matrikx grup

Upload: phelipus-mere

Post on 14-Apr-2018

237 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

  • 7/28/2019 MATRIKX GRUP

    1/18

    KONSUL

    SOAL KOGRUPOID

    OLEH

    NIKODEMUS O. ATIE PHELIPUS MERE

    ICHSAN A. PRADANA YANES A. MALELAK

    FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

    JURUSAN PENDIDIKAN MIPA

    UNIVERSITAS NUSA CENDANA

    KUPANG

    2013

    ASI KE 3 STRUKTUR ALJABAR

    NSULTASI STRUKTUR ALJABAR, SEMI GRUP , MONOID , DAN GR

    ( Matris orde 2 x 2 )

    OLEH

    NIKODEMUS O. ATIE PHELIPUS MERE

    ICHSAN A. PRADANA YANES A. MALELAK

    FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

    JURUSAN PENDIDIKAN MIPA

    UNIVERSITAS NUSA CENDANA

    KUPANG

    2013

    1

    1P

    OLEH

    NIKODEMUS O. ATIE PHELIPUS MERE

    ICHSAN A. PRADANA YANES A. MALELAK

    FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

    JURUSAN PENDIDIKAN MIPA

    UNIVERSITAS NUSA CENDANA

    KUPANG

    2013

  • 7/28/2019 MATRIKX GRUP

    2/18

    KONSULTASI KE 3 STRUKTUR ALJABAR 1

    Apakah himpunan matriks berikut dengan operasi perkalian matriks merupakan grup ?

    1. =0

    0 0|

    Ambil0

    0 0,

    0

    0 0

    Akan ditunjukkan bahwa0

    0 0

    0

    0 0

    0

    0 0

    0

    0 0=

    0

    0 0

    Karena , , maka , sehingga0

    0 0

    Ini berarti0

    0 0

    0

    0 0 (bersifat TERTUTUP)

    Jadi, , GRUPOID

    Ambil0

    0 0,

    0

    0 0,

    0

    0 0

    Akan ditunjukkan bahwa0

    0 0

    0

    0 0

    00 0

    =0

    0 0

    0

    0 0

    00 0

    0

    0 0

    0

    0 0

    0

    0 0=

    0

    0 0

    0

    0 0

    = 00 0

    =0

    0 0

    0

    0 0

    =0

    0 0

    0

    0 0

    00 0

    Ini berarti0

    0 0

    0

    0 0

    0

    0 0=

    0

    0 0

    0

    0 0

    0

    0 0(ASOSIATIF)

    Jadi, , SEMIGRUP

    Ambil0

    0 0,

    0

    0 0

    Misalkan0

    0 0adalah unkes kiri di A, maka

    0

    0 0

    0

    0 0=

    0

    0 0

    0

    0 0=

    00 0

    =

  • 7/28/2019 MATRIKX GRUP

    3/18

    KONSULTASI KE 3 STRUKTUR ALJABAR 1

    = 1

    Sehingga1 00 0

    adalah unsur kesatuan kiri di A

    1 0

    0 0

    0

    0 0=

    0

    0 0=

    0

    0 0

    1 0

    0 0

    Ini berarti1 00 0

    merupakan unsur kesatuan di A

    Jadi, , MONOID

    Ambil0

    0 0,

    0

    0 0

    Misalkan0

    0 0adalah invers kiri dari

    00 0

    00 0 00 0 = 1 00 0

    0

    0 0=

    1 0

    0 0

    = 1

    =1

    Sehingga invers kiri dari0

    0 0adalah

    0

    0 0

    10

    0 0

    0

    0 0=

    1 0

    0 0=

    0

    0 0

    10

    0 0

    Namun, 0

    0 0

    0

    0 0

    0 00 0

    1 00 0

    Dan karena tidak terdefinisi, maka , sehingga0

    0 0A

    Jadi, , BUKAN SEBUAH GRUP

    2. =0

    0 0| , 0

    Ambil0

    0 0,

    0

    0 0

    Akan ditunjukkan bahwa0

    0 0

    0

    0 0

    00 0

    0

    0 0=

    0

    0 0

    Karena , , maka , sehingga 00 0

  • 7/28/2019 MATRIKX GRUP

    4/18

    KONSULTASI KE 3 STRUKTUR ALJABAR 1

    Ini berarti0

    0 0

    0

    0 0 (bersifat TERTUTUP)

    Jadi, , GRUPOID

    Ambil 00 0

    , 00 0

    , 00 0

    Akan ditunjukkan bahwa0

    0 0

    0

    0 0

    0

    0 0=

    0

    0 0

    0

    0 0

    0

    0 0

    00 0

    0

    0 0

    00 0

    =0

    0 0

    00 0

    =0

    0 0

    = 00 0 00 0

    =0

    0 0

    0

    0 0

    00 0

    Ini berarti0

    0 0

    0

    0 0

    00 0

    =0

    0 0

    0

    0 0

    00 0

    (ASOSIATIF)

    Jadi, , SEMIGRUP

    Ambil0

    0 0

    ,0

    0 0

    Misalkan0

    0 0adalah unkes kiri di B, maka

    0

    0 0

    0

    0 0=

    0

    0 0

    0

    0 0=

    0

    0 0

    =

    = 1

    Sehingga 1 00 0

    adalah unsur kesatuan kiri di B

    1 0

    0 0

    0

    0 0=

    0

    0 0=

    0

    0 0

    1 0

    0 0

    Ini berarti1 00 0

    merupakan unsur kesatuan di B

    Jadi, , MONOID

    Ambil

    0

    0 0 ,

    0

    0 0

  • 7/28/2019 MATRIKX GRUP

    5/18

    KONSULTASI KE 3 STRUKTUR ALJABAR 1

    Misalkan0

    0 0adalah invers kiri dari

    00 0

    0

    0 0

    00 0

    =1 00 0

    0

    0 0 =

    1 0

    0 0

    = 1

    =1

    Sehingga invers kiri dari0

    0 0adalah

    0

    0 0

    10

    0 0

    0

    0 0=

    1 00 0

    =0

    0 0

    10

    0 0

    Ini berarti0

    0 0invers dari

    00 0

    , 0

    Jadi, , SEBUAH GRUP

    3. =1

    0 1|

    Ambil10 1

    ,1

    0 1

    Akan ditunjukkan bahwa10 1

    1

    0 1

    10 1

    1

    0 1=

    1 +

    0 1

    Karena , , maka + , sehingga1 +

    0 1

    Ini berarti1

    0 1

    1

    0 1 (bersifat TERTUTUP)

    Jadi, , GRUPOID

    Ambil10 1

    ,1

    0 1,

    10 1

    Akan ditunjukkan bahwa10 1

    1

    0 1

    10 1

    =10 1

    1

    0 1

    10 1

    10 1

    1

    0 1

    10 1

    =1 +

    0 1

    10 1

    =1 + +

    0 1

  • 7/28/2019 MATRIKX GRUP

    6/18

    KONSULTASI KE 3 STRUKTUR ALJABAR 1

    =10 1

    1 +

    0 1

    =10 1

    1

    0 1

    10 1

    Ini berarti

    1

    0 1

    1

    0 1

    1

    0 1 =

    1

    0 1

    1

    0 1

    1

    0 1 (ASOSIATIF)

    Jadi, , SEMIGRUP

    Ambil1

    0 1,

    1

    0 1

    Misalkan1

    0 1adalah unkes kiri di C, maka

    1

    0 1

    10 1

    =10 1

    1 +

    0 1=

    10 1

    + =

    = 0

    Sehingga1 0

    0 1adalah unsur kesatuan kiri di C

    1 00 1

    10 1

    =10 1

    =10 1

    1 00 1

    Ini berarti 1 00 1 merupakan unsur kesatuan di C

    Jadi, , MONOID

    Ambil10 1

    ,1

    0 1

    Misalkan1

    0 1adalah invers kiri dari

    10 1

    1

    0 1

    1

    0 1

    =1 0

    0 11 +

    0 1=

    1 0

    0 1

    + = 0

    =

    Sehingga invers kiri dari10 1

    adalah1 0 1

    1

    0 1

    1

    0 1=

    1 0

    0 1=

    1

    0 1

    1

    0 1

    Ini berarti 1 0 1

    invers dari 10 1

  • 7/28/2019 MATRIKX GRUP

    7/18

    KONSULTASI KE 3 STRUKTUR ALJABAR 1

    Jadi, , SEBUAH GRUP

    4. =

    0 0

    0 | , 0

    Ambil0 0

    0,

    0 00

    Akan ditunjukkan bahwa0 0

    0

    0 0

    0

    0 00

    0 0

    0=

    0 00 0

    0 0

    0 0 , maka

    0 0

    0

    0 0

    0 (TIDAK bersifat TERTUTUP)

    Jadi, , BUKAN GRUPOID

    5. =0

    0| , , 0

    Ambil0

    0,

    00

    Akan ditunjukkan bahwa0

    0

    0

    0

    00

    0

    0=

    00

    Karena , , , , maka , , dan karena , 0, maka 0, sehingga

    0

    0

    Ini berarti0

    0

    00

    (bersifat TERTUTUP)

    Jadi, , GRUPOID

    Ambil0

    0

    ,0

    0

    ,0

    0

    Akan ditunjukkan bahwa0

    0

    0

    0

    0

    0=

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    00

    =0

    0

    00

    =0

    0

    =

    0

    0

    0

    0

  • 7/28/2019 MATRIKX GRUP

    8/18

    KONSULTASI KE 3 STRUKTUR ALJABAR 1

    =0

    0

    00

    0

    0

    Ini berarti0

    0

    0

    0

    0

    0=

    0

    0

    0

    0

    0

    0(ASOSIATIF)

    Jadi, , SEMIGRUP

    Ambil0

    0,

    00

    Misalkan0

    0adalah unkes kiri di E, maka

    00

    0

    0=

    00

    0

    0=

    0

    0

    =

    = 1

    =

    = 1

    Sehingga1 00 1

    adalah unsur kesatuan kiri di E

    1 00 1

    0

    0=

    00

    =0

    0

    1 00 1

    Ini berarti1 0

    0 1merupakan unsur kesatuan di E

    Jadi, , MONOID

    Ambil0

    0,

    0

    0

    Misalkan0

    0adalah invers kiri dari

    00

    0

    0

    0

    0=

    1 0

    0 1

    00

    =1 00 1

    = 1

    =1

    = 1

    =1

    Sehingga invers kiri dari0

    0adalah

    0

    0

    10

    0 1

    0

    0

    =1 0

    0 1

    =0

    0

    10

    0 1

  • 7/28/2019 MATRIKX GRUP

    9/18

    KONSULTASI KE 3 STRUKTUR ALJABAR 1

    Ini berarti0

    0invers dari

    0

    0 , , 0

    Jadi, , SEBUAH GRUP

    6. = | , , ,

    Ambil ,

    Akan ditunjukkan bahwa

    =+ +

    + +

    Karena , , , , , , , , maka + , + , + , + , sehingga

    + +

    + +

    Ini berarti

    (bersifat TERTUTUP)

    Jadi, , GRUPOID

    Ambil , ,

    Akan ditunjukkan bahwa

    =

    =+ +

    + +

    =+ + + + + +

    + + + + + +

    = + ++ +

    =

    Ini berarti

    =

    (ASOSIATIF)

    Jadi, , SEMIGRUP

    Ambil ,

  • 7/28/2019 MATRIKX GRUP

    10/18

    KONSULTASI KE 3 STRUKTUR ALJABAR 1

    Misalkan

    adalah unkes kiri di F, maka

    =

    + ++ + =

    Diperoleh :

    + = ...(i)

    + = ...(ii)

    + = ...(iii)

    + = ...(iv)

    Persamaan (i) + persamaan (ii) :

    + =

    + =

    + + + = +

    ( + ) + ( + ) = +

    ( + ) = +

    = 1

    ( + ) = 0

    yang menyebabkan 0 bukanlah + , sehingga = 0

    Persamaan (iii) + persamaan (iv) :

    + =

    + =

    + + + = +

    ( + ) + ( + ) = +

    ( + ) = +

    = 1

    ( + ) = 0

    yang menyebabkan 0 bukanlah + , sehingga = 0

    Sehingga 1 00 1

    adalah unsur kesatuan kiri di F

    +

    +

  • 7/28/2019 MATRIKX GRUP

    11/18

    KONSULTASI KE 3 STRUKTUR ALJABAR 1

    1 00 1

    = = 1 00 1

    Ini berarti1 00 1

    merupakan unsur kesatuan di F

    Jadi, , MONOID

    Ambil ,

    Misalkan

    adalah invers kiri dari

    =

    1 00 1

    + +

    + + =

    1 0

    0 1

    Diperoleh :

    + = 1 ...(i)

    + = 0 ...(ii)

    + = 0 ...(iii)

    + = 1 ...(iv)

    Daripada menyelesaikan sistem persamaan ini, lebih baik jika invers dari dicari

    menggunakan Operasi Baris Elementer (OBE) :

    1 00 1

    ~ 11

    0

    0 1

    ~1

    0

    10

    1

    ~ 1

    0 1

    10

    ~1 00 1

    1

  • 7/28/2019 MATRIKX GRUP

    12/18

    KONSULTASI KE 3 STRUKTUR ALJABAR 1

    =1 00 1

    Sehingga invers dari adalah

    Namun, karena , maka

    Jadi, , BUKAN SEBUAH GRUP

    7. = | , , ,

    Ambil ,

    Akan ditunjukkan bahwa

    =+ + + +

    Karena , , , , , , , , maka + , + , + , + , sehingga

    + + + +

    Ini berarti

    (bersifat TERTUTUP)

    Jadi, , GRUPOID

    Ambil ,

    ,

    Akan ditunjukkan bahwa

    =

    =+ +

    + +

    =+ + + + + + + + + + + +

    = + ++ +

    =

    Ini berarti

    =

    (ASOSIATIF)

    Jadi, , SEMIGRUP

  • 7/28/2019 MATRIKX GRUP

    13/18

    KONSULTASI KE 3 STRUKTUR ALJABAR 1

    Ambil ,

    Misalkan

    adalah unkes kiri di G, maka

    =

    + ++ +

    =

    Diperoleh :

    + = ...(i)

    + = ...(ii)

    + = ...(iii)+ = ...(iv)

    Persamaan (i) + persamaan (ii) :

    + =

    + =

    + + + = +

    ( + ) + ( + ) = +

    ( + ) = +

    = 1

    ( + ) = 0

    Yang menyebabkan 0 bukanlah + , sehingga = 0

    Persamaan (iii) + persamaan (iv) :

    + =

    + =

    + + + = +

    ( + ) + ( + ) = +

    ( + ) = +

    = 1

    ( + ) = 0

    Yang menyebabkan 0 bukanlah + , sehingga = 0

    +

    +

  • 7/28/2019 MATRIKX GRUP

    14/18

    KONSULTASI KE 3 STRUKTUR ALJABAR 1

    Sehingga1 00 1

    adalah unsur kesatuan kiri di G

    1 00 1

    = = 1 00 1

    Ini berarti 1 00 1merupakan unsur kesatuan di G

    Jadi, , MONOID

    Ambil ,

    Misalkan

    adalah invers kiri dari

    =1 00 1

    + ++ +

    =1 00 1

    Diperoleh :

    + = 1 ...(i)

    + = 0 ...(ii)

    + = 0 ...(iii)

    + = 1 ...(iv)

    Daripada menyelesaikan sistem persamaan ini, lebih baik jika invers dari dicari

    menggunakan Operasi Baris Elementer (OBE) :

    1 00 1

    ~ 11

    0

    0 1

    ~1

    0

    10

    1

    ~ 1

    0 1

    10

    ~ 1 00 1

    1

  • 7/28/2019 MATRIKX GRUP

    15/18

    KONSULTASI KE 3 STRUKTUR ALJABAR 1

    =1 00 1

    Sehingga invers dari adalah

    1

    =

    1 00 1

    = 1

    Namun, untuk = 0,

    1 00 1

    Dan karena tidak terdefinisi, maka , sehingga

    G

    Jadi, , BUKAN SEBUAH GRUP

    8. = | , , , , 0

    Ambil ,

    Akan ditunjukkan bahwa

    =+ + + +

    Karena , , , , , , , , maka + , + , + , + , dan karena

    , 0, maka ( + )( + ) ( + )( + ) 0, sehingga

    + +

    + +

    Ini berarti

    (bersifat TERTUTUP)

    Jadi, , GRUPOID

    Ambil ,

    ,

    Akan ditunjukkan bahwa

    =

  • 7/28/2019 MATRIKX GRUP

    16/18

    KONSULTASI KE 3 STRUKTUR ALJABAR 1

    =+ + + +

    =+ + + + + + + + + + + +

    = + ++ +

    =

    Ini berarti

    =

    (ASOSIATIF)

    Jadi, , SEMIGRUP

    Ambil ,

    Misalkan

    adalah unkes kiri di H, maka

    =

    + ++ +

    =

    Diperoleh :

    + = ...(i)

    + = ...(ii)

    + = ...(iii)

    + = ...(iv)

    Persamaan (i) + persamaan (ii) :

    + =

    + =

    + + + = +

    ( + ) + ( + ) = +

    ( + ) = +

    = 1

    ( + ) = 0

    Yang menyebabkan 0 bukanlah + , sehingga = 0

    Persamaan (iii) + persamaan (iv) :

    +

  • 7/28/2019 MATRIKX GRUP

    17/18

    KONSULTASI KE 3 STRUKTUR ALJABAR 1

    + =

    + =

    + + + = +

    ( + ) + ( + ) = +

    ( + ) = +

    = 1

    ( + ) = 0

    Yang menyebabkan 0 bukanlah + , sehingga = 0

    Sehingga 1 00 1

    adalah unsur kesatuan kiri di H

    1 00 1

    = = 1 00 1

    Ini berarti1 00 1

    merupakan unsur kesatuan di H

    Jadi, , MONOID

    Ambil ,

    Misalkan

    adalah invers kiri dari

    =

    1 00 1

    + ++ +

    =1 00 1

    Diperoleh :

    + = 1 ...(i)

    + = 0 ...(ii)

    + = 0 ...(iii)

    + = 1 ...(iv)

    Daripada menyelesaikan sistem persamaan ini, lebih baik jika invers dari dicari

    menggunakan Operasi Baris Elementer (OBE) :

    +

  • 7/28/2019 MATRIKX GRUP

    18/18

    KONSULTASI KE 3 STRUKTUR ALJABAR 1

    1 00 1

    ~ 11

    0

    0 1

    ~

    1

    0

    10

    1

    ~ 1

    0 1

    10

    ~1 00 1

    1

    =1 00 1

    Sehingga invers dari adalah

    , , , dan 0

    Jadi, , merupakan SEBUAH GRUP

    KESIMPULAN :

    Suatu matriks 2 x 2 dikatakan grup apabila memiliki sifat tertutup , monoid ,

    semigrup , unkes , dan invers

    Suatu matris 2 x 2 dikatakan bukan grup apabila salah satu sifat dari grup tidakdipenuhi.

    Sebagai contoh : matriks D = | , , matriks ini gagal sebagai

    grup karena tidak bersifat tertutup dimana apabila dikenakan operasi asosiatif

    maka akan menghasilkan suatu elemen elemen baru yang bukan anggota dari

    matriks tersebut