struktur aljabar: grup - rippi …rippi-maya.dosen.stkipsiliwangi.ac.id/files/2016/10/grup-2016.pdf5...

STRUKTUR ALJABAR:

GRUP

BAHAN AJAR

Oleh: Rippi Maya

Program Studi Pendidikan Matematika Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) SILIWANGI

Bandung

2016

Rippi Maya: Draft Teori Grup

1

A. Pendahuluan

Ilustrasi 1.1:

Perhatikan Gambar 1.1 berikut ini:

Gambar (b) diperoleh dari gambar (a) yang di ....

Bagaimanakah cara untuk memperoleh gambar (c) dan (d) dari gambar (a)?

Operasi apakah yang digunakan agar dari gambar (a) menjadi gambar (d)?

D C

A B B A

C D

(a) (b)

D

D

C

A B

C B

A

(c) (d)

Gambar 1.1


2

Perhatikan Gambar 1.2 di bawah ini:

Bila operasi yang tersedia hanya operasi rotasi dan refleksi (datar dan tegak), bagaimana

cara mendapatkan gambar (ii) dari gambar (i) tersebut di atas?

Ilustrasi 1.2:

Misalkan A himpunan tak kosong, dan , , , , ,A a b c d e f .

:

a b c

a b d

a b e

a b f

Simbol , , , dan : merupakan simbol operasi pada suatu himpunan. Selain empat

simbol dasar tersebut, ada simbol-simbol operasi lain, seperti *, , , dan lain

sebagainya, yang dapat didefinisikan sesuai dengan kebutuhan. Sebagai contoh, misalnya

, ,A a b c . Operasi * pada himpunan A didefinisikan dengan cara seperti tertulis dalam

Tabel 1, 2 dan 3 berikut ini:

Tabel 1.1

* a b c

a a b c

b b c a

c c a b

Tabel 1.2

* a b c

a a a a

b a a a

c a a a

Tabel 1.3

* a b c

a b c a

b c b a

c a c b

B A

D C

A D

C B

(i) (ii)

Gambar 1.2


Tabel yang dapat digunakan untuk mendefinisikan operasi-operasi tersebut disebut sebagai

tabel Cayley.

Perhatikan kembali operasi tersebut. Operasi tersebut menghubungkan dua elemen dari

suatu himpunan, ke elemen lain dalam himpunan tersebut. Operasi yang demikian ini

disebut sebagai operasi biner.

Definisi 1.1: Operasi Biner

Misalkan G suatu himpunan tak kosong. Operasi biner * pada himpunan G adalah suatu

fungsi (pemetaan) yang mengkaitkan setiap pasangan terurut dari elemen di G ke elemen

di G.

Dengan kata lain, operasi biner * pada himpunan G adalah suatu fungsi *:G G G dari

produk Cartesius , , ,G G a b a b G ke himpunan G.

Problem 1.1:

Perhatikan beberapa tabel berikut ini.

Tabel 1.4 Tabel 1.5 Tabel 1.6

* a b

a a b

b c

* a b

a e a

b a b

* a b

a a a

b a a

Manakah di antara tabel-tabel tersebut yang merupakan operasi biner? Berikan penjelasan!

Problem 1.2:

Berdasarkan Definisi 1 tersebut di atas, dapatkah kamu memberikan contoh beberapa

operasi biner pada suatu himpunan?

Problem 1.3:

Selidiki apakah operasi penjumlahan, pengurangan & perkalian pada himpunan bilangan

bulat merupakan operasi biner. Berikan penjelasan!


4

Problem 1.4:

Operasi pembagian pada himpunan bilangan bulat bukan merupakan operasi biner

pada himpunan bilangan bulat . Selidiki kebenaran pernyataan tersebut dan berikan

penjelasan.

Ilustrasi 1.3:

Perhatikan persamaan linier berikut ini:

3 4 2 3x x .

Untuk menyelesaikan persamaan linier tersebut, tahapan yang dilalui adalah sebagai

berikut:

3 4 2 3

2 4 4 2 2 3 ( 2 adalah invers penjumlahan dari 2 )

2 4 4 2 2 3 (assosiatif)

2 4 0 3 (0 adalah elemen identitas pada penjumlahan)

2 4 3

2 4 4 3 4 ( 4adalah invers penjumlahan dari 4)

2

x x

x x x x x x

x x x x

x

x

x

x

1

1 1 12 1 ( adalah invers perkalian dari 2)

2 2 2

11 (1 adalah elemen identitas pada operasi perkalian)

2

1

2

x

x

x

Perhatikan proses penyelesaian persamaan linier tersebut. Ada tiga sifat penting yang

digunakan untuk menyelesaikan persamaan tersebut, yaitu invers, assosiatif, dan elemen

identitas. Ketiga sifat tersebut merupakan syarat perlu dari suatu himpunan, yang

bersama-sama dengan operasi biner * membentuk sebuah grup.


5

Grup

Sebuah grup adalah sebuah pasangan terurut (G,*), dengan G adalah sebuah himpunan tak

kosong, dan * adalah sebuah operasi biner pada G yang memenuhi sifat-sifat berikut:

1. Asosiatif. Operasi tersebut bersifat asosiatif, yaitu * * * *a b c a b c , untuk

semua a, b, c di G.

2. Identitas. Terdapat suatu elemen e (disebut identitas) di G, sehingga

* * a e e a a , untuk semua a di G.

3. Invers. Untuk setiap elemen a di G, terdapat suatu elemen b di G (disebut invers)

sehingga * * a b b a e .

Problem 1.5:

Berdasarkan definisi tersebut, bila G grup, dan a, b, c di G, maka

* * * * * *a b c a b c a b c . Bagaimana pendapatmu tentang pernyataan tersebut?

Berikan penjelasan!

Problem 1.6:

Bila operasi biner * pada:

(a) himpunan bilangan bulat didefinisikan oleh *a b b a , dan

(b) himpunan bilangan riil didefinisikan oleh *a b a b ab ,

selidiki apakah operasi biner * tersebut bersifat asosiatif. Jelaskan jawabmu!

Problem 1.7:

Selidiki apakah himpunan bilangan bulat , rasional , dan riil beserta operasi

perkalian membentuk grup. Berikan penjelasan! Apakah mungkin himpunan yang

diberikan dengan operasi ini membentuk grup jika beberapa elemennya dibuang? Jelaskan

jawabmu!

Problem 1.8:

Himpunan bilangan bulat tak nol dan operasi perkalian tidak membentuk sebuah grup.

Benarkah pernyataan ini? Jelaskan jawabmu!


6

Problem 1.9:

Berikut ini adalah beberapa operasi biner, yaitu: +, -, dan • di . Selidiki apakah operasi-

operasi tersebut asosiatif?

Problem 1.10:

Selidiki pula apakah operasi-operasi pada Problem 9 tersebut bersifat komutatif. Bila

tidak, berikan contoh kontranya (counter example) untuk menunjukkannya.

Problem 1.11:

Misalkan A adalah himpunan sebarang (cukup yang sederhana saja), dan * adalah operasi

pada himpunan A. Buatlah beberapa tabel Cayley dari (A,*). Definisikan operasi * pada

himpunan A tersebut sedemikian sehingga

a) * bukan operasi biner;

b) (A,*) tidak mempunyai identitas;

c) Ada unsur di A yang tidak mempunyai invers.

Problem 1.12:

Misalkan , ,A a b , ,B a b c dan , , ,C a b c d dan * adalah operasi pada himpunan

A, B dan C.

(a) Buatlah tabel Cayley dari (A,*), (B,*), dan (C,*).

(b) Kapan suatu tabel Cayley merupakan suatu grup? Carilah semua kemungkinan agar

terbentuk tabel Cayley yang merupakan grup.

(c) Apakah ciri-ciri tabel Cayley yang merupakan grup? Jelaskan jawab Anda!

Problem 1.13:

Selidiki apakah matriks ukuran 2x2 sebarang, seperti a b

c d

, dan operasi penjumlahan

pada matriks membentuk sebuah grup. Jelaskan jawabmu!


7

(a) Jika a dan b bilangan bulat dan n bilangan bulat positif, bilangan a disebut modulo n

terhadap b jika n habis membagi a – b, dan ditulis mod a b n . Sebagai contoh,

10 1 mod 3, karena 10 1 3 q , dan 14 2 mod 4, karena 14 2 4 q , dengan q

adalah kuosien (hasil bagi).

(b) Pada modulo, dikenal juga operasi penjumlahan dan perkalian mod n, yang

dinyatakan dengan mod a b n dan mod ab n . Ditulis,

mod mod mod mod a b n a n b n n , dan

mod mod mod mod .ab n a n b n n

Sebagai contoh,

12 15 mod 10 = 12 mod 10 15 mod 10 mod 10

= 2 mod 10 5 mod 10 mod 10

= 7 mod 10

= 7.

(13 27) mod10 13mod10 27 mod10 mod10

3 7 mod10

21mod10

1.

Untuk selanjutnya, 27 mod 10 = 7 mod 10.

(c) mod ab n adalah bilangan bulat r dengan sifat ,a b nq r dengan 0 r n , dan

a b adalah perkalian biasa. Bilangan bulat a mempunyai invers perkalian modulo n

jika dan hanya jika a dan n prima relatif. Pada contoh perkalian modulo 10 di atas, 7

adalah invers perkalian modulo 10 dari 3, karena 10 dan 3 adalah prima relatif.

Problem 1.14:

Himpunan 0,1,2,..., 1nZ n untuk 1n membentuk grup di bawah operasi

penjumlahan modulo n. Selidiki kebenaran pernyataan tersebut, dan sebutkan elemen

identitas dan inversnya.

Problem 1.15:

Selidiki apakah \ 0 ,nZ untuk 2,3,4n membentuk grup? Jelaskan jawabmu!


8

Problem 1.16:

Jelaskan mengapa himpunan 1,2,3 di bawah perkalian modulo 4 bukan grup tetapi

1,2,3,4 di bawah perkalian modulo 5 merupakan grup.

Problem 1.17:

Buatlah tabel Cayley untuk 6 terhadap operasi perkalian.

(a) Apakah 6 grup terhadap perkalian?

(b) Elemen manakah dari 6yang mempunyai invers dan manakah yang tidak?

Problem 1.18:

Kerjakan hal yang sama seperti pada Problem 21, tetapi untuk 7 dan

10.

Problem 1.19:

Apakah yang dapat Anda simpulkan dari ketiga himpunan tersebut? Kapankah suatu

himpunan n merupakan grup terhadap operasi perkalian?

Definisi 1.2: Grup Abelian

Grup (G,*) disebut abelian (komutatif) jika * *a b b a untuk semua a, b di G.

Problem 1.20:

Jika G grup yang mempunyai tiga elemen, maka G pasti abelian. Selidiki kebenaran

pernyataan tersebut.

Problem 1.21:

Misalkan G sebuah grup dengan sifat-sifat sebagai berikut: Jika a, b, dan c adalah elemen-

elemen dari G, dan ,ab ca maka .b c Buktikan bahwa G adalah Abelian.

Petunjuk:

(a) Untuk membuktikan, mulai dengan .ab ca

(b) Gunakan informasi yang diberikan dalam soal.

(c) Tuliskan kesimpulan Anda.


9

Problem 1.22:

Buktikan bahwa sebuah grup G adalah Abelian jika dan jika 1 1 1ab a b , untuk semua

a dan b di G.

Petunjuk:

(a) Mulailah pembuktian dengan menggunakan definisi grup Abelian, yaitu .ab ba

(b) Gunakan sifat-sifat aljabar dari invers komposisi dua elemen, yaitu 1 1 1.ab b a

(c) Tuliskan kesimpulannya.

Definisi 1.3: Prima Relatif

Suatu bilangan bulat positif a dikatakan prima relatif dengan n, bila faktor persekutuan

terbesarnya dengan n adalah 1. Dengan kata lain, FPB (a,n) = 1.

Problem 1.23:

Misalkan A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kurang dari 10. Sebutkan semua

anggota A yang prima relatif dengan 10, tuliskan sebagai himpunan B.

Problem 1.24:

Terhadap perkalian modulo 10, selidiki apakah B membentuk grup.

Problem 1.25:

Misalkan ( )U n didefinisikan sebagai himpunan semua bilangan bulat positif yang lebih

kecil dari n dan prima relatif ke n, untuk setiap n > 1, n . Berikan contoh himpunan

( ),U n bila

1. n bilangan prima

2. ,n p q p dan q saling prima

3. 2 ,n p p prima.

Petunjuk: ambillah n yang khas.


10

Buatlah tabel Cayley untuk U(10) dengan operasi perkalian modulo 10.

(a) Carilah elemen identitasnya dan selidiki apakah elemen identitasnya tunggal?

(b) Sebutkan unsur-unsur yang saling invers dari elemen-elemen pada U(10), bila ada.

Apakah inversnya tunggal?

(c) Selidiki apakah U(10) merupakan grup di bawah operasi perkalian modulo 10?

Bagaimana pula dengan U(12), U(15)?

(d) Kesimpulan apakah yang dapat kamu ambil dari beberapa contoh ( )U n tersebut?

B. Sifat-sifat Elementer dari Grup

Teorema 1.1: Ketunggalan Identitas

Dalam sebuah grup G, hanya ada satu elemen identitas.

Problem 1.27:

Buktikan Teorema 1.1 tersebut.

Petunjuk: untuk membuktikan ketunggalan, biasanya dimulai dengan mengambil

pengandaian yang terbalik.

(a) Andaikan ada 2 elemen identitas, yaitu dan '.e e

(b) Bila masing-masing elemen tersebut merupakan unsur identitas, sifat apakah yang

akan dipenuhi oleh dan '.e e

(c) Tuliskan suatu kesimpulan berdasarkan jawab pertanyaan (b)!

Teorema 1.2: Pembatalan

Dalam sebuah grup G, hukum pembatalan kanan dan kiri berlaku, yaitu ba ca

mengakibatkan b c , dan ab ac mengakibatkan b c .


11

Buktikan Teorema 1.2 tersebut berdasarkan petunjuk berikut ini.

Petunjuk:

(a) Untuk membuktikan, mulailah dengan .ba ca

(b) Karena grup, maka a mempunyai invers.

(c) Kalikan persamaan di (a) dengan invers dari a. Perhatikan arah perkalian.

(d) Hitunglah hasilnya.

(e) Lakukan dengan cara yang sama untuk persamaan .ab ac

Teorema 1.3: Ketunggalan Invers

Untuk setiap elemen a dalam sebuah grup G, ada elemen tunggal b dalam G, sehingga

.ab ba e

Problem 1.29:


(Petunjuk: lakukan prosedur seperti pada pembuktian Teorema 1.1 di atas, yaitu mulai

dengan asumsi terbalik.

(a) Andaikan ada dua invers, yaitu b1 dan b2.

(b) Bila keduanya merupakan invers dari a, sifat apakah yang diperoleh dari perkalian

kedua invers tersebut masing-masing dengan a?

(c) Gunakan Teorema 1.2 untuk menyimpulkan jawab pertanyaan (b).


12

Adalah lazim apabila dalam membicarakan sebuah kelompok (grup) secara umum, kita

ingin mengetahui ada berapa banyak anggota grup tersebut. Sebagaimana ketika kita

bertemu seorang anak yang tidak dikenal, biasanya pertanyaan yang diajukan adalah

sekolah di mana, kelas berapa, dan berapa banyak temannya dalam satu kelas? Dalam

konteks grup dalam aljabar, banyaknya anggota (elemen) dari suatu grup juga merupakan

hal yang menarik untuk diketahui. Berikut ini akan diperkenalkan beberapa istilah yang

berkaitan dengan banyaknya elemen dari suatu grup, dan notasi yang digunakan.

Definisi 2.1: Orde dari sebuah Grup

Orde dari sebuah grup G, dinyatakan dengan G , adalah banyaknya elemen dari sebuah

grup G (hingga atau tak hingga).

Problem 2.1:

Berikan contoh orde dari beberapa grup, seperti grup himpunan bilangan bulat terhadap

operasi penjumlahan, 12

, (10)U , dan sebagainya.

Definisi 2.2: Orde dari suatu Elemen

Jika G sebuah grup dan g G , maka orde dari elemen g tersebut adalah bilangan bulat

positif terkecil n sedemikian sehingga .ng e Notasinya: .g n

Elemen g dikatakan mempunyai orde takhingga, jika tidak ada bilangan bulat n yang

memenuhi persamaan tersebut.


13

Problem 2.2:

Bila a adalah elemen dari grup terhadap operasi penjumlahan, tentukan orde a.

Petunjuk: buatlah barisan nilai ak, k , dengan a

k adalah operasi penjumlahan

sebanyak k kali.

Problem 2.3:

Hitunglah orde dari grup 10 , dan elemen-elemennya terhadap penjumlahan modulo

10.

Problem 2.4:

Hitunglah orde (15)U dan elemen-elemennya terhadap perkalian modulo 15.

Petunjuk:

Untuk memudahkan penghitungan, gunakan trik berikut. Misalkan kita akan menghitung

orde elemen 13. Perhatikan bahwa 13 2 modulo 15 , karena 13 2 0 modulo 15,

sehingga 2 213 ( 2) 4 , 3 213 13 13 ( 2) 4 8 , 4 313 13 13 ( 2) ( 8) 1. Jadi

orde elemen 13 adalah 4.

Ilustrasi 2.1:

Dalam teori himpunan, kita mengenal apa yang disebut sebagai subset (himpunan bagian).

Begitu pula dalam teori grup, kita akan mengenal juga apa yang disebut sebagai subgrup.

Sebagai ilustrasi untuk memperkenalkan konsep subgrup, perhatikan tabel Cayley dari

grup Abelian 6 , berikut:

Tabel 2.1

+ 0 1 2 3 4 5

0 0 1 2 3 4 5

1 1 2 3 4 5 0

2 2 3 4 5 0 1

3 3 4 5 0 1 2

4 4 5 0 1 2 3

5 5 0 1 2 3 4


14

Dapatkah kalian melihat keistimewaan grup tersebut?

Misalkan G grup Abelian terhadap operasi penjumlahan, dengan 0,2,4,1,3,5G .

Apakah yang dapat kalian katakan tentang grup G dan 6?

Sekarang perhatikan tabel Cayley untuk grup ,G pada Tabel 2.2 berikut. Dapatkah

kalian melihat keistimewaannya?

Tabel 2.2

+ 0 2 4 1 3 5

0 0 2 4 1 3 5

2 2 4 0 3 5 1

4 4 0 2 5 1 3

1 1 3 5 2 4 0

3 3 5 1 4 0 2

5 5 1 3 0 2 4

Misalkan H dan K adalah himpunan bagian dari grup G tersebut, dengan 0,2,4H dan

1,3,5K . Dengan melihat tabel Cayley tersebut, kamu dapat menentukan manakah di

antara H dan K yang mempunyai sifat-sifat seperti grup G. Apakah yang dapat kamu

simpulkan tentang H dan K?

Dari ilustrasi tersebut, kita mendapatkan gambaran kapankah sebuah himpunan bagian

dari sebuah grup merupakan sebuah grup. Berikut ini dijelaskan definisi dari subgrup

tersebut.

Definisi 2.3: Subgrup

Himpunan tak kosong H adalah himpunan bagian dari sebuah grup G. H dikatakan

subgrup dari G jika H merupakan grup terhadap operasi yang sama di G.


15

Keterangan:

Notasi yang biasa digunakan untuk menyatakan bahwa H merupakan subgrup dari G

adalah: H G . Bila H subgrup dari G tetapi tidak sama dengan G disebut subgrup

murni (proper subgrup), dan ditulis H G .

Problem 2.5:

Buktikan bahwa {e} adalah subgrup dari G.

Keterangan:

Subgrup {e} dan G sendiri disebut subgrup trivial dari G. Bila ada subgrup lain dalam

grup G yang bukan {e} atau G, maka subgrup tersebut dikatakan subgrup nontrivial dari

G. Pada Ilustrasi 2.1 tersebut di atas, H merupakan subgrup nontrivial dari G.

Problem 2.6:

Buktikan bahwa n terhadap operasi penjumlahan modulo n bukan subgrup dari

terhadap operasi penjumlahan.

Problem 2.7:

7 0 adalah grup terhadap operasi perkalian. Selidiki apakah 7 0 tersebut

mempunyai subgrup nontrivial!

Problem 2.8:

Perhatikan himpunan-himpunan P, Q dan R berikut, dengan 0,5P , 0,2,4,6,8Q

dan 0,1,2,3,4,5,6R . Himpunan-himpunan P, Q dan R tersebut merupakan himpunan

bagian dari grup 10 terhadap operasi penjumlahan. Selidiki manakah dari ketiga

himpunan bagian tersebut yang merupakan subgrup dari 10

!

Problem 2.9:

Misalkan himpunan-himpunan K, L, dan M berikut adalah himpunan bagian dari grup

terhadap operasi penjumlahan, dengan elemen-elemennya adalah: 4K k k ,


16

4 1L k k dan 4 1M k k . Dari ketiga himpunan tersebut, manakah

yang merupakan subgrup dari ?

Problem 2.10:

Misalkan diketahui dua grup A dan B adalah subgrup dari grup G. Buktikan bahwa A B

juga subgrup dari G jika dan hanya jika A B atau .B A

Problem 2.11:

Buktikan bahwa jika S dan T adalah subgrup dari G, maka S T , juga merupakan

subgrup dari G.

Problem 2.12:

Buktikan bahwa himpunan bilangan bulat ganjil dan nol bukan merupakan subgrup dari

.

Problem 2.13:

Bila H subgrup dari G dan K subgrup dari H, selidiki apakah K juga subgrup dari G!

Problem 2.14:

Buktikan pernyataan-pernyataan berikut:

(a) dan terhadap operasi penjumlahan.

(b) 0 , bukan subgrup dari 0 , .

Berdasarkan definisi subgrup yang sudah kita pahami melalui beberapa problem yang

sudah dikerjakan, ada cara lain untuk memeriksa apakah suatu himpunan bagian dari suatu

grup merupakan subgrup dari grup tersebut. Cara memeriksa subgrup ini dikenal sebagai

Tes Tahap ke-1, Tes Tahap ke-2, dan Tes Subgrup Berhingga, sebagaimana dikemukakan

dalam teorema-teorema berikut.


17

Teorema 2.1: Tes Tahap ke-1 dari Subgrup

Misalkan H adalah himpunan bagian tak kosong dari suatu grup G. H adalah subgrup dari

G jika 1ab dalam H, untuk setiap a dan b di H.

Catatan:

Untuk notasi penjumlahan, H adalah subgrup jika a – b di H untuk setiap a, b di H.

Problem 2.15:

Buktikan Teorema 2.1 tersebut di atas!

Petunjuk:

Gunakan sifat-sifat grup yaitu asosiatif, identitas, invers dan tertutup.

Problem 2.16:

Misalkan G adalah grup dari bilangan-bilangan riil tak nol terhadap operasi perkalian. P

dan Q adalah himpunan bagian dari grup G, dengan 1P x G x dan

1 atau irasionalQ x G x x . Dengan menggunakan Teorema 2.1, selidiki apakah P

dan Q subgrup dari G!

Problem 2.17

Misalkan G grup Abelian terhadap perkalian dengan identitas e. Bila H dan K adalah

himpunan bagian dari G, dengan 2H x x G dan 2K x G x e , buktikan

bahwa H dan K merupakan subgrup dari G.

Teorema 2.2: Tes Tahap ke-dua dari Subgrup

Misalkan H adalah himpunan bagian tak kosong dari suatu grup G. H adalah subgrup dari

G jika ab H , untuk setiap ,a b H (tertutup terhadap operasi perkalian) dan 1a H ,

untuk setiap a H (tertutup terhadap invers-inversnya).


18

Problem 2.18

Buktikan teorema tersebut di atas.

Petunjuk: gunakan Teorema 2.1.

Problem 2.19

Misalkan G adalah grup dari semua matriks ukuran 2x2, yaitu a b

c d

, dengan

0ad bc terhadap operasi penjumlahan. R dan S adalah himpunan bagian dari grup G.

Bila 00

a bR G ad

d

dan

1

0 1

bS

, tunjukkan bahwa R merupakan

subgrup dari G dan S subgrup dari R.

Teorema 2.3: Tes Subgrup Berhingga

Misalkan H adalah himpunan bagian berhingga tak kosong dari suatu grup G, maka H

adalah subgrup dari G jika H tertutup terhadap operasi di G.

Problem 2.20:

Buktikan teorema tersebut!

Petunjuk:

(a) tunjukkan bahwa 1a H untuk setiap a H .

(b) Mulai dengan jika ,a e maka pembuktian selesai.

(c) Jika ,a e gunakan sifat H sebagai himpunan berhingga, dengan barisan 2 3, , ,...a a a

yang berhingga, di mana semua pangkat positif a ada di H, dan tidak semua elemen

ini berbeda.

(d) Andaikan i ja a , dengan i>j, maka i ja e . Tunjukkan bahwa 1 .i ja H

Teorema 2.4: a adalah Subgrup

Misalkan G suatu grup, dan a adalah elemen dari G, maka a adalah subgrup dari G.


19

Catatan:

Bila a adalah elemen dari suatu grup, maka na a n . Subgrup a disebut

subgrup siklis dari G yang dibangkitkan (generated) oleh a. Bila ,G a maka G

disebut siklis dan a adalah pembangkit (generator) dari G.

Problem 2.21:


Petunjuk:

(a) Tunjukkan bahwa a tidak kosong.

(b) Gunakan Teorema 2.1.

Problem 2.22:

Tunjukkan bahwa 3 merupakan subgrup siklis dari 10

terhadap operasi penjumlahan.

Problem 2.23:

Tunjukkan bahwa 3 subgrup siklis dari U(10) terhadap operasi perkalian modulo n.

Problem 2.24:

Tunjukkan bahwa (14) 3 5U dan selidiki apakah (14) 11U .

Problem 2.25:

Buktikan bahwa U(20) bukan siklis.

Problem 2.26:

Tunjukkan bahwa U(15) mempunyai enam subgrup siklis.

Definisi 2.4: Pusat dari grup

Pusat, Z(G), dari suatu grup G adalah subset dari elemen-elemen di G yang berhubungan

(commute) dengan setiap elemen dari G.

Notasi: untuk semua diZ G a G ax xa x G .


20

Problem 2.27:

Tunjukkan bahwa jika G grup Abelian, maka Z(G) = G.

Teorema 2.5: Pusat grup adalah subgrup

Pusat dari suatu grup G adalah subgrup dari G.

Problem 2.28:


Petunjuk: gunakan Teorema 2.2 untuk membuktikan Teorema 2.5 tersebut.

Definisi 2.5: Pemusat a di G

Misalkan a adalah elemen yang tetap dari suatu grup G. Pemusat (centralizer) a di G,

dinyatakan dengan C(a), adalah himpunan semua elemen-elemen di G, yang berhubungan

(commute) dengan a. Notasinya: C a g G ga ag

Problem 2.29:

Misalkan G suatu grup, dan .a G Tunjukkan bahwa 1( ) ( ).C a C a

Teorema 2.6: C(a) adalah subgrup

Untuk setiap a dalam suatu grup G, pemusat a yang dinyatakan dengan C(a), adalah

subgrup dari G.

Problem 2.30:


Problem 2.31:

Selidiki kebenaran pernyataan berikut: G grup Abelian jika dan hanya jika ( )C a G

untuk semua a di G.


21

3.1 Sifat-sifat Grup Siklis

Ilustrasi 3.1:

Dari Bab 2, sudah dijelaskan bahwa suatu grup G disebut siklis jika ada suatu elemen a di

G sehingga .nG a n Elemen a tersebut dinamakan generator dari G. Selanjutnya,

G disebut grup siklis yang dibangkitkan (generated) oleh a dengan menuliskan .G a

Problem 2.17:

Setelah memahami Ilustrasi 3.1 tersebut, cobalah selidiki generator dari himpunan

bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan biasa. Tentukan juga generator dari

himpunan-himpunan 6,

8, dan

20, terhadap penjumlahan modulo 6, 8 dan 20.

Dapatkah kamu menentukan generator dari n ( 1n ) secara umum?

Problem 2.18:

Tuliskan semua elemen dari subgrup 20 dan 10 di 30

.

Problem 2.19:

Tuliskan semua elemen dari subgrup 3 dan 15 di 18 . Sebutkan pula semua elemen

dari subgrup 3 dan 7 di 20 .U

Problem 2.20:

Perhatikan jawaban Problem 3.2 dan 3.3. Apakah yang dapat kamu simpulkan dari kedua

jawaban soal tersebut?


22

Ilustrasi 3.2:

Perhatikan gambar berikut, dengan 4a .

Gambar 3.1

Pada grup siklis 4 berorde 4 (berhingga), generatornya adalah 1 dan 3.

Ambil 3a , maka

3 .3 ..., 1.3,0.3,1.3,2.3,3.3,4.3,5.3,6.3,7.3,...

...,1,0,3,2,1,0,3,2,1,... 0,3,2,1

n n

.

Berdasarkan Gambar 3.1, 0.3 = 4.3 = 8.3. Demikian pula untuk 1.3 = 5.3 = 9.3, dan

seterusnya. Perhatikan hubungan antara 0,4,8 dan 4 (orde grup). Demikian juga dengan

hubungan antara 1,5,9 dan 4 (orde grup). Dapatkah kamu mengambil kesimpulan?

Perhatikan grup siklis 9U yang berorde 6 (berhingga). Ambil 9a U . Misalkan

2a , maka

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 122 2 ..., 2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,...

...,1,2,4,8,7,5,1,2,4,8,7,5,... 1,2,4,8,7,5

n n

Memperhatikan elemen-elemen 2 , dapat dilihat bahwa 0 6 12... 2 2 2 ... . Demikian

pula 1 7 13... 2 2 2 ... Adakah hubungan antara 0,6,12 dan orde dari grup (6)? Juga

hubungan antara 1,7,13 dan orde dari grup? Dapatkah kamu mengambil kesimpulan?

Dengan memperhatikan kedua ilustrasi tersebut, dapat dicari suatu kriteria untuk pangkat

(perkalian) dari a, yang berlaku untuk semua grup siklis G berorde n (hingga) dan tak

…= a-4 = a

0 = a

4= …

…= a-3 = a

1 = a

5= …

…= a-2 = a

2 = a

6= …

…= a-1 = a

3 = a

7= …


23

hingga. Bagaimana kita menentukan kriteria untuk pangkat a, sehingga diperoleh i ja a ,

dengan ,i j ? Teorema berikut ini menjelaskan kriteria untuk i ja a .

Teorema 2.2: Kriteria untuk i ja a

Misalkan G adalah suatu grup dan a adalah elemen dari G. Jika a mempunyai orde tak

hingga, maka semua pangkat berbeda dari a adalah elemen-elemen grup yang berbeda.

Jika a mempunyai orde yang berhingga, sebut saja n, maka 2 1, , ,..., na e a a a dan

i ja a jika dan hanya jika n membagi i-j.

Problem 2.21:

Pahami Teorema 3.1. Cobalah terapkan teorema tersebut pada grup 5. Tuliskan semua

elemen dari 5, dan tentukan orde elemen-elemen dari

5 tersebut.

Problem 2.22:

Selidiki subgrup siklis dari 5 tersebut. Bila a n , untuk setiap a di

5, periksa apakah

2 1, , ,..., na e a a a dan i ja a jika dan hanya jika n membagi i-j.

Problem 2.23:

Kerjakan hal yang sama seperti pada Problem 3.5 dan 3.6 untuk grup lain. Ambillah

contoh 2 grup yang berbeda.

Akibat 3.1: ka e mengimplikasikan bahwa a membagi k

Misalkan G adalah suatu grup dan a suatu elemen berorde n di G. Jika ka e , maka n

membagi k.


24

Problem 2.24:

Pahami Akibat Teorema 3.1 tersebut. Selidiki pernyataan akibat tersebut untuk grup U(5)

dan U(10). Bagaimana pendapatmu? Kerjakan dengan cara yang sama untuk 2 grup lain

yang berbeda.

Ilustrasi 3.3:

Pada Ilustrasi 3.2 sebelumnya, 19 2 2 ,U dengan 9 6U . Perhatikan pangkat

1 dari 2 dan orde grup siklis 9U . Adakah hubungan antara 1 dan 6? Apakah 1 dan 6

relatif prima? Subgrup siklis lain dari 9U adalah 55 2 . Adakah hubungan antara

pangkat 5 dari 2 dan 6 (orde grup)? Apakah 2 dan 6 relatif prima?

Cobalah selidiki apakah (9)U mempunyai generator lain, selain 2 dan 5. Misalkan ada

k , sehingga 2 (9)k U , apakah ada kaitan antara k dengan orde grup (9)U ?

Apakah kesimpulan yang kamu peroleh? Dapatkah kamu menentukan suatu kriteria untuk

menentukan generator dari suatu grup siklis? Tanpa perlu mencari generator dari suatu

grup siklis dengan mencoba elemennya satu persatu, ada suatu cara singkat untuk

menentukan generatornya. Perhatikan teorema berikut.

Teorema 3.2: Generator dari Grup Siklis

Misalkan G a adalah suatu grup siklis berorde n. Maka kG a jika dan hanya jika

gcd (k, n) = 1.

Problem 2.25:

Selidiki apakah grup 20U grup siklis! Bila ya, tentukan generator dari grup tersebut

dengan menggunakan Teorema 3.2.

Problem 2.26:

Ambillah beberapa contoh grup siklis berorde n, dengan salah satu generatornya. Periksa

apakah teorema tersebut berlaku pada contoh-contoh yang kamu ambil.

Problem 2.27:


25

Cobalah kamu buktikan Teorema 3.2. Gunakan informasi yang diketahui pada teorema

tersebut untuk membuktikan.

Akibat 3.2: Generator dari n

Suatu bilangan bulat k di n adalah generator dari

n jika dan hanya jika gcd (k, n) = 1.

Problem 2.28:

Selidiki pernyataan Akibat tersebut untuk grup 5,

6 dan

9. Dapatkah kamu

menentukan generator dari grup tersebut dengan cepat? Jelaskan jawabmu dengan singkat.

3.2 Klasifikasi Subgrup dari Grup Siklis

Ilustrasi 3.4:

Perhatikan kembali subgrup siklis 2 dari grup siklis 9 1,2,4,5,7,8U . Elemen-

elemen dari subgrup siklis 2 adalah

1 1 2 3 4 5 62 2 2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 2,4,8,7,5,1 1,2,4,5,7,8 .

Elemen-elemen subgrup siklis lain dari 9U adalah:

2 1 2 3 4 5 64 2 4 ,4 ,4 ,4 ,4 ,4 4,7,1 1,4,7 .

3 1 2 3 4 5 68 2 8 ,8 ,8 ,8 ,8 ,8 8,1 1,8 .

6 1 21 2 1 ,1 1,1 1 .

5 1 2 3 4 5 65 2 5 ,5 ,5 ,5 ,5 ,5 5,7,8,4,2,1 1,2,4,5,7,8 .

4 1 2 3 4 5 67 2 7 ,7 ,7 ,7 ,7 ,7 7,4,1 1,4,7 .

Perhatikan bahwa subgrup siklis 4 , 8 , 1 , 5 , 7 merupakan subgrup dari 2 . Orde

subgrup-subgrup siklis dari 2 tersebut adalah 12 2 6 ,

24 2 3 ,

38 2 2 , 61 2 1 ,

55 2 6 , 47 2 3 . Perhatikan bahwa orde

subgrup-subgrup siklis tersebut adalah 1,2,3,6. Bandingkan dengan pembagi positif dari 6


26

(orde subgrup siklis 2 ), yaitu 1,2,3,6 . Adakah kesamaan? Berikut ini adalah teorema

dasar grup siklis yang perlu diketahui.

Teorema 3.3: Teorema Dasar Grup Siklis

Setiap subgrup dari suatu grup siklis adalah siklis. Jika ,a n maka orde suatu subgrup

dari a adalah pembagi dari n; dan untuk masing-masing pembagi positif k dari n, grup

a mempunyai tepat satu subgrup berorde k, yang disebut /n ka .

Ilustrasi 3.5:

Perhatikan ilustrasi berikut ini:

Diketahui grup siklis a yang berorde 20. Subgrup dari a berbentuk ma , dengan m

adalah pembagi positif dari 20. Jika k pembagi positif dari 20, maka subgrup berorde k

adalah 20/ka . Dengan demikian, subgrup-subgrup dari a dapat ditentukan, yaitu:

2 3 19, , , ,....,a e a a a a berorde 20,

2 2 3 9, , , ,....,a e a a a a berorde 10,

4 2 3 4, , , ,a e a a a a berorde 5,

5 2 3, , ,a e a a a berorde 4,

10 ,a e a berorde 2,

20a e berorde 1.

Problem 2.29:

Bila diketahui 3 adalah salah satu generator dari grup siklis (50)U , dengan (50) 30U ,

tentukan subgrup-subgrup siklis dari 3 .


27

Problem 2.30:


Akibat 3.3: Subgrup dari n

Untuk masing-masing pembagi k dari n, himpunan /n k adalah subgrup tunggal dari n

, yang berorde k. Subgrup ini merupakan satu-satunya subgrup dari n.

Problem 2.31:

Cobalah terapkan pernyataan Akibat 3.3 tersebut pada subgrup siklis yang kamu pilih

sendiri.

Problem 2.32:

Misalkan suatu grup siklis G a , dengan 24a . Tentukan semua generator untuk

subgrup berorde 8.

Problem 2.33:

Misalkan G suatu grup dan a adalah elemen dari G.

a. Jika 12a e , apakah yang dapat dikatakan tentang orde a?

b. Jika ma e , apakah yang dapat dikatakan tentang orde a?

c. Misalkan 24G dan G siklis. Jika 8a e dan 12a e , tunjukkan bahwa a G

.

Ilustrasi 3.6:

Dengan menggabungkan Teorema 3.2 dan 3.3, banyaknya elemen dari setiap orde dalam

suatu grup siklis berhingga dapat dihitung dengan mudah. Ada suatu fungsi bilangan

teoritis yang disebut fungsi Euler phi, yang berkaitan dengan banyaknya elemen dari

suatu grup siklis. Misalkan (1) 1 , dan untuk bilangan bulat 1n , ( )n menyatakan

banyaknya bilangan bulat positif yang kurang dari n, dan prima relatif ke n. Perhatikan

bahwa ( )U n n .


28

Problem 2.34:

Selidiki apakah ( )U n grup siklis, untuk 5,9,10,14,15,18,20,22,25.n Bila ( )U n grup

siklis, tentukan generatornya. Buatlah suatu konjektur untuk ( )U n .

Teorema 3.4: Banyaknya Elemen dari Masing-masing Orde dalam Suatu Grup

Siklis

Jika d adalah suatu pembagi positif dari n, banyaknya elemen berorde n dalam suatu grup

siklis berorde n adalah .d

Problem 2.35:

Buktikan teorema 3.4 tersebut.


29

4.1 Definisi dan Notasi

Ilustrasi 4.1

Perhatikan suatu himpunan tak kosong A, dengan A himpunan berhingga. Himpunan A

dinyatakan dengan 1,2,3,...,A n , untuk beberapa bilangan bulat positif n. Permutasi

dari himpunan A tersebut adalah suatu fungsi dari A ke A yang satu-satu dan pada. Sebagai

contoh, perhatikan himpunan 1,2,3A . Untuk semua x elemen A, ( )f x A , permutasi

yang mungkin terjadi adalah

1. (1) 1, (2) 2, (3) 3.f f f

2. (1) 1, (2) 3, (3) 2.f f f

3. (1) 2, (2) 1, (3) 3.f f f

4. (1) 2, (2) 3, (3) 1.f f f

5. (1) 3, (2) 1, (3) 2.f f f

6. (1) 3, (2) 2, (3) 1.f f f

Perhatikan bahwa ada 3! 6 permutasi yang mungkin terjadi.

Misalkan permutasi yang pertama ditulis dengan 1 . Untuk menyatakan hubungan antara

himpunan A dan hasil permutasinya adalah dengan menyusunnya dalam bentuk matriks,

yaitu 1

1 2 3 1 2 3

(1) (2) (3) 1 2 3f f f

. Dengan cara yang sama, permutasi ke dua

sampai ke enam juga dapat dinyatakan dalam bentuk matriks berikut ini:

2

1 2 3

1 3 2

, 3

1 2 3

2 1 3

, 4

1 2 3

2 3 1

, 5

1 2 3

3 1 2

, 6

1 2 3

3 2 1

.

Permutasi 1 2 6, ,..., membentuk suatu himpunan tersendiri, yaitu himpunan

permutasi 1 2 6, ,..., . Bila himpunan ini bersama-sama dengan operasi komposisi


30

membentuk suatu grup, maka grup ini disebut grup permutasi. Berikut ini diberikan

definisi dari permutasi suatu himpunan dan grup permutasi dari suatu himpunan.

Definisi 4.1 Permutasi A, Permutasi Grup A

Permutasi dari suatu himpunan A adalah suatu fungsi dari A ke A yang satu-satu dan

pada. Grup permutasi dari suatu himpunan A adalah suatu himpunan permutasi dari A

yang membentuk grup terhadap komposisi fungsi.

Latihan 4.1

Misalkan diketahui dua permutasi dan , dengan 1 2 3 4

3 1 4 2

dan

1 2 3 4

4 2 1 3

. Dengan operasi komposisi, selidiki apakah .

Latihan 4.2 Grup Simetri 3S

Misalkan 3S menyatakan himpunan dari semua fungsi satu-satu dari 1,2,3 ke dirinya

sendiri. 3S ini membentuk grup dengan 6 elemen (perhatikan kembali Ilustrasi 4.1),

terhadap operasi komposisi. Keenam elemen 3S ini adalah 2 2, , , , , , dengan

1 2 3

1 2 3

, 1 2 3

2 3 1

, 2

1 2 3

3 1 2

, 1 2 3

1 3 2

, 1 2 3

2 1 3

dan

21 2 3

3 2 1

. Selidiki apakah 3S grup Abelian.

Latihan 4.3 Grup Simetri nS

Misalkan 1,2,3,...,A n . Himpunan semua permutasi dari A disebut grup simetri

derajat n dan dinyatakan dengan nS . Dengan memperhatikan Ilustrasi 4.1, dapat

diketahui bahwa banyaknya elemen dari nS ada !n . Buktikan bahwa

nS non Abelian,

untuk 3.n

Ilustrasi 4.2 Persegi yang Simetri


31

Perhatikan grup dihedral 4D . Setiap gerakan dalam

4D dihubungkan dengan

permutasi dari keempat lokasi sudut persegi. Bila keempat sudut persegi tersebut diberi

label, maka gambarnya dapat dilihat sebagai berikut:

Rotasi 900 (

90R ) terhadap persegi tersebut berkaitan dengan permutasi 1 2 3 4

2 3 4 1

. Sedangkan refleksi terhadap garis horizontal (H) menghasilkan suatu permutasi

1 2 3 4

2 1 4 3

.

Latihan 4.4

Seperti sudah dijelaskan dalam bab pengantar, elemen dari 4D adalah

4 0 90 180 270, , , , , , , 'D R R R R H V D D . Tuliskan elemen-elemen 4D tersebut dalam bentuk

permutasinya, seperti dan tersebut di atas.

4.2 Notasi Putaran (Cycle Notation)

Ilustrasi 4.3

Selain notasi matriks seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya, permutasi dapat

dinyatakan dalam notasi putaran (cycle notation). Perhatikan permutasi berikut:

1 2 3 4 5 6

2 1 4 6 5 3

.

Penempatan nilai-nilai pada permutasi tersebut dapat dinyatakan secara skematik sebagai

berikut:

1

2 3

4

1

2

3

6 4

5


32

Skema tersebut kemudian diganti dengan notasi putaran sebagai berikut, yaitu

12 346 5 atau 12 346 . Perhatikan bahwa menurut kesepakatan, putaran

yang hanya mempunyai satu masukan, yaitu (5), dapat dihilangkan. Bila dalam penulisan

notasi putaran ada elemen yang hilang (tidak dituliskan), berarti elemen yang hilang

tersebut dipetakan ke dirinya sendiri. Dengan demikian, untuk permutasi identitas

seperti berikut ini, 1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

, kita tidak dapat menghilangkan semua

elemennya, tetapi hanya menuliskan salah satu elemennya saja, yaitu 2 atau 5 ,

atau elemen lainnya.

Perhatikan permutasi ke dua berikut ini: 1 2 3 4 5 6

5 3 1 6 2 4

. Permutasi ini dapat

ditulis dalam notasi putaran 2315 64 atau 46 3152 .

Panjang suatu putaran adalah banyaknya elemen dalam putaran tersebut. Misalkan

12345 , maka panjang putarannya adalah 5.

4.3 Sifat-sifat Permutasi

Teorema 4.1 Hasil Putaran yang Saling Lepas (Disjoint Cycles)

Setiap permutasi dari suatu himpunan berhingga dapat ditulis sebagai suatu putaran

(cycle) atau sebagai suatu hasil (product) dari putaran yang saling lepas.

Latihan 4.5


Petunjuk: misalkan α adalah suatu permutasi pada himpunan A = {1, 2, 3, …, n}. Tuliskan

permutasi α sebagai bentuk putaran yang saling lepas.

Latihan 4.6

Perhatikan Ilustrasi 4.3 di atas. 46 3152 merupakan sebuah permutasi, yang

dinyatakan dalam dua putaran yang saling lepas. Berikan sebuah contoh permutasi yang

dapat dinyatakan dalam suatu putaran atau hasil putaran yang saling lepas!


33

Latihan 4.7

Misalkan 1 2 3 4 5 6 7 8

2 1 3 5 4 7 6 8

dan 1 2 3 4 5 6 7 8

1 3 8 7 6 5 2 4

.

Tuliskan α dan sebagai hasil dari putaran yang saling lepas.

Teorema 4.2 Komutasi Putaran yang Saling Lepas

Jika sepasang putaran 1 2, ,..., ma a a dan 1 2, ,..., nb b b tidak mempunyai elemen-

elemen (entry) yang sama, maka .

Latihan 4.8


Latihan 4.9

Misalkan 1 2 3 4 5 6

2 1 3 5 4 6

dan 1 2 3 4 5 6

6 1 2 4 3 5

. Selidiki apakah

.

Teorema 4.3 Orde dari Permutasi

Orde suatu permutasi dari suatu himpunan berhingga, yang ditulis dalam bentuk putaran

yang saling lepas, adalah kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari panjang putaran.

Latihan 4.10


Latihan 4.11

Tentukan orde dari permutasi α = (12)(3)(45) dan = (153)(24).

Latihan 4.12

Perhatikan permutasi = (13)(27)(456)(8)(1237)(648)(5). Apakah permutasi γ terdiri dari

putaran yang saling lepas? Dapatkah kita menghitung orde permutasi γ dengan

menggunakan Teorema 4.3? Jelaskan pendapatmu.


34

Latihan 4.13

Perhatikan soal Latihan 4.12. Dapatkah permutasi γ dinyatakan dalam bentuk putaran yang

saling lepas? Bila ya, tentukan orde dari permutasi tersebut.

Ilustrasi 4.4.

Suatu permutasi identitas (1) dapat dinyatakan sebagai (12)(12). Selain itu, juga dapat

dinyatakan sebagai (13)(13) atau (14)(14), dst. Jadi suatu permutasi dalam Sn dapat

dinyatakan sebagai hasil dari 2-putaran. Menurut Teorema 4.1, setiap permutasi dapat

ditulis dalam bentuk 1 2 1 2 1 2( ... )( ... )( ... )k t sa a a bb b c c c . Dengan penghitungan langsung,

permutasi tersebut juga dapat ditulis sebagai:

1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2( )( )...( )( )( )...( )( )( )...( )k k t t s sa a a a a a bb bb bb c c c c c c ,

yang merupakan hasil (product) 2-putaran.

Teorema 4.4 Hasil 2-Putaran

Setiap permutasi dalam , 1,nS n adalah hasil dari 2-putaran.

Latihan 4.14

Periksa kebenaran pernyataan ini: 12345 21 25 24 23 .

Latihan 4.15

Periksa kebenaran pernyataan ini: 12345 45 53 25 15 .

Lemma 4.1

Jika 1 2... r , dengan adalah 2-putaran, maka r adalah genap.

Latihan 4.16

Periksa kebenaran pernyataan berikut: 12345 54 52 21 25 23 13 .

Bandingkan ketiga soal Latihan 4.14 - 16. Bagaimana pendapatmu terhadap permutasi α

dan Lemma 4.1?


35

Teorema 4.5 Selalu Genap atau Selalu Ganjil

Jika suatu permutasi α dapat dinyatakan sebagai suatu hasil dari 2-putaran bilangan genap,

maka setiap dekomposisi dari α ke dalam suatu hasil 2-putaran harus mempunyai bilangan

genap dari 2-putaran. Simbolnya,

1 2... r dan

1 2... s ,

dengan dan adalah 2-putaran, maka r dan s keduanya genap atau keduanya ganjil.

Latihan 4.17

Buktikan teorema 4.5 tersebut.

Petunjuk:

1. Mulai dengan 1 2 1 2... ...r s .

2. Gunakan invers dari 2-putaran, untuk menunjukkan bahwa r dan s keduanya ganjil

atau genap.

Latihan 4.18

Perhatikan soal Latihan 4.14-16. Permutasi α tersebut dapat dinyatakan sebagai hasil

2 putaran yang jumlahnya genap. Dapatkah kamu membuat suatu contoh permutasi,

yang dapat dinyatakan sebagai hasil 2 putaran yang jumlahnya ganjil?

Definisi 4.2 Permutasi Genap dan Ganjil

Suatu permutasi yang dapat dinyatakan sebagai hasil dari 2-putaran yang jumlahnya genap

disebut permutasi genap. Suatu permutasi yang dapat dinyatakan sebagai hasil dari 2-

putaran yang jumlahnya ganjil disebut permutasi ganjil.

Latihan 4.19

Permutasi dalam grup S3 terdiri dari permutasi genap dan permutasi ganjil. Dapatkah kamu

menyebutkan permutasi-permutasi tersebut? (Petunjuk: nyatakan permutasi dalam S3

dalam bentuk hasil 2 putaran, seperti dalam Ilustrasi 4.4, lalu tentukan apakah permutasi

tersebut merupakan permutasi genap atau ganjil).


36

Latihan 4.20

Lakukan hal yang sama seperti pada soal Latihan 4.19 pada grup S4.

Teorema 4.6 Permutasi Genap Membentuk Grup

Himpunan permutasi genap dalam nS membentuk subgrup dari

nS .

Latihan 4.21


Latihan 4.22

Periksa apakah himpunan permutasi genap dalam S3 membentuk subgrup dari S3. Buatlah

tabel Cayleynya terhadap operasi fungsi komposisi.

Latihan 4.23

Periksa apakah permutasi ganjil dalam S3 membentuk subgrup? Jelaskan pendapatmu.

Definisi 4.3 Grup Berayun (Alternating) Derajat n

Grup permutasi genap dari n simbol dinyatakan dengan nA dan disebut grup berayun

derajat n.

Latihan 4.24

Tentukan grup berayun 4A . Buatlah tabel Cayley dari

4A tersebut terhadap fungsi

komposisi.

Latihan 4.25

Hitunglah order dari setiap elemen dalam 4A . Periksa apakah ada kaitan antara orde

elemen dengan order 4A .

Teorema 4.7

Untuk n > 1, nA mempunyai orde n!/2.


37

Latihan 4.26

Hitunglah banyaknya permutasi ganjil yang berorde 4 dalam S6.

Latihan 4.27

Hitunglah banyaknya elemen berorde 5 yang ada di A6.

Latihan 4.28

Periksa apakah ada subgrup siklis berorde 4 dan subgrup non siklis berorde 4 dalam S4.

Jelaskan pendapatmu.

Latihan 4.29

Tentukan elemen α dan di S3 sehingga 2, 2, dan 3.

Latihan 4.30

Tunjukkan bahwa suatu permutasi dengan orde ganjil pasti sebuah permutasi genap.


38

Ilustrasi 5.1

Dua anak (A dan B) sedang bermain kelereng. Sebelum bermain, mereka menggabungkan

kelereng yang mereka punya, dan mulai menghitung. Si A yang berasal dari suku Jawa

menghitung kelerengnya dengan bahasa Jawa, sementara si B yang berasal dari suku

Sunda, menghitung kelerengnya dengan bahasa Sunda. A mengucap siji, loro, telu, papat,

…, sementara B mengucap hiji, dua, tilu, opat, …. Mereka menghitung barang yang sama,

tetapi dengan bahasa yang berbeda. Dengan kata lain, mereka menggambarkan konsep

yang sama, dengan istilah yang berbeda. Situasi seperti itu juga sering muncul dalam grup.

Grup yang sama digambarkan dengan istilah (terminology) yang berbeda.

Dalam bab ini akan dipelajari suatu metode untuk menentukan apakah dua grup

sebenarnya sama, meski mereka terdefinisi dalam terms yang berbeda. Bila kedua grup

tersebut sama, maka dikatakan ada isomorfisme antara kedua grup tersebut. Istilah

isomorfisme berasal dari bahasa Latin, iso dan morphe. Iso artinya sama dan morphe

artinya bentuk. Isomorfisme pertama kali diperkenalkan oleh Galois, sekitar 1,5 abad yang

lalu.

5.1 Definisi

Definisi 5.1 Grup Isomorfisme

Suatu isomorfisme dari suatu grup G ke suatu grup G adalah pemetaan (fungsi) satu-

satu dari G pada G , yang mengawetkan operasi grup. Yaitu,

( ) ( ) ( )ab a b untuk semua a, b di G.

Jika ada suatu isomorfisme dari G ke G , dikatakan G dan G isomorfik dan ditulis G G

.


39

Latihan 5.1

Perhatikan definisi isomorfisme tersebut. Untuk membuktikan suatu grup G isomorfik ke

suatu grup G , ada empat tahapan berbeda yang harus dilalui. Dapatkah kamu

menyebutkan tahapan-tahapan tersebut secara detil?

Latihan 5.2

Perhatikan tahapan-tahapan berikut. Susunlah tahapan-tahapan tersebut secara terurut

sesuai definisi di atas, sehingga dapat digunakan untuk membuktikan adanya suatu

isomorfik dari suatu grup ke grup lainnya.

1) “O.P”. Buktikan bahwa mengawetkan operasi, yaitu tunjukkan bahwa

( ) ( ) ( )ab a b , untuk semua a dan b di G.

2) “1-1”. Buktikan bahwa satu-satu, yaitu asumsikan ( ) ( )a b dan buktikan

bahwa a b .

3) “Pemetaan”. Definisikan suatu calon untuk isomorfisme , yaitu definisikan

suatu fungsi dari G ke G .

4) “Pada”. Buktikan bahwa pada, yaitu untuk sebarang elemen g di G , tentukan

sebuah elemen g di G sehingga ( ) .g g

Latihan 5.3

Misalkan G adalah grup bilangan riil terhadap operasi penjumlahan dan G adalah grup

bilangan riil positif terhadap operasi perkalian. Tunjukkan bahwa G dan G isomorfik

terhadap pemetaan ( ) 2 .xx

Latihan 5.4

Tunjukkan bahwa pemetaan dari terhadap dirinya sendiri yang diberikan oleh

3( )x x bukan suatu isomorfisme. Syarat apakah yang tidak dipenuhi oleh tersebut?


40

Latihan 5.5

Buktikan bahwa 4(10) (5).U U

Latihan 5.6

Dapatkah dikatakan bahwa grup siklis berorde 4 isomorfik terhadap 4? Jelaskan

pendapatmu! Bagaimana bila dikatakan grup siklis berorde n isomorfik terhadap n dan

grup siklis berorde tak hingga isomorfik dengan ? Jelaskan pendapatmu!

Latihan 5.7

Selidiki apakah (10) (12)U U !

5.2 Teorema Cayley

Teorema 5.1 Teorema Cayley

Setiap grup adalah isomorfik ke suatu grup permutasi.

Latihan 5.8


Petunjuk:

1. Untuk sebarang g di G, definisikan suatu fungsi gT dari G ke G, dengan

( )gT x gx untuk semua x di G.

2. Misalkan .gG T g G Jelaskan bahwa G adalah grup terhadap operasi

fungsi komposisi.

3. Ambil suatu pemetaan dari G ke G . Untuk setiap g di G, definisikan

.gg T

4. Tunjukkan bahwa suatu isomorfisme dari G ke G , dengan memeriksa

apakah suatu fungsi 1-1 pada dan OP.

5. G disebut wakil reguler kiri dari G (left reguler representative of G).


41

Latihan 5.9

Selidiki apakah U(10) dan (10)U isomorfik! ( (10)U adalah grup permutasi dari U(10)).

Petunjuk:

1. Misalkan 1 2(10) , ,..., nU a a a , maka 1 2

(10) , ,...,na a aU T T T .

2. Buatlah tabel Cayley dari dua grup tersebut, dan bandingkan!

Latihan 5.10

Dengan cara yang sama seperti pada Latihan 5.8, selidiki apakah U(12) dan (12)U

isomorfik!

5.3 Sifat-sifat Isomorfisme

Teorema 5.2 Sifat-sifat Isomorfisme

Misalkan adalah suatu isomorfisme dari grup G pada grup G , maka

1. membawa identitas dari G ke identitas G .

2. Untuk setiap bilangan bulat n dan untuk setiap elemen grup a di G, nna a .

3. Untuk elemen a dan b di G, a dan b berkomutasi jika dan hanya jika ( )a dan ( )b

berkomutasi.

4. G adalah Abelian jika dan hanya jika G Abelian.

5. a a untuk semua a di G (isomorfisme mengawetkan order).

6. G adalah siklis jika dan hanya jika G siklis.

7. Untuk bilangan bulat tetap k dan elemen grup tetap b di G, persamaan kx b

mempunyai banyak solusi yang sama di G seperti persamaan kx b di G .

8. 1 adalah suatu isomorfisme dari G pada G.

9. Jika K adalah suatu subgrup dari G, maka K k k K adalah subgrup dari

G .

Latihan 5.11

Tunjukkan bahwa (8) (12).U U


42

Latihan 5.12

Dengan menggunakan sifat no.5 dari isomorfisme, tunjukkan bahwa (8) (10).U U

Latihan 5.13

Selidiki apakah U(20) dan U(24) isomorfik.

5.4 Automorfisme

Definisi 5.2 Automorfisme

Suatu isomorfisme dari suatu grup G pada dirinya sendiri disebut automorfisme dari G.

Latihan 5.14

Misalkan adalah sebuah grup dari bilangan real positif terhadap operasi perkalian.

Tunjukkan bahwa pemetaan ( )x x adalah suatu automorfisme dari .

Latihan 5.15

Misalkan G suatu grup dan a adalah elemen dari G. Buktikan bahwa pemetaan a yang

didefinisikan oleh 1( )a x axa adalah suatu automorfisme dari G.

Latihan 5.16

Buktikan bahwa pemetaan yang diberikan oleh 3x x , dari U(16) terhadap dirinya

sendiri, merupakan suatu automorfisme.

Definisi 5.3 Automorfisme Dalam yang Disebabkan oleh a (inner automorphisme of G

induced by a)

Misalkan G suatu grup, dan misalkan a G . Fungsi a yang didefinisikan oleh

1( )a x axa untuk semua x di G disebut automorfisme dalam dari G yang disebabkan

oleh a.


43

Latihan 5.16

Perhatikan grup dehidral 4D . Ambil

90 4.R D Tuliskan semua automorfisme dalam dari

4D yang disebabkan oleh 90R .

Latihan 5.17

Kerjakan hal yang sama seperti pada Latihan 5.16, tetapi yang disebabkan oleh 180R .

Ilustrasi 5.2

Himpunan dari semua automorfisme dari suatu grup G, membentuk suatu grup tersendiri

yang disebut Aut(G). Himpunan dari semua automorfisme dalam dari G yang disebabkan

oleh a juga membentuk grup tersendiri yang disebut Inn(G).

Teorema 5.3 Aut(G) dan Inn(G) adalah Grup

Himpunan automorfisme dari suatu grup dan himpunan automorfisme dalam dari suatu

grup adalah grup terhadap operasi fungsi komposisi.

Latihan 5.18

Tentukan semua himpunan automorfisme dari grup Aut(10

).

Petunjuk:

1. Misalkan 10Aut( ) . Karena

10 10 , asumsikan

10 1 2 3 10Aut( ) { , , ,..., } .

2. Tentukan generator dari 10

.

3. Karena 1 adalah salah satu generator dari 10

, maka 1 10 .

4. Tentukan pilihan untuk hasil pemetaan (1) .

5. Tunjukkan bahwa i adalah automorfisme, dengan i adalah generator dari

10.

Latihan 5.19

Dengan cara yang sama seperti pada Latihan 5.18, tentukan semua automorfisme dari Aut(

6).


44

Teorema 5.4 ( ) ( )nAut Z U n

Untuk setiap bilangan bulat n, ( )nAut Z adalah isomorfik ke U(n).

Latihan 5.20

Tunjukkan bahwa 10( ) (10)Aut Z U .

Latihan 5.21

Ambillah contoh ( )nAut Z yang lain, yang isomorfik ke U(n).


45

Ilustrasi 6.1.

Perhatikan grup dari himpunan bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan. Subgrup

dari salah satunya adalah himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 terhadap operasi

penjumlahan, yaitu 3 ..., 6, 3,0,3,6,... . Tambahkan 1 pada setiap elemen subgrup

tersebut, sehingga diperoleh subset dari , yaitu 1 3 ..., 5, 2,1,4,7,... . Tambahkan

2 pada setiap elemen subgrup tersebut, sehingga diperoleh subset lain, yaitu

2 3 ..., 4, 1,2,5,8,... . Gabungan dari ketiga subset ini akan membentuk himpunan

bilangan bulat , sehingga sebarang bilangan bulat akan termasuk dalam salah satu dari

ketiga subset tersebut.

6.1 Definisi Koset

Definisi 6.1 Koset H di G

1) Misalkan G suatu grup dan H adalah subset dari G. Untuk a G , himpunan

aH ah h H , Ha ha h H dan 1 1aHa aha h H .

2) Jika H adalah suatu subgrup dari G, maka himpunan aH disebut koset kiri dari H di

G yang memuat a, sementara Ha disebut koset kanan dari H di G yang memuat a.

Pada kasus ini, elemen a disebut wakil (representative) dari aH (atau Ha).

3) Banyaknya elemen dalam himpunan aH dinyatakan dengan aH dan banyaknya

elemen di Ha dinyatakan dengan Ha .

Latihan 6.1

Misalkan (1),(13)H di 3G S terhadap operasi fungsi komposisi. Tentukan koset kiri

dari H di G. Selidiki apakah terdapat ,a b G sehingga aH = bH.


46

Latihan 6.2

Misalkan 0,3,6H di 9 terhadap penjumlahan. Tentukan koset kiri dan koset kanan

dari H di 9. Selidiki apakah terdapat ,a b G sehingga aH = bH (atau Ha = Hb).

Latihan 6.3

Misalkan 4G D (grup dehidral berorde 8), dan 0 180,H R R . Tentukan koset kiri dari

H di D4. Apakah koset-koset kiri tersebut merupakan subgrup dari D4? Jelaskan

pendapatmu!

Latihan 6.4

Tentukan semua koset kiri dari 1,8H di G = U(15). Di antara koset-koset kiri

tersebut, tentukan mana yang merupakan subgrup dari U(15).

Latihan 6.5

Perhatikan Latihan 6.3-6.4 tersebut. Dapatkah kamu menyusun konjektur (dugaan),

apakah syarat suatu koset kiri dari H menjadi subgrup dari G? Jelaskan pendapatmu.

6.2 Sifat-sifat Koset

Lemma 6.1 Sifat-sifat Koset

Misalkan H subgrup dari G dan misalkan a dan b anggota G. Maka,

1. ,a aH

2. aH H jika dan hanya jika ,a H

3. aH bH atau aH bH ,

4. aH bH jika dan hanya jika 1 ,a b H

5. ,aH bH

6. aH Ha jika dan hanya jika 1H aHa ,

7. aH adalah subgrup dari G jika dan hanya jika a H .


47

Latihan 6.7

Buktikan Lemma di atas.

Latihan 6.8

Misalkan 1,11H di grup U(30). Dengan menggunakan sifat koset, tentukan koset-

koset kiri dari H di U(30).

Latihan 6.9

Dengan menggunakan sifat no.7 dari Lemma 6.1 tersebut, tentukan koset kiri mana yang

merupakan subgrup dari U(30).

6.3 Teorema Lagrange dan Konsekuensinya

Teorema 6.1 Teorema Lagrange: H Membagi G

Jika G suatu grup berhingga dan H adalah suatu subgrup dari G, maka H membagi G .

Banyaknya koset kiri (kanan) yang berbeda dari H di G adalah G / H .

Latihan 6.10

Buktikan Teorema 6.1 tersebut di atas.

Latihan 6.11

Misalkan (1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)H . Berapakah banyaknya koset kiri yang

berbeda dari H di A4. Sebutkan!

Latihan 6.12

Misalkan P adalah subgrup murni (proper subgrup) dari Q dan Q adalah subgrup murni

dari R. Jika 35P dan 350R , berapakah kemungkinan orde dari Q?


48

Ilustrasi:

Indeks dari suatu subgrup H di G adalah banyaknya koset kiri dari H di G, dan dinyatakan

dengan :G H . Jika H berhingga, Teorema Lagrange menyatakan bahwa

: /G H G H .

Akibat 6.1 a Membagi G

Pada suatu grup berhingga, orde dari setiap elemen grup membagi orde grup.

Latihan 6.13

Misalkan grup (10)G U . Tentukan orde dari G dan orde elemen-elemennya.

Latihan 6.14

Misalkan a mempunyai orde 30. Berapa banyak koset kiri dari 5a di a ? Tuliskan

semua koset kiri tersebut.

Akibat 6.2 Grup Berorde Prima adalah siklis

Suatu grup berorde prima adalah siklis.

Latihan 6.15

Buktikan Lemma 6.2 tersebut.

Latihan 6.16

Tunjukkan bahwa grup 5 terhadap penjumlahan merupakan grup siklis.

Akibat 6.3 G

a e

Misalkan G adalah grup berhingga, dan misalkan .a G Maka G

a e .

Latihan 6.17

Buktikan Akibat 6.3 tersebut.


49

Latihan 6.18

Misalkan G = U(12). Misalkan (12).a U Tunjukkan bahwa G

a e .

Akibat 6.4 Teorema Kecil Fermat

Untuk setiap bilangan bulat a dan setiap prima p, pa modulo p = a modulo p.

Latihan 6.19

Buktikan Akibat 6.4 tersebut.

Latihan 6.20

Selidiki apakah bilangan 2572 1p adalah prima.

Petunjuk: Gunakan Teorema Kecil Fermat.

1. Jika p prima, maka 10 10p modulo p, sehingga 110 100p modulo p.

2. Hitung 2571 210 10p . Bila hasilnya tidak 100, maka p bukan prima.

Latihan 6.21

Hitunglah 155 modulo 7 dan 137 modulo 11.

6.4 Aplikasi Koset untuk Grup Permutasi

Definisi 6.2. Penyeimbang (Stabilizer) dari suatu Titik

Misalkan G suatu grup permutasi dari suatu himpunan S. Untuk masing-masing i di S,

definisikan stab ( ) ( ) .G i G i i Dikatakan, stab ( )G i adalah penyeimbang i di G.

Latihan 6.22

Apakah stabG (i) merupakan subgrup dari G? Jelaskan pendapatmu!

Latihan 6.23

Misalkan G = {(1), (132)(465), (132)(465)(78), (123)(456), (123)(456)(78), (78)}.

Tentukan stabG (i).


50

Definisi 6.3. Orbit Titik

Misalkan G suatu grup permutasi dari suatu himpunan S. untuk masing-masing s di S,

misalkan orb ( ) ( ) .G s s G Himpunan orb ( )G s adalah subset dari S, yang disebut

orbit dari s terhadap G.

Latihan 6.24

Untuk grup G yang sama seperti pada soal Latihan 6.23, tentukan orb ( )G s .

Latihan 6.25

Misalkan G = {(1), (12)(34), (1234)(56), (13)(24), (1432)(56), (56)(13), (14)(23),

(24)(56)}.

a) Tentukan penyeimbang dari 1 dan orbit dari 1.

b) Tentukan penyeimbang dari 3 dan orbit dari 3.

c) Tentukan penyeimbang dari 5 dan orbit dari 5.

Teorema 6.2 Teorema Orbit-Penyeimbang

Misalkan G suatu grup permutasi berhingga dari suatu himpunan S. Maka, untuk sebarang

i dari S, ( ) ( ) .G GG orb i stab i

Latihan 6.26



51

DAFTAR PUSTAKA

Clark, David M. (2007). Theory of Group. Dalam Journal of Inquiry-Based Learning in

Mathematics [Online], Issue 3, Volume 2007. Tersedia:

http://www.jiblm.org/jiblm/downloads/jiblmjournal/V0703/V0703.pdf [21 Oktober

2008]

Clark, W. Edwin (1998). Elementary Abstract Algebra [Online]. Tersedia:

http://shell.cas.usf.edu/~eclark/Elem_abs_alg.pdf [21 November 2008]

Dummit, David S. & Foote, Richard M. (2002). Abstract Algebra (Second Edition).

Singapura: John Wiley & Sons (Asia) Pte. Ltd.

Gallian, Joseph A. (1998). Contemporary Abstract Algebra (Fourth Edition). Boston:

Houghton Mifflin Company.

_______________ (2005). Advice for Students for Learning Abstract Algebra [Online].

Tersedia: http://www.d.umn.edu/~jgallian/advice.html [8 Januari 2009]

Herstein, I. N. (1975). Topics in Algebra (Second Edition). New York: John Wiley &

Sons.

Hungerford, Thomas W. (1974). Algebra. New York: Springer-Verlag New York, Inc.

http://www.jiblm.org/jiblm/downloads/jiblmjournal/V0703/V0703.pdf

http://shell.cas.usf.edu/~eclark/Elem_abs_alg.pdf

http://www.d.umn.edu/~jgallian/advice.html

struktur aljabar: grup - rippi …rippi-maya.dosen.stkipsiliwangi.ac.id/files/2016/10/grup-2016.pdf5...

Documents