dituliskan pada halaman sebelumnya, yaitu:

𝑛𝑃𝑟 =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)!

Padahal, definisi asli dari permutasi adalah sebagai berikut:

𝑛𝑃𝑟 = 𝑛 × (𝑛 − 1) × (𝑛 − 2) × … × (𝑛 − 𝑟 + 1) Rumus tersebut adalah pengembangan dari aturan perkalian dalam menyusun banyak 𝑟 unsur berbeda yang bisa dibuat dari 𝑛 unsur. Misalnya saja, menyusun 3 unsur berbeda dari 5 unsur yang diberikan. Maka kita akan membuat 3 kotak sebagai berikut:

Pada kotak pertama bisa diisi 5 unsur. Pada kotak kedua bisa diisi 4 unsur, karena 1 unsur sudah diisikan pada kotak pertama. Pada kotak ketiga bisa diisi 3 unsur, karena 2 unsur sudah diisikan pada kotak pertama dan kedua. Sehingga dari aturan perkalian diperoleh banyaknya cara menyusun 3 unsur berbeda dari 5 unsur adalah:

5 × 4 × 3 = 60 cara. Dari sini jelas bahwa rumus permutasi 3 unsur berbeda dari 5 unsur adalah:

5 × 4 × 3 = “perkalian mundur dimulai dari bilangan 5 sebanyak 3 faktor” Jadi bisa disimpulkan bahwa:

𝒏𝑷𝒓 = “𝐩𝐞𝐫𝐤𝐚𝐥𝐢𝐚𝐧 𝐦𝐮𝐧𝐝𝐮𝐫 𝐝𝐢𝐦𝐮𝐥𝐚𝐢 𝐝𝐚𝐫𝐢 𝐛𝐢𝐥𝐚𝐧𝐠𝐚𝐧 𝒏 𝐬𝐞𝐛𝐚𝐧𝐲𝐚𝐤 𝒓 𝐟𝐚𝐤𝐭𝐨𝐫” Sehingga dengan mudah kita hitung nilai permutasi berikut:

15𝑃4 = 15 × 14 × 13 × 12 (perkalian mundur 4 angka terakhir dari 15)

10𝑃3 = 10 × 9 × 8 (perkalian mundur 3 angka terakhir dari 10)

7𝑃2 = 8 × 7 (perkalian mundur 2 angka terakhir dari 7)

5𝑃2 = 5 × 4 (perkalian mundur 2 angka terakhir dari 5) Dst… dst… dst…

Atau bila soalnya berbentuk kalimat seperti berikut:

Di suatu kelas terdapat 12 siswa. Banyak cara memilih ketua, wakil ketua, dan sekretaris dari 12 siswa dalam suatu kelas tersebut adalah sebanyak …. cara. Karena kita menyusun 3 siswa dari keseluruhan 12 siswa dengan memperhatikan urutan, maka digunakan konsep permutasi 12𝑃3. Sehingga banyak cara memilihnya ada sebanyak:

12𝑃3 = 12 × 11 × 10 = 1320 cara (perkalian mundur 3 angka terakhir dari 12)

Mudah bukan?!



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Menyusun Rumus Kombinasi. Cara paling mudah untuk menyusun rumus kombinasi adalah menggunakan definisi aslinya. Di sekolah mungkin adik-adik diberikan rumus kombinasi seperti dituliskan pada halaman sebelumnya, yaitu:

𝑛𝐶𝑟 =𝑛!

𝑟! (𝑛 − 𝑟)!

Padahal, definisi asli dari permutasi adalah sebagai berikut:

𝑛𝐶𝑟 =𝑛𝐶𝑟

𝑟!

Penjelasannya sebagai berikut:

Kombinasi adalah permutasi tanpa memperhatikan urutan obyek. Jadi, rumus kombinasi diperoleh dari permutasi 𝑟 unsur dari 𝑛 unsur, namun karena hasil permutasi tersebut urutan tidak diperhatikan, maka dianggap hasil permutasi tersebut ada 𝑟 unsur yang sama.

Jadi bisa disimpulkan bahwa:

𝒏𝑪𝒓 = “(𝐩𝐞𝐫𝐤𝐚𝐥𝐢𝐚𝐧 𝐦𝐮𝐧𝐝𝐮𝐫 𝐝𝐢𝐦𝐮𝐥𝐚𝐢 𝐝𝐚𝐫𝐢 𝐛𝐢𝐥𝐚𝐧𝐠𝐚𝐧 𝒏 𝐬𝐞𝐛𝐚𝐧𝐲𝐚𝐤 𝒓 𝐟𝐚𝐤𝐭𝐨𝐫)

(𝐩𝐞𝐫𝐤𝐚𝐥𝐢𝐚𝐧 𝐦𝐚𝐣𝐮 𝐝𝐢𝐦𝐮𝐥𝐚𝐢 𝐝𝐚𝐫𝐢 𝐛𝐢𝐥𝐚𝐧𝐠𝐚𝐧 𝟏 𝐬𝐞𝐛𝐚𝐧𝐲𝐚𝐤 𝒓 𝐟𝐚𝐤𝐭𝐨𝐫)”

Sehingga dengan mudah kita hitung nilai permutasi berikut:

15𝐶4 =15 × 14 × 13 × 12

1 × 2 × 3 × 4 (

perkalian mundur 4 angka terakhir dari 15

perkalian maju 4 angka terdepan)

10𝐶3 =10 × 9 × 8

1 × 2 × 3 (



7𝐶2 =8 × 7

1 × 2(



Dst… dst… dst…

Atau bila soalnya berbentuk kalimat seperti berikut:

Di suatu kelas terdapat 12 siswa. Banyak cara memilih 3 siswa dari 12 siswa dalam suatu kelas tersebut adalah sebanyak …. cara. Karena kita menyusun 3 siswa dari keseluruhan 12 siswa dengan tanpa memperhatikan urutan, maka digunakan konsep kombinasi 12𝐶3. Sehingga banyak cara memilihnya ada sebanyak:

12𝐶3 =12 × 11 × 10

1 × 2 × 3= 220 cara (



Mudah bukan?! Khusus untuk Kombinasi berlaku sifat berikut:

𝒏𝑪𝒓 = 𝒏𝑪(𝒏−𝒓)

Jadi,

10𝐶7 = 10𝐶3 =10 × 9 × 8

1 × 2 × 3(



2



Tipe Soal yang Sering Muncul

Menentukan kaidah pencacahan menggunakan aturan perkalian. Contoh Soal 1: Dari angka-angka: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah ….

Penyelesaian: Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Angka puluhan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Angka satuan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Sehingga bisa dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:

Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan

7

7 7

Jadi banyaknya bilangan yang terdiri atas 3 angka boleh berulang adalah: 7 × 7 × 7 = 343 buah. Contoh Soal 2: Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah ….

Penyelesaian: Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, karena tidak

mungkin ada angka ratusan 0. Biasanya bilangan 012 hanya ditulis 12 gitu aja. Angka puluhan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Angka satuan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Sehingga bisa dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:

Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan

6

7 7

Jadi banyaknya bilangan yang terdiri atas 3 angka boleh berulang adalah: 6 × 7 × 7 = 294 buah.



Contoh Soal 3: Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan genap yang terdiri dari 3 angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah ….

Penyelesaian: Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka satuan : karena ada syarat bilangan harus genap maka angka satuan hanya dapat dipilih

sebanyak 4 cara saja, yaitu diisi dengan angka 0, 2, 4, 6. Angka puluhan : dapat dipilih 7 angka, yaitu angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, karena tidak

mungkin ada angka ratusan 0. Biasanya bilangan 012 hanya ditulis 12 gitu aja. Sehingga bisa dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:

Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan

6

7 4

Jadi banyaknya bilangan terdiri atas 3 angka boleh berulang lebih dari 320 adalah: 6 × 7 × 4 = 168 buah. Contoh Soal 4: Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan ganjil yang terdiri dari 3 angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah ….

Penyelesaian: Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka satuan : karena ada syarat bilangan harus ganjil maka angka satuan hanya dapat dipilih

sebanyak 3 cara saja, yaitu diisi dengan angka 1, 3, 5. Angka puluhan : dapat dipilih 7 angka, yaitu angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, karena tidak

mungkin ada angka ratusan 0. Biasanya bilangan 012 hanya ditulis 12 gitu aja. Sehingga bisa dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:

Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan

6

7 3

Jadi banyaknya bilangan terdiri atas 3 angka boleh berulang lebih dari 320 adalah: 6 × 7 × 3 = 126 buah.



Contoh Soal 5: Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun lebih dari 300 adalah ….

Penyelesaian: Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka lebih dari 300, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka ratusan : karena ada syarat harus lebih dari 300 maka angka ratusan hanya dapat dipilih

sebanyak 4 cara, yaitu diisi dengan angka 3, 4, 5, 6. Angka puluhan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu dapat diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Angka satuan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu dapat diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan

4

7 7

Jadi banyaknya bilangan terdiri atas 3 angka boleh berulang lebih dari 300 adalah: 4 × 7 × 7 = 196 buah.

Contoh Soal 6: Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun lebih dari 320 adalah ….

Penyelesaian: Bilangan lebih dari 320, artinya kita harus memecah menjadi dua bagian, yaitu: - Bilangan ratusan dengan angka ratusan 3, yang bilangan puluhannya harus lebih dari 20. - Bilangan ratusan dengan angka ratusan selain 3. Untuk bilangan ratusan dengan angka ratusan 3, yang bilangan puluhannya harus lebih dari 20. maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka ratusan : angka ratusan hanya dapat dipilih sebanyak 1 cara saja, yaitu diisi angka 3 saja. Angka puluhan : dapat dipilih sebanyak 5 cara saja, yaitu dapat diisi dengan angka 2, 3, 4, 5, 6. Angka satuan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu dapat diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan

1

5 7

Untuk bilangan ratusan dengan angka ratusan selain 3, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 3 cara saja, yaitu diisi dengan angka 4, 5, dan 6 saja. Angka puluhan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu dapat diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Angka satuan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu dapat diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan

3

7 7

Jadi banyaknya bilangan terdiri atas 3 angka boleh berulang lebih dari 320 adalah: (1 × 5 × 7) + (3 × 7 × 7) = 35 + 147 = 182 buah.



Contoh Soal 7: Dari angka-angka: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka dengan tidak angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah ….

Penyelesaian: Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Misal kita pilih angka 1 sebagai angka ratusan. Angka puluhan : angka puluhan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 1 yang sudah digunakan

sebagai angka ratusan. Jadi angka puluhan hanya dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka 2, 3, 4, 5, 6, 7. Misal kita pilih angka 2 sebagai angka puluhan.

Angka satuan : angka satuan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 1 yang sudah digunakan sebagai angka ratusan, dan angka 2 yang digunakan sebagai angka puluhan. Jadi angka satuan hanya dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu diisi dengan angka 3, 4, 5, 6, 7 saja.

Sehingga bisa dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:

Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan

7

6 5

Jadi banyaknya bilangan yang terdiri atas 3 angka tidak boleh berulang adalah: 7 × 6 × 5 = 210 buah. Contoh Soal 8: Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka dengan tidak angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah ….

Penyelesaian: Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, karena tidak

mungkin ada angka ratusan 0. Biasanya bilangan 012 hanya ditulis 12 gitu aja. Misal kita pilih angka 1 sebagai angka ratusan

Angka puluhan : angka puluhan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 1 yang sudah digunakan sebagai angka ratusan. Jadi angka puluhan hanya dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka 0, 2, 3, 4, 5, 6. Misal kita pilih angka 2 sebagai angka puluhan.

Angka satuan : angka satuan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 1 yang sudah digunakan sebagai angka ratusan, dan angka 2 yang digunakan sebagai angka puluhan. Jadi angka satuan hanya dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu diisi dengan angka 0, 3, 4, 5, 6 saja.


Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan

6

6 5

Jadi banyaknya bilangan yang terdiri atas 3 angka tidak boleh berulang adalah: 6 × 6 × 5 = 180 buah.



Contoh Soal 9: Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan genap yang terdiri dari 3 angka dengan tidak angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah ….

Penyelesaian: Bilangan genap dan tersedia angka 0 (nol), artinya kita harus memecah menjadi dua bagian, yaitu: - Bilangan genap dengan angka 0 (nol) berada di posisi angka satuan. - Bilangan genap dengan angka genap selain 0 (nol) berada di posisi angka satuan. Untuk bilangan genap dengan angka 0 (nol) berada di posisi angka satuan, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka satuan : karena angka satuan sudah pasti 0 (nol) maka angka satuan hanya dapat dipilih

sebanyak 1 cara saja, yaitu diisi dengan angka 0 saja. Angka puluhan : dapat dipilih 6 angka, yaitu angka 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Misal kita pilih angka 1 sebagai angka puluhan. Angka ratusan : angka ratusan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 0 yang sudah digunakan

sebagai angka satuan, dan angka 1 yang digunakan sebagai angka puluhan. Jadi angka satuan hanya dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu diisi dengan angka 2, 3, 4, 5, 6 saja.

Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan

1

6 5

Untuk bilangan genap dengan angka genap selain 0 (nol) berada di posisi angka satuan, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka satuan : karena angka satuan sudah pasti angka bukan 0 (nol) maka angka satuan hanya

dapat dipilih sebanyak 3 cara saja, yaitu diisi dengan angka 2, 4, 6 saja. Misal kita pilih angka 2 sebagai angka satuan.

Angka ratusan : angka ratusan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 2 yang sudah digunakan sebagai angka satuan, dan jangan lupa angka 0 tidak boleh berada di angka ratusan. sehingga untuk angka ratusan dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu angka 1, 3, 4, 5, 6. Misal kita pilih angka 1 sebagai angka ratusan.

Angka puluhan : angka puluhan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 2 yang sudah digunakan sebagai angka satuan, dan angka 1 yang digunakan sebagai angka ratusan. Jadi angka puluhan hanya dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu diisi dengan angka 0, 3, 4, 5, 6 saja.

Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan

3

5 5

Jadi banyaknya bilangan genap terdiri atas 3 angka tidak boleh berulang adalah: (1 × 6 × 5) + (3 × 5 × 5) = 30 + 75 = 105 buah.



Contoh Soal 10: Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan ganjil yang terdiri dari 3 angka dengan tidak angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah ….

Penyelesaian: Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka satuan : karena ada syarat bilangan harus ganjil maka angka satuan hanya dapat dipilih

sebanyak 3 cara saja, yaitu diisi dengan angka 1, 3, 5. Misal kita pilih angka 1 sebagai angka satuan.

Angka ratusan : angka ratusan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 1 yang sudah digunakan sebagai angka satuan, dan jangan lupa angka 0 tidak boleh berada di angka ratusan. sehingga untuk angka ratusan dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu angka 2, 3, 4, 5, 6. Misal kita pilih angka 2 sebagai angka ratusan.

Angka puluhan : angka puluhan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 1 yang sudah digunakan sebagai angka satuan, dan angka 2 yang digunakan sebagai angka ratusan. Jadi angka puluhan hanya dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu diisi dengan angka 0, 3, 4, 5, 6 saja.


Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan

3

5 5

Jadi banyaknya bilangan ganjil terdiri atas 3 angka tidak boleh berulang adalah: 3 × 5 × 5 = 75 buah.



Menentukan kaidah pencacahan menggunakan permutasi. Contoh Soal 1: Berapa banyak cara menempatkan 7 orang duduk dalam satu baris dalam urutan yang berbeda? Penyelesaian: Banyak urutan adalah bisa ditentukan menggunakan permutasi karena urutan posisi duduk diperhatikan. Sehingga 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴. Maka banyaknya posisi duduk adalah sebanyak 7 orang diambil sekaligus semuanya. Tujuh orang disusun secara permutasi sebanyak 7 orang.

7𝑃7 =7!

(7 − 7)!=

7!

0!=

7!

1= 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:

𝒏𝑷𝒓 = “𝐩𝐞𝐫𝐤𝐚𝐥𝐢𝐚𝐧 𝐦𝐮𝐧𝐝𝐮𝐫 𝐝𝐢𝐦𝐮𝐥𝐚𝐢 𝐝𝐚𝐫𝐢 𝐛𝐢𝐥𝐚𝐧𝐠𝐚𝐧 𝒏 𝐬𝐞𝐛𝐚𝐧𝐲𝐚𝐤 𝒓 𝐟𝐚𝐤𝐭𝐨𝐫”

7 permutasi 7, bisa diartikan perkalian 7 angka terakhir dari 7.

7𝑃7 = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040 Contoh Soal 2: Dari keseluruhan 7 orang ada berapa banyak cara menempatkan orang duduk dalam satu baris yang terdiri dari 4 kursi dalam urutan yang berbeda? Penyelesaian: Banyak urutan adalah bisa ditentukan menggunakan permutasi karena urutan posisi duduk diperhatikan. Sehingga 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴. Maka banyaknya posisi duduk adalah mengambil 4 orang dari total 7 orang secara permutasi. Tujuh orang disusun secara permutasi sebanyak 4 orang.

7𝑃4 =7!

(7 − 4)!=

7!

3!=

7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

3 × 2 × 1= 7 × 6 × 5 × 4 = 840

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: 7 permutasi 4, bisa diartikan perkalian 4 angka terakhir dari 7.

7𝑃4 = 7 × 6 × 5 × 4 = 840 Contoh Soal 3: Ada 12 orang calon pengurus OSIS, akan dipilih 3 orang untuk menduduki posisi ketua, wakil ketua, dan sekretaris. Ada berapa banyak cara menyusun pengurus OSIS tersebut? Penyelesaian: Banyak urutan adalah bisa ditentukan menggunakan permutasi karena urutan posisi jabatan pengurus diperhatikan. Sehingga 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴. Maka banyaknya posisi duduk adalah mengambil 3 orang dari keseluruhan 12 orang secara permutasi. Dua belas orang disusun secara permutasi sebanyak 3 orang.

12𝑃3 =12!

(12 − 3)!=

12!

9!=

12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1= 12 × 11 × 10 = 1320

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: 12 permutasi 3, bisa diartikan perkalian 3 angka terakhir dari 12.

12𝑃3 = 12 × 11 × 10 = 1320



Menentukan kaidah pencacahan menggunakan permutasi dengan ada unsur yang sama. Contoh Soal 1: Berapa banyak cara menyusun kata berlainan dari kata MATEMATIKA? Penyelesaian: Elemen penyusun kata MATEMATIKA adalah M, A, T, E, M, A, T, I, K, A. Maka banyaknya elemen adalah: 𝑛 = 10 Banyak elemen huruf yang sama adalah: - Huruf M ada sebanyak 2 buah, jadi 𝑘 = 2. - Huruf A ada sebanyak 3 buah, jadi ℓ = 3. - Huruf T ada sebanyak 2 buah, jadi 𝑚 = 2. Jadi banyaknya kata berbeda yang bisa disusun adalah:

10𝑃(2,3,2) =10!

2! 3! 2!=

10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

2 × 1 × 3 × 2 × 1 × 2 × 1= 151.200 kata

Contoh Soal 2: Dalam suatu rak buku terdapat 5 buku Biologi, dan 4 buku Matematika serta 1 buah buku Fisika. Buku-buku tersebut akan disusun dengan ditumpuk dari bawah ke atas. Ada berapa banyak cara berbeda dalam menyusun buku tersebut? Penyelesaian: Elemen penyusun ada 5 buku Biologi, 4 buku Matematika, serta 1 buah buku Fisika. Maka banyaknya elemen adalah: 𝑛 = 10 Banyak elemen huruf yang sama adalah: - Buku Biologi ada sebanyak 5 buah, jadi 𝑘 = 5. - Buku Matematika ada sebanyak 4 buah, jadi ℓ = 4. Jadi banyaknya susunan berbeda dari buku yang bisa disusun adalah:

10𝑃(5,4) =10!

5! 4!=

10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1= 1.260 cara

Contoh Soal 3: Ada 3 bendera merah, 1 bendera biru, dan 1 bendera hijau. Bendera-bendera tersebut akan digantung secara vertikal, maka ada berapa banyak cara menyusun bendera tersebut secara berbeda? Penyelesaian: Elemen penyusun ada 3 bendera merah, 1 bendera biru, dan 1 bendera hijau. Maka banyaknya elemen adalah: 𝑛 = 5 Banyak elemen huruf yang sama adalah: - Bendera merah ada sebanyak 3 buah, jadi 𝑘 = 3. Jadi banyaknya susunan berbeda dari bendera yang bisa disusun adalah:

5𝑃(3) =5!

3!=

5 × 4 × 3 × 2 × 1

3 × 2 × 1= 20 cara



Menentukan kaidah pencacahan menggunakan permutasi siklis. Contoh Soal 1: Tentukan ada berapa banyak cara mengatur posisi duduk 5 orang mengelilingi meja berbentuk lingkaran! Penyelesaian: Mengatur 7 orang duduk secara melingkar, 𝑛 = 5. Berarti kita gunakan permutasi siklis.

𝑃𝑠𝑖𝑘𝑙𝑖𝑠 = (5 − 1)! = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 cara

Contoh Soal 2: Berapa cara 10 orang dapat duduk mengelilingi meja bundar apabila ada 2 orang yang harus duduk secara berdekatan? Penyelesaian: Karena ada 2 orang harus duduk berdekatan, berarti 2 orang ini kita anggap menjadi satu kesatuan. Sementara banyak cara menyusun 2 orang yang duduk saling berdekatan sebanyak 2!. Nah, karena 2 orang dianggap menjadi satu, maka dari total 10 orang kini tinggal 9 orang yang akan diatur duduk secara melingkar. Mengatur 9 orang duduk secara melingkar, 𝑛 = 9. Berarti kita gunakan permutasi siklis.

𝑃𝑠𝑖𝑘𝑙𝑖𝑠 = (9 − 1)! = 8! Jadi banyaknya cara menyusun 10 orang duduk melingkar apabila ada 2 orang yang harus duduk bersebelahan:

𝑃 = 𝑃𝑠𝑖𝑘𝑙𝑖𝑠 × 2! = 8! 2! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 2 × 1 = 80.640 cara

Contoh Soal 3: Ada 4 orang siswa kelas X, 3 orang siswa kelas XI, dan 2 orang siswa kelas XII akan berunding duduk mengelilingi meja bundar. Berapa banyak cara duduk apabila siswa satu kelas harus duduk bersebelahan. Penyelesaian: Nah, yang ditanyakan oleh soal adalah banyak cara menyusun 3 kelompok kelas yang akan diatur duduk secara melingkar. Berarti kita gunakan permutasi siklis.

𝑃𝑠𝑖𝑘𝑙𝑖𝑠 = (3 − 1)! = 2! Sementara banyaknya cara menyusun posisi duduk siswa kelas X adalah sebanyak 4𝑃4 = 4!. Sementara banyaknya cara menyusun posisi duduk siswa kelas XI adalah sebanyak 3𝑃3 = 3!. Sementara banyaknya cara menyusun posisi duduk siswa kelas XII adalah sebanyak 2𝑃2 = 2!. Jadi banyaknya cara menyusun siswa duduk melingkar apabila ada siswa satu kelas harus duduk bersebelahan:

𝑃 = 𝑃𝑠𝑖𝑘𝑙𝑖𝑠 × 4! × 3! × 2! = 2! × 4! × 3! × 2! = 576 cara



Menentukan kaidah pencacahan menggunakan kombinasi. Contoh Soal 1: Dari keseluruhan 7 orang ada berapa banyak cara memilih 4 orang untuk dijadikan pengurus RT? Penyelesaian: Banyak urutan adalah bisa ditentukan menggunakan kombinasi karena urutan posisi duduk tidak diperhatikan. Sehingga 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴. Maka banyaknya cara memilih adalah memilih 4 orang dari total 7 orang secara kombinasi Tujuh orang dipilih secara kombinasi sebanyak 4 orang.

7𝐶4 =7!

(7 − 4)! 4!=

7!

3! 4!=

7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

3 × 2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1=

7 × 6 × 5

3 × 2 × 1= 35

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:

𝒏𝑪𝒓 = “(𝐩𝐞𝐫𝐤𝐚𝐥𝐢𝐚𝐧 𝐦𝐮𝐧𝐝𝐮𝐫 𝐝𝐢𝐦𝐮𝐥𝐚𝐢 𝐝𝐚𝐫𝐢 𝐛𝐢𝐥𝐚𝐧𝐠𝐚𝐧 𝒏 𝐬𝐞𝐛𝐚𝐧𝐲𝐚𝐤 𝒓 𝐟𝐚𝐤𝐭𝐨𝐫)

(𝐩𝐞𝐫𝐤𝐚𝐥𝐢𝐚𝐧 𝐦𝐚𝐣𝐮 𝐝𝐢𝐦𝐮𝐥𝐚𝐢 𝐝𝐚𝐫𝐢 𝐛𝐢𝐥𝐚𝐧𝐠𝐚𝐧 𝟏 𝐬𝐞𝐛𝐚𝐧𝐲𝐚𝐤 𝒓 𝐟𝐚𝐤𝐭𝐨𝐫)”

7 kombinasi 4, bisa diartikan perkalian 4 angka terakhir dari 7 dibagi perkalian 4 angka awal.

7𝐶4 =7 × 6 × 5 × 4

4 × 3 × 2 × 1= 35

Contoh Soal 2: Ada 12 orang siswa yang telah mendaftar, akan dipilih 3 orang untuk menjadi pengurus OSIS. Ada berapa banyak cara menyusun pengurus OSIS tersebut? Penyelesaian: Banyak urutan adalah bisa ditentukan menggunakan kombinasi karena urutan posisi jabatan pengurus tidak diperhatikan. Sehingga 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴. Maka banyaknya posisi duduk adalah mengambil 3 orang dari keseluruhan 12 orang secara permutasi. Dua belas orang disusun secara permutasi sebanyak 3 orang.

12𝐶3 =12!

(12 − 3)! 3!=

12!

9! 3!=

12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 3 × 2 × 1

=12 × 11 × 10

3 × 2 × 1= 220

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: 12 kombinasi 3, bisa diartikan perkalian 3 angka terakhir dari 12 dibagi perkalian 3 angka awal.

12𝐶3 =12 × 11 × 10

3 × 2 × 1= 1320

Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di http://pak-anang.blogspot.com. :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/03/smart-solution-un-matematika-sma-2013_31.html untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013 pada bab Kaidah Pencacahan (Aturan Perkalian, Permutasi, dan Kombinasi) ini….



http://pak-anang.blogspot.com/2013/03/smart-solution-un-matematika-sma-2013_31.html


Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1. Bilangan terdiri dari 4 angka disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 5, 6, dan 7. Banyak susunan bilangan

dengan angka-angka yang berlainan (angka-angkanya tidak boleh berulang) adalah ....

A. 20

B. 40

C. 80

D. 120

E. 360

2. Banyak susunan kata yang dpat dibentuk dari kata ”WIYATA” adalah ....

A. 360 kata

B. 180 kata

C. 90 kata

D. 60 kata

E. 30 kata

Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.

Permutasi 4 angka dari 6 angka:

6𝑃4 =6!

(6 − 4)! =

6!

2!=

6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1

2 ∙ 1= 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 = 360

Permutasi 6 unsur dari dengan ada 2 unsur yang sama, yakni huruf A: 6!

2!=

6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1

2 ∙ 1= 360 kata

Bisa juga dikerjakan dengan menggunakan aturan perkalian, banyaknya bilangan berbeda yang bisa dibentuk adalah: 𝑛 = 6 × 5 × 4 × 3 = 360 bilangan


http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html

smart solution un matematika sma 2013 (skl 6.2 kaidah pencacahan, permutasi dan kombinasi)

Education