GRUP FAKTOR ( LANJUTAN)

Teorema IX.4 Untuk sebarang integer positif n berlaku (aS)n = an S.Bukti : Akan dibuktikan dengan prinsip induksi. Untuk n = 1 , berlaku (aS)1 = a1S. Berarti teorema benar untuk n = 1. Dianggap bahwa teorema benar untuk n = k. Berarti

(aS)k = ak S. Untuk n = k + 1, berlaku

(aS)k+1 = (aS) (aS)k

= (aS) (akS)= (a . ak)S= ak+1 S.

Terbukti bahwa teorema benar untuk semua bilangan bulat positif n.■

Teorema IX.5 Misalkan G/S sebarang grup faktor. Jika G berhingga maka orde G/S sama

dengan |G| / |S|. Jika G siklik maka G/S siklik. Jika a mempunyai orde berhingga maka

orde dari aS dalam G/S membagi orde dari a.

Jika G Abelian maka G/S Abelian.

Teorema IX.6 Misalkan G/S sebarang grup faktor. Fungsi f : G G/S yang didefinisikan

dengan aturan f(x) = xS merupakan homomorfisma surjektif dari G ke G/S dengan intinya S.

Pemetaan S yang didefinisikan dalam teorema di atas sering dikenal dengan nama homomorfisma alam (natural homorphism) atau homomorfisma kannonik (canonical homomorphism).

Teorema IX.7 Jika G/S siklik dan setiap anggota S

komutatif dengan semua anggota G maka G Abelian.

Teorema IX.8 (Teorema Fundamental dari Homomorfisma Grup).

Jika f : G H homomorfisma grup dengan inti K dan peta f(G) maka G/S isomorfis dengan f(G).

Bukti : Definisikan fungsi g : G/K f(G) dengan g(aK) = f(a). Telah dibuktikan bahwa g bijektif sehingga tinggal

membuktikan bahwa g homomorfisma.Pada satu sisi,

g(aK bK) = g(abK) = f (ab) = f(a) f(b)dan pada sisi lain,

g(aK) g(bK) = f(a) . f(b)sehingga g(aK bK) = g(aK) g(bK) untuk semua koset aK

dan bK. ■

Contoh IX.6 : Misalkan T = { x dalam C* | Abs(x) = 1 }. Mudah dibuktikan bahwa fungsi Abs : C*

R* merupakan homomorfisma. Karena 1 identitas dalam R* dan T =

Ker(Abs) maka dengan menggunakan teorema fundamental homorfisma diperoleh bahwa C*/T isomorfis dengan peta dari fungsi Abs yaitu R+.

Oleh karena itu C*/T sehingga C*/T juga mempunyai sifat-sifat yang dimiliki R+.

Jadi R+ grup abelian tidak siklik, ordenya tak hingga dan mempunyai anggota dengan orde 1 atau .■

Isomorfisma

Suatu grup yang nampaknya berbeda secara esensi dapat sama. Secara intuisi ide bahwa dua grup secara esensi sama akan menuju pada pemikiran tentang konsep isomorfisma.

Definisi IX.3 Misalkan < G, * > dan < H, . > grup. Grup

G isomorfis dengan H jika terdapat fungsi f : G H sehingga f injektif, f surjektif, f homomorfisma maka f dikatakan isomorfisma.

Teorema IX.9 Misalkan grup G dan H isomorfis. Sifat-sifat

berikut ini berlaku : Grup G dan H mempunyai orde yang sama. Grup G dan H keduanya abelian atau tidak

abelian. Grup G dan H keduanya siklik atau tidak

siklik.

Contoh IX.7 : Diketahui Grup Z4 dan Z8*. Kedua grup mempunyai orde 4 dan

abelian tetapi Z4 = (1) siklik sedangkan Z8* tidak siklik karena tidak ada anggotanya yang mempunyai orde 4.

Oleh karena itu Z4 tidak isomorfis dengan Z8*.

Teorema IX.10 Sebarang grup siklik tak berhingga

isomorfis dengan Z. Sebarang grup siklik berhingga orde n

isomorfis dengan Zn.

LATIHAN Misalkan S = { (1), (2) } dan anggap bahwa

semua koset aS untuk a dalam Z4. Berikan contoh khusus untuk menunjukkan

bahwa pergandaan koset aS . bS = ab S tidak terdefinisikan dengan baik.

Tunjukan bahwa tidak ada dua dari himpunan-himpunan ini yang isomorfis : R*, R+ dan C*.

Bukti bahwa fungsi-fungsi berikut suatu isomorfisma. f : Z100 Z100 dengan f(x) = 3x.h : Z10* Z10* dengan h(x) = x3.

Tunjukkan bahwa fungsi berikut mengawetkan operasi tetapi tidak surjektif maupun injektif. f : Z100 Z100 dengan f(x) = 2x.h : Z10* Z10* dengan h(x) = x2.

Didefinisikan f : R R dengan f(x) = -3x. Buktikan bahwa f suatu automorfisma R yaitu isomorfisma dari R ke R.

Misalkan G sebarang grup dan b anggota G.

Didefinisikan fb : G G dengan aturan fb(x) = b-1 x b.

Tunjukkan bahwa fb suatu automorfisma dari G.

Diketahui grup faktor Z6/S dengan S = { 0,3 }. Tentukan order dari grup faktor dan order dari elemen-elemen dalam Z6/S. Apakah Z6/S siklik ?

Diketahui grup faktor f : Z7* Z7* dengan

f(x) = x2. Tentukan Im(f) dan K=Ker(f). Apakah Z7*/K isomorfis dengan f(Z7*) = Im(f) ?

Misalkan S = { A M22* | det(A) = 1 }. Buktikan bahwa S grup bagian normal dari M22*.

TERIMA

KASIH