matrikx grup
TRANSCRIPT
-
7/28/2019 MATRIKX GRUP
1/18
KONSUL
SOAL KOGRUPOID
OLEH
NIKODEMUS O. ATIE PHELIPUS MERE
ICHSAN A. PRADANA YANES A. MALELAK
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
JURUSAN PENDIDIKAN MIPA
UNIVERSITAS NUSA CENDANA
KUPANG
2013
ASI KE 3 STRUKTUR ALJABAR
NSULTASI STRUKTUR ALJABAR, SEMI GRUP , MONOID , DAN GR
( Matris orde 2 x 2 )
OLEH
NIKODEMUS O. ATIE PHELIPUS MERE
ICHSAN A. PRADANA YANES A. MALELAK
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
JURUSAN PENDIDIKAN MIPA
UNIVERSITAS NUSA CENDANA
KUPANG
2013
1
1P
OLEH
NIKODEMUS O. ATIE PHELIPUS MERE
ICHSAN A. PRADANA YANES A. MALELAK
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
JURUSAN PENDIDIKAN MIPA
UNIVERSITAS NUSA CENDANA
KUPANG
2013
-
7/28/2019 MATRIKX GRUP
2/18
KONSULTASI KE 3 STRUKTUR ALJABAR 1
Apakah himpunan matriks berikut dengan operasi perkalian matriks merupakan grup ?
1. =0
0 0|
Ambil0
0 0,
0
0 0
Akan ditunjukkan bahwa0
0 0
0
0 0
0
0 0
0
0 0=
0
0 0
Karena , , maka , sehingga0
0 0
Ini berarti0
0 0
0
0 0 (bersifat TERTUTUP)
Jadi, , GRUPOID
Ambil0
0 0,
0
0 0,
0
0 0
Akan ditunjukkan bahwa0
0 0
0
0 0
00 0
=0
0 0
0
0 0
00 0
0
0 0
0
0 0
0
0 0=
0
0 0
0
0 0
= 00 0
=0
0 0
0
0 0
=0
0 0
0
0 0
00 0
Ini berarti0
0 0
0
0 0
0
0 0=
0
0 0
0
0 0
0
0 0(ASOSIATIF)
Jadi, , SEMIGRUP
Ambil0
0 0,
0
0 0
Misalkan0
0 0adalah unkes kiri di A, maka
0
0 0
0
0 0=
0
0 0
0
0 0=
00 0
=
-
7/28/2019 MATRIKX GRUP
3/18
KONSULTASI KE 3 STRUKTUR ALJABAR 1
= 1
Sehingga1 00 0
adalah unsur kesatuan kiri di A
1 0
0 0
0
0 0=
0
0 0=
0
0 0
1 0
0 0
Ini berarti1 00 0
merupakan unsur kesatuan di A
Jadi, , MONOID
Ambil0
0 0,
0
0 0
Misalkan0
0 0adalah invers kiri dari
00 0
00 0 00 0 = 1 00 0
0
0 0=
1 0
0 0
= 1
=1
Sehingga invers kiri dari0
0 0adalah
0
0 0
10
0 0
0
0 0=
1 0
0 0=
0
0 0
10
0 0
Namun, 0
0 0
0
0 0
0 00 0
1 00 0
Dan karena tidak terdefinisi, maka , sehingga0
0 0A
Jadi, , BUKAN SEBUAH GRUP
2. =0
0 0| , 0
Ambil0
0 0,
0
0 0
Akan ditunjukkan bahwa0
0 0
0
0 0
00 0
0
0 0=
0
0 0
Karena , , maka , sehingga 00 0
-
7/28/2019 MATRIKX GRUP
4/18
KONSULTASI KE 3 STRUKTUR ALJABAR 1
Ini berarti0
0 0
0
0 0 (bersifat TERTUTUP)
Jadi, , GRUPOID
Ambil 00 0
, 00 0
, 00 0
Akan ditunjukkan bahwa0
0 0
0
0 0
0
0 0=
0
0 0
0
0 0
0
0 0
00 0
0
0 0
00 0
=0
0 0
00 0
=0
0 0
= 00 0 00 0
=0
0 0
0
0 0
00 0
Ini berarti0
0 0
0
0 0
00 0
=0
0 0
0
0 0
00 0
(ASOSIATIF)
Jadi, , SEMIGRUP
Ambil0
0 0
,0
0 0
Misalkan0
0 0adalah unkes kiri di B, maka
0
0 0
0
0 0=
0
0 0
0
0 0=
0
0 0
=
= 1
Sehingga 1 00 0
adalah unsur kesatuan kiri di B
1 0
0 0
0
0 0=
0
0 0=
0
0 0
1 0
0 0
Ini berarti1 00 0
merupakan unsur kesatuan di B
Jadi, , MONOID
Ambil
0
0 0 ,
0
0 0
-
7/28/2019 MATRIKX GRUP
5/18
KONSULTASI KE 3 STRUKTUR ALJABAR 1
Misalkan0
0 0adalah invers kiri dari
00 0
0
0 0
00 0
=1 00 0
0
0 0 =
1 0
0 0
= 1
=1
Sehingga invers kiri dari0
0 0adalah
0
0 0
10
0 0
0
0 0=
1 00 0
=0
0 0
10
0 0
Ini berarti0
0 0invers dari
00 0
, 0
Jadi, , SEBUAH GRUP
3. =1
0 1|
Ambil10 1
,1
0 1
Akan ditunjukkan bahwa10 1
1
0 1
10 1
1
0 1=
1 +
0 1
Karena , , maka + , sehingga1 +
0 1
Ini berarti1
0 1
1
0 1 (bersifat TERTUTUP)
Jadi, , GRUPOID
Ambil10 1
,1
0 1,
10 1
Akan ditunjukkan bahwa10 1
1
0 1
10 1
=10 1
1
0 1
10 1
10 1
1
0 1
10 1
=1 +
0 1
10 1
=1 + +
0 1
-
7/28/2019 MATRIKX GRUP
6/18
KONSULTASI KE 3 STRUKTUR ALJABAR 1
=10 1
1 +
0 1
=10 1
1
0 1
10 1
Ini berarti
1
0 1
1
0 1
1
0 1 =
1
0 1
1
0 1
1
0 1 (ASOSIATIF)
Jadi, , SEMIGRUP
Ambil1
0 1,
1
0 1
Misalkan1
0 1adalah unkes kiri di C, maka
1
0 1
10 1
=10 1
1 +
0 1=
10 1
+ =
= 0
Sehingga1 0
0 1adalah unsur kesatuan kiri di C
1 00 1
10 1
=10 1
=10 1
1 00 1
Ini berarti 1 00 1 merupakan unsur kesatuan di C
Jadi, , MONOID
Ambil10 1
,1
0 1
Misalkan1
0 1adalah invers kiri dari
10 1
1
0 1
1
0 1
=1 0
0 11 +
0 1=
1 0
0 1
+ = 0
=
Sehingga invers kiri dari10 1
adalah1 0 1
1
0 1
1
0 1=
1 0
0 1=
1
0 1
1
0 1
Ini berarti 1 0 1
invers dari 10 1
-
7/28/2019 MATRIKX GRUP
7/18
KONSULTASI KE 3 STRUKTUR ALJABAR 1
Jadi, , SEBUAH GRUP
4. =
0 0
0 | , 0
Ambil0 0
0,
0 00
Akan ditunjukkan bahwa0 0
0
0 0
0
0 00
0 0
0=
0 00 0
0 0
0 0 , maka
0 0
0
0 0
0 (TIDAK bersifat TERTUTUP)
Jadi, , BUKAN GRUPOID
5. =0
0| , , 0
Ambil0
0,
00
Akan ditunjukkan bahwa0
0
0
0
00
0
0=
00
Karena , , , , maka , , dan karena , 0, maka 0, sehingga
0
0
Ini berarti0
0
00
(bersifat TERTUTUP)
Jadi, , GRUPOID
Ambil0
0
,0
0
,0
0
Akan ditunjukkan bahwa0
0
0
0
0
0=
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
00
=0
0
00
=0
0
=
0
0
0
0
-
7/28/2019 MATRIKX GRUP
8/18
KONSULTASI KE 3 STRUKTUR ALJABAR 1
=0
0
00
0
0
Ini berarti0
0
0
0
0
0=
0
0
0
0
0
0(ASOSIATIF)
Jadi, , SEMIGRUP
Ambil0
0,
00
Misalkan0
0adalah unkes kiri di E, maka
00
0
0=
00
0
0=
0
0
=
= 1
=
= 1
Sehingga1 00 1
adalah unsur kesatuan kiri di E
1 00 1
0
0=
00
=0
0
1 00 1
Ini berarti1 0
0 1merupakan unsur kesatuan di E
Jadi, , MONOID
Ambil0
0,
0
0
Misalkan0
0adalah invers kiri dari
00
0
0
0
0=
1 0
0 1
00
=1 00 1
= 1
=1
= 1
=1
Sehingga invers kiri dari0
0adalah
0
0
10
0 1
0
0
=1 0
0 1
=0
0
10
0 1
-
7/28/2019 MATRIKX GRUP
9/18
KONSULTASI KE 3 STRUKTUR ALJABAR 1
Ini berarti0
0invers dari
0
0 , , 0
Jadi, , SEBUAH GRUP
6. = | , , ,
Ambil ,
Akan ditunjukkan bahwa
=+ +
+ +
Karena , , , , , , , , maka + , + , + , + , sehingga
+ +
+ +
Ini berarti
(bersifat TERTUTUP)
Jadi, , GRUPOID
Ambil , ,
Akan ditunjukkan bahwa
=
=+ +
+ +
=+ + + + + +
+ + + + + +
= + ++ +
=
Ini berarti
=
(ASOSIATIF)
Jadi, , SEMIGRUP
Ambil ,
-
7/28/2019 MATRIKX GRUP
10/18
KONSULTASI KE 3 STRUKTUR ALJABAR 1
Misalkan
adalah unkes kiri di F, maka
=
+ ++ + =
Diperoleh :
+ = ...(i)
+ = ...(ii)
+ = ...(iii)
+ = ...(iv)
Persamaan (i) + persamaan (ii) :
+ =
+ =
+ + + = +
( + ) + ( + ) = +
( + ) = +
= 1
( + ) = 0
yang menyebabkan 0 bukanlah + , sehingga = 0
Persamaan (iii) + persamaan (iv) :
+ =
+ =
+ + + = +
( + ) + ( + ) = +
( + ) = +
= 1
( + ) = 0
yang menyebabkan 0 bukanlah + , sehingga = 0
Sehingga 1 00 1
adalah unsur kesatuan kiri di F
+
+
-
7/28/2019 MATRIKX GRUP
11/18
KONSULTASI KE 3 STRUKTUR ALJABAR 1
1 00 1
= = 1 00 1
Ini berarti1 00 1
merupakan unsur kesatuan di F
Jadi, , MONOID
Ambil ,
Misalkan
adalah invers kiri dari
=
1 00 1
+ +
+ + =
1 0
0 1
Diperoleh :
+ = 1 ...(i)
+ = 0 ...(ii)
+ = 0 ...(iii)
+ = 1 ...(iv)
Daripada menyelesaikan sistem persamaan ini, lebih baik jika invers dari dicari
menggunakan Operasi Baris Elementer (OBE) :
1 00 1
~ 11
0
0 1
~1
0
10
1
~ 1
0 1
10
~1 00 1
1
-
7/28/2019 MATRIKX GRUP
12/18
KONSULTASI KE 3 STRUKTUR ALJABAR 1
=1 00 1
Sehingga invers dari adalah
Namun, karena , maka
Jadi, , BUKAN SEBUAH GRUP
7. = | , , ,
Ambil ,
Akan ditunjukkan bahwa
=+ + + +
Karena , , , , , , , , maka + , + , + , + , sehingga
+ + + +
Ini berarti
(bersifat TERTUTUP)
Jadi, , GRUPOID
Ambil ,
,
Akan ditunjukkan bahwa
=
=+ +
+ +
=+ + + + + + + + + + + +
= + ++ +
=
Ini berarti
=
(ASOSIATIF)
Jadi, , SEMIGRUP
-
7/28/2019 MATRIKX GRUP
13/18
KONSULTASI KE 3 STRUKTUR ALJABAR 1
Ambil ,
Misalkan
adalah unkes kiri di G, maka
=
+ ++ +
=
Diperoleh :
+ = ...(i)
+ = ...(ii)
+ = ...(iii)+ = ...(iv)
Persamaan (i) + persamaan (ii) :
+ =
+ =
+ + + = +
( + ) + ( + ) = +
( + ) = +
= 1
( + ) = 0
Yang menyebabkan 0 bukanlah + , sehingga = 0
Persamaan (iii) + persamaan (iv) :
+ =
+ =
+ + + = +
( + ) + ( + ) = +
( + ) = +
= 1
( + ) = 0
Yang menyebabkan 0 bukanlah + , sehingga = 0
+
+
-
7/28/2019 MATRIKX GRUP
14/18
KONSULTASI KE 3 STRUKTUR ALJABAR 1
Sehingga1 00 1
adalah unsur kesatuan kiri di G
1 00 1
= = 1 00 1
Ini berarti 1 00 1merupakan unsur kesatuan di G
Jadi, , MONOID
Ambil ,
Misalkan
adalah invers kiri dari
=1 00 1
+ ++ +
=1 00 1
Diperoleh :
+ = 1 ...(i)
+ = 0 ...(ii)
+ = 0 ...(iii)
+ = 1 ...(iv)
Daripada menyelesaikan sistem persamaan ini, lebih baik jika invers dari dicari
menggunakan Operasi Baris Elementer (OBE) :
1 00 1
~ 11
0
0 1
~1
0
10
1
~ 1
0 1
10
~ 1 00 1
1
-
7/28/2019 MATRIKX GRUP
15/18
KONSULTASI KE 3 STRUKTUR ALJABAR 1
=1 00 1
Sehingga invers dari adalah
1
=
1 00 1
= 1
Namun, untuk = 0,
1 00 1
Dan karena tidak terdefinisi, maka , sehingga
G
Jadi, , BUKAN SEBUAH GRUP
8. = | , , , , 0
Ambil ,
Akan ditunjukkan bahwa
=+ + + +
Karena , , , , , , , , maka + , + , + , + , dan karena
, 0, maka ( + )( + ) ( + )( + ) 0, sehingga
+ +
+ +
Ini berarti
(bersifat TERTUTUP)
Jadi, , GRUPOID
Ambil ,
,
Akan ditunjukkan bahwa
=
-
7/28/2019 MATRIKX GRUP
16/18
KONSULTASI KE 3 STRUKTUR ALJABAR 1
=+ + + +
=+ + + + + + + + + + + +
= + ++ +
=
Ini berarti
=
(ASOSIATIF)
Jadi, , SEMIGRUP
Ambil ,
Misalkan
adalah unkes kiri di H, maka
=
+ ++ +
=
Diperoleh :
+ = ...(i)
+ = ...(ii)
+ = ...(iii)
+ = ...(iv)
Persamaan (i) + persamaan (ii) :
+ =
+ =
+ + + = +
( + ) + ( + ) = +
( + ) = +
= 1
( + ) = 0
Yang menyebabkan 0 bukanlah + , sehingga = 0
Persamaan (iii) + persamaan (iv) :
+
-
7/28/2019 MATRIKX GRUP
17/18
KONSULTASI KE 3 STRUKTUR ALJABAR 1
+ =
+ =
+ + + = +
( + ) + ( + ) = +
( + ) = +
= 1
( + ) = 0
Yang menyebabkan 0 bukanlah + , sehingga = 0
Sehingga 1 00 1
adalah unsur kesatuan kiri di H
1 00 1
= = 1 00 1
Ini berarti1 00 1
merupakan unsur kesatuan di H
Jadi, , MONOID
Ambil ,
Misalkan
adalah invers kiri dari
=
1 00 1
+ ++ +
=1 00 1
Diperoleh :
+ = 1 ...(i)
+ = 0 ...(ii)
+ = 0 ...(iii)
+ = 1 ...(iv)
Daripada menyelesaikan sistem persamaan ini, lebih baik jika invers dari dicari
menggunakan Operasi Baris Elementer (OBE) :
+
-
7/28/2019 MATRIKX GRUP
18/18
KONSULTASI KE 3 STRUKTUR ALJABAR 1
1 00 1
~ 11
0
0 1
~
1
0
10
1
~ 1
0 1
10
~1 00 1
1
=1 00 1
Sehingga invers dari adalah
, , , dan 0
Jadi, , merupakan SEBUAH GRUP
KESIMPULAN :
Suatu matriks 2 x 2 dikatakan grup apabila memiliki sifat tertutup , monoid ,
semigrup , unkes , dan invers
Suatu matris 2 x 2 dikatakan bukan grup apabila salah satu sifat dari grup tidakdipenuhi.
Sebagai contoh : matriks D = | , , matriks ini gagal sebagai
grup karena tidak bersifat tertutup dimana apabila dikenakan operasi asosiatif
maka akan menghasilkan suatu elemen elemen baru yang bukan anggota dari
matriks tersebut