finite grup dan subgrup
TRANSCRIPT
D
I
S
U
S
U
N
OLEH :
1. Djuwita Trisnawati (06122502011)
2. Ogi Meita Utami (06122502001)
Dosen Pengasuh : 1. Dr. Darmawijoyo
2. Dr. Nila Kesumawati, M.Si.
PROGRAM STUDI MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SRIWIJAYA
2012-2013
FINITE GRUP DAN SUBGRUP
A. Pendahuluan
Pada pertemuan sebelumnya telah dipelajari materi grup mulai dari
definisi grup sampai pada bagaimana caranya menentukan suatu himpunan
merupakan grup atau bukan. Sedangkan untuk pertemuan kali ini materi yang
akan dibahas adalah finite grup dan subgrup. Seperti yang telah diketahui
bahwa suatu himpunan dapat dikatakan grup jika himpunan itu memiliki
anggota atau tidak kosong dan memenuhi ciri-ciri grup itu sendiri. Grup yang
memiliki anggota berhingga merupakan grup terbatas atau finite grup,
sedangkan grup yang anggotanya tidak terbatas disebut infinite grup. Grup
yang anggotanya terbatas inilah yang akan dibahas dalam materi ini.
Selain finite grup, pada pembahasan kali ini akan dijelaskan juga materi
subgrup. Seperti yang kita ketahui bahwa setiap himpunan akan ada
himpunan bagiannya. Misalnya himpunan bilangan bulat memiliki himpunan
bagian yaitu himpunan bilangan bulat positif. Begitu juga halnya dengan
grup, yang dapat juga diketahui bagian grup tersebut atau sering disebut
subgrup. Suatu himpunan dapat dikatakan subgrup dari suatu grup jika
memenuhi syarat-syarat subgrup suatu grup. Syarat-syarat subgrup inila yang
juga akan dipelajari dalam pembahasan kali ini.
Dengan demikian, setelah mempelajari materi ini mahasiswa
diharapkan mampu:
- Menentukan apakah sebuah grup merupakan finite grup .
- Menentukan order dari grup dan order dari anggota grup.
- Menjelaskan definisi subgrup.
- Menentukan suatu himpunan merupakan subgrup dari suatu grup.
B. Finite Grup
Definisi order dari grup
Jumlah anggota dari suatu grup disebut dengan order. Order dari grup G
dinotasikan dengan |G|.
Seperti halnya grup Z dari bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan
mempunyai order yang tidak terbatas. Sehingga disebut infinite grup.
Sedangkan grup U(10) = {1, 3, 7, 9} terhadap operasi perkalian modulo 10
mempunyai order 4. Sehingga disebut finite grup.
Definisi order dari anggota grup
Order dari anggota g sebuah grup G merupakan bilangan bulat terkecil
positif n dengan
gn = e (untuk grup terhadap operasi perkalian). Untuk grup terhadap operasi
penjumlahan dinyatakan dengan ng = 0. Jika tidak memenuhi definisi di atas,
maka disebut dengan infinite order.
Order dari anggota g sebuah grup G dinotasikan dengan |g|.
Order dari anggota g sebuah grup G dapat dicari dengan hanya
menghitung urutan dari g1, g
2, g
3, g
4,…………, sampai perhitungannya
menghasilkan identitas, yaitu 0 (untuk grup terhadap operasi perkalian).
Sedangkan untuk grup terhadap operasi penjumlahan order dari anggota
sebuah grup G dapat dicari dengan menghitung 1.g, 2.g, 3.g, 4.g,………..,
sampai perhitungannya menghasilkan identitas, yaitu 0. Jika perhitungannya
dilanjutkan tetapi tidak menghasilkan identitas, maka g merupakan infinite
order.
Contoh 1:
Diberikan U(15) = {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14} terhadap operasi perkalian
modulo 15.
a. Grup ini mempunyai order grup 8.
b. Order masing-masing anggota grup dicari dengan menghitung gn = e.
Order dari 1 : 11 = 1, 1
2 = 1, …….. Jika diteruskan hasilnya berulang 1.
Jadi order dari 1 adalah 1, atau dinotasikan dengan |1| = 1.
Order dari 2 : 21 = 2, 2
2 = 4, 2
3 = 8, 2
4 = 1
Jadi, order dari 2 adalah 2, 4, 8 dan 1, atau dinotasikan dengan |2| = 4.
Order dari 4 : 41 = 4, 4
2 = 1
Jadi, order dari 4 adalah 4 dan 1, atau dinotasikan dengan |4| = 2
Dengan perhitungan yang sama akan didapat :
|7| = 4, |8| = 4, |11| = 2, |13| = 4, |14| = 2
Contoh 2:
Diberikan Z10 terhadap operasi penjumlahan modulo 10.
a. Z10 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Grup ini mempunyai order grup 10
b. Order masing-masing anggota grup dicari dengan menghitung ng = 0
Order dari 0 : 1.0 = 0, 2.0 = 0 (2.0 artinya 0+0)
Jadi, order dari 0 adalah 0, atau dinotasikan dengan dengan |0| = 1
Order dari 1 : 1.1 = 1, 2.1 = 2, 3.1 = 3, 4.1 = 4, 5.1 = 5, 6. 1 = 6, 7.1 =
7, 8.1 = 8, 9.1 = 9, 10.1 = 0
Jadi, order dari 1 adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dan 0 atau dinotasikan
dengan |1| = 10
Order dari 2 : 1.2 = 2, 2.2 = 4, 3.2 = 6, 4.2 = 8, 5.2 = 0
Jadi, order dari 2 adalah 2, 4, 6, 8 dan 0 atau dinotasikan dengan |2| = 5
Order dari 3 : 1.3 = 3, 2.3 = 6, 3.3 = 9, 4.3 = 2, 5.3 = 5, 6.3 = 8, 7.3 =
1, 8.3 = 4, 9.3 = 7, 10.3 = 0
Jadi, order dari 3 adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, atau dinotasikan
dengan |3| = 10
Dengan cara yang sama akan didapat |4| = 5, |5| = 2, |6| = 5, |7| = 10,
|8| = 5, |9| =10
C. Subgrup
Definisi
Suatu subhimpunan tak kosong H dalam grup G dinamakan subgrup dari
G, jika terhadap operasi yang sama di G, subhimpunan H sendiri
merupakan grup.
(Muhlisah, 2005:45)
Contoh 3 :
Apabila Z = himpunan bilangan bulat merupakan grup terhadap operasi
penjumlahan. Sedangkan Z adalah subhimpunan dari Q = himpunan
bilangan rasional yang juga merupakan grup terhadap penjumlahan, maka
Z dinamakan subgrup dari grup Q.
Lemma 1
A nonempty subset H of the group G is a subgroup of G if and only if:
1. a,b ∈ H, implies that a.b ∈ H
2. a ∈ H, implies that a-1
∈ H
(Herstein, 1975:37)
Suatu subhimpunan tidak kosong H dalam grup G, merupakan subgrup
jiaka dan hanya jika dipenuhi:
a. Untuk setiap g,h ∈ H, maka g.h ∈ H
b. Bila g ∈ H, maka g-1
∈ H
(Muhlisah, 2005:45)
Bukti Lemma 1:
Jika H subgroup dari G, maka H subhimpunan tidak kosong dari G.
Menurut definisi, H membentuk grup dengan operasi yang sama dengan
G. Dengan demikian H memenuhi (a) dan (b).
Atau
Anggaplah syarat (a) dan (b) berlaku dalam H. Untuk menunjukkan bahwa
H membentuk grup dengan operasi dalam G, maka harus dapat
ditunjukkan dua syarat lagi, yaitu:
1. dalam H berlaku sifat asosiatif
Sifat asosiatif dipenuhi karena H merupakan subhimpunan G.
2. adanya unsur identitas dalam H
Misal: ∀ a ∈ H , maka a-1
∈ H.
Karena tertutup maka a.a-1
= e dan e ∈ H
Ini melengkapi pembuktian bahwa H membentuk grup. Jadi H merupakan
subgroup dari G.
Contoh 4:
Misalkan G grup bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan, H subgrup
dari G yaitu hmpunan semua bilangan bulat kelipatan 3.
H = {3n | n ∈ Z}
Buktikan bahwa H subgrup dari G.
Bukti :
Berdasarkan lemma 1, maka harus dibuktikan jika H memenuhi sifat
tertutup dan memiliki invers. Namun perlu dibuktikan juga bahwa H ≠ ∅,
dengan demikian:
1. H tidak kosong, karena ada 0 = 3(0) ∈ G, yang berarti 0 di H.
2. Ambil sembarang a,b ∈ H, misalkan a = 3n1 dan b = 3n2,
untuk n1, n2 ∈ Z. Akan dibuktikan a + b ∈ Z
a + b = 3n1 + 3n2
= (n1 + n1 + n1) + (n2 + n2 + n2)
= (n1 + n2) + (n1 + n2) + (n1 + n2)
= 3 (n1 + n2)
Karena n1, n2 ∈ Z maka n1 + n2 ∈ Z, dengan demikian a + b ∈ Z
Sehingga H terhadap operasi penjumlahan dalam G bersifat tertutup.
3. Ambil sembarang a = 3n1 di H, akan ditunjukkan bahwa invers dari a
yaitu –a juga di H.
Misalkan n1 ∈ G, maka ada – n1 di G
Akan dibuktikan jika 3(-n1) juga di H
-a = - (3n1)
= - (n1 + n1 + n1)
= (-n1) + (n1) + (-n1)
= 3(-n1)
Jadi, 3(-n1) ∈ H atau -a ∈ H
Berdasarkan penjelasan di atas dapat dibuktikan bahwa H subgrup dari G.
Lemma 2
Bila H subhimpunan berhingga yang tak kosong dalam G dan H tertutup
terhadap perkalian, maka H merupakan subgrup dalam G.
(Muhlisah, 2005:47)
Bukti Lemma 2:
Dari lemma 2 ini, sudah diketahui bahwa H adalah himpunan yang tidak
kosong dan bersifat tertutup. Dengan demikian, hanya perlu ditunjukkan
bahwa jika a ∈ H maka a-1
∈ H.
Ambil a ∈ H sembarang, karena H tertutup maka
a2 = a.a ∈ H, a
3 = a.a
2 ∈ H ,….., a
m ∈ H
Tetapi, H himpunan berhingga, karena itu harus terdapat r > s > 0
sedemikian hingga :
ar = a
s
ar . a
-s = a
s . a
-s
ar . a
-s = e
ar-s
= e
Karena r - s > 0, berarti ar-s
= e ∈ H , sehingga H memuat identitas
Selanjutnya r - s - 1 ≥ 0, berarti ar-s-1
∈ H dan a-1
= ar-s-1
Dari: a-1
= ar-s-1
a.a-1
= ar-s-1
a
e = ar-s
, maka a-1
∈ H
Teorema
Let G be a group and H a nonempty subset of G. If ab-1
is in H whenever a
and b are in H, then H is a subgroup of G.
(Gallian, 2010:59)
Contoh 6:
Misalkan G grup komutatif dan H = {x ∈ G | x2 = e} merupakan
subhimpunan dalam G. Buktikan H subgrup dari G.
Bukti :
Pertama kali tunjukkan bahwa H tidak kosong.
Karena e ∈ G berarti e.e = e2 = e ∈ H jadi H tak kosong. Misalkan a,b
sembarang unsur H, berarti a2 = e dan b
2 = e
Akan ditunjukkan bahwa ab-1
∈ H
(ab-1
)2 = (ab
-1) (ab
-1)
= a2 (b
-1)2
= a2 (b
2)-1
= e e-1
= e
Dari uraian di atas didapat (ab-1
) = e, karena e ∈ H maka terbukti ab-1
∈ H
Sehingga dapat disimpulkan bahwa H subgrup G.
GLOSARIUM
Order grup adalah Jumlah anggota dari suatu grup.
Order elemen grup adalah bilangan bulat terkecil positif n dengan gn = e (untuk
grup terhadap operasi perkalian). Untuk grup terhadap operasi penjumlahan
dinyatakan dengan ng = 0.
Grup finite adalah grup yang mempunyaii anggota yang berhingga.
Subgrup adalah suatu subhimpunan tak kosong H dalam grup G dinamakan
subgrup dari G, jika terhadap operasi yang sama di G, subhimpunan H sendiri
merupakan grup.
DAFTAR PUSTAKA
Herstein I. N. 1975. Topics in Algebra. New York.
Gallian J. A. 2010. Contemporary Abstract Algebra. Belmont: Brooks
Muchlisah, Nurul. 2005. Teori Grup dan Terapannya. Surakarta: LPP UNS dan
UNS Press.
SOAL – SOAL
1. Diberikan grup U(10) terhadap operasi perkalian modulo 10. Tentukanlah
order dari grup dan order dari anggota grup tersebut?
2. Diberikan grup G = {1, 2, 3, 4} himpunan bilangan bulat modulo 5 yang
bukan nol. (G,×) grup kumutataif. Tentukan subgrup dari (G,×)
3. Misalkan G merupakan grup bilangan real bukan nol terhadap operasi
perkalian, H = {x ∈ G | x = 1 atau x irrasional} dan K = {x ∈ G | x ≥ 1}.
Tunjukkan apakah H dan K subgrup dari G atau bukan.
4. (G, o) suatu grup dan a ∈ G. Buktikan bahwa
H = {x | x ∈ G dan x o a = a o x} adalah subgrup dari G
5. Jika G = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} merupakan grup, maka buktikan
bahwa H subgrup dari G. Jika H ={0, 2, 4, 6, 8} terhadap operasi
penjumlahan modulo 10
6. Jika H dan K subgrup-subgrup dari G, tunjukkan bahwa H iris K juga
merupakan subgrup dari G.
7. Jika H subgrup dari G, dan a elemen G, Misalkan aHa-1
= {aha-1
l h € H}
maka tunjukkanlah bahwa ia merupakan subgrup dari G.
8. Jika H suatu subgrup dari G, maka Pemusatan H adalah C(H),
H}. Buktikan bahwa C(H) merupakan subgrup dari G.yaitu himpunan
{x ∈ G|xh = hx, untuk semua h}.
9. Tunjukan bahwa Z10 = <3> = <7> = <9>. Apakah Z10 = <2> ?
PEMBAHASAN SOAL
1. Diberikan grup U(10) = (1, 3, 7, 9)
Order grup U(10) adalah 1, 3, 7 ,9 sehingga |U| = 4
Order masing-masing anggota grup dicari dengan menghitung gn = e
Order dari 1 : 1.1 = 1, 2.1 = 2, 3.1 = 3, 4.1 = 4, 5.1 = 5, 6. 1 = 6, 7.1
= 7, 8.1 = 8, 9.1 = 9, 10.1 = 0
Jadi, order dari 1 adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9 atau dinotasikan
dengan |1| = 10
Order dari 3 : 1.3 = 3, 2.3 = 6, 3.3 = 9, 4.3 = 2, 5.3 = 5, 6.3 = 8, 7.3
= 1, 8.3 = 4, 9.3 = 7, 10.3 = 0
Jadi, order dari 3 adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, atau dinotasikan
dengan |3| = 10
Order dari 7 : 1.7 = 7, 2.7 = 4, 3.7 = 1, 4.7 = 8, 5.7 = 5, 6.7 = 2, 7.7
= 9, 8.7 = 6, 9.7 = 3, 10.7 = 0
Jadi, order dari 7 adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 atau dinotasikan
dengan |7| = 10
Order dari 9 : 1.9 = 9 , 2.9 = 8 , 3.9 = 7, 4.9 = 6 , 5.9 = 5, 6.9 = 4,
7.9 = 3, 8.9 = 2, 9.9 = 1, 10.9 = 0
Jadi, order dari 9 adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 atau dinotasikan
dengan |9| = 10
2. Tabel hasilkali anggota G = {1, 2, 3, 4} modulo 5
× 1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 4 1 3
3 3 1 4 2
4 4 3 2 1
Berdasarkan lemma 1, suatu kompleks H merupakan subgrup jika
memenuhi sifat:
c. Untuk setiap g,h ∈ H, maka g.h ∈ H
d. Bila g ∈ H, maka g-1
∈ H
Oleh karena itu subgrup H dapat ditentukan denan melihat tabel:
1. Ambil elemen identitas sebagai anggota H
2. Ambil anggota G yang merupakan invers satu dengan yang lain
menjadi anggota H.
3. Kemudian cek syarat tertutup
Apabila dipenuhi sifat tertutup berarti subgrup. Apabila tidak
dipenuhi berarti bukan subgrup G.
- Coba H = {1, 2, 3}
a. 1 elemen identitas G
b. 2 dan 3 bukan anggota G yang merupakan invers dari
anggota yang satu dengan yang lain
c. 3 × 3 = 4 ≠ H (tidak tertutup)
Jadi, H {1, 2, 3} bukan anggota subgrup G
- Coba H = {1, 4}
a. 1 elemen identitas G
b. 4 anggota G yang merupakan invers dirinya sendiri
c. 4 × 4 = 1 ∈ H (sifat tertutup terpenuhi)
Jadi, H = {1, 4}
3. - Untuk H = {x ∈ G | x = 1 atau x irrasional},
ambil x = 2 , dengan 2 ∈ H maka: 2 . 2 = 2
karena 2 bukan anggota dari G dan H, maka H bukan subgrup dari
G. (sifat tertutup tidak terpenuhi)
- Untuk K = {x ∈ G | x ≥ 1}
Ambil x = 2, invers dari x adalah 2-1
. Karena 2-1
bukan anggota G
dan H, maka K bukan subgrup dari G. (tidak mempunyai invers)
4. Untuk menunjukkan H subgrup G, akan dibuktikan bahwa H tertutup
terhadap operasi o dan setiap elemen H terhadap operasi o
mempunyai invers dalam H
a. Ambil b,c ∈ H, maka didapat :
b o a = a o b
c o a = a o c
Akan ditunjukkan (b o c) o a = b o (c o a)
(b o c) o a = b o (a o c) c ∈ H
= (b o a) o c sifat asosiatif dalam G
= (a o b) o c b ∈ H
= a o (b o c) sifat asosiatif dalam G
Jadi, (b o c) o a = b o (c o a). Hal ini berarti (b o c) ∈ H dan H
tertutup terhadap operasi o.
b. Ambil b∈ H berarti b ∈ G dan karena G suatu grup, maka ada
b-1
∈ G dan b-1
∈ H
b o a = a o b
b-1
o (b o a) = b-1
o (a o b)
(b-1
o b) o a = (b-1
o a) o b
i o a = b-1
o (a o b)
a = b-1
o (a o b)
a o b-1
= (b-1
o (a o b)) o b-1
a o b-1
= (b-1
o a) o (b o b-1
)
a o b-1
= (b-1
o a) o i
a o b-1
= b-1
o a
Hal ini menunjukka bahwa b-1
∈ H. Jadi setiap elemen H
mempunyai invers dalam H. Terbukti bahwa H subgrup dari G.
5. H = {0, 2, 4, 6, 8} terhadap operasi penjumlahan modulo 10
+ 0 2 4 6 8
0 0 2 4 6 8
2 2 4 6 8 0
4 4 6 8 0 2
6 6 8 0 2 4
8 8 0 2 4 6
Untuk membuktikan bahwa H subgrup G maka akan ditunjukkan
bahwa operasi pada H tertutup dan setiap anggota di H mempunyai
invers.
Berdasarkan tabel terlihat bahwa hasil operasi himpunan H semuanya
ada pada H sehingga bersifat tertutup.
Dan setiap anggota H mempunyai invers di H itu sendiri:
2 + 8 = 0 8 + 2 = 0 0 + 0 = 0
4 + 6 = 0 6 + 4 = 0
Karena sifat tertutup terpenuhi dan setiap elemen H mempunyai
invers di H, maka terbukti bahwa H subgrup G.
6. H iris K takkosong sebab ada e elemen H dan e elemen K sehingga e
elemen H iris K.
Ambil sebarang a,b elemen H iris K. Akan ditunjukan ab elemen
H iris K.
Perhatikan bahwa : a,b elemen H iris K , maka a,b elemen H dan
a,b elemen K. Kerana H dan K grup, maka ab elemen H dan ab
elemen K. Ini menunjukan bahwa ab elemen H iris K.
Ambil sebarang a elemen H iris K. Adit invers dari a elemen H
iris K.
Perhatikan bahwa : a elemen H iris K , maka a elemen H dan a
elemen K. Karena H dan K grup, maka invers dari a elemen H dan
elemen K. Karena itu invers dari a elemen H iris K.
Ini berarti H iris K subgrup dari G.
7. aHa-1
= {aha-1
l h ∈ H} tak kosong sebab ada e unsur H
sehingga aea-1
= e elemen aHa-1
ambil sebarang c,d ∈ aHa-1
c ∈ aHa-1
, maka c=ah1a-1
d ∈ aHa-1
, maka d=ah2a-1
cd=ah1a-1
ah2a-1
=ah1h2a-1
, karena H grup, maka cd ∈ aHa-1
ambil sebarang
f ∈ aHa-1
, adit f-1
∈ aHa-1
perhatikan f=ah3a-1
, ada h3 ∈ H karena H grup, maka h-1
∈H
akan dibuktikan f-1
=ah1-1
a-1
maka harus ditunjukkan ah1-1a-1
ah1a-1
=e, tetapi
ah1-1
a-1
ah1a-1
=ah1h1-1
a-1
= ae a-1
=e
Jadi, f-1∈aHa
-1
8. C(H) takkosong, sebab ada e ∈ G sehingga eh=h=he, e ∈ C(H).
ambil sebarang a,b ∈ C(H). Akan dibuktikan ab ∈ C(H).
Untuk itu harus ditunjukan bahwa abh = hab, untuk setiap h ∈ H.
Perhatikan bahwa : untuk setiap h ∈ H, maka ah b = hab dan
abh = ahb.
Ini berarti untuk setiap h ∈ H, maka abh = hab.
ambil sebarang x,y ∈ C(H), maka: xh = hx dan yh = hy
Akan dibuktikan (xy-1
) h = h (xy-1
)
Bukti:
(xy-1
) h = (xy-1
) h e
= (xy-1
) h (yy-1
)
= (xy-1
) (hy) y-1
= (xy
-1) (yh) y
-1
= x (y
-1y) h y
-1
= x (h y
-1)
= (xh) y-1
=(hx) y
-1
= h (x y-1
) ∈ C (H)
Terbukti bahwa C (H) adalah subgrup G.
9. Z10 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
<3> = 3¹ = 3
3² = 6
3³ = 9 mod 10
34 = 2 mod 10
35 = 5 mod 10
36 = 8 mod 10
37 = 1 mod 10
38 = 4 mod 10
39 = 7 mod 10
310
= 0 mod 10
Jadi, <3> = { 3, 6, 9, 2, 5, 8, 1, 4, 7, 0 }
<7> = 7¹ = 7
7² = 4
7³ = 1 mod 10
74 = 8 mod 10
75 = 5 mod 10
76 = 2 mod 10
77 = 9 mod 10
78 = 6 mod 10
79 = 3 mod 10
710
= 0 mod 10
Jadi, <7> = { 7, 4, 1, 8, 5, 2, 9, 6, 3, 0 }
<9> = 9¹ = 9
9² = 8
9³ = 7 mod 10
94 = 6 mod 10
95 = 5 mod 10
96 = 4 mod 10
97 = 3 mod 10
98 = 2 mod 10
99 = 1 mod 10
910
= 0 mod 10
Jadi, <9> = { 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0 }
<2> = 2¹ = 2
2² = 4
2³ = 8 mod 10
24 = 6 mod 10
25 = 2 mod 10
26 = 4 mod 10
Jadi, <2> = { 2, 4, 8, 6 }
U(10) ≠ <2> dan bukan siklik melainkan subgroup karena <2>
terdapat elemen yang sama pada U(14).
Terbukti : Z10 = <3> =<7> = <9>.
Dan merupakan generator karena terdapat generator.