permainan kubus rubik dan kaitannya dengan grup...

PERMAINAN KUBUS RUBIK DAN KAITANNYA

DENGAN GRUP SIMETRIK

MAKALAH

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Matematika

Program Studi Matematika

Oleh:

Egi Dwifa Arian

NIM: 163114015

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2020

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

i

PERMAINAN KUBUS RUBIK DAN KAITANNYA

DENGAN GRUP SIMETRIK

MAKALAH

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Matematika

Program Studi Matematika

Oleh:

Egi Dwifa Arian

NIM: 163114015

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2020


ii

RUBIK’S CUBE GAME AND ITS RELATION TO SYMMETRIC GROUP

PAPER

Presented as Partial Fulfillment of the

Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Matematika

Mathematics Study Program

Written by:

Egi Dwifa Arian

Student ID: 163114015

MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2020


v

HALAMAN PERSEMBAHAN

Serahkanlah hidupmu kepada TUHAN dan percayalah kepada-Nya, dan

Ia akan bertindak.

Mazmur 37:5

Karya ini dipersembahkan untuk kedua orang tua tercinta,

Ferli dan Veronica Murdiyanti

serta kakak saya,

Dhofa Dirga Lianda


viii

ABSTRAK

Kubus Rubik merupakan suatu permainan yang berhubungan dengan

matematika. Seperti halnya matematika, kubus Rubik juga memiliki persoalan

untuk dipecahkan, yaitu bagaimana cara menyusun kembali kubus Rubik yang telah

diacak ke posisi terselesaikan. Salah satu cabang matematika, yaitu Teori Grup,

memiliki kaitan dengan permainan kubus Rubik. Dalam makalah ini akan

diperlihatkan bahwa himpunan semua gerakan pada kubus Rubik dengan operasi

komposisi fungsi merupakan grup simetrik.


ix

ABSTRACT

Rubik’s cube is a game related to mathematics. Like mathematics, the

Rubik’s cube also has a problem to solve, namely how to rearrange the scrambled

Rubik’s cube to its completed position. One of the fields of mathematics, namely

Group Theory, has a relation to the Rubik’s cube game. In this paper it will be

shown that the set of all movements on the Rubik’s cube with composition of

functions as operation forms a symmetric group.


xii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ................................................................................................ i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ............................................ ii

HALAMAN PERSETUJUAN DOSEN PEMBIMBING ...................................... iii

HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iv

HALAMAN PERSEMBAHAN ............................................................................. v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................................ vi

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI................................ vii

ABSTRAK ........................................................................................................... viii

ABSTRACT ........................................................................................................... ix

KATA PENGANTAR ............................................................................................ x

DAFTAR ISI ......................................................................................................... xii

BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................... 1

A. Latar Belakang Masalah ............................................................................... 1

B. Rumusan Masalah ........................................................................................ 3

C. Batasan Masalah........................................................................................... 3

D. Tujuan Penulisan .......................................................................................... 3

E. Metode Penulisan ......................................................................................... 3

F. Manfaat Penulisan ........................................................................................ 3

G. Sistematika Penulisan .................................................................................. 4

BAB II TEORI HIMPUNAN DAN TEORI GRUP ............................................... 5

A. Himpunan ..................................................................................................... 5

B. Relasi .......................................................................................................... 10

C. Fungsi ......................................................................................................... 13

D. Grup ........................................................................................................... 18

E. Subgrup ...................................................................................................... 27

F. Grup Siklik ................................................................................................. 28

G. Grup Simetrik ............................................................................................. 30

BAB III KUBUS RUBIK DAN GRUP SIMETRIK ............................................ 33

A. Kubus Rubik .............................................................................................. 33


xiii

B. Notasi Gerakan Kubus ............................................................................... 35

C. Grup Simetrik Gerakan Pada Kubus Rubik ............................................... 39

BAB IV PENUTUP .............................................................................................. 48

A. Kesimpulan ................................................................................................ 48

B. Saran ........................................................................................................... 48

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 49


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Rubik’s Cube atau kubus Rubik merupakan permainan yang dapat digunakan

untuk mengasah otak. Kubus Rubik ditemukan pada tahun 1974 oleh seorang

pemahat dan profesor arsitektur dari Hungaria bernama Ernö Rubik. Awalnya Ernö

Rubik ingin membuat sebuah model sebagai alat pembelajaran untuk membantu

murid-muridnya memahami geometri tiga dimensi dan akhirnya tercipta menjadi

sebuah permainan teka-teki (puzzle) yang paling laris di dunia.

Banyak jenis Rubik yang sering dimainkan, seperti 2×2×2 (Pocket Cube),

3×3×3 (Rubik’s Cube), 4×4×4 (Master Cube) dan lain-lain. Permainan kubus Rubik

berdimensi 3×3×3 terdiri dari 26 kubus kecil yang dapat dibagi menjadi tiga kate-

gori yaitu kubus tengah, kubus tepi, dan kubus sudut. Warna kubus tengah pada

kubus Rubik yang teracak dapat menjadi acuan untuk mengetahui warna pada per-

mukaan sisi yang dapat membuatnya terselesaikan. Skema warna sisi kubus Rubik

yang standar yaitu putih, kuning, merah, oranye, hijau, dan biru.

Cara menyelesaikan permainan ini dengan memutar-mutar sisinya supaya ku-

bus Rubik yang telah diacak kembali ke posisi terselesaikan. Terdapat beragam

metode untuk menyelesaikan kubus Rubik, salah satunya metode yang paling mu-

dah dan popular yaitu layer by layer method atau metode lapis demi lapis. Namun

makalah ini tidak membahas solusi menyelesaikan permainan kubus Rubik, tetapi

menghubungkan konsep-konsep Teori Grup yang dapat diterapkan pada permainan

kubus Rubik.


2

Gambar 1. Kubus Rubik posisi teracak (kiri) dan posisi terselesaikan (kanan)

(http://www.suhendry.net/contest/bnpchs11/qual/)

Dari sudut pandang matematika, permainan kubus Rubik ini memiliki kaitan

dengan Fungsi, Komposisi Fungsi, Teori Grup, dan Teori Graf. Makalah ini akan

membahas Teori Grup yang memiliki kaitan dengan permainan kubus Rubik.

Dalam permainan kubus Rubik dilakukan suatu gerakan 𝑁 untuk membuat kubus-

kubus kecil berada pada posisi yang diinginkan. Pada makalah ini akan diperlihat-

kan bahwa himpunan semua gerakan pada kubus Rubik dengan operasi komposisi

fungsi merupakan grup simetrik.

Aljabar abstrak, khususnya Teori Grup, merupakan materi yang sulit di-

mengerti karena mahasiswa dituntut untuk memahami konsep matematika yang

cenderung bersifat abstrak. Padahal Teori Grup merupakan salah satu konsep pen-

ting yang memiliki banyak penerapan dalam kehidupan nyata, seperti permainan

Sudoku dan permainan kubus Rubik. Maka dari itu penulis akan membahas materi

Teori Grup dengan contoh konkret, yaitu permainan kubus Rubik, supaya kita dapat

mempelajari Teori Grup dengan lebih mudah.


http://www.suhendry.net/contest/bnpchs11/qual/

3

B. Rumusan Masalah

1. Bagaimana menyusun semua gerakan yang mungkin pada kubus Rubik?

2. Bagaimana mendefinisikan operasi biner antara gerakan-gerakan kubus

Rubik?

3. Sifat-sifat mana saja yang berlaku pada permainan kubus Rubik?

4. Bagaimana menyusun semua gerakan kubus Rubik sehingga membentuk

suatu grup simetrik?

C. Batasan Masalah

Rubik yang dipakai dalam makalah ini adalah kubus Rubik berukuran 3×3×3

atau lebih dikenal dengan kubus Rubik. Makalah ini tidak membahas penyelesaian

permainan kubus Rubik, tetapi menghubungkan konsep-konsep pada Teori Grup

dengan gerakan-gerakan dalam permainan kubus Rubik.

D. Tujuan Penulisan

1. Menyusun semua gerakan yang mungkin pada kubus Rubik.

2. Mendefinisikan operasi biner antara gerakan-gerakan kubus Rubik.

3. Mengetahui sifat-sifat yang berlaku pada permainan kubus Rubik.

4. Menyusun semua gerakan kubus Rubik sehingga membentuk suatu grup

simetrik.

E. Metode Penulisan

Metode penulisan yang digunakan dalam makalah ini adalah studi pustaka dari

buku-buku dan jurnal yang berkaitan dengan kubus Rubik dan Teori Grup.

F. Manfaat Penulisan

Manfaat penulisan makalah ini adalah dapat memberi pengetahuan mengenai

hubungan antara Teori Grup dengan permainan kubus Rubik. Selain itu, juga dapat

dijadikan sebagai alternatif pembelajaran Teori Grup dengan contoh konkret.


4

G. Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan tugas akhir ini adalah sebagai berikut:

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

B. Rumusan Masalah

C. Batasan Masalah

D. Tujuan Penulisan

E. Metode Penulisan

F. Manfaat Penulisan

G. Sistematika Penulisan

BAB II TEORI HIMPUNAN DAN TEORI GRUP

A. Himpunan

B. Relasi

C. Fungsi

D. Grup

E. Subgrup

F. Grup Siklik

G. Grup Simetrik

BAB III KUBUS RUBIK DAN GRUP SIMETRIK

A. Kubus Rubik

B. Notasi Gerakan Kubus

C. Grup Simetrik Gerakan Pada Kubus Rubik

BAB IV PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Saran

DAFTAR PUSTAKA


5

BAB II

TEORI HIMPUNAN DAN TEORI GRUP

Dalam bab ini akan dibahas pengertian-pengertian dasar yang akan digunakan

dalam pembahasan selanjutnya, yaitu: Himpunan, Relasi, Fungsi, Grup, Subgrup,

Grup Siklik, dan Grup Simetrik.

A. Himpunan

Himpunan adalah suatu kumpulan atau koleksi obyek-obyek (konkret maupun

abstrak) yang mempunyai kesamaan sifat tertentu. Suatu himpunan haruslah

terdefinisi secara tegas, dalam arti bahwa untuk setiap objek dalam semestanya

dapat ditentukan secara tegas apakah objek tersebut merupakan anggota himpunan

itu atau tidak. Suatu himpunan biasanya dilambangkan dengan huruf besar, misal-

nya 𝐴, 𝐵, 𝐶, dan seterusnya. Obyek-obyek yang merupakan anggota dari suatu him-

punan disebut anggota atau elemen dari himpunan itu, dan dilambangkan dengan

huruf kecil, misalnya 𝑎, 𝑏, 𝑥, 𝑦, dan seterusnya. Himpunan semua objek yang ter-

masuk lingkup pembicaraan disebut himpunan semesta atau semesta wacana, yang

dilambangkan 𝑈 atau 𝑋. Untuk setiap objek dalam semesta wacana dari suatu him-

punan hanya ada dua kemungkinan, yaitu merupakan anggota dari himpunan itu

atau tidak merupakan anggota dari himpunan itu. Suatu himpunan dikatakan

terdefinisi dengan baik (well-defined) bila untuk setiap elemen dari semestanya

dapat ditentukan dengan tegas apakah elemen itu merupakan anggota himpunan itu

atau tidak.

Karena himpunan-himpunan bilangan seringkali dipakai dalam matematika,

maka himpunan-himpunan itu biasanya disajikan dengan lambang tertentu sebagai

berikut:

ℕ adalah himpunan semua bilangan asli (bilangan bulat positif).

ℤ adalah himpunan semua bilangan bulat.

ℚ adalah himpunan semua bilangan rasional.

ℝ adalah himpunan semua bilangan real.

ℂ adalah himpunan semua bilangan kompleks.


6

Apabila suatu objek 𝑥 merupakan anggota dari himpunan 𝐴, maka hal itu

dinyatakan dengan notasi

𝑥 ∈ 𝐴

dan apabila objek 𝑦 tidak merupakan anggota dari himpunan 𝐴, maka hal itu dinya-

takan dengan notasi

𝑦 ∉ 𝐴.

1. Cara Menyatakan Himpunan

Ada beberapa cara untuk menyatakan suatu himpunan. Yang paling sederhana

ialah cara daftar, yaitu menyatakan suatu himpunan dengan menuliskan satu per

satu lambang anggota-anggotanya di antara tanda kurung kurawal. Cara ini bia-

sanya dipakai untuk himpunan-himpunan yang diskret.

Contoh 2.1

𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}

𝐵 = {Bantul, Kulon Progo, Gunung Kidul, Sleman, Yogyakarta}

ℕ = {1,2,3,4,5, … }

Cara lain untuk menyatakan suatu himpunan adalah cara syarat keanggotaan,

yaitu dengan menyatakan syarat yang harus dipenuhi oleh elemen-elemen him-

punan semesta untuk menjadi anggota itu (syarat itu disebut syarat keanggotaan

dari himpunan yang bersangkutan).

Contoh 2.2

𝐴 = {𝑥|𝑥 adalah salah satu dari tujuh huruf pertama dalam abjad}

ℤ = {𝑥|𝑥 adalah bilangan bulat}

ℕ = {𝑥|𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 > 0}

Cara lain lagi untuk menyatakan suatu himpunan ialah dengan menggunakan

apa yang disebut fungsi karakteristik, yaitu suatu fungsi dari himpunan semesta 𝑋

ke himpunan {0,1}. Suatu himpunan 𝐴 dalam semesta 𝑋 dapat dinyatakan dengan


7

fungsi karakteristik

𝜒𝐴: 𝑋 → {0,1}

yang didefinisikan dengan aturan

𝜒𝐴(𝑥) = {1 jika 𝑥 ∈ 𝐴0 jika 𝑥 ∉ 𝐴

untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋.

Contoh 2.3

Dalam semesta 𝑋 = {𝑥|𝑥 adalah huruf dalam abjad}, himpunan 𝐴 dalam

Contoh 2.1 di atas dapat dinyatakan dengan menggunakan fungsi karakteristiknya,

yaitu

𝜒𝐴(𝑥) = {1 jika 𝑥 adalah salah satu dari lima huruf pertama dalam abjad0 jika lainnya

2. Himpunan Kosong dan Himpunan Bagian

Dapat terjadi bahwa suatu himpunan sama sekali tidak memuat anggota, misal-

nya himpunan bilangan real yang kuadratnya adalah bilangan negatif. Himpunan

semacam itu disebut himpunan kosong dan dilambangkan dengan ∅ atau { }. Suatu

himpunan yang hanya memuat satu elemen disebut himpunan elemen tunggal

(singleton). Misalnya himpunan 𝐴 = {1} adalah suatu himpunan elemen tunggal.

Suatu himpunan 𝐴 dalam semesta 𝑋 dikatakan merupakan himpunan bagian

(subhimpunan) dari himpunan 𝐵, dengan notasi

𝐴 ⊆ 𝐵,

jika dan hanya jika setiap anggota dari himpunan 𝐴 juga merupakan anggota dari

himpunan 𝐵. Jadi

𝐴 ⊆ 𝐵 jhj (∀𝑥 ∈ 𝑋)𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵.

Dua buah himpunan 𝐴 dan 𝐵 dikatakan sama, dengan notasi

𝐴 = 𝐵,


8

jika dan hanya jika setiap anggota himpunan 𝐴 adalah anggota himpunan 𝐵 dan

sebaliknya setiap anggota himpunan 𝐵 adalah anggota himpunan 𝐴. Dengan per-

kataan lain,

𝐴 = 𝐵

jika dan hanya jika

𝐴 ⊆ 𝐵 dan 𝐵 ⊆ 𝐴.

Contoh 2.4

Jika 𝐴 = {𝑥|𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0} dan 𝐵 = {2,3}, maka 𝐴 = 𝐵, sebab akar-akar

persamaan 𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0 adalah 𝑥 = 2 atau 𝑥 = 3.

3. Operasi Himpunan

Operasi himpunan adalah aturan yang menghasilkan himpunan dari satu atau

lebih himpunan yang diketahui. Operasi dengan satu himpunan disebut operasi

uner, sedangkan operasi dengan dua himpunan disebut operasi biner. Berikut akan

dibahas enam buah operasi himpunan, yaitu komplemen, gabungan, irisan, selisih,

selisih simetrik, dan darab Cartesius. Operasi komplemen adalah operasi uner, se-

dangkan gabungan, irisan, selisih, selisih simetrik, dan darab Cartesius adalah

operasi biner.

Komplemen dari himpunan 𝐴 dalam semesta 𝑋, dengan notasi 𝐴′, adalah him-

punan semua anggota semesta yang bukan anggota himpunan 𝐴, yaitu

𝐴′ = {𝑥 ∈ 𝑋|𝑥 ∉ 𝐴}.

Gabungan dua buah himpunan 𝐴 dan 𝐵, dengan notasi

𝐴 ∪ 𝐵,

adalah himpunan semua elemen dalam semesta yang merupakan anggota himpunan

𝐴 atau anggota himpunan 𝐵, yaitu

𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ˅ 𝑥 ∈ 𝐵}.

Irisan dua buah himpunan 𝐴 dan 𝐵, dengan notasi

𝐴 ∩ 𝐵,


𝐴 dan sekaligus anggota himpunan 𝐵, yaitu


9

𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ˄ 𝑥 ∈ 𝐵}.

Bila 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, maka 𝐴 dan 𝐵 disebut dua buah himpunan yang saling asing

atau saling lepas. Misalnya, himpunan 𝐴 dan komplemennya adalah saling asing,

sebab

𝐴 ∩ 𝐴′ = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ˄ 𝑥 ∈ 𝐴′} = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ˄ 𝑥 ∉ 𝐴} = ∅.

Selisih dua buah himpunan 𝐴 dan 𝐵, dengan notasi

𝐴 − 𝐵,


𝐴 dan bukan anggota himpunan 𝐵, yaitu

𝐴 − 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ˄ 𝑥 ∉ 𝐵}.

Selisih simetrik dua buah himpunan 𝐴 dan 𝐵, dengan notasi

𝐴⊝𝐵,


𝐴 − 𝐵 atau himpunan 𝐵 − 𝐴, yaitu

𝐴⊝ 𝐵 = (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐴).

Darab Cartesius dua buah himpunan 𝐴 dan 𝐵, dengan notasi

𝐴 × 𝐵,

adalah himpunan semua pasangan terurut (𝑥, 𝑦) dengan 𝑥 ∈ 𝐴 dan 𝑦 ∈ 𝐵, yaitu

𝐴 × 𝐵 = {(𝑥, 𝑦)|𝑥 ∈ 𝐴 ˄ 𝑦 ∈ 𝐵}.

Contoh 2.5

Misalnya 𝐴 = {1,2,3,4} dan 𝐵 = {2,4,6}. Maka

𝐴 ∪ 𝐵 = {1,2,3,4,6}; 𝐴 ∩ 𝐵 = {2,4}

𝐴 − 𝐵 = {1,3}

𝐵 − 𝐴 = {6}

𝐴⊝ 𝐵 = {1,3,6} = 𝐵 ⊝𝐴

𝐴 × 𝐵 =

{(1,2), (1,4), (1,6), (2,2), (2,4), (2,6), (3,2), (3,4), (3,6), (4,2), (4,4), (4,6)}

𝐵 × 𝐴 =

{(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4)}


10

B. Relasi

Pada umumnya, relasi terjadi antara elemen-elemen dalam suatu himpunan

dengan elemen-elemen dalam himpunan lainnya. Misalnya diketahui dua buah him-

punan bilangan 𝑋 = {1,2,3} dan 𝑌 = {2,3,4}, dan relasi “lebih besar atau sama

dengan” antara elemen-elemen dalam himpunan 𝑋 dengan elemen-elemen dalam

himpunan 𝑌.

1. Relasi Biner

Secara matematis, suatu relasi 𝑅 antara elemen-elemen dalam himpunan 𝑋

dengan elemen-elemen dalam himpunan 𝑌 dapat dinyatakan sebagai himpunan

pasangan terurut (𝑥, 𝑦) di mana elemen 𝑥 ∈ 𝑋 berelasi dengan elemen 𝑦 ∈ 𝑌, yaitu

𝑅 = {(𝑥, 𝑦)|𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌, 𝑥 berelasi dengan 𝑦}.

Misalnya relasi 𝑅 (lebih besar atau sama dengan) dalam contoh di atas dapat dinya-

takan sebagai himpunan pasangan terurut sebagai berikut:

𝑅 = {(2,2), (3,2), (3,3)}.

Relasi 𝑅 antara elemen-elemen dalam himpunan 𝑋 dengan elemen-elemen da-

lam himpunan 𝑌 tersebut merupakan himpunan bagian dari darab Cartesius 𝑋 × 𝑌.

Sebaliknya, setiap himpunan bagian dari darab Cartesius 𝑋 × 𝑌 dapat dipandang

sebagai suatu relasi antara elemen-elemen dalam himpunan 𝑋 dengan elemen-

elemen dalam himpunan 𝑌. Relasi antara elemen-elemen dalam dua buah himpunan

seperti contoh di atas disebut relasi biner.

Secara matematis, relasi biner 𝑅 antara elemen-elemen dalam himpunan 𝑋

dengan elemen-elemen dalam himpunan 𝑌 didefinisikan sebagai himpunan bagian

dari darab Cartesius 𝑋 × 𝑌, yaitu

𝑅 ⊆ 𝑋 × 𝑌.

Relasi 𝑅 antara elemen-elemen dalam himpunan 𝑋 dengan elemen-elemen da-

lam himpunan 𝑌 seringkali juga disebut relasi 𝑅 dari himpunan 𝑋 ke himpunan 𝑌.

Jika elemen 𝑥 ∈ 𝑋 berelasi 𝑅 dengan elemen 𝑦 ∈ 𝑌, maka hal itu dinyatakan dengan

lambang

(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅


11

atau kadang-kadang dengan lambang

𝑥𝑅𝑦.

Sebaliknya, jika elemen 𝑥 ∈ 𝑋 tidak berelasi 𝑅 dengan elemen 𝑦 ∈ 𝑌, maka hal

itu dinyatakan dengan lambang

(𝑥, 𝑦) ∉ 𝑅

atau kadang-kadang dengan lambang

𝑥𝑅𝑦.

Misalnya untuk relasi 𝑅 (lebih besar atau sama dengan) dalam contoh di atas,

pasangan terurut (3,2) ∈ 𝑅, yang juga dapat dinyatakan dengan lambang 3𝑅2, atau

biasanya dengan lambang 3 ≥ 2.

Relasi 𝑅 antara elemen-elemen dalam himpunan 𝑋 = {𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑚} dengan

elemen-elemen dalam himpunan 𝑌 = {𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛} dapat dinyatakan dalam ben-

tuk suatu matriks berukuran 𝑚 × 𝑛 sebagai berikut

𝑅 = (

𝑎11 𝑎12 …𝑎21 𝑎22 …⋮ ⋮ ⋱

𝑎1𝑛𝑎2𝑛⋮

𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛

)

di mana

𝑎𝑖𝑗 = {1 jika 𝑥𝑖 ∈ 𝑋 berelasi 𝑅 dengan 𝑦𝑗 ∈ 𝑌

0 jika 𝑥𝑖 ∈ 𝑋 tidak berelasi 𝑅 dengan 𝑦𝑗 ∈ 𝑌

untuk 𝑖 = 1,2, … ,𝑚 dan 𝑗 = 1,2, … , 𝑛.

Misalnya relasi 𝑅 adalah relasi “lebih besar atau sama dengan” antara elemen-

elemen dalam himpunan 𝑋 = {1,2,3} dengan elemen-elemen dalam himpunan

𝑌 = {2,3,4} dalam contoh di awal subbab ini dapat dinyatakan dalam bentuk

matriks sebagai berikut:

𝑅 = (0 0 01 0 01 1 0

).


12

Jika 𝑅 adalah suatu relasi biner dari himpunan 𝑋 ke himpunan 𝑌, maka domain

dari 𝑅, yang dinotasikan dengan dom 𝑅, adalah himpunan semua elemen dalam 𝑋

yang berelasi dengan suatu elemen dalam 𝑌, yaitu

dom 𝑅 = {𝑥 ∈ 𝑋|(∃𝑦 ∈ 𝑌)(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅}.

Range dari 𝑅, yang dinotasikan dengan ran 𝑅, adalah himpunan semua elemen

dari 𝑌 yang berelasi dengan suatu elemen dari 𝑋, yaitu

ran 𝑅 = {𝑦 ∈ 𝑌|(∃𝑥 ∈ 𝑋)(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅}.

Jika 𝑋 = 𝑌, maka relasi 𝑅 itu merupakan himpunan bagian dari 𝑋 × 𝑋, yaitu

𝑅 ⊆ 𝑋 × 𝑋, dan disebut relasi pada himpunan 𝑋. Himpunan 𝑋 yang dilengkapi

dengan suatu relasi 𝑅 pada himpunan 𝑋 itu biasanya disajikan dengan pasangan

terurut (𝑋, 𝑅).

Contoh 2.6

Pada himpunan 𝑋 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} didefinisikan relasi 𝑅 dengan

aturan: (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 jika dan hanya jika 𝑦 = 𝑥2 untuk 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, maka

𝑅 = {(1,1), (2,4), (3,9)}. Domain dari relasi 𝑅 tersebut adalah dom 𝑅 = {1,2,3},

sedangkan range dari relasi 𝑅 tersebut adalah ran 𝑅 = {1,4,9}.

2. Invers dari Relasi Biner

Bila 𝑅 adalah relasi biner antara elemen-elemen dalam himpunan 𝑋 dengan

elemen-elemen dalam himpunan 𝑌 (relasi dari himpunan 𝑋 ke himpunan 𝑌), maka

invers dari relasi 𝑅, dengan notasi 𝑅−1, adalah relasi antara elemen-elemen dalam

himpunan 𝑌 dengan elemen-elemen dalam himpunan 𝑋 (relasi dari himpunan 𝑌 ke

himpunan 𝑋) dengan (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅−1 bila dan hanya bila (𝑦, 𝑥) ∈ 𝑅. Jadi,

𝑅−1 = {(𝑦, 𝑥)|𝑦 ∈ 𝑌, 𝑥 ∈ 𝑋, (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅}.

Matriks dari relasi 𝑅−1 adalah transpos dari matriks relasi 𝑅. Sebagai contoh

misalnya invers dari relasi 𝑅 yaitu relasi “lebih besar atau sama dengan” antara

elemen-elemen dalam himpunan 𝑋 = {1,2,3} dengan elemen-elemen dalam him-

punan 𝑌 = {2,3,4} dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut:


13

𝑅−1 = (0 1 10 0 10 0 0

).

Untuk setiap relasi 𝑅 dari himpunan 𝑋 ke himpunan 𝑌 berlaku (𝑅−1)−1 = 𝑅,

sebab

(𝑅−1)−1 = {(𝑥, 𝑦)|𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌, (𝑦, 𝑥) ∈ 𝑅−1}

= {(𝑥, 𝑦)|𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌, (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅}

= 𝑅.

Contoh 2.7

Jika 𝑅 adalah relasi pada himpunan 𝑋 yang didefinisikan dalam Contoh 2.6 di

atas, maka 𝑅−1 adalah relasi pada himpunan 𝑋 dengan 𝑅−1 = {(1,1), (4,2), (9,3)},

yaitu (𝑦, 𝑥) ∈ 𝑅−1 jika dan hanya jika 𝑥 = √𝑦 untuk 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋. Jadi, invers dari

relasi “kuadrat” adalah relasi “akar”.

C. Fungsi

Suatu fungsi adalah relasi khusus f antara elemen-elemen dalam suatu him-

punan 𝑋 dengan elemen-elemen dalam himpunan 𝑌. Kekhususannya terletak dalam

dua hal, yaitu:

(1) Setiap elemen dalam himpunan 𝑋 berelasi dengan suatu elemen dalam

himpunan 𝑌.

(2) Elemen dalam himpunan 𝑌 yang berelasi dengan elemen dari himpunan

𝑋 itu adalah tunggal.

Kedua sifat khusus tersebut dapat dinyatakan dalam satu kalimat, yaitu: untuk

setiap elemen dalam himpunan 𝑋 terdapat dengan tunggal elemen dalam himpunan

𝑌 yang berelasi dengannya. Relasi khusus semacam itu disebut fungsi (atau sering-

kali juga disebut pemetaan) dari himpunan 𝑋 ke himpunan 𝑌, dan disajikan dengan

lambang:

𝑓: 𝑋 → 𝑌.


14

Himpunan 𝑋 disebut domain dari fungsi 𝑓 dan dilambangkan dengan dom 𝑓,

sedangkan himpunan 𝑌 disebut kodomain dari fungsi 𝑓 dan dilambangkan dengan

kod 𝑓. Jika 𝑥 ∈ 𝑋, maka 𝑦 ∈ 𝑌 yang berelasi dengan elemen 𝑥 itu disebut bayang-

an (atau peta) dari 𝑥 oleh fungsi 𝑓, atau nilai dari fungsi f di 𝑥, dan dilambangkan

dengan

𝑦 = 𝑓(𝑥).

Elemen 𝑥 ∈ 𝑋 itu disebut argumen dari fungsi f, seringkali juga disebut varia-

bel bebas, sedangkan elemen 𝑦 ∈ 𝑌 yang merupakan bayangan dari 𝑥 itu disebut

variabel takbebas (karena nilainya tergantung dari 𝑥). Bayangan dari elemen 𝑥 ∈ 𝑋

oleh fungsi 𝑓 itu seringkali juga disajikan dengan lambang

𝑥 ↦ 𝑦 = 𝑓(𝑥).

Jika 𝑦 ∈ 𝑌, maka elemen 𝑥 ∈ 𝑋 sedemikian sehingga 𝑦 = 𝑓(𝑥) disebut praba-

yangan (atau prapeta) dari 𝑦 dan dilambangkan dengan

𝑥 = 𝑓−1(𝑦).

Bayangan dari setiap elemen dari domain suatu fungsi selalu ada dan tunggal,

sedangkan prabayangan dari suatu elemen dalam kodomain suatu fungsi belum

tentu ada dan kalaupun ada prabayangan itu belum tentu tunggal. Pada umumnya,

prabayangan dari suatu elemen dalam kodomain suatu fungsi adalah suatu him-

punan (dapat berupa himpunan kosong, atau himpunan elemen tunggal, atau him-

punan yang memuat lebih dari satu elemen), sedangkan bayangan dari setiap ele-

men dalam domain suatu fungsi adalah satu elemen (yang dapat juga dipandang

sebagai suatu himpunan dengan elemen tunggal).

1. Kesamaan Dua Buah Fungsi

Jika 𝑓: 𝑋 → 𝑌 adalah suatu fungsi, maka himpunan semua elemen dalam

kodomain 𝑌 yang merupakan bayangan dari suatu elemen dalam domain 𝑋

disebut kisaran dari fungsi f dan dinyatakan dengan dengan notasi 𝑓(𝑋). Jadi

kisaran dari fungsi f adalah 𝑓(𝑋) = {𝑦 ∈ 𝑌|(∃𝑥 ∈ 𝑋)𝑦 = 𝑓(𝑥)}.


15

Kisaran 𝑓(𝑋) merupakan himpunan bagian dari kodomain 𝑌, yaitu

𝑓(𝑋) ⊆ 𝑌.

Dua buah fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑌 dan 𝑔: 𝑋 → 𝑌 dikatakan sama, yaitu 𝑓 = 𝑔, jika

dan hanya jika 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋.

2. Fungsi-Fungsi Khusus

Beberapa fungsi khusus akan dibahas berikut ini.

a. Fungsi Injektif

Suatu fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑌 disebut fungsi (pemetaan) injektif jika dan

hanya jika untuk setiap 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝑋 berlaku apabila 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) maka

𝑥1 = 𝑥2, yaitu bila dua elemen dalam domain mempunyai bayangan yang

sama, maka kedua elemen itu adalah elemen yang sama. Secara simbolis:

𝑓 adalah fungsi 𝑖𝑛𝑗𝑒𝑘𝑡𝑖𝑓 jhj (∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝑋)𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) ⇒ 𝑥1 = 𝑥2.

Secara ekivalen, juga dapat dinyatakan bahwa:

𝑓 adalah fungsi 𝑖𝑛𝑗𝑒𝑘𝑡𝑖𝑓 jhj (∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝑋)𝑥1 ≠ 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2)

yaitu bila dua elemen dalam domain adalah dua elemen yang tidak sama,

maka bayangan kedua elemen itu juga tidak sama.

b. Fungsi Surjektif

Suatu fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑌 disebut fungsi (pemetaan) surjektif jika dan

hanya jika kisaran dari fungsi 𝑓 tersebut sama dengan kodomain dari fungsi

𝑓, yaitu 𝑓(𝑋) = 𝑌. Dengan perkataan lain, fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑌 adalah fungsi

surjektif jika dan hanya jika untuk setiap 𝑦 ∈ 𝑌 terdapat 𝑥 ∈ 𝑋 sedemikian

sehingga 𝑦 = 𝑓(𝑥), yaitu setiap elemen dalam kodomain mempunyai

prabayangan. Secara simbolis:

𝑓: 𝑋 → 𝑌 adalah fungsi surjektif jhj (∀𝑦 ∈ 𝑌)(∃𝑥 ∈ 𝑋)𝑦 = 𝑓(𝑥).

c. Fungsi Bijektif

Suatu fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑌 disebut fungsi (pemetaan) bijektif jika dan

hanya jika fungsi 𝑓 tersebut adalah fungsi yang injektif dan sekaligus sur-

jektif. Maka pada suatu fungsi bijektif, setiap elemen dalam domain

mempunyai tepat satu bayangan, dan setiap elemen dalam kodomain juga

mempunyai tepat satu prabayangan. Oleh karena itu, fungsi bijektif sering-

kali juga disebut korespondensi satu-satu. Dua buah himpunan 𝑋 dan 𝑌


16

dikatakan ekipoten, atau mempunyai bilangan kardinal yang sama, dengan

notasi 𝑋 ≃ 𝑌, jika dan hanya jika terdapat korespondensi satu-satu antara

kedua himpunan itu, yaitu terdapat suatu fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑌 sedemikian se-

hingga 𝑓 adalah fungsi bijektif.

Contoh 2.8

Fungsi 𝑓:ℝ → ℝ, dimana ℝ adalah himpunan semua bilangan real, dengan

𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 untuk setiap 𝑥 ∈ ℝ, adalah fungsi yang injektif, surjektif, dan oleh

karenanya merupakan fungsi bijektif.

a. Fungsi tersebut adalah fungsi injektif, sebab bila 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2), yaitu

2𝑥1 + 1 = 2𝑥2 + 1, maka 2𝑥1 = 2𝑥2, sehingga 𝑥1 = 𝑥2. Jadi bila dua ele-

men dalam domain mempunyai bayangan yang sama, maka kedua elemen

itu adalah elemen yang sama.

b. Fungsi tersebut adalah fungsi surjektif, sebab untuk setiap elemen 𝑦 ∈ ℝ

(kodomain) terdapat 𝑥 =𝑦−1

2∈ ℝ (domain), sedemikian sehingga

𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 = 2 (𝑦−1

2) + 1 = 𝑦 − 1 + 1 = 𝑦. Jadi setiap elemen dalam

kodomain mempunyai prabayangan.

c. Fungsi tersebut adalah fungsi bijektif karena merupakan fungsi yang injektif

dan sekaligus surjektif.

3. Komposisi Fungsi

Dua buah fungsi dengan cara tertentu dapat dioperasikan sehingga

menghasilkan fungsi baru. Operasi itu disebut komposisi fungsi.

Definisi 2.9

Jika diberikan dua buah fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑌 dan 𝑔: 𝑌 → 𝑍, maka komposisi

kedua fungsi tersebut didefinisikan sebagai fungsi 𝑔 ∘ 𝑓: 𝑋 → 𝑍 dengan aturan

(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥))

untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋.


17

Karena 𝑓: 𝑋 → 𝑌 adalah fungsi, maka setiap 𝑥 ∈ 𝑋 mempunyai bayangan

tunggal 𝑓(𝑥) ∈ 𝑌, dan karena 𝑔: 𝑌 → 𝑍 adalah fungsi, maka 𝑓(𝑥) ∈ 𝑌 mempunyai

bayangan tunggal 𝑔(𝑓(𝑥)) ∈ 𝑍, sehingga setiap 𝑥 ∈ 𝑋 mempunyai bayangan tung-

gal (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) ∈ 𝑍. Jadi 𝑔 ∘ 𝑓: 𝑋 → 𝑍 adalah fungsi.

Perhatikan bahwa untuk fungsi 𝑓 dan 𝑔 tersebut di atas, 𝑓 ∘ 𝑔 tidak didefi-

nisikan, kecuali jika 𝑋 = 𝑌 = 𝑍, yaitu jika 𝑓: 𝑋 → 𝑋 dan 𝑔: 𝑋 → 𝑋, maka kompo-

sisi kedua fungsi tersebut adalah fungsi-fungsi 𝑔 ∘ 𝑓: 𝑋 → 𝑋 dan 𝑓 ∘ 𝑔: 𝑋 → 𝑋.

Contoh 2.10

Misalkan 𝑋 = {1,2,3,4,5}, 𝑌 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}, dan 𝑍 = {5,7,8,9,1}. Diberikan

dua buah fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑌 dan 𝑔: 𝑌 → 𝑍 dimana 𝑓 = {(1, 𝑐), (2, 𝑎),

(3, 𝑑), (4, 𝑎), (5, 𝑏)} dan 𝑔 = {(𝑎, 8), (𝑏, 5), (𝑐, 9), (𝑑, 1)}.

Maka komposisi kedua fungsi tersebut adalah fungsi 𝑔 ∘ 𝑓: 𝑋 → 𝑍 dimana

(𝑔 ∘ 𝑓)(1) = 𝑔(𝑓(1)) = 𝑔(𝑐) = 9

(𝑔 ∘ 𝑓)(2) = 𝑔(𝑓(2)) = 𝑔(𝑎) = 8

(𝑔 ∘ 𝑓)(3) = 𝑔(𝑓(3)) = 𝑔(𝑑) = 1

(𝑔 ∘ 𝑓)(4) = 𝑔(𝑓(4)) = 𝑔(𝑎) = 8

(𝑔 ∘ 𝑓)(5) = 𝑔(𝑓(5)) = 𝑔(𝑏) = 5

yaitu 𝑔 ∘ 𝑓 = {(1,9), (2,8), (3,1), (4,8), (5,5)}.

Teorema 2.11

1. Komposisi dua buah fungsi yang injektif adalah fungsi yang injektif.

2. Komposisi dua buah fungsi yang surjektif adalah fungsi yang surjektif.

3. Komposisi dua buah fungsi yang bijektif adalah fungsi yang bijektif.

Bukti:

1. Misalnya 𝑓: 𝑋 → 𝑌 dan 𝑔: 𝑌 → 𝑍 adalah dua buah fungsi yang injektif. Akan

dibuktikan bahwa 𝑔 ∘ 𝑓: 𝑋 → 𝑍 adalah fungsi yang injektif. Ambil sebarang


18

elemen 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝑋 sedemikian sehingga (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥1) = (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥2). Berdasar-

kan definisi komposisi fungsi, maka 𝑔(𝑓(𝑥1)) = 𝑔(𝑓(𝑥2)). Karena 𝑔 adalah

fungsi yang injektif, maka 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2). Dan karena 𝑓 adalah fungsi yang

injektif, maka 𝑥1 = 𝑥2. Terbukti bahwa 𝑔 ∘ 𝑓 adalah fungsi yang injektif.

2. Misalnya 𝑓: 𝑋 → 𝑌 dan 𝑔: 𝑌 → 𝑍 adalah dua buah fungsi yang surjektif. Akan

dibuktikan bahwa 𝑔 ∘ 𝑓: 𝑋 → 𝑍 adalah fungsi yang surjektif. Ambil sebarang

elemen 𝑧 ∈ 𝑍. Karena 𝑔 adalah fungsi yang surjektif, maka ada elemen 𝑦 ∈ 𝑌

sedemikian sehingga 𝑔(𝑦) = 𝑧. Karena 𝑓 adalah fungsi yang surjektif, maka

ada elemen 𝑥 ∈ 𝑋 sedemikian sehingga 𝑓(𝑥) = 𝑦, sehingga (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) =

𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(𝑦) = 𝑧. Jadi ada elemen 𝑥 ∈ 𝑋 sedemikian sehingga

(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑧. Terbukti bahwa 𝑔 ∘ 𝑓: 𝑋 → 𝑍 adalah fungsi yang surjektif.

3. Misalnya 𝑓: 𝑋 → 𝑌 dan 𝑔: 𝑌 → 𝑍 adalah dua buah fungsi yang bijektif. Karena

𝑓 dan 𝑔 adalah fungsi yang injektif, maka 𝑔 ∘ 𝑓 adalah fungsi yang injektif.

Karena 𝑓 dan 𝑔 adalah fungsi yang surjektif, maka 𝑔 ∘ 𝑓 adalah fungsi yang

surjektif. Jadi 𝑔 ∘ 𝑓 adalah fungsi yang injektif dan surjektif, yaitu

𝑔 ∘ 𝑓: 𝑋 → 𝑍 adalah fungsi yang bijektif. ∎

D. Grup

Sebelum mendefinisikan grup akan dibahas definisi operasi biner dan sifat-

sifat operasi.

Definisi 2.12

Diberikan himpunan tak kosong 𝐴. Operasi pada himpunan 𝐴 adalah

fungsi ∗: 𝐴 × 𝐴 → 𝐴. Operasi tersebut merupakan operasi biner.

Definisi 2.13

Diberikan himpunan tak kosong 𝐴 dan operasi ∗ pada 𝐴.

1. Operasi ∗ bersifat komutatif pada 𝐴 jika 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴.

2. Operasi ∗ bersifat asosiatif pada 𝐴 jika (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐) untuk setiap

𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴.


19

3. Himpunan 𝐴 memuat elemen identitas untuk operasi ∗ jika terdapat 𝑒 ∈ 𝐴

sedemikian sehingga 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑎 dan 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎 untuk setiap 𝑎 ∈ 𝐴.

4. Sebuah elemen 𝑎 ∈ 𝐴 memiliki invers di 𝐴 terhadap operasi ∗ jika ada 𝑏 ∈ 𝐴

sedemikian sehingga 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑒 dan 𝑏 ∗ 𝑎 = 𝑒 (dimana 𝑒 adalah elemen iden-

titas yang didefinisikan di nomor 3 di atas).

Definisi 2.14

Suatu himpunan tak kosong 𝐺 yang dilengkapi dengan operasi biner ∗ pada

𝐺 disebut grup dan dilambangkan dengan (𝐺,∗) jika memenuhi aksioma-aksioma

berikut:

1. Operasi ∗ bersifat asosiatif, yaitu

(∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺) (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐).

2. Terdapat elemen identitas 𝑒 untuk operasi ∗ pada 𝐺, yaitu

(∃𝑒 ∈ 𝐺) (∀𝑎 ∈ 𝐺) 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑎.

3. Setiap elemen dalam 𝐺 mempunyai invers terhadap operasi ∗, yaitu

(∀𝑎 ∈ 𝐺) (∃𝑏 ∈ 𝐺) 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 = 𝑒.

Jika operasi ∗ memenuhi sifat komutatif, maka (𝐺,∗) disebut grup Abel.

Contoh 2.15

Diberikan himpunan semua bilangan bulat ℤ. Akan ditunjukkan bahwa

(ℤ,+) merupakan grup. Jumlah dua bilangan bulat merupakan bilangan bulat, se-

hingga + merupakan operasi pada ℤ.

1. Ambil sebarang 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ.

Perhatikan bahwa 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐.

Jadi, operasi + bersifat asosiatif.

2. Terdapat 0 ∈ ℤ, dan untuk setiap 𝑎 ∈ ℤ berlaku 0 + 𝑎 = 𝑎 + 0 = 𝑎.

Jadi, 0 merupakan elemen identitas pada (ℤ,+).

3. Untuk setiap 𝑎 ∈ ℤ terdapat −𝑎 ∈ ℤ, dan 𝑎 + (−𝑎) = (−𝑎) + 𝑎 = 0.

Jadi, setiap elemen dalam ℤ mempunyai elemen invers terhadap operasi +.


20

Dengan demikian, disimpulkan bahwa (ℤ,+) merupakan grup.

Definisi 2.16

Diberikan bilangan bulat 𝑛 dengan 𝑛 > 1. Untuk setiap bilangan bulat 𝑎, dide-

finisikan 𝑎(mod 𝑛) sebagai sisa tak negatif yang kurang dari 𝑛 jika 𝑎 dibagi 𝑛.

Contoh 2.17

7(mod 2) = 1 sebab 7 = (3)(2) + 1, dan −14(mod 3) = 1 sebab −14 =

(−5)(3) + 1.

Himpunan ℤ𝑛 = {0,1,2, … , 𝑛 − 1} disebut himpunan bilangan bulat modulo n.

Didefinisikan penjumlahan modulo n, dilambangkan +𝑛, pada ℤ𝑛 yaitu

𝑎+𝑛𝑏 = (𝑎 + 𝑏)(mod 𝑛). Untuk membuktikan bahwa ℤ𝑛 merupakan grup, harus

dipastikan bahwa +𝑛 merupakan operasi pada himpunan ℤ𝑛. Untuk setiap

𝑎, 𝑏 ∈ ℤ𝑛, (𝑎 + 𝑏)(mod 𝑛) adalah sisa tak negatif yang kurang dari 𝑛 jika 𝑎 + 𝑏

dibagi 𝑛. Maka 𝑎+𝑛𝑏 ∈ ℤ𝑛. Dengan demikian +𝑛 merupakan operasi pada ℤ𝑛.

Bilangan 0 merupakan elemen identitas, 0 juga merupakan invers untuk 0, dan

invers dari elemen tak nol 𝑎 ∈ ℤ𝑛 adalah 𝑛 − 𝑎 ∈ ℤ𝑛 sebab 𝑎+𝑛(𝑛 − 𝑎) =

𝑛(mod 𝑛) = 0.

Untuk setiap 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ𝑛, akan diperlihatkan bahwa (𝑎+𝑛𝑏)+𝑛𝑐 =

𝑎+𝑛(𝑏+𝑛𝑐). Misalkan 𝑎 + 𝑏 = 𝑥𝑛 + 𝑦 dengan 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ dan 0 ≤ 𝑦 < 𝑛, maka

𝑎+𝑛𝑏 = 𝑦. Misalkan 𝑦 + 𝑐 = 𝑠𝑛 + 𝑡 dengan 𝑠, 𝑡 ∈ ℤ dan 0 ≤ 𝑡 < 𝑛, maka

𝑦+𝑛𝑐 = 𝑡. Dengan demikian (𝑎+𝑛𝑏)+𝑛𝑐 = 𝑡.

Misalkan 𝑏 + 𝑐 = 𝑢𝑛 + 𝑣 dengan 𝑢, 𝑣 ∈ ℤ dan 0 ≤ 𝑣 < 𝑛, dan misalkan

𝑎 + 𝑣 = 𝑞𝑛 + 𝑟 dengan 𝑞, 𝑟 ∈ ℤ dan 0 ≤ 𝑟 < 𝑛. Maka 𝑎+𝑛(𝑏+𝑛𝑐) = 𝑟.

Selanjutnya

(𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = (𝑥𝑛 + 𝑦) + 𝑐 = 𝑥𝑛 + (𝑦 + 𝑐) = 𝑥𝑛 + (𝑠𝑛 + 𝑡) = (𝑥 + 𝑠)𝑛 + 𝑡.

𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 + (𝑢𝑛 + 𝑣) = 𝑢𝑛 + (𝑎 + 𝑣) = 𝑢𝑛 + (𝑞𝑛 + 𝑟) = (𝑢 + 𝑞)𝑛 + 𝑟.


21

Karena di ℤ, (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐), maka didapat 𝑡 = 𝑟, sehingga

(𝑎+𝑛𝑏)+𝑛𝑐 = 𝑎+𝑛(𝑏+𝑛𝑐). Jadi operasi +𝑛 bersifat asosiatif pada ℤ𝑛.

Dengan demikian (ℤ𝑛, +𝑛) adalah grup untuk setiap bilangan bulat 𝑛 > 1.

Grup (ℤ𝑛, +𝑛) merupakan grup Abel karena 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 dalam ℤ.

Teorema 2.18

Misalkan 𝐺 merupakan grup dengan operasi ∗.

1. Terdapat tepat satu elemen di 𝐺 yang merupakan elemen identitas.

2. Untuk setiap elemen 𝑎 ∈ 𝐺 terdapat tepat satu elemen dari 𝐺 yang merupakan

invers dari 𝑎.

Bukti:

Misalkan 𝐺 adalah grup dengan operasi ∗.

1. Karena 𝐺 adalah grup, maka ada elemen 𝑒 ∈ 𝐺 yang merupakan elemen iden-

titas. Misalkan 𝑢 merupakan elemen lain dari 𝐺 yang juga merupakan elemen

identitas. Akan ditunjukkan bahwa 𝑒 = 𝑢. Karena 𝑒 adalah elemen identitas,

maka 𝑒 ∗ 𝑢 = 𝑢. Demikian pula, karena 𝑢 elemen identitas, maka 𝑒 ∗ 𝑢 = 𝑒,

sehingga 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑢 = 𝑢. Jadi 𝑒 = 𝑢. Dengan demikian terdapat tepat satu ele-

men dari 𝐺 yang merupakan elemen identitas, dan disajikan dengan 𝑒𝐺.

2. Diberikan 𝑎 ∈ 𝐺. Karena 𝐺 adalah grup, maka ada 𝑏 ∈ 𝐺 sedemikian sehingga

𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑒𝐺 = 𝑏 ∗ 𝑎. Misalkan ada elemen lain, yaitu 𝑐 ∈ 𝐺 dengan

𝑎 ∗ 𝑐 = 𝑒𝐺 = 𝑐 ∗ 𝑎. Akan ditunjukkan bahwa 𝑏 = 𝑐. Karena 𝑎 ∗ 𝑐 = 𝑒𝐺 , maka

𝑏 ∗ (𝑎 ∗ 𝑐) = 𝑏 ∗ 𝑒𝐺 = 𝑏. Karena 𝑏 ∗ 𝑎 = 𝑒𝐺 , maka (𝑏 ∗ 𝑎) ∗ 𝑐 = 𝑒𝐺 ∗ 𝑐 = 𝑐.

Karena 𝑏 ∗ (𝑎 ∗ 𝑐) = (𝑏 ∗ 𝑎) ∗ 𝑐, maka 𝑏 = 𝑐. Oleh karena itu ada tepat satu

elemen di 𝐺 yang merupakan invers dari 𝑎, yang selanjutnya akan disajikan

dengan notasi 𝑎−1. ■


22

Teorema 2.19

Misal 𝐺 adalah grup, maka

1. Untuk setiap 𝑎 ∈ 𝐺, (𝑎−1)−1 = 𝑎.

2. Untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺, (𝑎𝑏)−1 = 𝑏−1𝑎−1.

Bukti:

1. Ambil sebarang 𝑎 ∈ 𝐺. Karena 𝐺 adalah grup, maka terdapat elemen identitas

𝑒𝐺 ∈ 𝐺, dan 𝑎−1 ∈ 𝐺 sedemikian sehingga 𝑎𝑎−1 = 𝑒𝐺 dan 𝑎−1𝑎 = 𝑒𝐺. Jadi 𝑎

merupakan invers dari elemen 𝑎−1, yaitu (𝑎−1)−1 = 𝑎.

2. Ambil sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺, maka 𝑎−1, 𝑏−1 ∈ 𝐺. Menggunakan sifat asosiatif di-

peroleh (𝑎𝑏)(𝑏−1𝑎−1) = 𝑎(𝑏𝑏−1)𝑎−1 = 𝑎(𝑒𝐺)𝑎−1 = 𝑎𝑎−1 = 𝑒𝐺. Dengan

cara yang sama, (𝑏−1𝑎−1)(𝑎𝑏) = 𝑏−1(𝑎−1𝑎)𝑏 = 𝑏−1(𝑒𝐺)𝑏 = 𝑏−1𝑏 = 𝑒𝐺 .

Jadi 𝑏−1𝑎−1 merupakan invers dari 𝑎𝑏, yaitu (𝑎𝑏)−1 = 𝑏−1𝑎−1. ∎

Definisi 2.20

Misalkan 𝐺 adalah grup, 𝑎 ∈ 𝐺, dan 𝑛 ∈ ℤ.

𝑎𝑛 =

{

𝑎𝑎…𝑎⏟

𝑠𝑒𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑛

jika 𝑛 > 0

𝑒𝐺 jika 𝑛 = 0

𝑎−1𝑎−1…𝑎−1⏟ 𝑠𝑒𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 −𝑛

jika 𝑛 < 0

Contoh 2.21

Diberikan grup ℤ × ℚ+, dimana grup ℤ menggunakan operasi penjumlahan

biasa dan grup ℚ+ menggunakan operasi perkalian biasa.

(2,1

3)4

= (2 + 2 + 2 + 2,1

3∙1

3∙1

3∙1

3) = (8,

1

81)

(2,1

3)−4

= (−2 − 2 − 2 − 2, 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3) = (−8,81)


23

(2,1

3)0

= (0,1)

Teorema 2.22

Misalkan 𝐺 adalah grup, 𝑎 ∈ 𝐺, dan 𝑚, 𝑛 ∈ ℤ.

1. 𝑎𝑛𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚

2. (𝑎𝑛)𝑚 = 𝑎𝑛𝑚

3. 𝑎−𝑛 = (𝑎−1)𝑛 = (𝑎𝑛)−1

Bukti:

1. Untuk 𝑛 > 0 dan 𝑚 > 0, maka 𝑛 +𝑚 > 0, sehingga

𝑎𝑛𝑎𝑚 = (𝑎𝑎…𝑎)⏟ 𝑛

(𝑎𝑎…𝑎)⏟ 𝑚

= 𝑎𝑎…𝑎⏟ 𝑛+𝑚

= 𝑎𝑛+𝑚

Untuk 𝑛 < 0 dan 𝑚 < 0, maka 𝑛 +𝑚 < 0, sehingga

𝑎𝑛𝑎𝑚 = (𝑎−1𝑎−1…𝑎−1)⏟ −𝑛

(𝑎−1𝑎−1…𝑎−1)⏟ −𝑚

= 𝑎−1𝑎−1…𝑎−1⏟ −𝑛+(−𝑚)=−(𝑛+𝑚)

= 𝑎𝑛+𝑚

Untuk 𝑛 > 0 dan 𝑚 = 0:

𝑎𝑛𝑎𝑚 = 𝑎𝑛𝑎0 = 𝑎𝑛𝑒𝐺 = 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛+0 = 𝑎𝑛+𝑚

Untuk 𝑛 < 0 dan 𝑚 = 0, maka 𝑛 +𝑚 < 0, sehingga

𝑎𝑛𝑎𝑚 = 𝑎𝑛𝑎0 = 𝑎𝑛𝑒𝐺 = 𝑎𝑛


24

= 𝑎−1𝑎−1…𝑎−1⏟ −𝑛

= 𝑎−1𝑎−1…𝑎−1⏟ −𝑛+0=−(𝑛+0)=−(𝑛+𝑚)

= 𝑎𝑛+𝑚

Untuk 𝑛 = 0 dan 𝑚 > 0:

𝑎𝑛𝑎𝑚 = 𝑎0𝑎𝑚 = 𝑒𝐺𝑎𝑚 = 𝑎𝑚 = 𝑎0+𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚

Untuk 𝑛 = 0 dan 𝑚 < 0, maka 𝑛 +𝑚 < 0, sehingga

𝑎𝑛𝑎𝑚 = 𝑎0𝑎𝑚 = 𝑒𝐺𝑎𝑚 = 𝑎𝑚

= 𝑎−1𝑎−1…𝑎−1⏟ −𝑚

= 𝑎−1𝑎−1…𝑎−1⏟ 0−𝑚=−(0+𝑚)=−(𝑛+𝑚)

= 𝑎𝑛+𝑚

Untuk 𝑛 = 0 dan 𝑚 = 0:

𝑎𝑛𝑎𝑚 = 𝑎0𝑎0 = 𝑒𝐺𝑒𝐺 = 𝑒𝐺 = 𝑎0 = 𝑎0+0 = 𝑎𝑛+𝑚

Untuk 𝑛 > 0 dan 𝑚 < 0:

a. Jika 𝑛 < −𝑚, maka 𝑛 +𝑚 < 0, sehingga

𝑎𝑛𝑎𝑚 = 𝑎−1𝑎−1…𝑎−1⏟ −𝑛−𝑚=−(𝑛+𝑚)

= 𝑎𝑛+𝑚

b. Jika 𝑛 > −𝑚, maka 𝑛 +𝑚 > 0, sehingga

𝑎𝑛𝑎𝑚 = 𝑎𝑎…𝑎⏟ 𝑛−(−𝑚)=𝑛+𝑚

= 𝑎𝑛+𝑚


25

c. Jika 𝑛 = −𝑚, maka 𝑛 +𝑚 = 0, sehingga

𝑎𝑛𝑎𝑚 = 𝑒𝐺 = 𝑎0 = 𝑎𝑛+𝑚

Untuk 𝑛 < 0 dan 𝑚 > 0:

a. Jika −𝑛 > 𝑚, maka 𝑛 +𝑚 < 0, sehingga

𝑎𝑛𝑎𝑚 = 𝑎−1𝑎−1…𝑎−1⏟ −𝑛−𝑚=−(𝑛+𝑚)

= 𝑎𝑛+𝑚

b. Jika −𝑛 < 𝑚, maka 𝑛 +𝑚 > 0, sehingga

𝑎𝑛𝑎𝑚 = 𝑎𝑎…𝑎⏟ 𝑚−(−𝑛)=𝑛+𝑚

= 𝑎𝑛+𝑚

c. Jika −𝑛 = 𝑚, maka 𝑛 +𝑚 = 0, sehingga

𝑎𝑛𝑎𝑚 = 𝑒𝐺 = 𝑎0 = 𝑎𝑛+𝑚

Jadi terbukti bahwa 𝑎𝑛𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚.

2. Untuk 𝑛 > 0 dan 𝑚 > 0, maka 𝑛𝑚 > 0, sehingga

(𝑎𝑛)𝑚 = 𝑎𝑛𝑎𝑛…𝑎𝑛⏟ 𝑚

= (𝑎𝑎…𝑎)⏟ 𝑛

(𝑎𝑎…𝑎)⏟ 𝑛

…(𝑎𝑎…𝑎)⏟ 𝑛⏟

𝑚

= 𝑎𝑎…𝑎⏟ 𝑛𝑚

= 𝑎𝑛𝑚

Untuk 𝑛 < 0 dan 𝑚 < 0, maka 𝑛𝑚 > 0, sehingga

(𝑎𝑛)𝑚 = (𝑎𝑛)−1(𝑎𝑛)−1…(𝑎𝑛)−1⏟ −𝑚

= (𝑎−1𝑎−1…𝑎−1)⏟ −𝑛

−1(𝑎−1𝑎−1…𝑎−1)⏟

−𝑛

−1…(𝑎−1𝑎−1…𝑎−1)⏟

−𝑛

−1

⏟ −𝑚

= (𝑎𝑎…𝑎)⏟ −𝑛

(𝑎𝑎…𝑎)⏟ −𝑛

…(𝑎𝑎…𝑎)⏟ −𝑛⏟

−𝑚


26

= 𝑎𝑎…𝑎⏟ (−𝑛)(−𝑚)=𝑛𝑚

= 𝑎𝑛𝑚

Untuk 𝑛 > 0 dan 𝑚 = 0:

(𝑎𝑛)𝑚 = (𝑎𝑛)0 = 𝑒𝐺 = 𝑎0 = 𝑎𝑛0 = 𝑎𝑛𝑚

Untuk 𝑛 < 0 dan 𝑚 = 0:

(𝑎𝑛)𝑚 = (𝑎𝑛)0 = 𝑒𝐺 = 𝑎0 = 𝑎𝑛0 = 𝑎𝑛𝑚

Untuk 𝑛 = 0 dan 𝑚 > 0:

(𝑎𝑛)𝑚 = (𝑎0)𝑚 = 𝑒𝐺 = 𝑎0 = 𝑎0𝑚 = 𝑎𝑛𝑚

Untuk 𝑛 = 0 dan 𝑚 < 0:

(𝑎𝑛)𝑚 = (𝑎0)𝑚 = 𝑒𝐺 = 𝑎0 = 𝑎0𝑚 = 𝑎𝑛𝑚

Untuk 𝑛 = 0 dan 𝑚 = 0:

(𝑎𝑛)𝑚 = (𝑎0)0 = 𝑒𝐺 = 𝑎0 = 𝑎00 = 𝑎𝑛𝑚

Untuk 𝑛 > 0 dan 𝑚 < 0, maka 𝑛𝑚 < 0, sehingga

(𝑎𝑛)𝑚 = (𝑎𝑎…𝑎)⏟ 𝑛

𝑚

= (𝑎𝑎…𝑎)⏟ 𝑛

−1 (𝑎𝑎…𝑎)⏟ 𝑛

−1…(𝑎𝑎…𝑎)⏟ 𝑛

−1

⏟ −𝑚

= (𝑎−1𝑎−1…𝑎−1)⏟ 𝑛

(𝑎−1𝑎−1…𝑎−1)⏟ 𝑛

…(𝑎−1𝑎−1…𝑎−1)⏟ 𝑛⏟

−𝑚

= 𝑎−1𝑎−1…𝑎−1⏟ −𝑛𝑚

= 𝑎𝑛𝑚

Untuk 𝑛 < 0 dan 𝑚 > 0, maka 𝑛𝑚 < 0, sehingga

(𝑎𝑛)𝑚 = (𝑎−1𝑎−1…𝑎−1)⏟ −𝑛

𝑚

= (𝑎−1𝑎−1…𝑎−1)⏟ −𝑛

(𝑎−1𝑎−1…𝑎−1)⏟ −𝑛

…(𝑎−1𝑎−1…𝑎−1)⏟ −𝑛⏟

𝑚

= 𝑎−1𝑎−1…𝑎−1⏟ −𝑛𝑚

= 𝑎𝑛𝑚

Jadi terbukti bahwa (𝑎𝑛)𝑚 = 𝑎𝑛𝑚.


27

3. 𝑎−𝑛 = ((𝑎−1)−1)−𝑛

= (𝑎−1)(−1)(−𝑛)

= (𝑎−1)𝑛

= 𝑎(−1)𝑛

= 𝑎𝑛(−1)

= (𝑎𝑛)−1

Jadi terbukti bahwa 𝑎−𝑛 = (𝑎−1)𝑛 = (𝑎𝑛)−1. ∎

E. Subgrup

Berikut akan didefinisikan bahwa himpunan bagian dari suatu grup yang

juga merupakan grup disebut subgrup.

Definisi 2.23

Misalkan 𝐺 adalah grup. Himpunan bagian tak kosong 𝐻 ⊆ 𝐺 disebut

subgrup dari 𝐺 jika dan hanya jika 𝐻 juga merupakan grup dengan operasi yang

sama yang didefinisikan di 𝐺.

Contoh 2.24

Diberikan (ℤ,+) dan (ℝ, +) yang keduanya merupakan grup dengan

operasi yang sama. Karena himpunan ℤ merupakan himpunan bagian dari ℝ, maka

(ℤ,+) merupakan subgrup dari (ℝ,+).

Teorema 2.25

Jika (𝐺,∗) adalah grup dan 𝐻 suatu himpunan bagian tak kosong dari 𝐺,

maka 𝐻 merupakan subgrup dari 𝐺 jika dan hanya jika (∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻) 𝑎 ∗ 𝑏−1 ∈ 𝐻.

Bukti:

(→) Misalkan 𝐻 adalah subgrup dari 𝐺. Ambil sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻. Karena 𝑏 ∈ 𝐻,

maka 𝑏−1 ∈ 𝐻 karena (𝐻,∗) adalah grup. Karena 𝑎 ∈ 𝐻, maka 𝑎 ∗ 𝑏−1 ∈ 𝐻.


28

(←) Sebaliknya, misalkan (∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻) 𝑎 ∗ 𝑏−1 ∈ 𝐻.

• Pertama, perhatikan bahwa ∗ bersifat asosiatif untuk setiap tiga elemen

di 𝐺 karena (𝐺,∗) adalah grup. Jadi

(∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐻)(𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐).

• Misalkan 𝑎 ∈ 𝐻. Maka, 𝑒 = 𝑎 ∗ 𝑎−1 ∈ 𝐻. Jadi 𝑒 ∈ 𝐻.

• Ambil sebarang 𝑏 ∈ 𝐻. Maka 𝑏−1 = 𝑒 ∗ 𝑏−1 ∈ 𝐻. Jadi setiap elemen di

𝐻 mempunyai invers di 𝐻.

• Misalkan 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻. Pada langkah sebelumnya, 𝑏−1 ∈ 𝐻, sehingga

𝑎 ∗ (𝑏−1)−1 = 𝑎 ∗ 𝑏 ∈ 𝐻. Dengan demikian, operasi ∗ tertutup di 𝐻.

Jadi, (𝐻,∗) adalah grup, yang berarti bahwa 𝐻 adalah subgrup dari 𝐺. ■

F. Grup Siklik

Berikut akan dibahas suatu grup khusus yang disebut grup siklik.

Definisi 2.26

Misalkan 𝐺 adalah grup dan 𝑎 ∈ 𝐺. Didefinisikan

< 𝑎 >= {𝑥 ∈ 𝐺 | 𝑥 = 𝑎𝑛, 𝑛 ∈ ℤ}.

Contoh 2.27

Pada grup (ℤ6, +6) didapat bahwa < 2 > = {0,2,4} sesuai perhitungan se-

bagai berikut:

20 = 0,

21 = 2,

22 = 2+62 = 4,

23 = 2+62+62 = 0,

24 = 2+62+62+62 = 2,


29

25 = 2+62+62+62+62 = 4,

26 = 2+62+62+62+62+62 = 0, dst.

2−1 = 4,

2−2 = 2−1+62−1 = 4+64 = 2,

2−3 = 2−1+62−1+62

−1 = 4+64+64 = 0,

2−4 = 2−1+62−1+62

−1+62−1 = 4+64+64+64 = 4,

2−5 = 2−1+62−1+62

−1+62−1+62

−1 = 4+64+64+64+64 = 2,

2−6 = 2−1+62−1+62

−1+62−1+62

−1+62−1 = 4+64+64+64+64+64 = 0, dst.

Teorema 2.28

Misalkan 𝐺 adalah grup dan 𝑎 ∈ 𝐺, maka < 𝑎 > merupakan subgrup dari

𝐺. Selanjutnya, < 𝑎 > disebut subgrup siklik dari 𝐺 yang dibangun oleh 𝑎.

Bukti:

Akan ditunjukkan bahwa (∀𝑥, 𝑦 ∈ < 𝑎 >) 𝑥 ∗ 𝑦−1 ∈ < 𝑎 >.

Ambil sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ < 𝑎 >. Menurut definisi 𝑥 = 𝑎𝑛 dan 𝑦 = 𝑎𝑚 dengan

𝑛,𝑚 ∈ ℤ, sehingga

𝑥 ∗ 𝑦−1 = 𝑎𝑛 ∗ (𝑎𝑚)−1

= 𝑎𝑛 ∗ 𝑎−𝑚

= 𝑎𝑛−𝑚

= 𝑎𝑘

dengan 𝑘 = 𝑛 −𝑚 dan 𝑘 ∈ ℤ. Jadi 𝑥 ∗ 𝑦−1 ∈ < 𝑎 >. Menurut Teorema 2.25,

< 𝑎 > adalah subgrup dari 𝐺. ∎

Definisi 2.29

Grup 𝐺 disebut grup siklik jika dan hanya jika ada 𝑎 ∈ 𝐺 sedemikian se-

hingga 𝐺 = < 𝑎 >.


30

Contoh 2.30

Grup (ℤ,+) adalah siklik karena ℤ = < 1 >. Untuk 𝑛 ∈ ℤ dan 𝑛 > 0, ele-

men 1𝑛 berarti menambahkan 1 sebanyak 𝑛 kali, jadi 1𝑛 = 𝑛. Untuk 𝑛 < 0, ele-

men 1𝑛 berarti menambahkan −1 sebanyak −𝑛 kali, jadi 1𝑛 = −𝑛. Sedangkan, 10

adalah elemen identitas, yaitu 0. Dengan demikian setiap bilangan bulat dapat di-

tulis sebagai 1𝑛. Tetapi ℤ ≠ < 2 > karena tidak ada bilangan bulat 𝑛 sedemikian

sehingga 2𝑛 = 3.

G. Grup Simetrik

Berikut akan dibahas definisi, teorema, dan contoh suatu grup khusus yang

disebut grup simetrik.

Definisi 2.31

Diberikan himpunan tak kosong 𝐴. Permutasi dari 𝐴 adalah fungsi bijektif

dari 𝐴 ke 𝐴.

Contoh 2.32

Fungsi 𝑓: ℤ → ℤ didefinisikan dari 𝑓(𝑛) = 𝑛 + 1 adalah permutasi dari ℤ.

Harus ditunjukkan bahwa fungsi 𝑓 bijektif. Misalkan 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ dengan

𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏). Dari definisi 𝑓 diperoleh 𝑎 + 1 = 𝑏 + 1, sehingga didapat 𝑎 = 𝑏.

Jadi 𝑓 adalah fungsi injektif. Untuk setiap 𝑧 ∈ 𝑍, terdapat 𝑥 = 𝑧 − 1 ∈ ℤ dengan

𝑓(𝑥) = 𝑧, karena 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑧 − 1) = (𝑧 − 1) + 1 = 𝑧. Oleh karena itu 𝑓 adalah

fungsi surjektif. Jadi fungsi 𝑓 bijektif, sehingga fungsi 𝑓 adalah permutasi dari ℤ.

Teorema 2.33

Untuk setiap himpunan tak kosong 𝐴, himpunan

𝑆𝐴 = {𝑓: 𝐴 → 𝐴 | 𝑓 adalah permutasi dari 𝐴}


31

adalah grup dengan operasi komposisi fungsi. Grup 𝑆𝐴 disebut Grup Simetrik pada

𝐴.

Bukti:

Diberikan himpunan tak kosong 𝐴, dan 𝑆𝐴 adalah himpunan semua per-

mutasi dari 𝐴. Jika 𝑓, 𝑔 ∈ 𝑆𝐴, maka 𝑓 dan 𝑔 merupakan permutasi dari 𝐴,

𝑔(𝐴) ⊆ 𝐴 = 𝑑𝑜𝑚(𝑓), sehingga 𝑓 ∘ 𝑔 terdefinisi sebagai fungsi dari 𝐴 ke 𝐴.

Kemudian menurut Teorema 2.11 karena fungsi 𝑓 dan 𝑔 merupakan fungsi yang

bijektif, maka 𝑓 ∘ 𝑔 juga fungsi yang bijektif. Jadi 𝑓 ∘ 𝑔 ∈ 𝑆𝐴.

Akan ditunjukkan 𝑆𝐴 merupakan grup terhadap operasi komposisi fungsi.

1. Misalkan 𝑓, 𝑔, ℎ ∈ 𝑆𝐴 dan 𝑥 ∈ 𝐴. Maka

(ℎ ∘ (𝑔 ∘ 𝑓))(𝑥) = ℎ((𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥)) = ℎ (𝑔(𝑓(𝑥))) = (ℎ ∘ 𝑔)(𝑓(𝑥)) =

((ℎ ∘ 𝑔) ∘ 𝑓)(𝑥).

Dengan demikian terbukti operasi komposisi fungsi bersifat asosiatif pada 𝑆𝐴.

2. Fungsi 𝜀: 𝐴 → 𝐴 dengan 𝜀(𝑥) = 𝑥 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐴 adalah fungsi bijektif.

Jadi 𝜀 ∈ 𝑆𝐴. Untuk setiap 𝑓 ∈ 𝑆𝐴 dan 𝑥 ∈ 𝐴 berlaku

(𝑓 ∘ 𝜀)(𝑥) = 𝑓(𝜀(𝑥)) = 𝑓(𝑥) dan (𝜀 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝜀(𝑓(𝑥)) = 𝑓(𝑥).

Jadi 𝑓 ∘ 𝜀 = 𝑓 = 𝜀 ∘ 𝑓. Dengan demikian 𝜀 ∈ 𝑆𝐴 merupakan elemen identitas

terhadap operasi komposisi fungsi.

3. Akan ditunjukkan bahwa setiap 𝑓 ∈ 𝑆𝐴 memiliki invers. Didefinisikan fungsi

𝑔: 𝐴 → 𝐴 dengan 𝑔(𝑎) = 𝑏 jika dan hanya jika 𝑓(𝑏) = 𝑎.

Akan ditunjukkan bahwa 𝑔 terdefinisi dengan baik. Karena 𝑓 surjektif, maka

untuk setiap 𝑎 ∈ 𝐴, ada 𝑏 ∈ 𝐴 dengan 𝑎 = 𝑓(𝑏). Jika ada dua elemen 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴

dimana 𝑔(𝑎) = 𝑏 dan 𝑔(𝑎) = 𝑐, maka 𝑓(𝑏) = 𝑎 = 𝑓(𝑐). Karena 𝑓 injektif,

maka 𝑏 = 𝑐. Jadi 𝑔 adalah fungsi dari 𝐴 ke 𝐴.

Jika ada 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 dengan 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑦) = 𝑧, maka 𝑓(𝑧) = 𝑥 dan 𝑓(𝑧) = 𝑦.

Karena 𝑓 merupakan fungsi, maka 𝑥 = 𝑦. Oleh karena itu 𝑔 injektif. Misalkan

𝑦 ∈ 𝐴, maka ada 𝑥 = 𝑓(𝑦) ∈ 𝐴 sehingga 𝑔(𝑥) = 𝑦. Jadi 𝑔 surjektif.

Dengan demikian 𝑔: 𝐴 → 𝐴 bijektif. Jadi 𝑔 ∈ 𝑆𝐴.


32

Akan ditunjukkan bahwa 𝑔 adalah invers dari 𝑓. Misal 𝑥 ∈ 𝐴, maka ada 𝑎 ∈ 𝐴

dengan 𝑓(𝑎) = 𝑥 sehingga 𝑔(𝑥) = 𝑎. Jika 𝑓(𝑥) = 𝑦, maka 𝑔(𝑦) = 𝑥,

sehingga

(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑎) = 𝑥 = 𝜀(𝑥) dan

(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(𝑦) = 𝑥 = 𝜀(𝑥).

Jadi 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝜀 = 𝑔 ∘ 𝑓, sehingga 𝑔 merupakan invers dari 𝑓. Oleh karena itu

setiap elemen dari 𝑆𝐴 memiliki invers di 𝑆𝐴. Jadi 𝑆𝐴 merupakan grup terhadap

operasi komposisi fungsi. ∎

Contoh 2.34

Dalam grup simetrik 𝑆ℚ, dimana ℚ adalah himpunan bilangan rasional,

fungsi 𝑓, 𝑔:ℚ → ℚ dengan 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 dan 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 3 keduanya adalah

elemen dalam 𝑆ℚ. Untuk 1 ∈ ℚ diperoleh

(𝑓 ∘ 𝑔)(1) = 𝑓(𝑔(1)) = 𝑓(5) = 6

dan (𝑔 ∘ 𝑓)(1) = 𝑔(𝑓(1)) = 𝑔(2) = 7.

Jadi 𝑓 ∘ 𝑔 ≠ 𝑔 ∘ 𝑓 sehingga 𝑆ℚ bukan grup abel.


33

BAB III

KUBUS RUBIK DAN GRUP SIMETRIK

Dalam bab ini akan dibahas tentang kubus Rubik, notasi gerakan kubus, dan

grup simetrik gerakan pada kubus Rubik.

A. Kubus Rubik

Pada makalah ini akan dibahas kubus Rubik berukuran 3×3×3 atau lebih

dikenal dengan sebutan kubus Rubik. Kubus Rubik merupakan permainan teka-teki

(puzzle) mekanik berbentuk kubus yang memiliki enam warna pada setiap sisinya.

Kubus Rubik seringkali dipandang sebagai permainan yang positif karena dapat

digunakan untuk mengasah otak. Cara menyelesaikan permainan ini adalah dengan

memutar-mutar sisinya supaya kubus Rubik yang telah diacak kembali ke posisi

terselesaikan. Terdapat beragam metode untuk menyelesaikan kubus Rubik, salah

satunya metode yang paling mudah dan popular, yaitu metode lapis demi lapis

(layer by layer method).

Kubus Rubik ditemukan pada tahun 1974 oleh seorang pemahat dan profesor

arsitektur dari Hungaria bernama Ernö Rubik. Awalnya Ernö Rubik ingin membuat

sebuah model sebagai alat pembelajaran untuk membantu murid-muridnya me-

mahami geometri tiga dimensi dan akhirnya tercipta menjadi sebuah permainan

teka-teki yang sangat laris di dunia.

Banyak jenis Rubik yang sering dimainkan, seperti 2×2×2 (Pocket Cube),

3×3×3 (Rubik’s Cube), 4×4×4 (Master Cube), dan lain-lain. Dalam kubus Rubik

terdapat 27 kubus yang lebih kecil yang disebut kubus. Jika kubus Rubik dibongkar,

maka akan ditemukan bahwa kubus ke-27 sebenarnya tidak ada. Jadi jumlah kubus

yang terlihat pada kubus Rubik hanyalah 26. Skema warna sisi kubus Rubik yang

standar adalah putih, kuning, merah, oranye, hijau, dan biru.

Kubus Rubik biasanya menggunakan warna pada kubus-kubusnya, tetapi dapat

juga menggunakan nama pada kubus-kubusnya yang menunjukkan lokasi kubus.

Dengan mengikuti notasi yang dikembangkan oleh David Singmaster, kubus-kubus

dapat diberi nama menurut ke-6 letak kubus, yaitu depan (f), belakang (b), kanan


34

(r), kiri (l), atas (u), dan bawah (d). Keuntungan dari penamaan ini adalah bahwa

setiap wajah kubus dapat disebut dengan satu huruf.

Berdasarkan letaknya kubus dapat dibagi menjadi tiga kategori, yaitu kubus

tengah, kubus tepi, dan kubus sudut. Kubus yang berada pada posisi tengah disebut

kubus tengah. Dalam permainan kubus tengah pada kubus Rubik yang teracak dapat

menjadi acuan untuk mengetahui wajah pada permukaan sisi yang dapat membu-

atnya terselesaikan. Dalam kubus Rubik total ada 6 kubus tengah dan masing-

masing kubus tengah memiliki 1 wajah yang terlihat. Gerakan apapun yang dila-

kukan kubus Rubik tidak akan mengubah posisi kubus tengah, sehingga untuk

penamaan wajah kubus tengah dapat mengikuti notasi yang dikembangkan oleh

David Singmaster, yaitu:

1. Kubus tengah depan (f)

2. Kubus tengah belakang (b)

3. Kubus tengah kanan (r)

4. Kubus tengah kiri (l)

5. Kubus tengah atas (u)

6. Kubus tengah bawah (d)

Kubus yang berada pada posisi tepi disebut kubus tepi. Dalam kubus Rubik

total ada 12 kubus tepi dan masing-masing kubus tepi memiliki 2 wajah yang ter-

lihat. Berikut kubus tepi yang ada pada kubus Rubik berserta penamaannya:

1. Kubus tepi depan kanan (fr / rf)

2. Kubus tepi depan kiri (fl / lf)

3. Kubus tepi depan atas (fu / uf)

4. Kubus tepi depan bawah (fd / df)

5. Kubus tepi belakang kanan (br / rb)

6. Kubus tepi belakang kiri (bl / lb)

7. Kubus tepi belakang atas (bu / ub)

8. Kubus tepi belakang bawah (bd / db)

9. Kubus tepi kanan atas (ru / ur)

10. Kubus tepi kanan bawah (rd / dr)

11. Kubus tepi kiri atas (lu / ul)


35

12. Kubus tepi kiri bawah (ld / dl)

Kubus yang berada pada posisi sudut disebut kubus sudut. Dalam kubus Rubik

total ada 8 kubus sudut dan masing-masing kubus sudut memiliki 3 wajah yang

terlihat. Penamaan pada kubus sudut searah dengan jarum jam. Berikut kubus sudut

yang ada pada kubus Rubik berserta penamaannya:

1. Kubus sudut depan atas kanan (fur / urf / rfu)

2. Kubus sudut depan kanan bawah (frd / rdf / dfr)

3. Kubus sudut depan bawah kiri (fdl / dlf / lfd)

4. Kubus sudut depan kiri atas (flu / luf / ufl)

5. Kubus sudut belakang kanan atas (bru / rub / ubr)

6. Kubus sudut belakang atas kiri (bul / ulb / lbu)

7. Kubus sudut belakang bawah kanan (bdr / drb / rbd)

8. Kubus sudut belakang kiri bawah (bld / ldb / dbl)

B. Notasi Gerakan Kubus

Dalam permainan kubus Rubik ada beberapa notasi yang berfungsi sebagai

panduan gerakan untuk menyelesaikan sebuah kubus Rubik, yaitu notasi putaran

tunggal, notasi putaran ganda, notasi putaran iris, dan notasi rotasi. Notasi-notasi

tersebut tujuannya untuk memutar sisi yang dimaksud searah atau berlawanan arah

dengan jarum jam. Sisi adalah permukaan luar kubus Rubik yang memiliki 9 kubus

(terdiri dari 1 kubus tengah, 4 kubus tepi, dan 4 kubus sudut). Untuk sisi tengah

dalam kubus Rubik memiliki 8 kubus yang terdiri dari 4 kubus tengah dan 4 kubus

tepi. Arah jarum jam diperoleh dengan cara menaruh sisi yang dimaksud di hadapan

seseorang. Huruf dengan tanda aksen ( ′ ) menandakan bahwa pemain harus

memutar sisi tersebut berlawanan dengan arah jarum jam. Huruf tanpa aksen me-

nandakan bahwa pemain harus memutar sisi yang dimaksud searah dengan jarum

jam.


36

1. Notasi Putaran Tunggal

Putaran tunggal adalah memutar sebuah sisi pada kubus Rubik sesuai huruf

yang diberikan sebesar 90° atau 1

4 (seperempat) putaran. Berikut adalah daftar no-

tasi untuk putaran tunggal.

𝐹 (front) : memutar sisi depan kubus Rubik searah jarum jam.

𝐹′ : memutar sisi depan kubus Rubik berlawanan arah jarum jam.

𝐵 (back) : memutar sisi belakang kubus Rubik searah jarum jam.

𝐵′ : memutar sisi belakang kubus Rubik berlawanan arah jarum jam.

𝑅 (right) : memutar sisi kanan kubus Rubik searah jarum jam.

𝑅′ : memutar sisi kanan kubus Rubik berlawanan arah jarum jam.

𝐿 (left) : memutar sisi kiri kubus Rubik searah jarum jam.

𝐿′ : memutar sisi kiri kubus Rubik berlawanan arah jarum jam.

𝑈 (up) : memutar sisi atas kubus Rubik searah jarum jam.

𝑈′ : memutar sisi atas kubus Rubik berlawanan arah jarum jam.

𝐷 (down) : memutar sisi bawah kubus Rubik searah jarum jam.

𝐷′ : memutar sisi bawah kubus Rubik berlawanan arah jarum jam.

Contoh 3.1

Gerakan 𝑈𝑅′ adalah gerakan memutar sisi atas searah jarum jam (𝑈) yang

dilanjutkan dengan gerakan memutar sisi kanan berlawanan arah jarum jam (𝑅′).

Contoh 3.2

Gerakan memutar sisi depan berlawanan arah jarum jam (𝐹′) adalah sama

dengan gerakan memutar sisi depan searah jarum jam sebanyak tiga kali, dapat di-

tuliskan dengan 𝐹3 = 𝐹𝐹𝐹.

2. Notasi Putaran Ganda

Pada prinsipnya gerakan putaran ganda sama seperti putaran tunggal yaitu

memutar dua sisi (sisi luar dan sisi tengah) sekaligus sesuai huruf yang diberikan

sebesar 90° atau 1

4 (seperempat) putaran. Huruf-huruf yang digunakan pada notasi


37

putaran ganda sama dengan notasi putaran tunggal, namun menggunakan huruf

kecil. Berikut adalah daftar notasi untuk putaran ganda.

𝑓 : memutar sisi depan dan tengah kubus Rubik searah jarum jam.

𝑓′ : memutar sisi depan dan tengah kubus Rubik berlawanan arah jarum jam.

𝑏 : memutar sisi belakang dan tengah kubus Rubik searah jarum jam.

𝑏′ : memutar sisi belakang dan tengah kubus Rubik berlawanan arah jarum

jam.

𝑟 : memutar sisi kanan dan tengah kubus Rubik searah jarum jam.

𝑟′ : memutar sisi kanan dan tengah kubus Rubik berlawanan arah jarum jam.

𝑙 : memutar sisi kiri dan tengah kubus Rubik searah jarum jam.

𝑙′ : memutar sisi kiri dan tengah kubus Rubik berlawanan arah jarum jam.

𝑢 : memutar sisi atas dan tengah kubus Rubik searah jarum jam.

𝑢′ : memutar sisi atas dan tengah kubus Rubik berlawanan arah jarum jam.

𝑑 : memutar sisi bawah dan tengah kubus Rubik searah jarum jam.

𝑑′ : memutar sisi bawah dan tengah kubus Rubik berlawanan arah jarum jam.

3. Notasi Putaran Iris

Putaran iris adalah memutar sisi tengah pada kubus Rubik sebesar 90° atau 1

4

(seperempat) putaran. Berikut adalah daftar notasi untuk putaran iris.

𝑀 (middle) : memutar sisi tengah yang searah dengan 𝐿.

𝑀′ : memutar sisi tengah yang searah dengan 𝐿′.

𝐸 (equator) : memutar sisi tengah yang searah dengan 𝐷.

𝐸′ : memutar sisi tengah yang searah dengan 𝐷′.

𝑆 (stand) : memutar sisi tengah yang searah dengan 𝐹.

𝑆′ : memutar sisi tengah yang searah dengan 𝐹′.

4. Notasi Rotasi

Rotasi adalah memutar kubus Rubik secara keseluruhan sebesar 90° atau 1

4

(seperempat) putaran. Putaran dilakukan searah maupun berlawanan arah jarum

jam dengan bertumpu pada sumbu cartesius. Notasi rotasi menggunakan huruf pada


38

koordinat cartesius, yaitu 𝑥, 𝑦, dan 𝑧. Berikut adalah daftar notasi untuk seluruh

rotasi.

𝑥 : memutar kubus Rubik secara keseluruhan searah 𝑅.

𝑥′ : memutar kubus Rubik secara keseluruhan searah 𝑅′.

𝑦 : memutar kubus Rubik secara keseluruhan searah 𝑈.

𝑦′ : memutar kubus Rubik secara keseluruhan searah 𝑈′.

𝑧 : memutar kubus Rubik secara keseluruhan searah 𝐹.

𝑧′ : memutar kubus Rubik secara keseluruhan searah 𝐹′.

Dalam menyelesaikan permainan kubus Rubik pemain dapat menggunakan 4

notasi gerakan di atas. Namun, pada dasarnya gerakan pokok pada kubus Rubik

hanya ada 12 yaitu gerakan yang ada pada notasi putaran tunggal. Untuk notasi

rotasi sebenarnya kubus Rubik tidak mengalami pergerakan. Notasi rotasi

digunakan untuk memudahkan pemain mencari kubus yang dimaksud.

Contoh 3.3

Gerakan memutar sisi kanan dan tengah searah jarum jam (𝑟) yang ada pada

notasi putaran ganda adalah sama dengan gerakan memutar sisi kiri searah jarum

jam (𝐿) yang ada pada notasi putaran tunggal.

Contoh 3.4

Gerakan 𝑀 yaitu memutar sisi tengah yang searah dengan 𝐿 yang pada notasi

putaran iris adalah sama dengan mengkomposisikan dua gerakan yang ada pada

notasi putaran tunggal yaitu 𝑅 dan 𝐿′.


39

C. Grup Simetrik Gerakan Pada Kubus Rubik

Jika 𝑁 adalah suatu gerakan kubus Rubik yang ada pada notasi putaran tunggal,

maka 𝑁𝑛 (𝑛 ∈ ℤ) didefinisikan sebagai memutar gerakan 𝑁 pada kubus Rubik

searah jarum jam sebanyak 𝑛 kali jika 𝑛 > 0 atau berlawanan arah jarum jam jika

𝑛 < 0. Untuk 𝑛 = 0, 𝑁0 didefinisikan sebagai gerakan kosong {}.

Jika 𝐺 adalah himpunan semua gerakan pada kubus Rubik, maka 𝐺 merupakan

himpunan tak berhingga. Anggota-anggota dari himpunan 𝐺 yaitu gerakan kosong,

𝐹, 𝐵, 𝑅, 𝐿, 𝑈, 𝐷, dan komposisi antara 6 gerakan (𝐹, 𝐵, 𝑅, 𝐿, 𝑈, 𝐷). Komposisi dari 6

gerakan ini bisa komposisi dari dua gerakan, tiga gerakan, empat gerakan, dan se-

terusnya.

Akan diperlihatkan bahwa himpunan semua gerakan pada kubus Rubik dengan

operasi komposisi fungsi merupakan grup simetrik. Untuk itu akan dibuktikan

bahwa semua gerakan pada kubus Rubik merupakan permutasi dari himpunan

semua posisi kubus Rubik.

Kubus Rubik yang dikenai suatu gerakan akan mengalami perubahan susunan.

Kubus yang berubah posisinya karena suatu gerakan disebut kubus berorientasi.

Misalnya jika kubus tepi ur dikenai gerakan 𝑅, maka kubus tepi ur tersebut akan

menjadi kubus tepi br. Kubus tepi ur tersebut merupakan kubus berorientasi, yang

selanjutnya menjadi kubus tepi br setelah dikenai gerakan 𝑅. Kedua kubus tersebut

sebenarnya adalah kubus yang sama, hanya saja terjadi perubahan penamaan wajah

karena mengalami perubahan susunan.

Jika 𝐴 adalah himpunan semua posisi kubus Rubik, maka

𝐴 = {𝐶|𝐶 = kubus berorientasi},

yaitu 𝐴 = {𝑓, 𝑏, 𝑟, 𝑙, 𝑢, 𝑑, 𝑓𝑟, 𝑓𝑙, 𝑓𝑢, 𝑓𝑑, 𝑏𝑟, 𝑏𝑙, 𝑏𝑢, 𝑏𝑑, 𝑟𝑢, 𝑟𝑑, 𝑙𝑢, 𝑙𝑑, 𝑓𝑢𝑟, 𝑓𝑟𝑑, 𝑓𝑑𝑙,

𝑓𝑙𝑢, 𝑏𝑟𝑢, 𝑏𝑢𝑙, 𝑏𝑑𝑟, 𝑏𝑙𝑑}.

Jika 𝑁 adalah suatu gerakan kubus Rubik dan 𝐶 adalah suatu kubus berorien-

tasi, maka posisi kubus 𝐶 setelah dikenai gerakan 𝑁 akan dinotasikan dengan lam-

bang 𝑁(𝐶). Setiap gerakan kubus Rubik terbentuk dari 6 gerakan dasar, yaitu

𝐹, 𝐵, 𝑅, 𝐿, 𝑈, dan 𝐷.


40

Posisi kubus-kubus berorientasi anggota himpunan 𝐴 setelah dikenai masing-

masing gerakan dasar kubus Rubik dapat disajikan dalam bentuk Tabel sebagai

berikut:

Tabel 1 Tabel 2 Tabel 3

C

F(C)

C

B(C)

C

R(C)

f f f f f f

b b b b b b

r r r r r r

l l l l l l

u u u u u u

d d d d d d

fr fd fr fr fr ru

fl fu fl fl fl fl

fu fr fu fu fu fu

fd fl fd fd fd fd

br br br bu br rd

bl bl bl bd bl bl

bu bu bu bl bu bu

bd bd bd br bd bd

ru ru ru ru ru br

rd rd rd rd rd fr

lu lu lu lu lu lu

ld ld ld ld ld ld

fur frd fur fur fur bru

frd fdl frd frd frd fur

fdl flu fdl fdl fdl fdl

flu fur flu flu flu flu

bru bru bru bul bru bdr

bul bul bul bld bul bul

bdr bdr bdr bru bdr frd

bld bld bld bdr bld bld


41

Tabel 4 Tabel 5 Tabel 6

C

L(C)

C

U(C)

C

D(C)

f f f f f f

b b b b b b

r r r r r r

l l l l l l

u u u u u u

d d d d d d

fr fr fr fr fr fr

fl ld fl fl fl fl

fu fu fu lu fu fu

fd fd fd fd fd rd

br br br br br br

bl lu bl bl bl bl

bu bu bu ru bu bu

bd bd bd bd bd ld

ru ru ru fu ru ru

rd rd rd rd rd bd

lu fl lu bu lu lu

ld bl ld ld ld fd

fur fur fur flu fur fur

frd frd frd frd frd bdr

fdl bld fdl fdl fdl frd

flu fdl flu bul flu flu

bru bru bru fur bru bru

bul flu bul bru bul bul

bdr bdr bdr bdr bdr bld

bld bul bld bld bld fdl


42

Jika 𝑁 = 𝐹, maka gerakan tersebut hanya berpengaruh pada anggota 𝐴 yang

mengandung wajah 𝑓 kecuali kubus tengah depan. Artinya, kubus tengah depan dan

anggota-anggota 𝐴 yang tidak mengandung wajah 𝑓 tidak akan berubah ketika

dikenai gerakan tersebut. Dengan kata lain, untuk setiap 𝐶 ∈ 𝐴, jika 𝐶 adalah kubus

tengah depan atau anggota 𝐴 yang tidak mengandung wajah 𝑓, maka 𝐹(𝐶) = 𝐶.

Jika 𝐶1, 𝐶2 ∈ 𝐴 dengan 𝐶1 dan 𝐶2 adalah kubus tengah depan atau anggota 𝐴 yang

tidak mengandung wajah 𝑓, dan 𝐶1 = 𝐶2, maka 𝐹(𝐶1) = 𝐶1 = 𝐶2 = 𝐹(𝐶2). Pada

Tabel 1 di atas terlihat bahwa jika 𝐶1 dan 𝐶2 adalah anggota 𝐴 yang mengandung

wajah 𝑓 kecuali kubus tengah depan dan 𝐹(𝐶1) ≠ 𝐹(𝐶2), maka 𝐶1 ≠ 𝐶2.

Jika 𝑁 = 𝐵, maka gerakan tersebut hanya berpengaruh pada anggota 𝐴 yang

mengandung wajah 𝑏 kecuali kubus tengah belakang. Artinya, kubus tengah

belakang dan anggota-anggota 𝐴 yang tidak mengandung wajah 𝑏 tidak akan beru-

bah ketika dikenai gerakan tersebut. Dengan kata lain, untuk setiap 𝐶 ∈ 𝐴, jika 𝐶

adalah kubus tengah belakang atau anggota 𝐴 yang tidak mengandung wajah 𝑏,

maka 𝐵(𝐶) = 𝐶. Jika 𝐶1, 𝐶2 ∈ 𝐴 dengan 𝐶1 dan 𝐶2 adalah kubus tengah belakang

atau anggota 𝐴 yang tidak mengandung wajah 𝑏, dan 𝐶1 = 𝐶2, maka 𝐵(𝐶1) = 𝐶1 =

𝐶2 = 𝐵(𝐶2). Pada Tabel 2 di atas terlihat bahwa jika 𝐶1 dan 𝐶2 adalah anggota 𝐴

yang mengandung wajah 𝑏 kecuali kubus tengah belakang dan 𝐵(𝐶1) ≠ 𝐵(𝐶2),

maka 𝐶1 ≠ 𝐶2.

Jika 𝑁 = 𝑅, maka gerakan tersebut hanya berpengaruh pada anggota 𝐴 yang

mengandung wajah 𝑟 kecuali kubus tengah kanan. Artinya, kubus tengah kanan dan

anggota-anggota 𝐴 yang tidak mengandung wajah 𝑟 tidak akan berubah ketika


tengah kanan atau anggota 𝐴 yang tidak mengandung wajah 𝑟, maka 𝑅(𝐶) = 𝐶.

Jika 𝐶1, 𝐶2 ∈ 𝐴 dengan 𝐶1 dan 𝐶2 adalah kubus tengah kanan atau anggota 𝐴 yang

tidak mengandung wajah 𝑟, dan 𝐶1 = 𝐶2, maka 𝑅(𝐶1) = 𝐶1 = 𝐶2 = 𝑅(𝐶2). Pada


wajah 𝑟 kecuali kubus tengah kanan dan 𝑅(𝐶1) ≠ 𝑅(𝐶2), maka 𝐶1 ≠ 𝐶2.

Jika 𝑁 = 𝐿, maka gerakan tersebut hanya berpengaruh pada anggota 𝐴 yang

mengandung wajah 𝑙 kecuali kubus tengah kiri. Artinya, kubus tengah kiri dan


43

anggota-anggota 𝐴 yang tidak mengandung wajah 𝑙 tidak akan berubah ketika


tengah kiri atau anggota 𝐴 yang tidak mengandung wajah 𝑙, maka 𝐿(𝐶) = 𝐶. Jika

𝐶1, 𝐶2 ∈ 𝐴 dengan 𝐶1 dan 𝐶2 adalah kubus tengah kiri atau anggota 𝐴 yang tidak

mengandung wajah 𝑙, dan 𝐶1 = 𝐶2, maka 𝐿(𝐶1) = 𝐶1 = 𝐶2 = 𝐿(𝐶2). Pada Tabel 4

di atas terlihat bahwa jika 𝐶1 dan 𝐶2 adalah anggota 𝐴 yang mengandung wajah 𝑙

kecuali kubus tengah kiri dan 𝐿(𝐶1) ≠ 𝐿(𝐶2), maka 𝐶1 ≠ 𝐶2.

Jika 𝑁 = 𝑈, maka gerakan tersebut hanya berpengaruh pada anggota 𝐴 yang

mengandung wajah 𝑢 kecuali kubus tengah atas. Artinya, kubus tengah atas dan

anggota-anggota 𝐴 yang tidak mengandung wajah 𝑢 tidak akan berubah ketika


tengah atas atau anggota 𝐴 yang tidak mengandung wajah 𝑢, maka 𝑈(𝐶) = 𝐶. Jika

𝐶1, 𝐶2 ∈ 𝐴 dengan 𝐶1 dan 𝐶2 adalah kubus tengah atas atau anggota 𝐴 yang tidak

mengandung wajah 𝑢, dan 𝐶1 = 𝐶2, maka 𝑈(𝐶1) = 𝐶1 = 𝐶2 = 𝑈(𝐶2). Pada Tabel

5 di atas terlihat bahwa jika 𝐶1 dan 𝐶2 adalah anggota 𝐴 yang mengandung wajah

𝑢 kecuali kubus tengah atas dan 𝑈(𝐶1) ≠ 𝑈(𝐶2), maka 𝐶1 ≠ 𝐶2.

Jika 𝑁 = 𝐷, maka gerakan tersebut hanya berpengaruh pada anggota 𝐴 yang

mengandung wajah 𝑑 kecuali kubus tengah bawah. Artinya, kubus tengah bawah

dan anggota-anggota 𝐴 yang tidak mengandung wajah 𝑑 tidak akan berubah ketika


tengah bawah atau anggota 𝐴 yang tidak mengandung wajah 𝑑, maka 𝐷(𝐶) = 𝐶.

Jika 𝐶1, 𝐶2 ∈ 𝐴 dengan 𝐶1 dan 𝐶2 adalah kubus tengah bawah atau anggota 𝐴 yang

tidak mengandung wajah 𝑑, dan 𝐶1 = 𝐶2, maka 𝐷(𝐶1) = 𝐶1 = 𝐶2 = 𝐷(𝐶2). Pada


wajah 𝑑 kecuali kubus tengah bawah dan 𝐷(𝐶1) ≠ 𝐷(𝐶2), maka 𝐶1 ≠ 𝐶2.

Dengan demikian untuk setiap gerakan dasar kubus Rubik 𝑁 dan setiap kubus

berorientasi 𝐶 ∈ 𝐴 berlaku 𝑁(𝐶) ∈ 𝐴 dan 𝑁(𝐶) tunggal. Jadi setiap gerakan dasar

kubus Rubik merupakan fungsi dari himpunan 𝐴 ke himpunan 𝐴. Dengan

menggunakan operasi komposisi fungsi semua gerakan pada kubus Rubik merupa-

kan fungsi dari himpunan 𝐴 ke himpunan 𝐴.


44

Teorema 3.5

Jika 𝐴 adalah himpunan semua posisi kubus Rubik, maka semua gerakan pada

kubus Rubik merupakan permutasi dari 𝐴, yaitu fungsi bijektif dari 𝐴 ke 𝐴.

Bukti:

Diketahui 𝐴 adalah himpunan semua posisi kubus Rubik, yaitu

𝐴 = {𝑓, 𝑏, 𝑟, 𝑙, 𝑢, 𝑑, 𝑓𝑟, 𝑓𝑙, 𝑓𝑢, 𝑓𝑑, 𝑏𝑟, 𝑏𝑙, 𝑏𝑢, 𝑏𝑑, 𝑟𝑢, 𝑟𝑑, 𝑙𝑢, 𝑙𝑑, 𝑓𝑢𝑟, 𝑓𝑟𝑑, 𝑓𝑑𝑙,

𝑓𝑙𝑢, 𝑏𝑟𝑢, 𝑏𝑢𝑙, 𝑏𝑑𝑟, 𝑏𝑙𝑑}

dan 𝑁 adalah suatu gerakan dasar kubus Rubik.

Jika 𝑁 = 𝐹, maka telah ditunjukkan sebelumnya bahwa untuk setiap 𝐶 ∈ 𝐴

dengan 𝐶 adalah kubus tengah depan atau anggota 𝐴 yang tidak mengandung wajah

𝑓 berlaku 𝐹(𝐶) = 𝐶. Jika 𝐶1, 𝐶2 ∈ 𝐴 dengan 𝐶1 dan 𝐶2 adalah kubus tengah depan

atau anggota 𝐴 yang tidak mengandung wajah 𝑓, dan 𝐶1 ≠ 𝐶2, maka 𝐹(𝐶1) = 𝐶1 ≠

𝐶2 = 𝐹(𝐶2), yaitu 𝐹(𝐶1) ≠ 𝐹(𝐶2). Pada Tabel 1 di atas terlihat bahwa jika 𝐶1 dan

𝐶2 adalah anggota 𝐴 yang mengandung wajah 𝑓 kecuali kubus tengah depan dan

𝐶1 ≠ 𝐶2, maka 𝐹(𝐶1) ≠ 𝐹(𝐶2).

Jika 𝑁 = 𝐵, maka telah ditunjukkan sebelumnya bahwa untuk setiap 𝐶 ∈ 𝐴

dengan 𝐶 adalah kubus tengah belakang atau anggota 𝐴 yang tidak mengandung

wajah 𝑏 berlaku 𝐵(𝐶) = 𝐶. Jika 𝐶1, 𝐶2 ∈ 𝐴 dengan 𝐶1 dan 𝐶2 adalah kubus tengah

belakang atau anggota 𝐴 yang tidak mengandung wajah 𝑏, dan 𝐶1 ≠ 𝐶2, maka

𝐵(𝐶1) = 𝐶1 ≠ 𝐶2 = 𝐵(𝐶2), yaitu 𝐵(𝐶1) ≠ 𝐵(𝐶2). Pada Tabel 2 di atas terlihat

bahwa jika 𝐶1 dan 𝐶2 adalah anggota 𝐴 yang mengandung wajah 𝑏 kecuali kubus

tengah belakang dan 𝐶1 ≠ 𝐶2, maka 𝐵(𝐶1) ≠ 𝐵(𝐶2).

Jika 𝑁 = 𝑅, maka telah ditunjukkan sebelumnya bahwa untuk setiap 𝐶 ∈ 𝐴

dengan 𝐶 adalah kubus tengah kanan atau anggota 𝐴 yang tidak mengandung wajah

𝑟 berlaku 𝑅(𝐶) = 𝐶. Jika 𝐶1, 𝐶2 ∈ 𝐴 dengan 𝐶1 dan 𝐶2 adalah kubus tengah kanan

atau anggota 𝐴 yang tidak mengandung wajah 𝑟, dan 𝐶1 ≠ 𝐶2, maka 𝑅(𝐶1) = 𝐶1 ≠

𝐶2 = 𝑅(𝐶2), yaitu 𝑅(𝐶1) ≠ 𝑅(𝐶2). Pada Tabel 3 di atas terlihat bahwa jika 𝐶1 dan

𝐶2 adalah anggota 𝐴 yang mengandung wajah 𝑟 kecuali kubus tengah kanan dan

𝐶1 ≠ 𝐶2, maka 𝑅(𝐶1) ≠ 𝑅(𝐶2).


45

Jika 𝑁 = 𝐿, maka telah ditunjukkan sebelumnya bahwa untuk setiap 𝐶 ∈ 𝐴

dengan 𝐶 adalah kubus tengah kiri atau anggota 𝐴 yang tidak mengandung wajah 𝑙

berlaku 𝐿(𝐶) = 𝐶. Jika 𝐶1, 𝐶2 ∈ 𝐴 dengan 𝐶1 dan 𝐶2 adalah kubus tengah kiri atau

anggota 𝐴 yang tidak mengandung wajah 𝑙, dan 𝐶1 ≠ 𝐶2, maka 𝐿(𝐶1) = 𝐶1 ≠ 𝐶2 =

𝐿(𝐶2), yaitu 𝐿(𝐶1) ≠ 𝐿(𝐶2). Pada Tabel 4 di atas terlihat bahwa jika 𝐶1 dan 𝐶2

adalah anggota 𝐴 yang mengandung wajah 𝑙 kecuali kubus tengah kiri dan 𝐶1 ≠ 𝐶2,

maka 𝐿(𝐶1) ≠ 𝐿(𝐶2).

Jika 𝑁 = 𝑈, maka telah ditunjukkan sebelumnya bahwa untuk setiap 𝐶 ∈ 𝐴

dengan 𝐶 adalah kubus tengah atas atau anggota 𝐴 yang tidak mengandung wajah

𝑢 berlaku 𝑈(𝐶) = 𝐶. Jika 𝐶1, 𝐶2 ∈ 𝐴 dengan 𝐶1 dan 𝐶2 adalah kubus tengah atas

atau anggota 𝐴 yang tidak mengandung wajah 𝑢, dan 𝐶1 ≠ 𝐶2, maka 𝑈(𝐶1) = 𝐶1 ≠

𝐶2 = 𝑈(𝐶2), yaitu 𝑈(𝐶1) ≠ 𝑈(𝐶2). Pada Tabel 5 di atas terlihat bahwa jika 𝐶1 dan

𝐶2 adalah anggota 𝐴 yang mengandung wajah 𝑢 kecuali kubus tengah atas dan 𝐶1 ≠

𝐶2, maka 𝑈(𝐶1) ≠ 𝑈(𝐶2).

Jika 𝑁 = 𝐷, maka telah ditunjukkan sebelumnya bahwa untuk setiap 𝐶 ∈ 𝐴

dengan 𝐶 adalah kubus tengah bawah atau anggota 𝐴 yang tidak mengandung wajah

𝑑 berlaku 𝐷(𝐶) = 𝐶. Jika 𝐶1, 𝐶2 ∈ 𝐴 dengan 𝐶1 dan 𝐶2 adalah kubus tengah bawah

atau anggota 𝐴 yang tidak mengandung wajah 𝑑, dan 𝐶1 ≠ 𝐶2, maka 𝐷(𝐶1) = 𝐶1 ≠

𝐶2 = 𝐷(𝐶2), yaitu 𝐷(𝐶1) ≠ 𝐷(𝐶2). Pada Tabel 6 di atas terlihat bahwa jika 𝐶1 dan

𝐶2 adalah anggota 𝐴 yang mengandung wajah 𝑑 kecuali kubus tengah bawah dan

𝐶1 ≠ 𝐶2, maka 𝐷(𝐶1) ≠ 𝐷(𝐶2).

Jadi setiap gerakan dasar kubus Rubik adalah fungsi injektif.

Untuk menunjukkan bahwa gerakan dasar 𝑁 adalah fungsi surjektif, perlu di-

tunjukkan bahwa untuk setiap 𝐶 ∈ 𝐴 terdapat �̂� ∈ 𝐴 sedemikian hingga 𝑁(�̂�) = 𝐶.

Jika 𝑁 = 𝐹, maka telah ditunjukkan sebelumnya bahwa untuk setiap 𝐶 ∈ 𝐴

dengan 𝐶 adalah kubus tengah depan atau anggota 𝐴 yang tidak mengandung wajah

𝑓 berlaku 𝐹(𝐶) = 𝐶. Untuk setiap 𝐶 ∈ 𝐴 dengan 𝐶 adalah anggota 𝐴 yang mengan-

dung wajah 𝑓 kecuali kubus tengah depan dapat dilihat pada Tabel 1 di atas bahwa

terdapat �̂� ∈ 𝐴 sedemikian hingga 𝐹(�̂�) = 𝐶.


46

Jika 𝑁 = 𝐵, maka telah ditunjukkan sebelumnya bahwa untuk setiap 𝐶 ∈ 𝐴

dengan 𝐶 adalah kubus tengah belakang atau anggota 𝐴 yang tidak mengandung

wajah 𝑏 berlaku 𝐵(𝐶) = 𝐶. Untuk setiap 𝐶 ∈ 𝐴 dengan 𝐶 adalah anggota 𝐴 yang

mengandung wajah 𝑏 kecuali kubus tengah belakang dapat dilihat pada Tabel 2 di

atas bahwa terdapat �̂� ∈ 𝐴 sedemikian hingga 𝐵(�̂�) = 𝐶.

Jika 𝑁 = 𝑅, maka telah ditunjukkan sebelumnya bahwa untuk setiap 𝐶 ∈ 𝐴

dengan 𝐶 adalah kubus tengah kanan atau anggota 𝐴 yang tidak mengandung wajah

𝑟 berlaku 𝑅(𝐶) = 𝐶. Untuk setiap 𝐶 ∈ 𝐴 dengan 𝐶 adalah anggota 𝐴 yang mengan-

dung wajah 𝑟 kecuali kubus tengah kanan dapat dilihat pada Tabel 3 di atas bahwa

terdapat �̂� ∈ 𝐴 sedemikian hingga 𝑅(�̂�) = 𝐶.

Jika 𝑁 = 𝐿, maka telah ditunjukkan sebelumnya bahwa untuk setiap 𝐶 ∈ 𝐴

dengan 𝐶 adalah kubus tengah kiri atau anggota 𝐴 yang tidak mengandung wajah 𝑙

berlaku 𝐿(𝐶) = 𝐶. Untuk setiap 𝐶 ∈ 𝐴 dengan 𝐶 adalah anggota 𝐴 yang mengan-

dung wajah 𝑙 kecuali kubus tengah kiri dapat dilihat pada Tabel 4 di atas bahwa

terdapat �̂� ∈ 𝐴 sedemikian hingga 𝐿(�̂�) = 𝐶.

Jika 𝑁 = 𝑈, maka telah ditunjukkan sebelumnya bahwa untuk setiap 𝐶 ∈ 𝐴

dengan 𝐶 adalah kubus tengah atas atau anggota 𝐴 yang tidak mengandung wajah

𝑢 berlaku 𝑈(𝐶) = 𝐶. Untuk setiap 𝐶 ∈ 𝐴 dengan 𝐶 adalah anggota 𝐴 yang mengan-

dung wajah 𝑢 kecuali kubus tengah atas dapat dilihat pada Tabel 5 di atas bahwa

terdapat �̂� ∈ 𝐴 sedemikian hingga 𝑈(�̂�) = 𝐶.

Jika 𝑁 = 𝐷, maka telah ditunjukkan sebelumnya bahwa untuk setiap 𝐶 ∈ 𝐴

dengan 𝐶 adalah kubus tengah bawah atau anggota 𝐴 yang tidak mengandung wajah

𝑑 berlaku 𝐷(𝐶) = 𝐶. Untuk setiap 𝐶 ∈ 𝐴 dengan 𝐶 adalah anggota 𝐴 yang mengan-

dung wajah 𝑑 kecuali kubus tengah bawah dapat dilihat pada Tabel 6 di atas bahwa

terdapat �̂� ∈ 𝐴 sedemikian hingga 𝐷(�̂�) = 𝐶.

Jadi setiap gerakan dasar kubus Rubik adalah fungsi surjektif.

Dengan demikian, setiap gerakan dasar kubus Rubik adalah fungsi bijektif.

Menurut Teorema 2.11 bagian (3), komposisi dua buah fungsi yang bijektif adalah

fungsi yang bijektif. Jadi, semua gerakan pada kubus Rubik merupakan fungsi


47

bijektif, sehingga terbukti bahwa semua gerakan pada kubus Rubik adalah per-

mutasi dari himpunan 𝐴. ∎

Dengan demikian, menurut Teorema 2.33 himpunan semua gerakan pada ku-

bus Rubik 𝐺 dengan operasi komposisi fungsi merupakan grup simetrik.


48

BAB IV

PENUTUP

A. Kesimpulan

Kubus Rubik adalah permainan yang berhubungan dengan konsep-konsep

dalam Matematika, khususnya Teori Grup. Kubus Rubik yang dikenai suatu

gerakan akan mengalami perubahan susunan/posisi. Jika 𝐴 adalah himpunan semua

posisi kubus Rubik, maka semua gerakan yang dikenakan pada anggota-anggota

himpunan 𝐴 merupakan fungsi bijektif dari himpunan 𝐴 ke himpunan 𝐴, sehingga

merupakan permutasi dari himpunan 𝐴. Dengan demikian, himpunan semua

gerakan pada kubus Rubik dengan operasi komposisi fungsi merupakan grup

simetrik.

B. Saran

Dalam makalah ini, penulis hanya membahas hubungan Teori Grup dengan

kubus Rubik berukuran 3 × 3 × 3. Pembahasan ini dapat dikembangkan lebih

lanjut untuk kubus Rubik yang berukuran lebih besar, misalnya kubus Rubik

berukuran 4 × 4 × 4 dan 5 × 5 × 5.


49

DAFTAR PUSTAKA

Adi, Wicaksono. (2009). Tip dan Trik Jago Main Rubik. Yogyakarta: Gradien

Mediatama.

Chen, Janet. (2004). Group Theory and the Rubik’s Cube. http://www.math.harvard.edu/~jjchen/. Diakses pada 23 Maret 2019.

Miller, Cheryl Chute. (2013). Essentials of Modern Algebra. Dulles, VA: Mercury

Learning and Information.

Susilo, Frans. (2012). Landasan Matematika. Yogyakarta: Graha Ilmu.


http://www.math.harvard.edu/~jjchen/

permainan kubus rubik dan kaitannya dengan grup...

Documents