1

DISUSUN

OLEH :

1. Nurul Fajriah (06122502039)

2. Rahmawati Indah L.S (06122502010)

Dosen Pengasuh :

Dr. Darmawijoyo

Dr. Nila Kesumawati, M.Si.

PROGRAM STUDI MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SRIWIJAYA

2012-2013

2

GRUP SIKLIK

A. Pendahuluan

Pada pertemuan-pertemuan sebelumnya telah dibahas mengenai grup mulai dari

definisi grup, cara menentukan suatu himpunan merupakan grup atau bukan,

menjelaskan finite grup, definisi subgroup sampai terpenuhinya syarat-syarat

subgrup suatu grup, serta menentukan order dari grup dan order dari anggota grup.

Maka pada sub bahasan ini akan dijelaskan suatu orde dari suatu grup yang setiap

unsurnya dapat ditulis sebagai perpangkatan (positif atau negatif) atau perkalian

dari suatu unsur tetap dari grup tersebut. Grup yang seperti ini dinamakan grup

siklik. Dengan kata lain, Grup Siklik adalah subgrup yang unsur-unsurnya

merupakan unsur-unsur dari grup itu sendiri berdasarkan pembangunnya atau

generatornya.

Suatu grup siklik bisa beranggotakan terhingga atau bisa juga beranggotakan

unsur-unsur tak hingga. Grup Siklik yang beranggotakan banyaknya unsur

terhingga dinamakan Grup Siklik berhingga (finite group cyclic) dan Grup Siklik

yang beranggotakan banyaknya unsur tak terhingga dinamakan Grup Siklik tak

hingga (infinite group cyclic).

Dengan demikian, setelah mempelajari materi ini mahasiswa diharapkan mampu:

a) Menjelaskan definisi dari grup siklik

b) Menentukan generator dari grup siklik

c) Mampu membuktikan apakah grup merupakan siklik atau tidak dengan

menentukan generatornya

d) Menerapkan teorema-teorema yang berhubungan dengan generator

e) Menentukan order dari grup siklik

f) Menentukan grup siklik dari suatu grup

g) Menganalisa keterkaitan grup siklik dengan grup komutatif (grup abelian)

3

B. Definisi

Definisi 1 :Grup Siklik (terhadap penjumlahan)

Grup G (G, +) disebut siklik, bila ada elemen 𝑎 ∈ 𝐺 sedemikian sehingga

𝐺 = {𝑛𝑎|𝑛 ∈ 𝑍}. Elemen a disebut generator dari grup siklik tersebut.

(Fadli, 2006 : 55)

Contoh 1 :

Misalkan G = {0, 1, 2, 3} adalah suatu Grup terhadap penjumlahan (G,+).

Buktikan bahwa G tersebut adalah grup siklik.

Penyelesaian

Diketahui : G = {0, 1, 2, 3}

Ditanya : Tentukan grup siklik dan subgrup siklik dari G!

Jawab :

G = {0, 1, 2, 3}

< 𝑎 >= {𝑛𝑎|𝑛 ∈ 𝑍}

<0> = {n (0) | n ∈ Z}

= {…, (-1).0, 1.0, …}

= {0}

<1> = {n (1) | n ∈ Z}

= {…, (-4).1, (-3).1, (-2).1, (-1).1, 0.1, 1.1, 2.1, 3.1, 4.1, …}

= {1, 2, 3, 0}

<2> = {n (2) | n ∈ Z}

= {…, (-2).1, (-1).1, 0.1, 1.2, 2.2, …}

= {2, 0}

<3> = {n (3) | n ∈ Z}

= {…, (-4).3, (-3).3, (-2).3, (-1).3, 0.3, 1.3, 2.3, 3.3, 4.3,…}

= {3, 2, 1, 0}

4

Karena G = <1> = <3> = {0, 1, 2, 3}, dengan kata lain 1 dan 3 adalah generator

dari G maka G = {0, 1, 2, 3} merupakan grup siklik.

Definisi 2 : Grup Siklik (terhadap perkalian)

Grup G (G, .) disebut siklik, bila ada elemen 𝑎 ∈ 𝐺 sedemikian sehingga

𝐺 = {𝑎𝑛 |𝑛 ∈ 𝑍}. Elemen a disebut generator dari grup siklik tersebut.

(Gallian, 2008 : 72)

Suatu grup G dan suatu unsur 𝑔 ∈ 𝐺, jika grup G dapat dinyatakan sebagai

𝐺 = {𝑔𝑛 |𝑛 ∈ 𝑍}, maka g dikatakan pembangun dari grup G dan grup G

disebut Grup Siklik, biasanya dinotasikan G = <g>

(Muchlisah, 2005 : 58)

Contoh 2 :

Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu Grup terhadap operasi perkalian (G, .).

Buktikan bahwa G adalah grup siklik.

Penyelesaian :

Diket : G = {-1, 1}

Dit : Buktikan G adalah grup siklik.

Jawab :

G = {-1, 1}

<a> = {𝑎𝑛 |𝑛 ∈ 𝑍}

<-1> = {…, (-1)-2

, (-1)-1

, (-1)o, (-1)

1, (-1)

2, …}

= {-1, 1}

<1> = {…, 1-2

,1-1

, 11, 1

2, …}

= {1}

Karena G = <-1> = {-1, 1}, dengan kata lain -1 adalah generator dari G maka

G = {-1, 1} merupakan grup siklik.

5

Definisi 3 : Sub Grup Siklik

(G, *) adalah suatu grup dan 𝑎 ∈ 𝐺, maka generator a yang membangun

suatu subgroup <a> dinamakan sub grup siklik dari (G, *)

(Fadli, 2006 : 55)

Jadi yang dimaksud dengan Sub Grup Siklik yaitu suatu subgrup yang

dibangkitkan oleh satu unsur.

Contoh 3 :

Buktikan bahwa Z8 adalah grup siklik. Kemudian tentukan sub grup sikliknya!

Penyelesaian :

Diketahui : Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Ditanya : - apakah Z8 grup siklik?

- tentukan subgrup siklik dari Z8

Jawab :

Bukti

Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

𝐺 = {𝑛𝑎|𝑛 ∈ 𝑍}

<0> = {n (0) | n ∈ Z}

= {…, (-1).0, 0.0, 1.0,…}

= {0}

<1> = {n (1) | n ∈ Z}

= {…, (-8).1, (-7).1, (-6).1, (-5).1, (-4).1, (-3).1, (-2).1, (-1).1, 0.1, 1.1, 2.1,

3.1, 4.1, 5.1, 6.1, 7.1, 8.1, …}

= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 0}

<2> = {n (2) | n ∈ Z}

= {…, (-4).2, (-3).2, (-2).2, (-1).2, 0.2, 1.2, 2.2, 3.2, 4.2, …}

= {2, 4, 6, 0}

<3> = {n (3) | n ∈ Z}

= {…, (-8).3, (-7).3, (-6).3, (-5).3, (-4).3, (-3).3, (-2).3, (-1).3, 0.3,1.3, 2.3,

3.3, 4.3, 5.3, 6.3, 7.3, 8.3, …}

6

= {3, 6, 1, 4, 7, 2, 5, 0}

<4> = {n (4) | n ∈ Z}

= {…, (-2).4, (-1).4, 0.4, 1.4, 2.4, …}

= {4, 0}

<5> = {n (5) | n ∈ Z}

= {…, (-8).5, (-7).5, (-6).5, (-5).5, (-4).5, (-3).5, (-2).5, (-1).5, 0.5,1.5, 2.5,

3.5, 4.5, 5.5, 6.5, 7.5, 8.5, …}

= {5, 2, 7, 4, 1, 6, 3, 0}

<6> = {n (6) | n ∈ Z}

= {…, (-4).6, (-3).6, (-2).6, (-1).6, 0.6, 1.6, 2.6, 3.6, 4.6, …}

= {6, 4, 2, 0}

<7> = {n (7) | n ∈ Z}

= {…, (-8).7, (-7).7, (-6).7, (-5).7, (-4).7, (-3).7, (-2).7, (-1).7, 0.7,1.7, 2.7,

3.7, 4.7, 5.7, 6.7, 7.7, 8.7, …}

= {7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0}

Karena terdapat <a> = G yaitu 1, 3, 5 dan 7 maka Z8 adalah Grup Siklik.

Yang merupakan subgrup sikliknya yaitu

<2> = {2, 4, 6, 0}

<4> = {4, 0}

<6> = {6, 4, 2, 0}

Contoh 4 :

Buktikan bahwa U(10) adalah grup siklik. Kemudian tentukan sub grup sikliknya!

Penyelesaian :

Diketahui : U(10) = {1, 3, 7, 9}

Ditanya : - apakah U(10) grup siklik?

- tentukan subgrup siklik dari U(10)

Jawab :

Bukti

U(10) = {1, 3, 7, 9}

7

<a> = {𝑎𝑛 |𝑛 ∈ 𝑍}

<1> = {11, 1

2, 1

0…}

= {1} ………………….<1> ≠ U(10)

<3> = {31, 3

2, 3

3, 3

0, …}

= {3, 9, 7,1} ………….<3> = U(10)

<7> = {71, 7

2, 7

3, 7

0,…}

= {7, 9, 3, 1} ………… <7> = U(10)

<9> = {91, 9

2, 9

3, 9

0,…}

= {9, 1,…} ………….. <9> ≠ U(10)

Karena terdapat <a> = G yaitu 3 dan 7 maka U(10) adalah Grup Siklik.

Yang merupakan subgrup sikliknya yaitu <1> = {1} dan <9> = {1, 9}

C. Teorema dan Akibat

Teorema 1 : ak = a

gcd(n,k)

Let a be an element of order n in a group and let k be a positive integer.

Then ak = a

gcd(n,k) and |a

k| = n/gcd(n,k).

Akibat 1 : Generator dari finite group siklik

G=<a>adalah group siklik dengan order n, maka G=<ak>jika dan hanya

jika FPB (k,n) =1

Akibat 2 : Generator Zn

Dengan bilangan bulat k dalam Zn, adalah generator dari Zn jika dan

hanya jika gcd (n, k) = 1

(Gallian, 2008 : 76)

Contoh 5 :

Dari acuan teorema 1 akibat 1, tentukan semua generator dari grup siklik U(50)

|U(50)| = 20 dan tiga adalah salah satu dari generatornya.

8

Demikianlah, dalam melihat teorema 1, daftar pelengkap dari generator-generator

untuk U(50) adalah

31

mod 50 = 3 311

mod 50 = 47

33

mod 50 = 27 313

mod 50 = 23

37 mod 50 = 37 3

17 mod 50 = 13

39 mod 50 = 33 3

19 mod 50 = 17

320

mod 50 = 1

Teorema 2 : Teorema Dasar Grup Siklik

Setiap subgrup pada sebuah grup siklik adalah grup siklik itu pula.

Lebih-lebih jika 𝒂 = 𝒏, lalu order pada subgrup 𝒂 adalah sebuah

pembagi n dan atau setiap k pembagi positif pada n, grup 𝒂 memiliki

tepat satu subgrup berorder k, yaitu 𝒂𝒏 𝒌 .

(Gallian, 2008 : 77)

Bukti :

Jika G = 𝑎 , a adalah generator G.

Andaikan bahwa H adalah sebuah subgrup G. Maka kita tunjukkan bahwa H

adalah siklik. Jika elemen dari G terdiri dari identitas diri sendiri, maka dengan

jelas H adalah siklik. Jadi kita boleh mengasumsikan bahwa 𝐻 ≠ 𝑒 .

Jika H mengandung sebuah unsur dengan bentuk 𝑎𝑡 , dimana t adalah positif.

Diketahui, 𝐺 = 𝑎 , setiap unsur H mempunyai bentuk 𝑎𝑡 .

Sehingga 𝑎𝑡 ∈ 𝐻 dengan 𝑡 < 0

Dan lalu 𝑎−𝑡 ∈ 𝐻 , nilai –t adalah positif.

Maka, pernyataan kita diterima.

Sekarang jika m bilangan bulat positif terkecil sedemikian hingga 𝑎𝑚𝜖𝐻.

Secara tertutup, 𝑎𝑚 ≤ 𝐻. Selanjutnya kita menyatakan bahwa 𝐻 = 𝑎𝑚 .

Untuk membuktikan pernyataan ini dengan memisalkan b sebuah anggota H, dan

menunjukkan bahwa b ada pada 𝑎𝑚 .

9

Selama 𝑏 ∈ 𝐺 = 𝑎 , kita punya 𝑏 = 𝑎𝑘 untuk beberapa k.

Menggunakan algoritma dalam pembagian untuk k dan m, untuk mendapatkan

bilangan bulat q dan r sedemikian sehingga :

𝑘 = 𝑚𝑞 + 𝑟 dimana 0 ≤ 𝑟 < 𝑚.

Maka,

𝑎𝑘 = 𝑎𝑚𝑞 +𝑟 = 𝑎𝑚𝑞 ∙ 𝑎𝑟 ,

Jadi

𝑎𝑟 = 𝑎−𝑚𝑞 ∙ 𝑎𝑘

Selama

𝑎𝑘 = 𝑏 ∈ 𝐻, dan

𝑎−𝑚𝑞 = 𝑎𝑚 −𝑞 juga pada H, 𝑎𝑟 ∈ 𝐻.

Tapi m bilangan bulat positif terkecil sedemikian hingga 𝑎𝑚 ∈ 𝐻, dan

0 ≤ 𝑟 < 𝑚, maka r harus nol.

𝑎−𝑚𝑞 ∙ 𝑎𝑘 = 𝑒, maka dari itu

𝑏 = 𝑎𝑘 = 𝑎𝑚𝑞 = 𝑎𝑚 𝑞 ∈ 𝑎𝑚 .

Sehingga,

𝐻 = 𝑎𝑚 adalah sebuah pembagi n

Pada akhirnya, jika k pembagi n. Jelas bahwa 𝑎𝑛 𝑘 𝑘

= 𝑎𝑛 = 𝑒 dan 𝑎𝑛 𝑘 𝑡≠

𝑒 untuk t positif < 𝑘, jadi 𝑎𝑛 𝑘 memiliki order k.

Selanjutnya kita menunjukkan bahwa 𝑎𝑛 𝑘 adalah hanya subgrup dari order k.

Untuk mengakhiri ini, jika H menjadi subgrup dari order k. Sebelumnya kita

sudah menunjukkan bahwa 𝐻 = 𝑎𝑚 , dimana m bilangan bulat positif terkecil

sedemikian hingga 𝑎𝑚 pada H. Sekarang dituliskan

𝑛 = 𝑚𝑞 + 𝑟, dimana 0 ≤ 𝑟 < 𝑚, kita punya

𝑒 = 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚𝑞 +𝑟 = 𝑎𝑚𝑞 ∙ 𝑎𝑟 , maka

𝑎𝑟 = 𝑎−𝑚𝑞 = 𝑎𝑚 −𝑞 ∈ 𝐻.

10

Dengan, 𝑟 = 0 dan 𝑛 = 𝑚𝑞. Jadi,

𝑘 = 𝐻 = 𝑎𝑚 = 𝑛 𝑚 . Ini mengikuti

𝑚 = 𝑛 𝑘 dan 𝐻 = 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛 𝑘 .

Contoh 6 :

Jika k adalah pembagi dari 30, subgrup order k adalah 𝑎30 𝑘 . Jadi daftar subgrup

dari 𝑎 dan daftar subgrup dari Z30 adalah :

Daftar Subgrup <a> Order

𝑎 = 𝑒, 𝑎, 𝑎2, … , 𝑎29 Order 30

𝑎2 = 𝑒, 𝑎2, 𝑎4, … , 𝑎28 Order 15

𝑎3 = 𝑒, 𝑎3, 𝑎6, … , 𝑎27 Order 10

𝑎5 = 𝑒, 𝑎5, 𝑎10 , 𝑎15 , 𝑎20 , 𝑎25 Order 6

𝑎6 = 𝑒, 𝑎6, 𝑎12 , 𝑎18 , 𝑎24 Order 5

𝑎10 = 𝑒, 𝑎10 , 𝑎20 Order 3

𝑎15 = 𝑒, 𝑎15 Order 2

𝑎30 = 𝑒 Order 1

Pada umumnya, jika 𝑎 memiliki order n dan k pembagi n, lalu 𝑎𝑛 𝑘 adalah

subgrup tunggal pada order k.

Akibat : Subgrup Zn

(Gallian, 2008 : 77)

Untuk setiap pembagi positif k pada n, himpunan 𝑛 𝑘 adalah

subgrup tunggal 𝑍𝑛 pada order k, lebih dari itu, hanya ada

subgrup dalam 𝑍𝑛 .

11

Contoh 7 : Berdasarkan dari contoh 6 di atas bahwa daftar subgrup dari 𝑍30

adalah :

Daftar Subgrup Z30 Order

1 = 0, 1, 2, … , 29 Order 30

2 = 0, 2, 4, … , 28 Order 15

Daftar Subgrup Z30 Order

3 = 0, 3, 6, … , 27 Order 10

5 = 0, 5, 10, 15, 20, 25 Order 6

6 = 0, 6, 12,18, 24 Order 5

10 = 0, 10, 20 Order 3

15 = 0, 15 Order 2

30 = 0 Order 1

Teorema 3 : Jumlah pada elemen setiap order dalam Grup Siklik.

Jika d adalah sebuah pembagi positif pada n, angka pada unsur dalam

order d dalam sebuah grup siklik pada order n adalah 𝝋(𝒅).

Akibat : Jumlah unsur pada elemen order adalah finite grup

Dalam grup finit, jumlah elemen order d habis dibagi oleh 𝝋(𝒅)

(Gallian, 2008 : 80)

Contoh 8

Tentukan subgrup dari Z12 dan buat diagram lattice

Z12 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

Penyelesaian

Ambil a = 2 dimana <2> = {0, 2, 4, 6, 8, 10}.

21 = 2 2

4 = 8

22 = 4 2

5 = 10

23 = 6 2

6 = 0

12

Apabila 2 dipangkatkan sampai n dimana n є Z hasilnya tetap berada pada <2>

sehingga tertutup terhadap operasi pada Z12. Akibatnya <2> merupakan subgrup

dari Z12.

Dengan cara serupa ambil a = 3 dimana <3> = {0, 3, 6, 9} sehingga diperoleh:

31 = 3 3

5 = 3

32 = 6 3

6 = 6

33 = 9 3

7 = 9

34 = 0 3

8 = 0

Dari hasil di atas <3> merupakan subgrup dari Z12.

Selanjutnya ambil a = 4 dimana <4> = {0, 4, 8}.

41 = 4 4

4 = 4

42 = 8 4

5 = 8

43 = 0 4

6 = 0

Apabila 4 dipangkatkan sampai pangkat ke-n, dimana n є Z hasilnya akan sama

dengan order dari <4> yaitu <4> = {0, 4, 8} sehingga tertutup terhadap operasi di

Z12 akibatnya <4> merupakan subgrup dari Z12.

Ambil a = 6 dimana <6> = {0, 6} dengan cara yang sama diperoleh:

61 = 6 6

3 = 6

62 = 0 6

4 = 0

Dengan memangkatkan a sampai pangkat ke-n hasilnya akan sama dengan <6>

sehingga <6> tertutup terhadap operasi di Z12 akibatnya <6> merupakan subgrup

dari Z12.

Dari hasil diatas dapat disimpulkan <2>, <3>, <4>, dan <6> merupakan subgrup

dari Z12. <2>, <3>, <4>, dan <6> merupakan subgrup sejati nontrivial dari Z12 dan

<0> merupakan subgrup trivial dari Z12.

Diagram lattice dari Z12 adalah sebagai berikut:

13

Teorema 4 :

Setiap Grup Siklik adalah Grup Abelian.

(Muchlisah, 2005 : 59)

Bukti :

Misalkan (G, .) merupakan Grup Siklik dan a merupakan pembangun dari G,

sehingga G ={an | n ∈ Z}.

Misalkan G = {ak | k ∈ Z }

Akan ditunjukkan bahwa xy = yx untuk setiap x, y ∈ G.

Ambil sebarang x, y dalam G.

Karena x, y dalam G maka

x = am dan y = an

untuk suatu m dan n dalam Z, sehingga

am an

= am+n

dan

yx = an am

= an+m = am+n

= am an

= xy.

Terbukti G grup abelian.

Contoh 9

Dari Contoh 1, tunjukkan bahwa Grup Siklik tersebut merupakan Grup Komutatif.

Penyelesaian :

Generator 1 dan 3 adalah membangun suatu Grup Siklik dari Grup.

G = {0, 1, 2, 3} terhadap penjumlahan (G,+).

Misalkan x, y ∈ G, sehingga x = na dan y = ma, untuk m, n ∈ Z.

Ambil n = 1 dan m = 2, dan generator a = 3

x + y = na + ma

= (n + m)a

= 1.3 + 2.3

= (1 + 2).3

14

= 3.3 = 1

y + x = ma + na

= (m + n)a

= 2.3 + 1.3

= (2 + 1).3

= 3.3 = 1

Jadi, Grup Siklik G = {0, 1, 2, 3} merupakan Grup Komutatif.

15

GLOSARIUM

Grup Siklik : Grup Siklik adalah subgrup yang unsur-unsurnya

merupakan unsur-unsur dari grup itu sendiri berdasarkan

pembangunnya atau generatornya

Subgrup Siklik : Suatu subgrup yang dibangkitkan oleh satu unsur dari

suatu grup siklik

Generator : Pembangun suatu grup siklik

Gcd (n, k) : Greatest common divisor of the integers n dan k/ FPB (n,k)

Subgrup Trivial : Subgrup yang anggotanya adalah identitas

Subgrup sejati non trivial : Semua anggota subgrup yang lain selain identitas

Subgrup Lattice : Grup yang anggota FPB nya bukan 1

Diagram Lattice : Suatu diagram untuk menggambarkan subgrup-subgrup

dari suatu grup

16

DAFTAR PUSTAKA

Fadli. 2006. Struktur Aljabar, Grup Siklik (online).

(http://www.fadlibae.files.wordpress.com/ …/grup-siklik.pdf. diakses

tanggal 26 September 2012).

Gallian J. A. 2010. Contemporary Abstract Algebra. Belmont: Brooks

Muchlisah, Nurul. 2005. Teori Grup dan Terapannya. Surakarta: LPP UNS dan

UNS Press.

17

LATIHAN SOAL

1. Carilah generator dari Z6, Z8, dan Z20.

2. Diketahui bahwa <a>, <b>, dan <c> adalah grup siklik yang masing-masing

berorder 6, 8, dan 20. Carilah semua generator dari <a>, <b>, dan <c>.

3. Daftar anggota dari subgrup <20> dan <10> di Z30. Diketahui a adalah

sebuah anggota grup yang berorder 30. Daftar anggota dari subgrup <a20

>

dan <a10

>.

4. Daftar anggota dari subgrup <3> dan <5> di Z18. Diketahui a adalah sebuah

anggota grup yang berorder 18. Daftar anggota dari subgrup <a3> dan <a

15>.

5. Daftarkan anggota subgrup siklik dari U(30)!

6. Tentukan lattice subgrup untuk Z8!

7. Tentukan lattice subgrup untuk U(12)!

8. Tentukan lattice subgrup untuk U(14)!

18

KUNCI JAWABAN

1) Mencari generator dari Z6, Z8, dan Z20

Jawaban :

Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} di bawah penjumlahan

𝐺 = {𝑛𝑎|𝑛 ∈ 𝑍}

<0> = {n (0) | n ∈ Z}

= {1.0}

= {0}

<1> = {n (1) | n ∈ Z}

= {1.1, 2.1, 3.1, 4.1, 5.1, 6.1, …}

= {1, 2, 3, 4, 5, 0}

<2> = {n (2) | n ∈ Z}

= {1.2, 2.2, 3.2, …}

= {2, 4, 0}

<3> = {n (3) | n ∈ Z}

= {1.3, 2.3, …}

= {3, 0}

<4> = {n (4) | n ∈ Z}

= {1.4, 2.4, 3.4, …}

= {4, 2, 0}

<5> = {n (5) | n ∈ Z}

= {1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5.5, 6.5…}

= {5, 4, 3, 2, 1, 0}

Karena Z6 = <1> = <5> = {0, 1, 2, 3, 4, 5} maka generator dari dari Z6 yaitu <1>

dan <5>

Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} di bawah penjumlahan

𝐺 = {𝑛𝑎|𝑛 ∈ 𝑍}

<0> = {n (0) | n ∈ Z}

19

= {1.0} = {0}

<1> = {n (1) | n ∈ Z}

= {1.1, 2.1, 3.1, 4.1, 5.1, 6.1, 7.1, 8.1, …}

= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 0}

<2> = {n (2) | n ∈ Z}

= {1.2, 2.2, 3.2, 4.2, …}

= {2, 4, 6, 0 }

<3> = {n (3) | n ∈ Z}

= {1.3, 2.3, 3.3, 4.3, 5.3, 6.3, 7.3, 8.3, …}

= {3, 6, 1, 4, 7, 2, 5, 0}

<4> = {n (4) | n ∈ Z}

= {1.4, 2.4, …}

= {4, 0}

<5> = {n (5) | n ∈ Z}

= {1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5.5, 6.5, 7.5, 8.5…}

= {5, 2, 7, 4, 1, 6, 3, 0}

<6> = {n (6) | n ∈ Z}

= {1.6, 2.6, 3.6, 4.6, …}

= {6, 4, 2, 0}

<7> = {n (7) | n ∈ Z}

= {1.7, 2.7, 3.7, 4.7, 5.7, 6.7, 7.7, 8.7…}

= {7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0}

Karena Z8 = <1> = <3> = <5> = <7> = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} maka generator dari

dari Z8 yaitu <1>, <3>, <5>, dan <7>.

Z20 = {0, 1, 2, 3, ..., 19} di bawah penjumlahan

𝐺 = {𝑛𝑎|𝑛 ∈ 𝑍}

<0> = {n (0) | n ∈ Z}

= {1.0}

= {0}

20

<1> = {n (1) | n ∈ Z}

= {1.1, 2.1, 3.1, 4.1, 5.1, 6.1, 7.1, 8.1, 9.1, 10.1, 11.1, 12.1, 13.1, 14.1, 15.1,

16.1, 17.1, 18.1, 19.1, 20.1, …}

= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 0}

<2> = {n (2) | n ∈ Z}

= {1.2, 2.2, 3.2, 4.2, 5.2, 6.2, 7.2, 8.2, 9.2, 10.2, …}

= {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 0}

<3> = {n (3) | n ∈ Z}

= {1.3, 2.3, 3.3, 4.3, 5.3, 6.3, 7.3, 8.3, 9.3, 10.3, 11.3, 12.3, 13.3, 14.3, 15.3,

16.3, 17.3, 18.3, 19.3, 20.3, …}

= {3, 6, 9, 12, 15, 18, 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 2, 5, 8, 11, 14, 17, 0}

<4> = {n (4) | n ∈ Z}

= {1.4, 2.4, 3.4, 4.4, 5.4, …}

= {4, 8, 12, 16, 0}

<5> = {n (5) | n ∈ Z}

= {1.5, 2.5, 3.5, 4.5, …}

= {5, 10, 15, 0}

<6> = {n (6) | n ∈ Z}

= {1.6, 2.6, 3.6, 4.6, 5.6, 6.6, 7.6, 8.6, 9.6, 10.6, …}

= {6, 12, 18, 4, 10, 16, 2, 8, 14, 0}

<7> = {n (7) | n ∈ Z}

= {1.7, 2.7, 3.7, 4.7, 5.7, 6.7, 7.7, 8.7, 9.7, 10.7, 11.7, 12.7, 13.7, 14.7, 15.7,

16.7, 17.7, 18.7, 19.7, 20.7, …}

= {7, 14, 1, 8, 15, 2, 9, 16, 3, 10, 17, 4, 11, 18, 5, 12, 19, 6, 13, 0}

<8> = {n (8) | n ∈ Z}

= {1.8, 2.8, 3.8, 4.8, 5.8,…}

= {8, 16, 4, 12, 0}

<9> = {n (9) | n ∈ Z}

= {1.9, 2.9, 3.9, 4.9, 5.9, 6.9, 7.9, 8.9, 9.9, 10.9, 11.9, 12.9, 13.9, 14.9, 15.9,

16.9, 17.9, 18.9, 19.9, 20.9, …}

= {9, 18, 7, 16, 5, 14, 3, 12, 1, 10, 19, 8, 17, 6, 15, 4, 13, 2, 11, 0}

21

<10> = {n (10) | n ∈ Z}

= {1.10, 2.10, …}

= {10, 0}

<11> = {n (11) | n ∈ Z}

= {1.11, 2.11, 3.11, 4.11, 5.11, 6.11, 7.11, 8.11, 9.11, 10.11, 11.11, 12.11,

13.11, 14.11, 15.11, 16.11, 17.11, 18.11, 19.11, 20.11, …}

= {11, 2, 13, 4, 15, 6, 17, 8, 19, 10, 1, 12, 3, 14, 5, 16, 7, 19, 9, 0}

<12> = {n (12) | n ∈ Z}

= {1.12, 2.12, 3.12, 4.12, 5.12,…}

= {12, 4, 16, 8, 0}

<13> = {n (13) | n ∈ Z}

= {1.13, 2.13, 3.13, 4.13, 5.13, 6.13, 7.13, 8.13, 9.13, 10.13, 11.13, 12.13,

13.13, 14.13, 15.13, 16.13, 17.13, 18.13, 19.13, 20.13, …}

= {13, 6, 19, 12, 5, 18, 11, 4, 17, 10, 3, 16, 9, 2, 15, 8, 1, 14, 7, 0}

<14> = {n (14) | n ∈ Z}

= {1.14, 2.14, 3.14, 4.14, 5.14, 6.14, 7.14, 8.14, 9.14, 10.14, …}

= {14, 8, 2, 16, 10, 16, 18, 12, 6, 0}

<15> = {n (15) | n ∈ Z}

= {1.15, 2.15, 3.15, 4.15, …}

= {15, 10, 5, 0}

<16> = {n (16) | n ∈ Z}

= {1.16, 2.16, 3.16, 4.16, 5.16, …}

= {16, 12, 8, 4, 0}

<17> = {n (17) | n ∈ Z}

= {1.17, 2.17, 3.17, 4.17, 5.17, 6.17, 7.17, 8.17, 9.17, 10.17, 11.17, 12.17,

13.17, 14.17, 15.17, 16.17, 17.17, 18.17, 19.17, 20.17, …}

= {17, 14, 11, 5, 2, 19, 16, 13, 10, 7, 4, 1, 18, 15, 12, 9, 6, 3, 0}

<18> = {n (18) | n ∈ Z}

= {1.18, 2.18, 3.18, 4.18, 5.18, 6.18, 7.18, 8.18, 9.18, 10.18, …}

= {18, 16, 14, 12, 10, 8, 6, 4, 2, 0}

22

<19> = {n (17) | n ∈ Z}

= {1.19, 2.19, 3.19, 4.19, 5.19, 6.19, 7.19, 8.19, 9.19, 10.19, 11.19, 12.19,

13.19, 14.19, 15.19, 16.19, 17.19, 18.19, 19.19, 20.19, …}

= {19, 18, 17, 16, 15, 14, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0}

<20> = {n (20) | n ∈ Z}

= {1.20, …}

= {0}

Karena Z20 = <1> = <3> = <7> = <9> = <11> = <13> = <17> = <19> = {0, 1, 2,

3, …, 19} maka generator dari dari Z20 yaitu <1>, <3>, <7>, <9>, <11>, <13>,

<17>, dan <19>.

2) Mencari semua generator dari <a>, <b>, dan <c>

Jawaban :

|<a>| = 6 = U7 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

<a> = 𝑎𝑛 𝑛 ∈ 𝑍

<1> = {11, 1

2, …}

= {1}

<2> = {21, 2

2, 2

3, …}

= {2, 4, 1}

<3> = {31, 3

2, 3

3, 3

4, 3

5, 3

6, …}

= {3, 2, 6, 4, 5, 1}

<4> = {41, 4

2, 4

3, …}

= {4, 2, 1}

<5> = {51, 5

2, 5

3, 5

4, 5

5, 5

6,…}

= {5, 4, 6, 2, 3, 1}

<6> = {61, 6

2, …}

= {6, 1}

Karena U7 = <3> = <5> = {1, 2, 3, 4, 5, 6} maka generator dari dari U7 yaitu <3>

dan <5>.

23

|<b>| = 8 = Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} di bawah penjumlahan

(Pencarian generator dapat dilihat pada penyelesaian nomor 1.)

Karena Z8 = <1> = <3> = <5> = <7> = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} maka generator dari

dari Z8 yaitu <1>, <3>, <5>, dan <7>.

|<c>| = 20 = Z20 = {0, 1, 2, 3, ..., 19}

Z20 = {0, 1, 2, 3, ..., 19} di bawah penjumlahan

(Pencarian generator dapat dilihat pada penyelesaian nomor 1.)

Karena Z20 = <1> = <3> = <7> = <9> = <11> = <13> = <17> = <19> = {0, 1, 2,

3, …, 19} maka generator dari dari Z20 yaitu <1>, <3>, <7>, <9>, <11>, <13>,

<17>, dan <19>.

3) List elements of the subgroups <a10

> dan <a20

> in Z30

Jawaban :

𝐺 = 𝑛𝑎 𝑛 ∈ 𝑍 𝐺

<10> = 1.10 = 10

= 2.10 = 20

= 3.10 = 0

<10> = {10, 20, 0}

<20> = 1.20 = 20

= 2.20 = 10

= 3.20 = 0

<20> = {20, 10, 0}

Maka , list elements of the subgroups <a10

> dan <a20

>

<a10

> = {a10

, a20

, a0}

<a20

> = {a20

, a10

, a0}

4) List elements of the subgroups <a3> dan <a

15>

Jawaban :

𝐺 = 𝑛𝑎 𝑛 ∈ 𝑍

<3> = 1.3 = 3

= 2.3 = 6

24

= 3.3 = 9

= 4.3 = 12

= 5.3 = 15

= 6.3 = 0

<3> = {3, 6, 9, 12, 15, 0}

<15> = 1.15 = 15

= 2.15 = 30

= 3.15 = 9

= 4.15 = 6

= 5.15 = 3

= 6.15 = 0

<15> = {15, 30, 9, 6, 3, 0}

List elements of the subgroups <a3> dan <a

15>

<a3> = {a

3, a

6, a

9, a

12, a

15, a

0}

<a15

> = {a15

, a30

, a9

, a6 a

3 a

0}

5) List the cyclic subgroups of U(30)!

Jawaban :

U(30) = {1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}

<1> = {1}

<7> = <13> ={1, 7, 13, 19}

<11> = { 1, 11}

<17> = <23> = {1, 17, 19, 23}

<19> = { 1, 19}

<29> = { 1, 29}

Ada 6 subgup siklik dari U(30)

6) Menentukan Lattice Subgrup untuk Z8

Jawaban :

Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Ambil a= 2 dimana <2> = {0, 2, 4, 6}. Berdasarkan teorema maka:

21 = 2 2

2 = 4 2

3 = 6

25

24 = 0 2

5 = 2

Apabila 2 selanjutnya dipangkatkan sampai n, dimana n є Z maka hasilnya akan

berulang. Sehingga <2> tertutup terhadap operasi di Z8 akibatnya <2> merupakan

subgrup dari Z8.

Selanjutnya ambil a=4, dimana <4> = {0,4}. Dengan cara serupa kita dapatkan:

41=4

42=0

43=4

44=0

45=4

Apabila 4 dipangkatkan sampai n, dimana n є Z maka hasilnya akan berulang

pada order dari <4> sehingga <4> tertutup terhadap operasi di Z8 akibatnya <4>

merupakan subgrup dari Z8.

Ternyata subgrup dari Z8 adalah <2> dan <4> dimana <2> = {0, 2, 4, 6} dan <4>

= {0, 4}. <2> dan <4> merupakan subgrup sejati nontrivial dari Z8.

Sehingga, diagram lattice-nya adalah:

7) Menentukan lattice subgroup untuk U(12)

Jawaban :

U(12) = {1, 5, 7, 11}

<1> = {1}

<5> = {1, 5}

<7> = {1, 7}

26

<11> = {1, 11}

Sehingga, grup latticenya adalah :

8) Menentukan lattice subgroup untuk U(14)

Jawaban :

U(14) = {1, 3, 5, 7, 11, 13}

<1> = {1}

<3> = {1, 3, 5, 7, 11, 13}

<5> = {1, 3, 5, 7, 11, 13}

<9> = {1, 9, 11}

<11> = {1, 9, 11}

<13> = {1, 13}

Sehingga, grup latticenya adalah :

U(12)

<5> <11> <7>

<1>

U(14) = <3> = <5>

<9> = <11> <13

>

<1>