HOMOMORPHISMA GRUPBab ini merupakan awal dari bagian kedua materi perkuliahan Struktur Aljabar I. Setelah pada bagian pertama dibahas tentang grup, sifat-sifat dan macamnya, maka pada bagian kedua ini dibahas tentang fungsi yang akan menghubungkan sebuah grup dengan grup lainnya. Pada bab ini disajikan pengertian homomor sma, sifat-sifat dan macamnya.

HomomorphismaPada bab-bab terdahulu telah dibahas tentang suatu struktur aljabar yang disebut sebagai grup, sifat-sifat dan macamnya. Pada bab ini akan dibahas mengenai pemetaan antar grup. Misalkan G dan G adalah grup, maka pemetaan yang dimaksudkan adalah : G ! G yang menghubungkan grup G dengan grup G . Dari sini akan nampak jelas bahwa struktur grup sangat ditentukan oleh operasi biner yang dide nisikan di dalamnya. Pemetaan perlu dide nisikan sedemikian rupa sehingga dapat menunjukkan bagaimana operasi biner pada G dan G akan dihubungkan oleh pemetaan tersebut.0 0 0 0

De nisi 1 Suatu pemetaan dari grup (G ) ke grup (G #) disebut homomorphisma jika0

(a b) = (a)# (b)untuk semua elemen a dan b dalam G.

Persamaan pada de nisi di atas menunjukkan suatu hubungan antara dua operasi biner dan #, dan juga dengan demikian hubungan antara dua grup G dan G . Catatan : Selanjutnya, untuk menyederhanakan penulisan maka notasi untuk0

1

Bab VI. Homomorphisma Grup

antonius cp 2

operasi biner dalam suatu grup tidak dituliskan, jadi misalnya G suatu grup dan a b 2 G maka operasi a dan b dituliskan sebagai ab. Untuk setiap grup G dan G , paling tidak ada sebuah homomorphisma : G ! G yang disebut sebagai homomorphisma trivial dengan aturan (g) = e untuk setiap g 2 G dengan e adalah elemen identitas pada G . Contoh 1: Misalkan : Z ! Z n dide nisikan dengan (m) = r, dimana r adalah sisa bila m dibagi n. Maka merupakan suatu homomorphisma. Contoh 2: Misalkan Sn adalah grup simetrik pada n huruf, dan misalkan : Sn ! Z 2 dengan ketentuan0 0 0 0 0

8