grup yang lainnya

8/17/2019 Grup Yang Lainnya

1/13

1. Buktikan bahwa

{ }, H y y G dan ya ay= ∈ = adalah suatu subgrup dari G, jika

, xG

suatu grup dan

Ga ∈

.

Penyelesaian :

• Diketahui:

, xG

grup dan

,Ga ∈ { }, H y y G dan ya ay= ∈ =

• Akan dibuktikan: H subgrup dari G.

Misalkan e adalah elemen identitas di grup

, xG

, dan untuk

Ga ∈

berlaku:

ea ae=. Ini berarti

H e ∈, jadi

φ ≠ H .

Berdasarkan pendefinisian dari menunjukkan bahwa

.G H ⊆

!elanjutn"a, :

#i$ Ambil

H q p ∈,

sebarang,

berarti

pa ap=

dan

qa aq=

%s"arat keangg&taan di '

(erhatikan bahwa

# x $ # x $ p q a p q a=

%sifat ass&siatif di G'

)

# x $ p a q

%karena

H q ∈

'

)

# x $x p a q


)

# x $a p q

%karena

H p ∈

'

)# x $a p q


karena pengambilan

H q p ∈,

sebarang, dan memenuhi

# x $ # x $ p q a a p q=

,

maka dapat disimpulkan bahwa

, x . p q H berlaku p q H ∀ ∈ ∈

*adi

, x H

memenuhi sifat tertutup.

#ii$ Ambil H c ∈

sebarang,

1


2/13

karena

G H ⊆, maka

Gc ∈.

+arena G grup danGc ∈

, makaGc ∈−1

.

H c ∈ berarti

x xc a a c= %s"arat keangg&taan di '

1 1# x $ # x $c c a c a c− −=

%masingmasing di&perasikan

1−cdari

kiri'

1 1# x $ # x $c c a c a c− −=


1x # x $e a c a c−=

%sifat in-ers di G, "aitu

1xc c e− =

'

1# x $a c a c−=

%sifat identitas di G, "aituxe a a=

'

1 1 1x # x $x xa c c a c c− − −=

%di&perasikan

1−cdari kanan'

1 1 1x # x $x# x $a c c a c c− − −=


1 1x # x $a c c a e− −=

%sifat in-ers di G, "aitu

1xc c e− ='

1 1x xa c c a− −=

%sifat identitas di G,

1 1# x $ xe a e e a− −=

'

karena pengambilan H c ∈

sebarang, dan memenuhi,

1 1x xc a a c− −=

maka

dapat disimpulkan bahwa

.1 H cberlaku H c ∈∈∀ −

Dari #i$ dan #ii$ dengan menggunakan e&rema I,

disimpulkan bahwa

, x H

adalah subgrup dari

, xG

.

2


3/13

/. jika R¿= R− {0} adalah grupterhadapoperasi perkalian dan Q¿=Q−{0 }

adalah⊂ R¿

,tunjukanbahwaQ¿

subgrupdari R¿terhadap operasi perkalian .

Penyelesaian :

Bukti : *elas bahwa Q¿⊆ R

¿

ambil

a

b ,

c

d ∈Q

¿

a

b. c

d=

ac

bd

ac

bd ∈Q

¿

#tertutup$

ambil

a

b ,

c

d ∈Q

¿

maka akandibuktikan a

b. c

d=1=

c

d .

a

b

a

b .

c

d=1

cd=b

a

1=c

d .

a

b

1=b

a .

a

b

1=1

ini berartiQ¿

adalah grup . Jadi , terbukti bahwaQ¿

subgrup R¿

3


4/13

0.

Ζ ∈+= baba D ,

. erhadap &perasi penambahan dan perkalian seharihari.

Apakah

+, D

dan

×, D

membentuk struktur G23(4

Penyelesaian:

I. Adt

+, D

membentuk GRUP.

a$ Adt

+, D

grup&id

Ambil

Ζ ∈∈++ d cba Dd cba ,,,5,

Maka

( ( ( ) ( ) d bcad cba +++=+++

+arena

Ζ ∈++Ζ ∈ $#$,#,,, d bcamakad cba

!ehingga:

( ) ( ) Dd bca ∈+++

Jadi karena

+, D

tertutup maka

+, D

grupoid.

b) Adt

+, D

semigrup

Ambil

Ζ ∈∈+++ f ed cba D f ed cba ,,,,,5,,

Maka:

[ ( ( ] ([ ( ) ( ) ] ( )

[ ]

( ) ( ) ( )[ ]$#$#

$#$#

f ed cba

f d ecba

f d beca

f ed bca

f ed cba

+++++=

+++++=

+++++=

+++++=

+++++

4


5/13

+arena

[ ] f ed cba f ed cba +++++=+++++

jadi karena

+, D

asosiatif!aka

+, D

semigrup.

") Adt

+, D

monoid

Ambil

Dba ∈+

dan misalkan

Dd c ∈+

unkes di D. Maka:

6

=+

+−+=+

+=∈+

d c

babad c

ba Dd c

maka membuktikan bahwa unkes )6

$#$#6 baba +=++

5 jadi 6 unkes kiri

$#6$# baba +=++

5 jadi 6 unkes kanan.

#arena unkes kiri $ unkes kanan maka

+, D

monoid.

d) Adt

+, D

mempunyai in%ers

Ambil

Dba ∈+

dan misalkan

Dba ∈+− $#

in-ers di D. Maka harus

ditunjukan:

6$#$#$##$# =+++−=+−++ babababa

.

!ehingga:

6$##$# =−−+=+−++ babababa

5


6/13

6$#$# =++−−=+++− babababa

+arena

6$#$#$##$# =+++−=+−++ babababa

.

#&'I!PU(A*A:karena

+, D

grupoidsemigrupmemiliki unkes

dan in%ers maka

+, D

merupakan sebua+ GRUP.

II. Adt×, D

membentuk GRUP.

a. Adt

×, D

grupoid

Ambil

Ζ ∈∈++ d cba Dd cba ,,,5,

Maka

bd bcad acd cba +++=++

+arena

Ζ ∈Ζ ∈ bd bcad acmakad cba ,,,,,,

!ehingga:

Z bd bcad ac ∈+++

Jadi karena

×, D

tertutup maka

×, D

grupoid.

b. Adt

×, D

semigrup

Ambil

Ζ ∈∈+++ f ed cba D f ed cba ,,,,,5,,

Maka:

6


7/13

[ ( ( ] ([ ] ( )[ ( ) ] ( )

( ) ( )

( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )( )[ ]

f ed cba

f ed f ecba

df decf ceba

df decf cebdf decf cea

bdf bdebcf adf bceadeacf acebdf bdebcad f bcad eacf ace

f ebd bcad ac

f ebd bcad ac

f ed cba

+++=

++++=

++++=

+++++++=

+++++++=

+++++++=

++++=

++++=

+++

+arena [ ( ( ] ( ( ( ( f ed cba f ed cba +++=+++

jadi karena

×, D

asosiatif!aka

×, D

semigrup

". Adt

×, D

monoid

Ambil

Dba ∈+

dan misalkan

Dcc ∈+

unkes di D. Maka:

1

c d a b

a bc d

a b

c d

+ = +

++ =

+

+ =

maka membuktikan bahwa unkes ) 1

$#$.#1 baba +=+

5 jadi 1 unkes kiri

$#1.$# baba +=+

5 jadi 1 unkes kanan.

#arena unkes kiri $ unkes kanan maka

×, D

monoid.

7


8/13

d. Adt

×, D

mempunyai in%ers

Ambil

Dba ∈+

dan misalkan

Dba

∈

+ $#

1

in-ers di D.

Maka:

1$#$#

1

$#

1$# =+×

+

=

+

×+ bababa

ba

.

!aka

×, D

mempunyai in%ers yaitu

$#

1

ba +

#&'I!PU(A*A:karena

×, D

merupakan

grupoidsemigrupmemiliki unkes dan in%ers maka

×, D

merupakan

sebua+ GRUP

8


9/13

7.

,8 Z

di defenisikan

Z bababa ∈∀−+= ,,18

. unjukan apakah

,8 Z

merupakan

suatu G23(.

Penyelesaian:

a. Akan ditunjukan

,8 Z

Grupoid

Ambil

Z ba ∈,

Maka18 −+= baba

+arena

Z ba ∈,

sehingga18 −+= baba

Jadi karena

,8 Z

tertutup maka

,8 Z

Grupoid

b. Akan ditunjukan

,8 Z

'emigrup

Ambil

Z cba ∈,,

Maka

( )

( )

( )

( )( )

( )

( )cba

cba

cba

cba

cba

cba

cba

88

18

81

11

11

81

88

=

−+=

+−=

−++−=

−+−+=

−+=

=

+arena

Z cba ∈,,

dan

( ) ( )cbacba 8888 =

Jadi karena

,8 Z

asosiatif maka

,8 Z

'emigrup

". Akan ditunjukan

,8 Z

!onoid

Ambil

Z ba ∈,

dan misalkan b adalah unkes di 9

Maka

9


10/13

1

61

1

1

8

=

=−

−=−

=−+

=

b

b

aab

aba

aba

Pembuktiannya:

18111181 aaaaa =−+==−+=

!ehingga, 1 adalah unkes di 9

Jadi karena

,8 Z

!emiliki unkes maka

,8 Z

monoid

d. Akan ditunjukan

,8 Z

ada in%ers

Ambil Z ba

∈,

dam misalkan b adalah in-ers dari a

Maka

ab

ba

ba

ba

−=

=+

=−+

=

/

/

11

18

Pembuktiannya:

( ) ( )

11/

1//8

=

−+−=

−−+=−

aa

aaaa

!ehinggaa−/

merupakan in-ers dari a

Jadi

,8 Z

ada in%ers

#&'I!PU(A*A: karena"grupoidsemigrupmonoid dan memiliki

in%ers maka

,8 Z

merupakan suatu GRUP

10


11/13

. impunan bilangan rasi&nal p&sitif #;$ dengan &perasi 8, "ang didefenisikan:

+∈∀= Qba

abba ,,

/8

Penyelesaian:

a. Akan ditunjukan

,8+Q

Grupoid

Ambil

+∈ Qba,

Maka/

8 ab

ba =

+arena

+∈Qabba ,,

, sehingga

+

∈ Qab

/

Jadi karena

,8+Q

tertutup maka

,8+Q

Grupoid

b. Akan ditunjukan

,8+Q

'emigrup

Ambil

+∈ Qcba ,,

Maka

( )

( )cba

bca

bca

abc

cab

cab

cba

88

/8

/

/.

/

/

/

./

8/

88

=

=

=

=

=

=

+arena

+∈ Qbcabcba ,,,,

,dan

( ) ( )cbacba 8888 =

Jadi karena

,8+Q

asosiatif maka

,8+Q

'emigrup

11


12/13

". Akan ditunjukan

,8+Q

!onoid

Ambil

Z ba ∈,

dam misalkan b adalah unkes di ;

Maka

/

/

/

8

=

=

=

=

b

aab

aab

aba

Pembuktiannya:

aa

aa

a 8//

./

/

/./8 ====

!ehingga, / adalah unkes di ;

Jadi karena

,8+Q

memiliki unkes maka

,8+Q

!onoid

d. Akan ditunjukan

,8+Q

ada in%ers

Ambil

+∈ Qba,

dam misalkan b adalah in-ers dari a

Maka

ab

ab

abba

7

7

//

/8

=

=

=

=

Pembuktiannya:

aa

aaaa

a

aa 8

7

/

.7

/

7.

78 ====

!ehinggaa

7

merupakan in-ers dari a

Jadi

,8+Q

ada in%ers

12


13/13

#&'I!PU(A*A:karena

,8+Q

grupoidsemigrupmonoid dan memiliki

in%ers maka

,8+

Q

merupakan suatu GRUP

13

grup yang lainnya

Documents