KOSET SUATU GRUPdan

TEORI LAGRANGE

FMIPA-UNS

• Definisi 2.7.1

Bila G grup dan H subgrup dari G, untuk setiap dua unsur a, b dalam G, a dikatakan konkruen dengan b modulo H, ditulis a b (mod H), jika ab-1 H

• Lemma 2.7.2

Bila G suatu grup dan H subgrup dari G. Relasi a b (mod H) untuk setiap a,b unsur dalam G merupakan relasi ekivalensi

Pengertian Koset

• Definisi 2.7.3

Bila H subgrup dalam grup G, a suatu unsur sebarang dalam G, maka himpunan

Ha = { ha/ h H }

disebut Koset kanan dari H dalam G

Koset kiri dinyatakan dengan aH = { ah / h H} yaitu unsur h dikalikan dari kiri dengan a

Contoh

• Grup Z , dengan subgrup H = 4 Z.

Unsur 1 Z tapi 1 4 Z, sehingga dapat dibentuk koset kanan 4 Z + 1.

Dalam hal ini digunakan operasi '+' pada kosetnya, karena Z adl grup terhadap +

Koset-koset lainnya dalam Z: 4Z + 2, 4Z + 3, 4Z

Contoh

• Dalam grup Z6,

Jika H = { 0, 3 } subgrup dari Z6 maka koset dari H dalam Z6 adalah

H + 1 = {1, 4}

H + 2 = {2, 5}

Pada grup yang komutatif koset kanan sama dengan koset kiri, sehingga pada grup komutatif dinamakan koset saja.

• Lemma 2. 7.4

Bila G grup dan H subgrup didalamnya. Koset kanan Ha untuk semua a G adalah sama dengan himpunan { x G / a x . ( mod H ) }

Setiap relasi ekivalensi dalam suatu himpunan akan membentuk partisi yang berupa klas-klas ekivalen.

Karena klas-klas ekivalen merupakan partisi berarti saling lepas,

sehingga koset-koset tersebut hanya mempunyai 2 kemungkinan:

harus saling lepas atau berimpit sepenuhnya.

• Lemma 2.7.5

Bila G suatu grup dan H subgrup di dalam G, maka dua koset yang terbentuk Ha, Hb untuk sebarang a,b G adalah berkorespondensi satu-satu.

Teori Lagrange

• Teorema 2.7.6 ( Teori Lagrange )

Apabila G suatu grup berhingga dan H suatu subgrup dari G, maka orde dari H membagi habis orde dari G atau H/ G

Kebalikan dari teori Lagrange ini tidak berlaku, artinya bila bilangan m membagi habis orde dari grup G, tidak selalu ada subgrup H dari G yang berorde m.

Indeks dari H dalam G

• Definisi 2.7.7

Bila G suatu grup dan H subgrup dari G. Banyaknya koset kanan dari H yang berbeda dalam grup G disebut indeks dari H dalam G dan dinotasikan dengan iG(H).

• Contoh:Dalam Grup Z6, dengan subgrup H = { 0, 3 } berarti H = 2 sedang Z6 = 6, maka iG (H) = 6 / 2 = 3 dan Koset-kosetnya adalah: H, H+1 dan H+2

• Lemma 2.7.8

Misalkan G suatu grup dan a G dengan orde m, maka himpunan

H = { e, a1, a2, . . . ,am-1 }

merupakan subgrup dari G dan H = m = (a)

• Akibat 1

Apabila G grup berhingga dan a G, maka (a) / G

• Akibat 2

Apabila G suatu grup berhingga, maka aG = e

• Definisi 2.7.9

Misalkan (1) = 1, dan untuk sebarang bilangan bulat n > 1, dan (n) menyatakan banyaknya bilangan bulat positif yang kurang dari n dan relatif prim dengan n, maka fungsi (n) dengan n Z disebut fungsi phi Euler

• Akibat 3 (Euler)

Bila n bilangan bulat positif dan a bilangan yang relatif prim dengan n, maka a (n) 1 mod n

• Akibat 4(Fermat)

Apabila p bilangan prima dan a sebarang bilangan bulat maka a p a (mod p)

• Lemma 2.7.10

Bila G suatu grup, H dan K masing-masing subgrup dari G maka HK akan merupakan subgrup dari G jika dan hanya jika HK = KH

• Akibat 5

Apabila G suatu grup abel dengan H dan K subgrup dari G, maka HK juga merupakan subgrup dari G

• Teorema 2.7.11

Bila G grup berhingga, H dan K dua subgrup dari G dengan orde masing-masing H dan K maka banyaknya unsur berbeda dari HK dinyatakan dengan

H.K(HK) =

H K

Latihan soal

1. Bila ab untuk a,b bilangan real adalah pemetaan dari himpunan bilangan real R kedirinya sendiri dengan sifat

ab: x ax + b. Selanjutnya G = { ab / a bukan nol } dan H = { ab G / a rasional}, makaa. Buktikan H subgrup dari Gb. Tulislah semua koset kanan dan koset kiri

dari H dalam G. Apakah koset kanan = koset kiri ?

Latihan soal

2. Bila G grup seperti soal 1, dan N = { 1b G} Buktikan:

a. N merupakan subgrup dari G

b. Bila a G dan n N, maka ana-1 N

3. Bila G grup dan H subgrup, selanjutnya bila setiap koset kanan H dalam G juga merupakan koset kiri dari H dalam G, maka buktikan aHa-1 = H, untuk setiap a G